BTL GT2 cô xuân anh latex by TNM

Chủ đề 2

Nhóm 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2
ĐỀ TÀI 2
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Xn Anh

Nhóm GT2-L06-02
Nguyễn Huy Hồng
Trần Ngọc Minh
Nguyễn Vĩ Khang
Nguyễn Văn Thư

MSSV:.
2113405.
2111773.
2011372.
2114959.

TPHCM, tháng 5 năm 2022
Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 1


Mục lục

0.1

Nền tảng hỗ trợ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vonfram Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nội dung đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.1 Cho khối V trong không gian Oxyz giới hạn bởi 3 mặt cong: z = x2 + y 2 , z = 2,
y = −x2 , phần ứng với y ≤ −x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.2 Trình bày khái niệm mặt định hướng và cách xá định vector pháp của mặt định
hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.1 Tích phân bội 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.2 Tích phân mặt loại 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phần báo cáo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.1 Vẽ hình khối V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.2 Tính tích phân: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.1
0.1.2

0.2

0.3

0.4

0.5
0.6

2

6
6
6
6
6
7
7
7
7
13
13
13
14
14
14


Chủ đề 2

Nhóm 2

BẢNG PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC

MSSV

Tên

Cơng việc

Hồn thành

2113405 Nguyễn Huy Hồng Tìm hiểu, vẽ hình trên Geogebra

100%

2111773

Trần Ngọc Minh

Tổng hợp, gõ Word, trình bày

100%

2011372

Nguyễn Vĩ Khang

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết

100%

2114959

Nguyễn Văn Thư

Kiểm tra, sửa lỗi

100%

Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 3


Chủ đề 2

Nhóm 2

Lời cảm ơn
Chúng em xin chân thành cảm ơn cơ Nguyễn Thị Xn Anh đã tận tình giúp đỡ, giảng dạy
và định hướng chúng em trong cách tư duy và phát triển lối làm việc khoa học. Đó là những góp ý
quý báu, là nền tảng thực hiện để chúng em có thể hồn thành tốt bài tập lớn này. Bài báo cáo là
kết quả của sự nổ lực của tất cả thành viên trong nhóm tuy nhiên khơng thể tránh khỏi sai sót, mong
được sự thơng cảm của q thầy cơ. Kính mong sự chỉ dẫn và đóng góp của cơ để chúng em có thể
hồn thiện bản thân mình hơn. Chúng em xin chân thành cảm ơn

Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 4


Chủ đề 2

Nhóm 2

Lời nói đầu
Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta hay tiếp xúc hoặc quan sát thấy những vật thể có dạng
hình khối được giới hạn bởi các mặt phẳng chẳng hạn như các loại hộp đựng, tủ quần áo, các tịa
nhà hay các cơng trình kiến trúc khác... Để tìm hiểu cách tạo hình cũng như diện tích và thể tích của
chúng thì nhóm chúng em, được sự hướng dẫn của giảng viên là cô Nguyễn Thị Xuân Anh đã nghiên
cứu và tìm hiểu về đề tài. Qua đề tài lần này, chúng ta sẽ biết được cách dựng hình bằng ứng dụng
Geogebra, cách ứng dụng các kiến thức đã học vào trong thực tế. Do kiến thức và hiểu biết của nhóm
chúng em có hạn, đồng thời trong q trình thực hiện khơng thể tránh khỏi những sai xót có thể dẫn
đến kết quả thiếu tính chính xác tuyệt đối, mong nhận được sự góp ý chân thành của cô.

Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 5


Chủ đề 2

Nhóm 2

0.1

Nền tảng hỗ trợ

0.1.1

Geogebra

Geogebra là một phần mềm hình học động hỗ trợ giảng dạy trong trường học. Tác giả Markus
Hohenwarter khởi động dự án từ năm 2001 tại trường đại học Salzburg và hiện đạng tiếp tục phát
triển tại trường đại học Florida Atlantic. Geogebra được viết trên Java và vì thế phần mềm đa nền

0.1.2

Vonfram Alpha

Wolfram|Alpha là một máy trả lời do Wolfram Research phát triển. Đây là một dịch vụ trực tuyến
có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi nhập vào trực tiếp bằng cách tính tốn câu trả lời từ các dữ liệu có
cấu trúc, chứ khơng chỉ cung cấp một danh sách các tài liệu hoặc trang có web có thể chứa câu trả
lời như cách máy tìm kiếm thường làm. Website này được Stephen Wolfram công bố vào tháng 3 năm
2009, và được phát hành cho công chúng ngày 15 tháng 5 năm 2009

Ngồi chức năng là mơt cỗ máy tìm kiếm, Wolfram Alpha cịn là một phần mềm giải tốn online
(web giải toán). WolframAlpha cho phép giải một lượng phong phú các dạng toán từ đơn giản đến
phức tạp, từ tốn phổ thơng đến tốn ở bậc đại học: Tính tốn cơ bản, Vẽ đồ thị, Đại số, Giải tích
(thực và phức), Hình học, Lí thuyết số, Tốn rời rạc, Tốn ứng dụng, Logic & Lí thuyết tập hợp, Xác
suất & Thống kê, Kinh tế lượng.

