Bài giảng vẽ kỹ thuật (Tải: https://link1s.com/yHqvN)

MỞ ĐẦU
1. Khái niệm về môn học
Bản vẽ kỹ thuật là công cụ chủ yếu để diễn đạt ý đồ thiết kế, là văn kiện kỹ thuật cơ
bản dùng trong chỉ đạo sản xuất, là một thông tin kỹ thuật hợp lý.
Bản vẽ kỹ thuật được dùng rất rộng rãi trong tất cả mọi hoạt động sản xuất và đời sống.
Bản vẽ kỹ thuật đã trở thành “ngôn ngữ” của kỹ thuật.
Các bản vẽ kỹ thuật được thực hiện bằng các phương pháp biểu diễn khoa học, chính
xác, theo những quy tắc thống nhất của các tiêu chuẩn nhà nước.
Đối tượng của môn vẽ kỹ thuật là các bản vẽ kỹ thuật.
Môn vẽ kỹ thuật là môn kỹ thuật cơ sở mang nhiều tính chất thực hành. Trong quá
trình học tập sinh viên phải nắm vững các kiến thức cơ bản như lý thuyết về phép chiếu, các
phương pháp biểu diễn vật thể, nắm vững các quy tắc của tiêu chuẩn nhà nước về bản vẽ
đồng thời rèn luyện các kỹ năng thực hành
Nhiệm vụ của môn vẽ kỹ thuật là cung cấp cho sinh viên những hiểu biết cơ bản về
bản vẽ kỹ thuật, bồi dưỡng khả năng lập và đọc bản vẽ, đồng thời rèn luyện cho họ tác
phong làm việc khoa học, chính xác, có ý thức tổ chức và kỷ luật, tính cẩn thận, kiên nhẫn
của người làm công tác kỹ thuật.
2. Sử dụng vật liệu vẽ và dụng cụ vẽ
* Vật liệu vẽ
1. Giấy vẽ
2. Bút chì
* Dụng cụ vẽ
1. Bàn vẽ (Mika hoặc bàn Kính)
2. Thước vẽ (Dưỡng tròn, dưỡng Elip)
3. Compa
4. Tẩy
Chương 1
CÁC TIÊU CHUẨN VỀ CÁCH TRÌNH BÀY BẢN VẼ
1
1.1. Khái niệm về tiêu chuẩn
- Ở mỗi nước bản vẽ kỹ thuật được thành lập theo những tiêu chuẩn riêng, đó là những

quy định, quy ước, ký hiệu vv để thành lập một bản vẽ.
- Các tiêu chuẩn này đã được thông qua và ban hành như một pháp lệnh.
- Ở Việt Nam những tiêu chuẩn về bản vẽ kỹ thuật gọi là tiêu chuẩn Việt Nam
(TCVN )
1.2. Khổ giấy
- Mỗi bản vẽ phải được vẽ trên một tờ giấy có kích thước nhất định gọi là khổ bản vẽ (
kích thước khổ là kích thước của tờ giấy sau khi đã xén).
- TCVN 2 – 74 quy định về các loại khổ giấy như sau.
1.2.1. Các loại khổ (các lại khổ chính)
A
4
A
3
A
2
A
1
A
0
* Khổ A
4
được gọi là khổ đơn vị, khổ A
0
có diện tích là 1m
2
1.2.2. Khung bản vẽ và khung tên
- Khung bản vẽ kẻ cách mép bản vẽ 1 khoảng bằng 5 mm (riêng mép bên trái kẻ cách
25 mm khi cần đóng bản vẽ thành tập )
- Khung tên được đặt ở góc bên phải phía dưới của bản vẽ ở bên trong của khung bản
vẽ.

- Khung tên được vẽ theo mẫu như sau.
Ký hiệu
khổ giấy
A
0
(44)
A
1
(24)
A
2
(22)
A
3
(12)
A
4
(11)
Kích thước
khổ giấy
(mm)
1189 x 841 594 x 841 594 x 420 297 x 420 297 x 210
2
(1) Tên người vẽ.
(2) Tên người kiểm tra
(3) Ngày vẽ( hoặc ngày ra đề)
(4) Ngày hoàn thành (ngày nộp bài tập)
(5) Tên bài tập hay tên chi tiết.
(6) Vật liệu của chi tiết (trong các bài tập bỏ trống)
(7) Tỉ lệ bản vẽ.

