Phương pháp giải toán cao cấp A1 B1 C1 Hỗ trợ và Tải tài liệu miễn phí 24/7 tại đây: https://link1s.com/yHqvN

TRƢƠNG TẤN TÀI

TÀI LIỆU ÔN THI CẤP ĐẠI HỌC

MÔN HỌC: TOÁN CAO CẤP I


PHƢƠNG PHÁP GIẢI NHANH TOÁN CAO CẤP 1
TẬP 1

Sinh viên thực hiện: TRƢƠNG TẤN TÀI
Gmail:



Tp. Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2013
1


TRƢƠNG TẤN TÀI

MỤC LỤC
I. DÃY TĂNG, DÃY GIẢM, DÃY KHÔNG ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƢỚI 3
Bài tập ứng dụng ......................................................................................................................... 3
II. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN, HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU, HÀM SỐ
HỢP................................................................................................................................................. 4
a. Hàm số chẵn, hàm số lẽ........................................................................................................... 4
Bài tập ứng dụng ..................................................................................................................... 4
b. Hàm số ngƣợc ......................................................................................................................... 4
Bài tập ứng dụng ..................................................................................................................... 5
III. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ, HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI XO ................................................... 5

a. Công thức lim cần nhớ ............................................................................................................ 5
b. Hàm số liên tục tại xo .............................................................................................................. 5
c. Cơng thức phân tích cần nhớ................................................................................................... 5
d. Phƣơng pháp giải nhanh trắc nghiệm bằng máy tính Casio 570ES ........................................ 6
Bài tập ứng dụng ..................................................................................................................... 7
IV. TÌM ĐIỂM GIÁN ĐOẠN CỦA HÀM SỐ .............................................................................. 9
V. MIỀN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ ........................................................................................... 9
VI. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ..................................................................................................... 10
a. Các công thức cần nhớ .......................................................................................................... 10
b. Đạo hàm của hàm ngƣợc và đạo hàm của hàm đƣợc cho bởi phƣơng trình tham số ........... 11
c. Tìm đạo hàm của hàm ẩn ...................................................................................................... 11
d. đạo hàm và vi phân cấp cao .................................................................................................. 12
1. Đạo hàm cấp cao ............................................................................................................... 12
2. vi phân cấp cao.................................................................................................................. 13
e. Ứng dụng đạo hàm tính gần đúng ......................................................................................... 13
VII. CÔNG THỨC MACLAURIN .............................................................................................. 13
VIII. HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ........................................................................................... 14
IX. TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 17

2


TRƢƠNG TẤN TÀI

I. DÃY TĂNG, DÃY GIẢM, DÃY KHÔNG ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN
DƢỚI
Kinh nghiệm: - dãy giảm ví dụ: 0,-1,-2,-3,...,-  .
- dãy tăng ví dụ: 0,1,2,3,…,+  .
- dãy khơng tăng cũng khơng giảm thì được gọi là dãy khơng đơn điệu ví dụ: -1,1,-1,1,-1,1…
- bị chặn dưới là số bé nhất có thể là chúng ta có thể thế ra một số và có khi thế số đó nó sẽ ra là

 , khơng bị chặn dƣới khi dãy cứ dần về -  mà chúng ta không xác định một số nhất định.
- bị chặn trên là số lớn nhất có thể , khơng bị chặn trên khi dãy cứ tăng mãi về +  làm cho
chúng ta không thể xác định đƣợc số bị chặn trên.
Kết luận: - Dãy tăng, giảm, không đơn điệu nhìn vào dãy ta sẽ biết ngay.
- Số bị chặn dưới ( nếu có ) < số bị chặn trên ( nếu có ).
- Đối với các bài tốn khó: thực hiện lấy

u n 1
a
un

Vậy nếu a > 1 thì dãy tăng và ngược lại a < 1 thì dãy giảm.
Bài tập ứng dụng
Câu 1. Cho dãy {xn} với xn = 1 , tính chất có thể có của dãy này là
n