0.2

Nội dung đề tài

0.2.1

Cho khối V trong không gian Oxyz giới hạn bởi 3 mặt cong: z =
x2 + y 2 , z = 2, y = −x2 , phần ứng với y ≤ −x2

• Vẽ hình khối V (1đ)

Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 6


Chủ đề 2

Nhóm 2

(x − 2y + z)dydz + (2xy + z)dzdx + (z 2 + y)dxdy (1đ)

• Tính tích phân
S

0.2.2

Trình bày khái niệm mặt định hướng và cách xá định vector pháp
của mặt định hướng.

1
1
Áp dụng: Tìm vector pháp của mặt S ở trên tại các điểm M (0; −1; 2), N (0; −1; 1), P ( √ ; − ; 1)
2 2

0.3

Cơ sở lý thuyết

0.3.1

Tích phân bội 3:

Định nghĩa:
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên miền đóng và bị chặn V trong khơng gian Oxyz. CHia V thành
n phần không giẫm lên nhau V1 ,V2 ,...,Vn có thể tích tương ứng là ∆V1 ,∆V2 ,...,∆Vn
Trong mỗi miền Vk lấy 1 điểm bất kì Mk (xk , yk , zk )
n

Lập tổng tích phân: Sn =

f (xk , yk , zk )∆Vk
k=1

Cho max d(Vk ) → 0, nếu tổng trên tiến đến giới hạn hữu hạn S không hpuj thuộc vào cách chia miền
V và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f (x, y, z) trên
f (x, y, z)dV

miền V , kí hiệu là :
V

Đồng thời, ta gọi hàm f (x, y, z) này là hàm khả tích trên miền V
Vậy:
n

f (x, y, z)dV =
V

lim
maxd(Vx )→0

f (xk , yk , zk )∆Vk
k=1

Chú ý:
Vì tích phân khơng phụ thuộc vào cách chia miền V và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S
được gọi là tích phân bội ba của hàm f (x, y, z) trên miền V kí hiệu là: ∆V = ∆x∆y∆z = dxdydz
V

0.3.2

f (x, y, z)dxdydz

f (x, y, z)dV =

Vì vậy ta thường dùng kí hiệu :

V

Tích phân mặt loại 2:

1. Mặt định hướng
(a) Khái niệm mặt định hướng
• Mặt S được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếu tại điểm M bất kì của S xác định
được vector pháp tuyến đơn vị n(M ) có 3 thành phần là các hàm liên tục
• Mặt 2 phía S có phương trình F (x, y, z) = 0 thì phương trình tiếp diện tại M là:
Fx (M )(x − xM ) + Fy (M )(y − yM ) + Fz (M )(z − zM ) = 0
khi đó tại mỗi điểm M trên mặt S có 2 pháp vector ngược hướng nhau
nS (M ) = + F (M ) = (Fx (M ), Fy (M ), Fz (M )), nS (M ) = − F (M ) = −(Fx (M ), Fy (M ), Fz (M
• Trong trường hợp đặc biệt nếu mặt S có phương trình z = z(x, y) thì ta đặt F (x, y, z) =
z − z(x, y)
Khi đó mặt S có 2 pháp vector:
nS (M ) = + F (M ) = (−zx (M ), −zy (M ), 1), nS (M ) = − F (M ) = (zx (M ), zy (M ), −1)

Nếu pháp vector tạo với tia Oz góc nhọn thì tọa độ z của pháp vector dương, tương
ứng với
nS (M ) = + F (M ) = (−zx (M ), −zy (M ), 1)
Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 7


Chủ đề 2

Nhóm 2

Ngược lại Nếu pháp vector tạo với tia Oz góc tù thì tọa độ z của pháp vector âm, tương
ứng với
nS (M ) = − F (M ) = (zx (M ), zy (M ), −1)
• Việc chọn một trong hai pháp vecto được gọi là định hướng mặt S, phía của mặt S là
phía mà khi đó ta đứng lên phía ấy, vecto pháp vừa chọn có hướng từ chân đến đầu