(8) Ký hiệu bản vẽ.
1.3. Tỉ lệ bản vẽ
Định nghĩa: Tỷ lệ bản vẽ là tỉ số giữa kích thước đo được trên bản vẽ và kích thước tương
ứng đo được trên vật thực.
* TCVN 3 – 74: có 3 loại:
- Tỷ lệ nguyên hình: hình vẽ bằng vật thực (1:1)
- Tỷ lệ thu nhỏ: hình vẽ nhỏ hơn vật thực (1:2) (1:2,5) ( 1:4) ( 1:5) ( 1:10) ( 1:15)
(1:20) ( 1:25) ( 1:40)
- Tỷ lệ phóng to: hình vẽ lớn hơn vật thực ( 2:1) (2,5: 1) (4:1) (5:1) (10:1)
* Chú ý : dù bản vẽ vẽ theo tỷ lệ nào thì con số kích thước ghi trên bản vẽ vẫn luôn là
kích thước thật (không phụ thuộc vào tỷ lệ).
- Tỷ lệ của bản vẽ được ký hiệu bằng 2 chữ TL (VD TL 1:1)
1.4. Các loại đường nét vẽ
- Trên bản vẽ kỹ thuật hình biểu diễn được tạo thành bởi nhiều loại đường có tính chất
khác nhau. Để dễ phân biệt thì các loại đường đó phải được vẽ bằng các nét vẽ khác nhau
làm cho bản vẽ thêm sáng sủa dễ đọc.
- TCVN 0008 : 1993 quy định tên gọi hình dạng bề dày và công dụng của các nét vẽ
như sau.
STT Tên gọi Hình dạng bề Công dụng
3
dày
1
Nét liền
đậm b
- Đường bao thấy, giao tuyến thấy
- Đường bao của mặt cắt rời
- Đường đỉnh ren, đỉnh răng
- Khung bản vẽ, khung tên
- Vẽ vết của mặt phẳng cắt
2

Nét
liền mảnh
b/3
- Đường dóng, đường kích thước,
đường gạch mặt cắt
- Đường chân ren
3
Nét đứt
b/3
- Đường bao khuất, giao tuyến
khuất
4
Nét chấm
gạch
mảnh
b/3
- Đường trục, đường tâm vòng
tròn
- Đường chia trong bánh răng
5
Nét chấm
gạch đậm
b
- Vẽ những phần tử nằm trước mặt
phẳng cắt
6
Nét lượn
sóng b/3
- Đường cắt lìa hình biểu diễn
- Đường phân cách hình chiếu và

hình cắt ghép
7 Nét ngắt b/3
- Đường cắt lìa dài (có tính chất
tương tự như nét lượn sóng,
thường được dùng trong ngành
xây dựng)
8
Nét hai
chấm
gạch
mảnh
(b/3)
- Đường trọng tâm
- Đường bao của chi tiết trước khi
hình thành
- Đường bao của chi tiết lân cận
* Chú ý: Bề dày của các loại nét
vẽ khác được xác định theo bề dày
của nét b, và phải vẽ đều nhau
trong cùng một bản vẽ.
VÝ dô:
4
§uêng bao thÊy
§uêng trôc ®èi xóng
§uêng dãng
§uêng kÝch thuíc
§uêng bao khuÊt
§uêng t©m vßng trßn
§uêng t©m
1.5. Chữ và chữ số

- Mẫu chữ và chữ số được quy định theo TCVN 6 – 85.
- Mẫu chữ và số được xác định theo chiều cao h của chữ hoa gọi là khổ chữ như sau:
-
Cho phép dùng khổ > 28 nhưng không được dùng khổ <2,5
- Kích thước của chữ và số được xác định theo chiều cao h (xác định theo khổ chữ)
Khổ chữ
loại A loại B
h h
Chiều cao
chữ in 14/14h 10/10h
chữ thường 10/14h 7/10h
Khoảng
cách
2 chữ, 2 số 2/14h 2/10h
2 con số 6/14h 6/10h
2 dòng 21/14h 14/10h
CHỮ VÀ SỐ KIỂU B ĐỨNG
h
2,5 3,5 5 7 10 14 20 28
5
CHỮ VÀ SỐ KIỂU B NGHIÊNG
1.6. Ghi kích thước trên bản vẽ
1.6.1. Nguyên tắc chung
- Đơn vị đo chiều dài bằng mm; không ghi đơn vị này sau
con số kích thước trên bản vẽ.
- Con số kích thước được ghi là giá trị kích thước thật,
không phụ thuộc vào tỉ lệ của bản vẽ.
- Không nên ghi kích thước ở đường bao khuất.
- Mỗi kích thước chỉ ghi một lần; không ghi lặp lại.
- Không được dùng trục đường tâm làm đường kích thước.