A. Dãy giảm, bị chặn dƣới bởi 0, không bị chặn trên .
B. Dãy tăng, bị chặn dƣới bởi 0, bị chặn trên bởi 1.
C. Dãy giảm, bị chặn dƣới bởi 0, bị chặn trên bởi 1.
D. Dãy tăng, bị chặn dƣới bởi 0, không bị chặn trên.
Câu 2. Cho dãy {xn} với xn = (-1)n , tính chất có thể có của dãy này là
A. Dãy tăng, bị chặn dƣới bởi -1, bị chặn trên bởi 1.
B. Dãy không đơn điệu, bị chặn dƣới bởi -1, bị chặn trên bởi 1.
C. Dãy không đơn điệu và chỉ bị chặn trên bởi 1.
D. Dãy giảm, bị chặn dƣới bởi -1, bị chặn trên bởi 1.
Câu 3. Cho dãy {xn} với xn = n2 , tính chất có thể có của dãy này là
A. Dãy tăng, bị chặn dƣới bởi 0, bị chặn trên bởi +  .
B. Dãy giảm, bị chặn trên bởi 0 , không bị chặn dƣới.
C. Dãy tăng, bị chặn dƣới bởi 0, không bị chặn trên.
3

TRƢƠNG TẤN TÀI

D. Dãy không đơn điệu, bị chặn dƣới bởi 0, không bị chặn trên.
II. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN, HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU, HÀM
SỐ HỢP
a. Hàm số chẵn, hàm số lẽ
- Phần này chỉ nói tính ứng dụng khơng nhắc lại lí thuyết.
- Hàm số chẵn khi mọi x  X  R thì f(x) = f(-x).
- Hàm số lẻ khi mọi x  X  R thì f(x) = -f(-x).
- Hàm số tuần hồn khi mọi x  X  R thì tồn tại một hằng số dương p sao cho: f(x+p) = f(x).
- Hàm số tăng hay giảm thì được gọi là hàm số đơn điệu ( xem lại kiến thức hàm số đơn điệu lớp
12 ).
- Hàm số hợp: công thức cần nhớ h(x) = f[g(x)] hay h(x) := (fog)(x) , x  X  R .
Bài tập ứng dụng
Câu 4[1]. Cho hàm f(x) =
A. Hàm lẻ

3

(1  x) 2  3 (1  x) 2 , hàm f(x) là hàm

B.Hàm chẵn.

Câu 5[2]. Cho hai hàm số sau

f ( x) 

C.Hàm không lẻ, không chẵn.

x

g ( x)  x 2  2 x  1

D.Hàm số hợp.

, hàm f(x), g(x) lần lƣợt là hàm
B. Hàm lẻ; Hàm không chẵn cũng không lẻ.

A. Hàm chẵn; Hàm lẻ.

D. Hàm chẳn; Hàm không chẵn cũng không lẻ.

C. Hàm lẻ; Hàm chẵn.

2
3
Câu 6. Cho hai hàm số sau f ( x)  x  ( x  5) , hàm g[f(x)] là

g ( x)  x  3

A. x  3 ( x  5) 2  3

C. 2 x  3  3 ( x  5) 2

B. ( x  3)  3 (2 x  8) 2

D.3 +

3

( x  5) 2 .

b. Hàm số ngƣợc
- Bƣớc đầu tiên để xét có hàm số ngƣợc khơng thì phải xét nó có phải là hàm 1-1 hay không .
Vậy xác định hàm 1-1 thế nào ? Thật ra, hàm 1-1 đƣợc chứng minh nếu x1  x2  D f thì f(x1)

 f(x2) [ Hoặc xét theo đồ thị thì khơng tồn tại đường thẳng nằm ngang nào cắt đồ thị nhiều hơn

một điểm ]
- Bƣớc thứ hai thực hiện chuyển từ biến x của hàm đầu thành biến y và biến y của hàm đầu thành
biến x , ta đƣợc hàm ngƣợc.
4


TRƢƠNG TẤN TÀI

Kinh nghiệm bấm máy tính: Dùng máy tính thay một giá trí x vào hàm đã đổi biến giải nghiệm
một ẩn y cịn lại , sau đó thay x,y vừa tìm đƣợc vào các đáp án , đáp án nào đúng thì đáp án đó
CHÍNH XÁC .

e x  ex
e x  ex
Chú ý với hàm hyperbolic : sinh(x) =
, cosh(x) =
2
2
Bài tập ứng dụng
Câu 7. Cho hàm số y = 1 (e x  e  x ), x   , , hàm ngƣợc của hàm này là

2

A.y = ln( x  1  x 2 )

C.y =

B.y = ln 1  x

D.y = 2( 1x  e x )

1 x

3

(1  3x) 2  3 (1  2 x)

e

III. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ, HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI XO
a. Công thức lim cần nhớ
1. lim sin x  1
x 0

2. lim tan x  1
x 0

x

1
x

3. lim arctan x  1
x 0

x

x

1
x

1
e

4. lim (1  x)  e

5. lim arcsin x  1
x 0
x

6. lim (1  x) 

ex 1
1
7. lim
x 0
x

8. lim 1  cos x  1
2

9. lim ln(1  x)  1

x 0

x 0

(1  x)  1

x 0
x

x 0

x 0

2

x

x

10. lim

11. lim x   ,   0.