Hình 1: Mặt định hướng S có 2 phía trong và ngồi mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 9, ứng với 0 ≤ z ≤ 3

Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 8


Chủ đề 2

Nhóm 2

Hình 2: Mặt định hướng S có 2 phía trong và ngồi phần mặt Paraboloid z = x2 +y 2 , ứng với 0 ≤ z ≤ 4

(b) Vector pháp đơn vị:
Mặt 2 phía S có phương trình F (x, y, z) = 0, tại điểm M bất kì của S cũng có 2 vector
F (M )
(1)
pháp đơn vị ngược chiều nhau là ±
| F (M )|
Khi định hướng mặt S, ta sẽ chọn 1 trong 2 vector trên
Gọi α ,β ,γ lần lượt là góc tạo bởi vector chỉ phương Ox,Oy,Oz với pháp vector này, ta
được:
n(1, 0, 0)
n(0, 1, 0)
n(0, 0, 1)
cos α =
, cos β =
, cos γ =
|n|
|n|
|n|
n = (cos α, cos β, cos γ) (2)
Như vậy khi định hướng mặt S tực là ta chỉ chọn 1 trong 2 vector pháp tức là ta sẽ phải
chọn dấu ” + ” hay ” − ” trong đẳng thức (1) để bằng vector ở đẳng thức (2)
(c) Cách cho mặt định hướng:
Khi cho hướng của 1 mặt 2 phía S thì người ta có thể cho hứng của mặt theo 1 trong các
cách sau:
π
π
• Hướng trên (hoặc dưới) theo hướng trục Oz.Ta sẽ có góc: γ < (hoặc γ > )
2
2
π

π
• Hướng trái (hoặc phải) theo hướng trục Oy.Ta sẽ có góc: β > (hoặc β < )
2
2
π
π
• Hướng trước (hoặc sau) theo hướng trục Ox. Ta sẽ có góc: α < (hoặc α > )
2
2
• Hướng trong (hoặc ngồi) nếu là đường cong kín
Ta sẽ xác định 1 trong 3 góc là nhọn hay tù tùy vào từng mặt cong
Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 9


Chủ đề 2

Nhóm 2

(d) Cách xác định vector pháp của mặt định hướng:
Cho mặt S với phương trình F (x, y, z) = 0
• Tính

F = (Fx , Fy , Fz )

• Xác định 1 trong 3 góc α,β, γ xem là góc nhọn hay từ để suy ra cosin tương ứng là
dương hay ấm và so sánh với dấu tọa độ tương ứng trong vector gradient
• Nếu 2 thành phần tương ứng của vector pháp và vector gradient cùng dấu thì 2 vector
cùng dấu tức là :

+ F
n=
Ghi chú: Ta chia 2 trường hợp khi tính vector pháp đơn vị
| F|
1. Cho hướng của mặt S là trên hoặc dưới (trái hoặc phải, trước hoặc sau) thì khơng
cần vẽ hình ta cungz xác định được 1 trong 3 góc α, β, γ xem góc nào là nhọn
hay tù
2. Cho hướng của mặt S là trong hoặc ngồi thì cần vẽ hình 1 phần mặt cong để
xác định 1 trong 3 góc α,β, γ xem là góc nhọn hay tù
(e) Mở rộng:
• Mặt khơng định hướng
Ngồi ra mặt định hướng cịn có mặt khơng định hướng (mặt 1 phía). Ví dụ mặt Mobius
Mobius có thể được tạo bằng cách sau:
Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 10


Chủ đề 2

Nhóm 2

Lấy một hình chữ nhật ABCD (bằng giấy) sau đó vặn cong hình chữ nhật để hai đầu
giáp nhau (điểm A trùng điểm C, điểm B trùng điểm D). Giả sử pháp véc tơ tại điểm
M là . Dịch chuyển liên tục dọc theo lá (không vượt quá biên) ta sẽ quay lại điểm xuất
phát M ban đầu nhưng lúc này hướng của pháp véc tơ có hướng ngược lại. Pháp véc tơ
tại một điểm M không thể có hai hướng, do đó hàm pháp véc tơ khơng liên tục trên mặt
Mobius, vì nếu liên tục thì sau khi dịch chuyển một cách liên tục, quay về vị trí M ban
đầu thì pháp véc tơ phải trùng với pháp véc tơ ban đầu. Do đó, mặt Mobius là mặt một phía.