1.6.2. Các thành phần của một kích thước
1.6.2.1. Đường dóng
- Là đường giới hạn kích thước được vẽ bằng nét liền
mảnh
- Được kéo dài từ hai đường bao, hai đường trục, hai
đường tâm hoặc hai đường kích thước khác.
- Đường dóng thường kẻ vuông góc với đường kích thước và phải vượt quá đường
kích thước một khoảng từ 3 – 5 mm
1.6.2.2. Đường kích thước
6
h
Ø1
Ø2
- Biểu thị đoạn đường cần ghi kích thước, kẻ song song với đoạn đó và vẽ bằng nét
liền mảnh
1.6.2.3. Mũi tên
- Được vẽ ở 2 đầu của đường kính
và vẽ chạm vào đường dóng.
- Khi có nhiều kích thước nối tiếp
nhau mà không đủ chỗ vẽ mũi tên thì có thể vẽ mũi tên ra ngoài hoặc cho phép vẽ mũi tên
bằng một vạch xiên hay một dấu chấm (lúc này đường kích thước phải vượt quá đường
dóng 1 đoạn 3 - 5 mm)
- Nếu khoảng giữa hai đường dóng quá nhỏ thì mũi tên vẽ ra ngoài và con số kích
thước có thể ghi ra ngoài.
1.6.2.4. Con số kích thước
- Viết ở khoảng giữa và phớa trờn của đường kích thước (không đường nào được cắt
qua con số kích thước)
- Chiều con số kích thước phụ thuộc vào chiều nghiêng của đường kích thước.
- Cho phép ghi kích thước gúc trên giỏ ngang và dóng ra ngoài.
- Khu vực cấm của kích thước Thẳng nghiêng 30

0
so với phương thẳng đứng, với kích
thước góc nghiêng 30
0
so với phương nằm ngang.
- Những kích thước nằm trong khu vực cấm thì đường kích thước được viết bên ngoài
trên giá ngang
40
20
2
5
2
5
4
0
°
6
5
°
7
5
°
5
5
°
50
°
75°
14
7

c
a
3-5
b
25
6
10 10 14 15 14
1415141010
3
0
°
1
5
1
5
1
5
1
5
3
0
°
1
5
15
6
0
°
90°
1.6.3. Một số quy tắc ghi kích thước

1.6.3.1. Kích thước độ dài
- Khi có nhiều kích thước khác nhau thì kích thước nhỏ đặt
vào trong, kích thước lớn đặt ra ngoài. Các đường kích thước
cách nhau một khoảng > 5
mm.
- Không được vẽ một
nét nào cắt ngang qua con số
kích thước.
- Cho phép ghi con số kích thước so le nhau nếu có nhiều
kích thước song song
1.6.3.2. Kích thước đường tròn
- Đối với đường tròn và cung tròn > 1/2 đường tròn thì ghi kích thước đường kính Φ.
- Đường kích thước dóng qua tâm hoặc dóng ra ngoài.
- Cho phép dùng 1 mũi tên để ghi kích thước đường kính nhưng đuôi nmũi tên phải
vượt quá tâm một khoảng > 1/3 R.
Ø
3
2
Ø
2
0
Ø20
Ø15
Ø15
- Đường tròn có đường kính d > 12 mm (trên bản vẽ) thì đường tâm được vẽ bằng nét
chấm gạch mảnh; nét chấm gạch phải được kết thúc bằng nét gạch và phải vượt quá đường
bao 1 khoảng 3 – 5 mm.
- Đường tròn có d < 12 mm (trên bản vẽ) thì đường tâm vuông góc vẽ bằng nét liền
mảnh.
8