12. lim (ln x)  ,   0

13. lim a   ,   1

14. lim (1  1 ) x  e

15. lim sin x không tồn tại

x 0

x 

x 

x 

x 

x

[ Thật ra, phần này chúng ta cũng khơng cần nhớ máy móc thế này . Đến phần bài tập sẽ có phần
giới thiệu nếu nhƣ khơng thuộc chúng ta vẫn có thể giải đúng bình thƣờng ]
b. Hàm số liên tục tại xo
Nhiệm vụ cần nhớ:

lim f ( x)  lim f ( x)  f ( xo )


x  xo

x  xo

c. Công thức phân tích cần nhớ
1.

1
1
1
 
n(n  1) n n  1

2. 1 – ab = ( 1 – a )b + ( 1 – b )

4. 1 – abc = ( 1 – a ).bc – c( b – 1) – ( c-1 )

3. ab – 1 = ( a – 1 )b + ( b – 1 )

5. 1 + 2 + 3 + … + n =

n(n  1)
2

5


TRƢƠNG TẤN TÀI
6. 12 + 22 + … + n2 = n(n  1)(2n  1)
6

d. Phƣơng pháp giải nhanh trắc nghiệm bằng máy tính Casio 570ES
 Tính lim nhanh trong vài giây
- Trƣớc khi tính vui lịng xóa hết bộ nhớ máy chứ khơng máy khơng thể tính nỗi các bài có biến
nhớ nhiều bằng cách bấm: SHIFT 9 3 = =
- Xác định các nút sau trên máy tính ALPHA, CALC, SHIFT, X.

- Phƣơng pháp giải nhanh với bài tốn tìm giới hạn:
+ Ln thực hiện nhập biểu thức bình thƣờng trƣớc vào máy [Cách gõ chữ x, bấm ALPHA X].
Sau đó, ấn phím CALC , màn hình hiện hàng chữ X ?. Vui lòng đến đây dừng và đọc tiếp cách
chọn số với từng dạng đƣợc hƣớng dẫn ở bƣớc sau.
+ Dạng toán 1: khi x  


Nhập từ 8 số 9 đến 12 số 9 sẽ có đƣợc kết quả lim “ tốt nhất thì nên chọn từ 8 đến 9 số 9
bởi vì khoảng này thường đúng 100%”. Thật ra, đối với một số bài toán chỉ cần nhập 3 số
9 hoặc 4,5 số 9 đã có kết quả nhƣng tốt nhất nên nhập một số vơ cùng lớn sẽ có kết quả
nhƣ ý hơn.Chú ý với khi x dần về “ – “ vô cùng thì phải dấu “ – “ trƣớc các số 9.

Ví dụ: 1. Tìm lim ( x  x  x )
x 

Cách nhập: Bƣớc 1. Nhập biểu thức trong lim vào máy tính

x x  x

Bƣớc 2. Ấn CALC khi máy hiện ra hàng chữ X ? là ok.
Bƣớc 3. Sau đó vì x dần về “ + “ vô cùng nên phải một số vô cùng lớn và phải là số
dƣơng nên ta nhập 999...9 ( 8 gồm số 9 ), sau đó ấn bằng và ta đƣợc kết quả máy tính trả lại là:
0,4999960471 . Đáp án bài lim này là 1 .
2

+ Dạng 2: khi


x  xo

Nhập xo,0…1 ( trong đó gồm 8 đến 12 con số 0 ) , sau đó ấn “ = “ để đƣợc đáp án.
3

Ví dụ: 2. Tìm lim
x 0

1 x  5 1 x
x

Bƣớc 1. Nhập biểu thức trong lim vào máy tính.
Bƣớc 2. Ấn CALC khi máy hiện ra hàng chữ X ? là ok.

6


TRƢƠNG TẤN TÀI

Bƣớc 3. Vì x dần về 0 nên ta nhập mơt số vơ cùng nhỏ và làm trịn nó sẽ về 0. Nhập 0,0…1 với 9
số 0, ấn “ = “ máy tính cho kết quả 667  0,1334 . Đáp án bài lim này là 2 .
5000

15



+ Dạng 3. Khi x  xo


Dạng này nhập giống y nhƣ dạng 2, nhƣng chú ý là nó dần về từ “ – “ hay là dần về từ
“ + “. Nếu “ – “ thì có thêm dấu “ – “ phía trƣớc cịn lại “ + “ thì khơng cần nhập cũng

đƣợc.