27
47
> 5
33
45
56
70
3 - 5
Ø
≥12
Ø
<12
- Những cung tròn ≤ 6 mm (trên bản vẽ) thì mũi tên phải chỉ vào phía lồi của cung.
- Nếu cung quá lớn tâm cung ở ngoài bản vẽ thì dùng tâm tượng trưng, lúc náy đường
kích thước được vẽ gẫy khúc.
- Đối với mặt cầu thì đằng trước của kích thước đường kính có ghi ký hiệu chữ cầu
(VD: cầu Φ 20).
R
1
0
Ø10
R5
cÇu Ø20
R250
1.6.3.3. Kích thước của các phần tử giống nhau
- Nếu có nhiều phần tử giống hệt nhau thì chúng được ghi chung một kích thước kèm
theo một con số để chỉ số lượng của các phần tử đó.
- Tâm của các lỗ trên mặt bích tròn được xác định bởi 1 nét cung tròn đồng tâm với
đường tròn mặt bích và một nét hướng vào tâm của đường tròn đó.
4

5
°
4 lç Ø8
8xØ6
1.6.3.4. Ghi kích thước theo chuẩn
9
8
20
40
50
60
1.6.3.5. Kích thước của hình vuông, mép vát
hoÆc
20
2x45°
2x45°
5x5
Chương 2
VẼ HÌNH HỌC
2.1. Vẽ độ dốc và độ côn
2.1.1. Độ dốc
Độ dốc giữa đường thẳng OA đối với đường thẳng OB là tgα của gúc tạo thành giữa
hai đường thẳng đó.
i = tgα =
OB
AB

10
y'
y

x
x'
A
0
B
VD: Vẽ độ dốc đi qua một điểm cho trước ( i = 1:5)
*) Cách
ghi ký hiệu độ dốc.
- Phía trước độ dốc ghi ký hiệu ∠,
đỉnh quay về phía đỉnh dốc và được viết ở
trên đường dóng song song với đường
đáy dốc.
2.1.2. Độ côn
- Là tỉ số giữa hiệu hai đường kính của 2 tiết diện vuông góc của 1 hình nón tròn xoay
với khoảng cách của hai tiết diện đó.
- Độ côn được ký hiệu là chữ K và được tiêu chuẩn hoá. K =
L
dD −
-
Trong mọi trường hợp độ côn bằng hai lần độ dốc
K = 2i ⇒ i =
2
K
Kết luận: Muốn vẽ một hình côn có độ côn bằng K thì ta vẽ sao cho đường sinh ngoài
cùng của hình côn tạo với trục côn 1 độ dốc là i =
2
K
.
* Cách ghi ký hiệu độ côn
- Ký hiệu độ côn được viết ở ngay phía trên của trục hình côn hoặc trên đường dóng

song song với trục hình côn.
- Phía trước của độ côn ghi ký hiệu

đỉnh của ký hiệu quay về phía đỉnh của hình
côn.
2.2. Vẽ nối tiếp các đường cong hình học
- Trong bản vẽ kỹ thuật khi vẽ cỏc chi tiết máy hay các đường gờ trong xõy dựng ta
thường phải nối tiếp các đường thẳng và các đường cong (chủ yếu là đường trũn). Yờu cầu
của vẽ nối tiếp là chỗ nối tiếp phải trơn đều và khụng góy khỳc.
11
x
x'
A
0
B
1
:1
0
1
:1
0
D
d
L
∆
∆
D
d
L
1:5

1:5
- vẽ nối tiếp dựa vào các tính chất tiếp xúc của đường thẳng với đường tròn.
2.2.1. Nối tiếp hai đường thẳng cắt nhau bằng 1
cung tròn
cho 2 đường thẳng d
1
và d
2
nối tiếp nhau bằng cung
tròn bán kính R
- XĐ tâm O của cung nối tiếp là giao của hai đường
thẳng song song với d
1
,d
2
và cách chúng 1 khoảng R
- XĐ tiếp điểm: từ O hạ vuông góc I
1
và I
2
sau đó
nối cung bán kính R
2.2.2. Nối tiếp một đường thẳng và một đường tròn
bằng một cung tròn
Cho d, đường tròn tâm O
1
có bán kính R
1
hãy vẽ cung tròn BK R tiếp xúc với chúng.
2.2.2.1. Trường hợp tiếp xúc ngoài với đường tròn

- XĐ tâm O: là giao điểm của đt song song với d cách d
1
khoảng R, với 1 cung tròn
tâm O
1
với BK (R + R
1
), XĐ các tiếp điểm rồi vẽ cung nối tiếp.
R
R
R
1
O
1
O
R+R
1
d
d
O
O
1
R
1
R- R
1
R
R
2.2.2.2. Trường hợp tiếp xúc trong với đường tròn
- Trường hợp này R phải lớn hơn R

1

- XĐ tâm O: là giao điểm của ĐT song song với d cách d
1
khoảng R, với 1 cung tròn
tâm O
1
vó BK (R - R
1
), XĐ các tiếp điểm rồi vẽ cung nối tiếp. (Hình trên)
2.2.3. Nối tiếp hai đường tròn bằng một cung tròn
Cho O
1
có R
1
và O
2
có R
2
hãy vẽ cung tròn BK R nối tiếp với hai đường tròn trên.
2.2.3.1. Trường hợp cung tròn tiếp xúc ngoài với cả 2 đường tròn
- XĐ tâm O: là giao của 2 cung tròn tâm O
1
: BK (R+R
1
) và tâm O
2
: BK (R+R
2
)

- Sau đó vẽ cung nối tiếp R
2.2.3.2. Trường hợp tiếp xúc trong với cả hai đường tròn
Tương tự như trường hợp trên nhưng ta phải vẽ hai cung tròn có bán kính (R-R
1
) và
(R-R
2
)

(nếu R
1
> R
2
thì R>2R
1
)
12
R
R
d
1
d
2
I
2
I
1
O
2.2.3.3. Trường hợp tiếp xúc ngoài với O
2

và tiếp xúc trong với O
1
- Giả thiết cung tròn TX ngoài với O
1
có BK (R+R
1
); giả thiết cung tròn TX trong với
O
2
có BK (R-R
2
) ;

(R>R
2
)
2.3.
Một
số
đường cong thường gặp trong Vẽ kỹ thuật
2.3.1. Đường ELIP
2.3.1.1. Định Nghĩa
Là quỹ tích những điểm có tổng khoảng cách đến 2 điểm cho trước F
1
,F
2
là một hằng
số và lớn hơn khoảng cách của 2 điểm đó.
2.3.1.2. Cách vẽ ELIP
* Vẽ ELIP khi bết 2 trục của nó

AB và CD là trục dài và trục ngắn của ELIP
- Vẽ 2 vòng tròn tâm O có đường kính AB, CD và
vẽ 1 đường kính bất kỳ
- Từ giao điểm của ĐK với đưòng tròn lớn kẻ đ-
ường thẳng song song với CD, Từ giao điểm của ĐK
với đưòng tròn nhỏ kẻ đường thẳng song song với AB,
các đường thẳng song song cắt nhau tại các điểm thuộc
ELIP.
* Vẽ ELIP khi biết cặp đường kính liên hợp MN và PQ
- Từ M,N kẻ song song với PQ. Từ P,Q kẻ song song MN và kẻ các đường chéo EG,
FH.
- Dựng tam giác vuông cân cạnh huyền là MF
- Quay cung tròn tâm M bán kính MI cắt EF tại O và T
- Từ O và T kẻ đường song song MN cắt 2 đường chéo EG và FH tại 4 điểm (dùng
thước cong nối 4 điểm ta được ELIP)
13
R
R
R
R+ R
1
R+R
2
O
1
R
1
R
2
O

2
O
2
R
2
R
1
O
1
R-R
2
R-R
1
O
O
2
R
2
R
1
O
1
R
+
R
1
R-R
2
O
O

A
B
C
B
F
P
G
N
H
Q
E
M
I
O
T
2.3.2. Đường trái xoan (Ôvan)
O
2
O
1
O
3
O
4
E
A
D
B
C
O

F
2.3.2.1. Định nghĩa
Là đường cong có dạng gần giống ELIP đợc tạo thành bởi 4 cung tròn nối tiếp nhau.
2.3.2.2. Cách vẽ
Cho trục dài AB và trục ngắn CD
- Cung tròn tâm O BK OA cắt DC kéo dài tại E.
- Cung tròn tâm C BK CE cắt AC kéo tại F
- Kẻ trung trực AF cắt AB và CD kéo dài tại O
1
và O
2
, lấy đối xứng qua O hai điểm O
1
và O
2
ta được O
3
và O
4
. Nối O
1
, O
2
, O
3
, O
4
được hình thoi, kéo dài các cạnh của hình thoi là
các đường giới hạn của cung tròn tạo thành của hình trái xoan.
- Bốn cung tròn lần lượt là tâm O

1
O
2
O
3
O
4
có BK là O
1
A, O
2
C, O
3
B, O
4
D


Chương 3
ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
3.1. Các phép chiếu
3.1.1. Phép chiếu xuyên tâm
3.1.1.1. Định nghĩa
Trong không gian lấy một mặt phẳng
P
làm mặt phẳng hình chiếu và một điểm S
không thuộc mặt phẳng
P
làm tâm chiếu.
14