Chú ý: Khi bài tốn lim họ cho dưới dạng chữ ta sẽ chọn số lần lượt thế vơ và tính như một
bài tốn bình thường lim khác.
 Tìm a để hàm số liên tục tại xo trong vài giây
+ Bƣớc 1. Vẫn tìm lim nhƣ cách tìm lim nhanh bằng máy tính đã giới thiệu ở trên.
+ Bƣớc 2. Từ đáp án mới tìm đó cho bằng biểu thức thu đƣợc tại x = xo . Trƣờng hợp đơn giản
nhất nếu tại x = xo mà bằng “ a “ tình giá trị lim vừa tính đƣợc đó là a.
Chú ý: có thể đề sẽ lừa ở một số bài tập cho ở miền giá trị ta phải xem miền giá trị này nó phải là
khơng liên tục tại 1 điểm thì có thể tìm đƣợc và xét nó liên tục qua a đƣợc. Trƣờng hợp nó có
q 2 điểm khơng liên tục trên miền giá trị coi nhƣ là khơng liên tục và khơng có giá trị a nào
thỏa mãn để x liên tục tại xo.
Ví dụ: Xét sự liên tục của hàm số f(x) = 2x nếu 0  x  1 và f(x) = 2 – x nếu 1  x  2
Qua bài này ta thấy 2 miền xác định của f(x) có q nhiều điểm khơng liên tục vậy nên hàm này
khơng liên tục.
 Những lƣu ý khi giải tốn bằng máy tính:
- Khi tính lim phải dị đi dị lại từ các giá trị 5 đến 10 chữ số, kinh nghiệm bấm từ 8 đến 9
chữ số là ra kết quả chuẩn 100%.
- Khi giải các bài lim lƣợng giác phải đƣa về RAD bằng cách bấm SHIFT 4.
- Đối với một số bài cho kết quả một số vô cùng lớn thì đó là  . Nếu có “ – “ phía trƣớc
là -  , ngƣợc lại khơng có là +  .
- Tính máy tính khơng chuẩn xác 100% với các bài toán lim quá rờm rà quá khó rất nhiều
biểu thức, nhƣng đối với khi thi giữa kì tốn cao cấp 1 thì khả năng bấm đƣợc là 99,99%.
Bài tập ứng dụng
Câu 8[3]. Giới hạn lim ( 1  1 ) bằng
x 0

A.0

x

sin x

B.1
ex 1

C.2

D.4

2

Câu 9[4]. Giới hạn lim
x 0

1  sin 2 x  1

bằng

7


TRƢƠNG TẤN TÀI

A.2

C. 1

 2x  4 
Câu 10[4]. Giới hạn lim 


x  2 x  5



A.1

D.1

C.e3

B.-2

D.

2

13 x

bằng

1

B.

e3

1
2

e3

x x 1
bằng
x 1 ln x  x  1

Câu 11[4]. Giới hạn lim

B.  

A.1

C.+ 
( )

Câu 12[4]. Giá trị của a để hàm số

{

4

Câu 13[1]. Giá trị của a để hàm số ( )
A.2

liên tục tại xo = 0 là

)
C.  3
2

B. 3

A.0

(

D.không tồn tại

{

B.4

D. 3
4

liên tục tại xo = 2 là
C.3

D.5

C.+ 

D. n

C.+ 

D. n

xn 1
Câu 14[5]. Giới hạn lim m

bằng
x 1 x  1
A. m

B.  

n

m

Câu 15[1]. Giới hạn lim sin mx bằng
x 0

sin nx

A. m

B.  

n

m

Câu 16[1]. Giới hạn lim
x 0

A.


m





1  x  n 1  x
bằng
x
B.

n
m

Câu 17[1]. Giới hạn lim
x 0

m


m




n

C.


n




m

D.


n




m

1  x .n 1  x  1
bằng
x
8


TRƢƠNG TẤN TÀI
A.   
m

B.   

n

m

C.   

n

n

D.   

m

n

m

 1
1
1 
Câu 18[1]. Giới hạn lim 
bằng

 ... 
n  1.2
2.3
n(n  1) 


B. 1

A.1

C. 1

D. 

D.2

2

D.3

4

2

ln x
Câu 19. Giới hạn lim 2 bằng
x0

A.0

B.1

IV. TÌM ĐIỂM GIÁN ĐOẠN CỦA HÀM SỐ
Cho x là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y = f(x)


Điểm gián đoạn loại 1: giới hạn trái f ( xo ) và phải f ( xo ) tồn tại và hữu hạn.
+ Nếu f ( xo ) = f ( xo )  xo là điểm khử đƣợc.

+ Nếu f ( xo )



f ( xo )  xo là điểm nhảy. Bƣớc nhảy h = f ( xo ) - f ( xo ) .

Điểm gián đoạn loại 2: không phải loại 1 là loại 2. Một trong hai giới hạn trái phải không
tồn tại hoặc tồn tại nhƣng bằng vô cùng.

Câu 20. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f ( x) 
A.x = 0, loại 2.

B. x 


2

 k , loại 2.

x
và cho biết nó thuộc loại nào
cos x

C. x 


2

 k ,khử đƣợc.

D. x   ,điểm nhảy.

V. MIỀN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
- Xem lại phần kiến thức cấp 3 tìm TXĐ của hàm số . Ở đây chỉ nêu lại các bƣớc làm:
+ Viết tất cả các điều kiện xác định của hàm số ( ví dụ biểu thức dƣới dấu căn bậc 2 phải
lớn hơn hoặc bằng 0, biểu thức dƣới mẫu phải khác 0,…).
+ Giải các bất phƣơng trình.
+ Trong trƣờng hợp có q nhiều tập nghiệm của bất phƣơng trình dùng đƣờng thẳng để
tìm ra MXĐ cuối cùng của hàm số.
Kinh nghiệm: Đối với các bài tốn TXĐ thì khi làm trắc nghiệm cách làm sẽ nhƣ sau sẽ nhanh
hơn nhiều so với cách giải tự luận.
Bƣớc 1. Nhìn vào đáp án xem thử có đáp án nào có loại tại một điểm xo nào khơng và thay điểm
đó vào hàm số. Nếu tại điểm đó khơng xác định ta nhận điểm đó.
Bƣớc 2. Nếu nhƣ khơng có loại điểm xo nào thì thế 2 đầu mút vào để xem có thỏa mãn không,
nếu thõa mãn ta nhận. Điều kiện để nhận TXĐ là khoảng đó phải là khoảng chứ nhiều điểm nhất,

9


TRƢƠNG TẤN TÀI

có nghĩa là TXĐ mình thử đó phải là lớn nhất trong các đáp án. Tránh trƣờng hợp họ có thể cho
đáp án nhiễu là TXĐ con của TXĐ chính của hàm số ta đang xét.

  x 
Câu 21[4]. Tập xác định của hàm số y = arcsin ln   là
  e 
A.[1,e2]

B.[1,e2]\{e}

C.[0,e2]

VI. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
a. Các công thức cần nhớ
[( f ( x))n ]'  n( f ( x))n1. f '( x)
( x n ) '  nx n1
f '( x)
1
( f ( x)) ' 
( x)' 
2 f ( x)
2 x
k'0
(kx) '  k
(u  v) '  u ' v '

(u.v) '  u ' v  v ' u

(sinx) '  cos x

(sinf(x)) '  f '( x).cos x

(cos x) '   sinx

(cos f(x)) '   f '( x).sinx

1
cos 2 x
1

(c otx)' = - 2
sin x

(tanf(x)) ' 

(tanx) ' 

u
u 'v  v 'u
1
1
( )' 
( )'   2
2
v
v
v
v
- Chú ý đạo hàm của hàm lƣợng giác ngƣợc, hàm hyperbolic

(arcsin x) ' 

1

1 x
(sinh( x))  cosh x

2

'

(arccos x) '  

1

1 x
(cosh( x))  sinh x

2

'

D.[1.e]

(arctan x) ' 
(tanh x) ' 

1
1 x2

1
cosh 2 x

f '( x)
cos 2 x
f '( x)
(c otf(x))' = - 2
sin x

(arc cot x) ' 

(coth x) ' 

1
1 x2

1
sinh 2 x

- Một số cơng thức tính ngun hàm cơ bản:
1.

 dx  x  C

2.


 x dx 

3.

 x dx  ln | x | C

4.

 sinxdx  cosx  C
 cosxdx  sin x  C

5.

1  1

x C
 1

1

6.  e x dx  e x  C
7.  a x dx 

ax
C
ln a

1
dx   c otx  C
sin 2 x
1
9. 
dx  tanx  C
cos 2 x
.......

8. 