Hình chiếu xuyên tâm của 1 điểm
A được định nghĩa như sau:
+ Nối SA, tìm giao điểm A’ của
SA với mặt phẳng P
+ SA gọi là đường thẳng chiếu
hoặc tia chiếu
+ A’ là hình chiếu xuyên tâm của
điểm A.
3.1.1.2. Tính chất
a. Tính chất 1:
- Hình chiếu xuyên tâm của một đường thẳng không đi qua tâm chiếu là một đường
thẳng.
* Hệ quả
- Nếu C∈AB thì C’∈A’B’
- SA //
P
thì A’∞
- Nếu đường thẳng đi qua S thì hình chiếu xuyên tâm của nó suy biến thành một điểm.
b. Tính chất 2: Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các
đường thẳng đồng quy.
15
C
P
S
A
A’
B
B’
m
M’

C’
A’
∞

P
B’
F’
D’
C’
A’
E’
S
A
B
C
D
F
E
k
K’
3.1.2. Phép chiếu song song
3.1.2.1. Định nghĩa
Trong không gian lấy mặt phẳng
P
làm mặt phẳng hình chiếu và 1 đường thẳng s
không song song với
P
làm hướng chiếu.
Lấy 1 điểm A bất kì trong không gian, qua A vạch 1 đường thẳng song song với s, đ-
ường thẳng này cắt

P
tại A’.
Ta có:
s: Là hướng chiếu.
A’: Là hình chiếu song song của điểm A.
AA’: Là tia chiếu.
3.1.2.2. Các tính chất
Phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép
chiếu xuyên tâm khi tâm chiếu ở xa ∞, do đó ngoài các
tính chất của phép chiếu xuyên tâm phép chiếu song song
còn 2 tính chất sau:
a. Tính chất 1: Hình chiếu song song của các đường thẳng song song là các đường thẳng
song song.
b. Tính chất 2: Tỉ số 2 hình chiếu song song của 2
đoạn thẳng song song bằng tỷ số giữa 2 đoạn thẳng đó:
CD
AB
D'C'
B'A'
=
* Hệ quả:
- Nếu có 3 điểm thẳng hàng A, B, C điểm C chia đoạn AB theo tỷ số nào thì hình
chiếu C’ của nó cũng chia đoạn A’B’ theo tỷ số đó.
- Tỷ số
CD
AB
D'C'
B'A'
=
gọi là tỷ số đơn của 3 điểm thẳng 16ang được bảo toàn qua phép

chiếu. Ký hiệu: (A’, B’, C’) = (A, B, C)
* Chú ý:
- EF// s ⇒ E’≡ F’
- AB //
P
⇒ A’B’// = AB
16
3.1.3. Phép chiếu vuông góc
3.1.3.1. Định nghĩa
Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi hướng
chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.
3.1.3.2. Tính chất
- Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt
của phép chiếu song song nên nó có tất cả các tính chất
của phép chiếu song song ngoài ra nó còn có tính chất
sau:
- Độ dài hình chiếu vuông góc của một đoạn
thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng đó nhân với cosϕ (ϕ
là góc hợp bởi đoạn thẳng đó và mặt phẳng hình
chiếu).
A’B’ = AB.cosϕ (ϕ = AB x
P
)
* Nhận xét:
Phép chiếu xuyên tâm, song song, phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng chưa
đảm bảo điều kiện phản chuyển nên chưa được gọi là đồ thức.
17
A
1
A

2
A
3
A
A
x
y
x
z
p
3
p
2
p
1
3.2. Đồ thức của một điểm trên ba mặt phẳng hình chiếu
3.2.1. Cách xây dựng đồ thức
- Trong không gian lấy 3 mặt phẳng
P
1
,
P
2
,
P
3
vuông góc với nhau từng đôi một.
-
P
1

theo phương
thẳng đứng gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng;
-
P
2
theo phương nằm ngang gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng;
-
P
3
gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh.
Giao tuyến giữa các mp hình chiếu là các trục hình chiếu (x, y, z)
- Chiếu vuông góc điểm A lên 3 mặt phẳng
P
1
,
P
2
,
P
3
lần lượt được A
1
, A
2
, A
3
.
- Xoay mặt phẳng
P
2