 Một số cơng thức tính ngun hàm mở rộng:

10


TRƢƠNG TẤN TÀI


 (ax  b) dx 

1

1

1 (ax  b)1
 C (  1, a  0)
a  1

 ax  b dx  a ln ax  b  C (ax  b  0, a  0)
1
dx  eax b  C (a  0)
a
1
 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C (a  0)
1
 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C (a  0)
dx
1
 cos2 (ax  b)  a tg(ax  b)  C (a  0)
dx
1
 sin2 (ax  b)   a cotg(ax  b)  C (a  0)

e

ax  b

- Những dạng bài tập trắc nghiệm cho dạng này vui lịng dùng máy tính bấm khơng có gì phải
nhắc đến cả.
b. Đạo hàm của hàm ngƣợc và đạo hàm của hàm đƣợc cho bởi phƣơng trình tham số
1
1
- Đối với đạo hàm của hàm ngƣợc:
x ' ( y)  '
 '
y ( x) f ( x)
- Đối với đạo hàm của hàm đƣợc cho bởi phƣơng trình tham số:

y ' ( x) 

y ' (t )
x' (t )

Với dạng bài tập này cũng chỉ cần nhớ cơng thức và bấm máy tính nhƣ phần 1.
 
Câu 22. Cho hàm số x = a.cos3t, y = b.sin3t với t   0,  có y’(x) là
 2
b
A. . tan t
a

b
B.  . tan t
a

C.3b.sin2t

D.  cos 2 t. sin t

c. Tìm đạo hàm của hàm ẩn
Phƣơng pháp giải: xem x là một biến, y là một hàm f(x). Khi làm ta đạo hàm hai vế nếu nhƣ cái
biến y đƣợc làm hệ số ta đƣợc qua là f(x) từ đó ta suy ra đƣợc đạo hàm của hàm ẩn y = f(x).
Câu 23. Tìm đạo hàm của hàm ẩn sau: e2x+y = x3 + cosy
A. y ' 

3x 2  2.e 2 x  y
e 2 x  y  sin y

B. y ' 

3x 2  2.e 2 x  y
e 2 x  y  sin y

C. y ' 

3x 2  2.e 2 x  y
e 2 x  y  sin y

D. y ' 

3x 2  2.e 2 x  y
e 2 x  y  sin y
11


TRƢƠNG TẤN TÀI

d. đạo hàm và vi phân cấp cao
1. Đạo hàm cấp cao

y" ( x) 

- Đạo hàm cấp 2 theo tham số t:

[ y ' ( x)]' (t )
x' (t )

- Ứng dụng qui tắc Leibnitz:
n n
( fg ) ( n )   ( ) f ( n k ) g ( k )
k 0 k

n
Trong đó kí hiệu   là hệ số Newton trong khai triển Newton của ( f+g )n
k 
 
Chú ý: Một số đạo hàm cấp cao của một vài hàm số sơ cấp
f(n)(x) = k( k – 1 )…( k – n + 1 )xk – n ( n

- Với f(x) = xk
- Với f(n)(x) = ex

f(n)(x) = ex
(

- Với f(x) = sinx

)(

(

)(
(

- Với f(x) = cosx
- Với f(x) =



) ( )
) ( )

)(

(

1

1 x

- Với f(x) =

k)

)(

( )

( )

) ( )
) ( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

Câu 24. Cho hàm y = f(x) đƣợc xác định bởi phƣơng trình tham số {

. Tại t=1 đạo hàm

y”(x) bằng
B.e2

A.e

Câu 25. Đạo hàm cấp 8 của hàm số y 

A.

x 2  16 x  52
e x 1

B.

C.e3

D.2e2

4  x2
là
e x 1

x 2  16 x  52
e x 1

C.

 x 2  16 x  52
e x 1

D.

 x 2  16 x  52
e x 1

Câu 26. Đạo hàm cấp n của hàm số y = cosx là
A.  sin( x  k


2

)

B. cos( x  k


2

)

C. cos( x  k )

D.  sin( x  k )

12


TRƢƠNG TẤN TÀI

2. vi phân cấp cao
dy  y ' ( x)dx
d

( n)

( y )  y ( n ) .[d ( x)]n

Câu 27. Đạo hàm bậc 2 tại x = 0 của hàm số y = cos2(2x) bằng
B.8[d(x)]2

A.-8

C.-8[d(x)]2

D.8d(x)

e. Ứng dụng đạo hàm tính gần đúng
Cơng thức cần nhớ:
f ( xo  x)  f ( xo )  f ' ( xo ).x
Câu 28. Giá trị gần đúng nhất của arccos(0,51) là
A.1,03

B.1,04

C.1,05

D.1,06

VII. CÔNG THỨC MACLAURIN

(

)

- Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n + 1 tên một lân cận điểm 0 (tức là trên một
khoảng mở chứa điểm 0). Khi đó :

f ' (0)

f (x ) = f (0) +

()

Hoặc R n x =

2!

2

x + ... +

f

(n )

(0) x

n!

n

+ R n (x )

(n + 1)

(qx ) x
(n + 1)!

f

Với R n x =

()

1!

x+

f " (0)

f

n+ 1

, 0 < q < 1 (phần dƣ dạng lagrange)

(n + 1)

(qx ) 1 - q
( )
n!

n

x n + 1 , 0 < q < 1 (phần dƣ dạng Cauchy).

- Công thức Taylor:

f (b ) = f (a ) +

f ' (a )
1!

(b - a ) +

f '' (a )
2!

2

(b - a )

+ ... +

f

(n )

(a ) b - a
( )
n!

n

+

(n + 1)

(c) b - a
( )
(n + 1)!
f

n+ 1

- Áp dụng công thức Taylor viết công thức triển khai của một số hàm số:

x x2
xn
x n+ 1
(1) e = 1 + 1! + 2! + ... + n ! + n + 1 ! eqx
( )
x

(2) ln (1 + x ) = x -

n
x2 x 3
x n+ 1
1
+
- ... + (- 1)
2
3

(n + 1) (1 + qx )n+ 1

13


TRƢƠNG TẤN TÀI

a

(3) (1 + x )

= 1+

a (a - 1)
a (a - 1)... (a - n + 1) n
a
+
+ ... +
x + R n (x )
1!
2!
n!

k- 1
x3 x5
x 2k- 1
(4) sin x = x - 3! + 5! - ... + (- 1) 2k - 1 ! + R 2k (x)
(
)

(5)

2k
k x
x2 x 4 x6
cos x = 1 +
+ ... + (- 1)
+ R
(x )
2! 4 ! 6!
(2k)! 2k- 1

Câu 29. Tìm khai triển Maclaurin của f ( x) 

81
đến cấp 2
x  4x  3
2

A.f(x) = 27 + 36x + 39x2 + o(x2)

B.f(x) = 27 - 36x + 39x2 + o(x2)

C. f(x) = 27 + 36x + 9x2 + o(x2)

D.Ba câu kia sai

VIII. HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Câu 1. C
Câu 2. B

Câu 3. C
Câu 4. B Lấy máy tính thử tại x = 1 thì f(1) = f(-1) =

3

4

Câu 5. D
Câu 6. A ( coi nguyên hàm f(x) là một biến x bình thƣờng và thế vào hàm g(x) )
Câu 7. A ( Đọc phần hƣớng dẫn ta thế 1 ẩn x rồi tìm ẩn y cịn lại và thế ngƣợc lại đáp án để xem
đáp án nào thỏa mãn thì nhận )
Câu 8. lim ( 1  1 ) = lim ( sin x  x ) = lim (
x 0

x

sin x

x 0

x sin x

x 0

cos x  1
 cos x
) = lim (
)=
x 0 cos x  cos x  x. sin x
sin x  x cos x

0
 0 . Chú ý dạng bấm máy tính phải chuyển ra RAD mới ra đáp án chính xác. A
11 0

ex 1

(e x  1).( 1  sin 2 x  1)
x2
Câu 9. lim
 lim
 lim
( 1  sin 2 x  1)  2
2
x 0
x 0
x 0 sin 2 x
sin 2 x
1  sin x  1
2

Vì e e

x2

2

 1  x 2 vì x2  0 khi x  0 .A
lim (

x 
2 x  4 13 x
Câu 10. lim (
)
e
x  2 x  5

2 x4
1)(13 x )
2 x 5

lim

e

13 x

x   2 x 5

e

3
2



1
e3

.B

14


TRƢƠNG TẤN TÀI

x x 1 L
x x (1  ln x) 1
 lim
( ) khơng tồn tại vì khơng xét đƣợc “ + “ hay “ – “ . D
Câu 11. lim
x 1 ln x  x  1
x 1
1
0
1
x
1

Câu 12. Ta có f(0) = arcos( 1 ) = 2a
2

3

Mặt khác,

1
1
e x  1  x 0 L'
ex 1

0 L
ex
1
lim f ( x)  lim (  x )  lim
( )  lim x
( )  lim x

x
x
x
x
x 0
x 0 x
2
e  1 x0 x(e  1) 0 x0 e  1  x.e 0 x0 e  e  x.e
'