quanh trục x theo chiều mũi tên để mặt phẳng
P
2
≡
P
1
- Xoay mặt phẳng
P
3
quanh trục z theo chiều mũi tên để mặt phẳng
P
3
≡
P
1
- Kết quả trên mặt phẳng
P
3
≡
P
2
≡
P
1
ta có 3 điểm A
1
, A
2
và A
3

biểu diễn như hình vẽ
được gọi là đồ thức của điểm A.
A
1
là hình chiếu đứng của điểm A;
A
2
là hình chiếu bằng của điểm A;
A
3
là hình chiếu cạnh của điểm A.
3.2.2. Các tính chất của đồ thức
- A
1
A
2
⊥ x;
- A
1
A
3
⊥z;
- A
2
A
x
= A
3
A
z

* Chú ý:
- Trên đồ thức ta không biểu diễn trục y mà chỉ biểu diễn trục x và trục z.
- Sau này trên đồ thức thường chỉ biểu diễn hình chiếu đứng và hình chiếu bằng.
Thường biểu diễn trục hình chiếu là trục x.
3.2.3. Cách tìm hình chiếu thứ 3 của một điểm
* Tìm hình chiếu cạnh (có 2 cách)
18
- Cách 1: Dùng đường phân giác
- Cách 2: Dùng tính chất của đồ thức

3.3. Đồ thức của đường thẳng
3.3.1. Đồ thức của một đường thẳng
3.3.1.1. Lập đồ thức của đường thẳng
Đồ thức của đường thẳng được xác định bởi đồ thức của hai điểm thuộc đường thẳng
ấy.
3.3.1.2. Định nghĩa
Đồ thức của một đường thẳng m(A,B) là một cặp đường thẳng m
1
(A
1
,B
1
) và m
2
(A
2
,B
2
).
A

A
1
A
2
B
B
2
B
1
m
1
m
m
2
p
1
p
2

3.3.2. Các đường thẳng đặc biệt
3.3.2.1. Các đường đồng mức
a. Đường bằng
* Định nghĩa:
Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
P
2
.

19
x

A
1
B
1
b
1
B
2
A
2
b
2
p
1
p
2
b
x
p
1
B
1
A
1
A
2
b
b
2
b

1
B
B
2
* Tính chất:
- b
1
// x.
- A
2
B
2
= AB.
- ∠(b
2
× x) = ∠ (b ×
P
1
)
b. Đường mặt
* Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng
P
1
.
B
1
A
1
A
2

p
2
p
1
m
m
2
m
1
B
B
2
x
A
A
1
B
1
A
2
B
2
m
1
m
2
x
mx
p
2

* Tính chất
- m
2
// x.
- A
1
B
1
= AB.
- ∠(m
1
× x) = ∠ (m ×
P
2
)
c. Đường cạnh
* Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh
P
3
20
x
A
1
B
1
A
2
B
2
A

B
B
3
A
3
A
1
B
1
A
2
B
2
A
3
B
3
x
p
1
p
3
p
2
* Tính chất:
- A
1
B
1
, A

2
B
2
cùng nằm trên đường dóng thẳng đứng và vuông góc với trục x.
- A
3
B
3
= AB
- ∠(A
3
B
3
⊥ z) = ∠(AB ⊥
P
1
)
- ∠(A
3
B
3
⊥ y) = ∠(AB ⊥
P
2
)
* Chú ý:
Nếu muốn xác định được một điểm trên hai hình chiếu thì phải xác định thêm hình
chiếu thứ 3 của điểm đó hoặc xác định bằng tỉ số đơn.
3.3.2.2. Các đường thẳng chiếu
a. Đường thẳng chiếu bằng

* Định nghĩa:
Là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng
P
2

* Tính chất
- A
2
≡ B
2
- V× AB ⊥
P
2
nên AB //
P
1
,
P
3
- A
1
B
1
= AB = A
3
B
3
; A
1
B

1
⊥ x ; A
3
B
3
⊥ y
x
B
1
A
1
p
2
p
1
B
x
A
A
1
B
1
A
2
≡
B
2
A
2
≡

B
2
b. Đường thẳng chiếu đứng
21
x
p
1
p
2
A
B
A
2
B
2
x
A
2
B
2
A
1
≡
B
1
A
1
≡
B
1

* Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng
P
1
*Tính chất:
- A
1
≡ B
1
- AB ⊥
P
1
nên AB//
P
2
,
P
3

do ®ã
- A
2
B
2
= AB = A
3
B
3
; A
2

B
2
⊥ x ; A
3
B
3
⊥z
c. Đường thẳng chiếu cạnh
* Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh
P
3
*Tính chất:
- A
3
≡ B
3
- V× AB ⊥
P
3
nên AB //
P
1
,
P
2
- A
1
B
1

= AB = A
2
B
2
;
- A
1
B
1
// x ; A
2
B
2
// x
3.3.3. Điểm thuộc đường thẳng
3.3.3.1. Trường hợp đường thẳng không phải là đường cạnh
* Định lý: Điều kiện cần và đủ để điểm A thuộc đường thẳng m là A
1
∈ m
1
; A
2
∈ m
2
x
p
2
p
3
p

1
B
A
B
2
A
2
B
1
A
1
x
A
2
B
2
A
1
B
1
z
A
3
≡
B
3
A
3
≡
B

3
22
x
A
2
A
1
m
2
m
1
3.3.3.2. Trường hợp đường thẳng là đường cạnh
* Nhận xét:
- Từ hai hình chiếu với : C
1
∈A
1
B
1
, và C
2
∈ A
2
B
2
chưa đủ kết luận C ∈ AB. Vì mọi
điểm C thuộc mặt phẳng chứa đường thẳng AB đều có 2 hình chiếu như vậy.
Vậy để xác định một điểm có thuộc đường cạnh không ta phải thêm điều kiện là điểm
thuộc hình chiếu cạnh của đường thẳng C
3

∈ A
3
B
3

p
2
p
3
p
1
A
3
B
3
B
A
B
2
A
2
B
1
A
1
x
C
3
C
2

C
C
1
C
2
C
1
C
3
A
1
B
1
A
2
B
2
A
3
B
3
x
- Ta cũng hoàn toàn xác định được một điểm có thuộc đường cạnh hay không qua tỉ số đơn
sau:
22
22
11
11
22
22

11
11
BC
CA
BC
CA
CB
AC
BC
CA
CB
AC
BC
CA
=⇒







=
=
Điều kiện: Điều kiện cần và đủ để điểm C thuộc đường cạnh AB là tỷ số đơn của 3 điểm
hình chiếu đứng bằng tỷ số đơn của 3 điểm hình chiếu bằng của A,B,C.
Kí hiệu: (A
1
,B
1

,C
1
) = (A
2
,B
2
,C
2
)
23
C
2
C
1
A
1
B
1
A
2
B
2
x
C'
B'
Ví dụ: Vẽ đường bằng qua A và cắt đường cạnh BC. Biết hình chiếu của BC và A.
Giải:
- Vẽ hình chiếu đứng của đường bằng: Qua A
1
kẻ d

1
// x, d
1
cắt B
1
C
1
tại điểm I
1
(là
hình chiếu đứng của giao điểm giữa d và BC).
- Tìm I
2
trên B
2
C
2
bằng phương pháp tỷ số đơn: (B
1
,I
1
,C
1
) = (B
2
,I
2
,C
2
).

- Nối A
2
I
2
ta được đường thẳng d
2
là hình chiếu bằng của đường thẳng d
B'
C
2
C
1
A
1
B
1
A
2
B
2
x
d
1
d
2
3.3.4. Vết của đường thẳng
3.3.4.1. Định nghĩa
Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu.
- Vết đứng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng
P

1
. Thường
kí hiệu là N.
- Vết bằng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng
P
2
. Thường
kí hiệu là M.
- Vết cạnh là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu cạnh
P
3
. Thường
kí hiệu là P.
24
m
2
m
m
1
M
1
M
2
≡M
N
2
N
1
≡N
p

1
p
2
x
3.3.4.2. Cách xác định vết
Cách vẽ vết đứng:
+ m
2
∩ x = N
2

+ Tõ N
2
⇒ N
1
∈ m
1
Cách vẽ vết bằng:
+ m
1
∩ x = M
1

+ Tõ M
1
⇒ M
2
∈ m
2

Cách vẽ vết cạnh:
+ Kéo dài m
1
∩ y ≡ z ta được hình chiếu đứng P
1
+ Kéo dài m
2
∩ y ≡ z ta được hình chiếu đứng P
2
+ P
1
, P
2
⇒ P
3
≡ P là vết cạnh của m
3.3.4.3. Nhận xét
N
2
∈ x, N
1
∈m
1
M
1
∈x, M
2
∈m
2
25