Do hàm số liên tục tại xo = 0  2a  1  a  3 .D
3
2
4

x2  4
 lim ( x  2)  4  a .B
x 2 x  2
x 2

Câu 13. Ta có lim
Câu 14. D
Câu 15. A

Câu 16. A
Câu 17. B

 1
1
1 
1 1 1
1
1
1
Câu 18. lim 

 ... 
]  lim (1 
)  1 .A
 = lim[1     ...  
n  1.2
2.3
n(n  1)  n
2 2 3
n n  1 n
n 1

Câu 19. A. ( Chú ý câu này khi nhập chúng ta chỉ cần nhập vào máy tính ở bƣớc 2 là 0,1 mới cho
đƣợc đáp án đúng ).
Vậy kết luận nhập X là một số 0,…1 trong đó … thuộc đoạn từ 0 đến 12 số 0.
Câu 20.A
Câu 21. Điều kiện xác định của hàm số là {

.A

Câu 22. B
Ta có x’(t) = -3a.sint.cos2t, y’(t) = 3.b.cost.sin2t  y' ( x) 

b 1
b
.

. tan t
a cot t
a

Chú ý: Khi giải trắc nghiệm dùng phương pháp bấm máy tính thì phải chú ý a, b chọn tùy ý
nhưng t thì thuộc một cái khoảng xác định đề cho và ta chỉ được phép thử t trong khoảng đó mà
thơi.
Câu 23. B
15


TRƢƠNG TẤN TÀI
( e2x+y )’ = ( x3 + cosy )’

 ( 2x + y )’.e

2x + y

= 3.x – y’.siny  ( 2 + y’ ).e
2

2x + y

3x 2  2.e 2 x  y
= 3.x – y .siny  y '  2 x  y
.
e
 sin y
2

’

Câu 24. D

2e 2t
y ' ( x) 
ln t  1

Ta có:

1
4.e 2t (1  ln t )  .2.e 2t
t
2
t 1
[ y ' ( x)](t )
(1  ln t )
y" ( x) 

 2e 2
x' (t )
1  ln t

Vậy nên:

Phương pháp giải trắc nghiệm:
Bƣớc 1: Phải tính đƣợc y’(x) “ Yêu cầu tính bằng tay “

d
( y ' ( x)) x t
dx
Bƣớc 2: Dùng máy tính để tính nhanh y”(x) =
d
( x(t )) x t
dx
Phím

d
ở gần phím CALC ở phần bấm giới hạn.
dx

Câu 25. D
Ta có y = (4 – x2).e1 – x và (4 – x2)(k) = 0 với k

3 nên

1
y (8)  C80 (4  x 2 ).(e1 x ) (8)  C8 (4  x 2 ) (1) .(e1 x ) 7  C82 (4  x 2 ) ( 2) .(e1 x ) 6

= (4 – x2).(-1)8.e1 – x + 8.(-2x).(-1)7.e1-x + 28.(-2).(-1)6.e1-x = (4 – x2 + 16x – 56).e1-x
=

 x 2  16 x  52
e x 1

Câu 26. B
Câu 27. C
Ta có y’ = -2.sin4x

y” = -8.cos4x

d 2 y(0)  y" (0).(dx) 2  8. cos 0.(dx) 2  8.[d ( x)]2

Câu 28. B
Phƣơng pháp thi tự luận cuối học kì:
Đặt f(x) = arccosx

( )

√

. Chọn x0 = ,

. Ta có
16


TRƢƠNG TẤN TÀI

arccos(0,51) = f(0,51) = f(x0 +

)

f(x0) + f’(x0).

= 1,04.

Phƣơng pháp thi trắc nghiệm:
Ta chỉ cần chọn xo và x rồi nhập và máy tính bấm ở phần f’(xo) tính tƣơng tự nhƣ phƣơng tính
nhanh đạo hàm bằng bấm máy tính phía trên đã giới thiệu.
Câu 29. A Thực hiện đạo hàm 2 lần liên tiếp và áp dụng công thức Maclaurin để suy ra kết quả.
IX. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] “ Toán học cao cấp – tập 2 “ , Nguyễn Đình Trí ( chủ biên ), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ
Quỳnh, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
[2] “ Giải tích 1 “ , Học viện bƣu chính viên thơng.
[3] “ Đề thi tốn cao cấp B1 “ lớp CNTT , năm 2010-2011.
[4] “ Đề thi toán cao cấp B1 – khoa khoa học “, Đại học nơng lâm TP.HCM, ngày 21-8-2013.
[5] “ Đề thi tốn cao cấp A1 giữa kì – 2012 “ , Đại học Tôn Đức Thắng.

17