Hình 3: Mặt Mobius là mặt một phía
2. Tính tích phân mặt loại 2 (bằng cách đưa về tích phân mặt loại 1)
• Giả sử S : z = z(x, y) với vector pháp đơn vị vecn hướng lên trên. Khi đó, phương trình
của đường cong S là F (x, y, z) = z − z(x, y) = 0 và
1
−zx , −zy , 1 = (cos α, cos β, cos γ)
n=
2
2
1 + (zx ) + zy
2

1 + (zx )2 + zy dxdy

dS =
I=

(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS
S


=

−zx

P

2

S

1 + (zx ) + zy


=

P
Dxy

=

2

1 + (zx )2 + zy

−zy

+Q

2

1 + (zx ) + zy

−zx
2


2

+R

2

1 + (zx ) + zy

1 + (zx )2 + zy

2

 dS


−zy

+Q

1

2

+R

1
1 + (zx )2 + zy

2



1 + (zx )2 + zy

P (−zx ) + Q(−zy ) + R dxdy
Dxy

• Nếu vector pháp tuyến đơn vị n của mặt cong S hướng xuống dưới thì phương trình của
mặt cong S là:
F (x, y, z) = z(x, y) − z = 0 và
1
zx , zy , −1 = (cos α, cos β, cos γ)
n=
2
1 + (zx )2 + zy
2

1 + (zx )2 + zy dxdy

dS =
I=

(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS
S

Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 11


Chủ đề 2

Nhóm 2


zx

P

=

2

S

1 + (zx ) + zy

2

+Q

2

1 + (zx ) + zy


zx

P

=

1 + (zx )2 + zy

Dxy

zy

2

+Q

2

1 + (zx )2 + zy

−1

+R

2

1 + (zx ) + zy

zy
2



+R

2

 dS



−1
1 + (zx )2 + zy

2



1 + (zx )2 + zy

P (zx ) + Q(zy ) − R dxdy

=
Dxy

3. Công thức Ostrogratxki - Gauss
Cho S là mặt kín. là vật thể được bao quanh bởi S. Nếu P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) và
các đạo hàm riêng của nó liên tục trên miền thì:
∂P
∂Q ∂R
P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ±
+
+
dxdydz
∂x
∂y
∂z
S
Dấu "+" nếu hướng của pháp vector với mặt cong lấy hướng ra phía ngồi vật thể , dấu "-"nếu

hướng của pháp vector với mặt cong lấy hướng ra phía trong
Lưu ý: Nếu mặt cong S khơng kín, có thể bổ sung thành mặt cong S kín để áp dụng cơng thức
Ostrogratxki - Gauss, rồi trừ đi phần bổ sung.
xdydz + ydzdx + zdxdy trong đó S là phía ngồi của mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 9

Ví dụ 1: Tính
S

Lời giải: Vì S là mặt kín nên áo dụng cơng thức Ostrogratxki - Gauss ta được:
3dxdydz = 3V = 4π.32 = 36π

xdydz + ydzdx + zdxdy =
S

V
3

x dydz + y dzdx + z 3 dxdy trong đó S là mặt phía trong của mặt cầu

Ví dụ 2: Tính

3

S

x2 + y 2 + z 2 = 4
Lời giải: Vì S là mặt kín nên áp dụng cơng thức Ostrogratxki - Gauss ta được:
3(x2 + y 2 + z 2 )dxdydz
V


x = r sin θ cos ϕ
0 ≤ ϕ ≤ 2π
Đặt y = r sin θ sin ϕ ⇒ 0 ≤ θ ≤ π , J = −r2 sin θ


z = r cos θ
0≤r≤2
2π
π
2
384
π
I = −3
dϕ
dθ
r4 sin θdr =
5
0
0
0

Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 12


Chủ đề 2

Nhóm 2

0.4

Phần báo cáo

0.4.1

Vẽ hình khối V

0.4.2

Tính tích phân:
(x − 2y + z)dydz + (2xy + z)dzdx + (z 2 + y)dxdy

I=
S

Vì S là mặt phía bên ngồi của khối V nên áp dụng công thức Ostrogratxki - Gauss ta được:
(1 + 2x + 2z)dxdydz

I=

(*)

V

Để tích tích phân (*) 1 cách nhanh chóng và chính xác ta sử dụng Vonfram Alpha
• Đầu tiên cần tìm cận cho x, y, z:
x2 + y 2 = 2
z=2
√

= x, y| − 1 ≤ x ≤ 1, − 2 − x2 ≤ y ≤ −x2 |

Lấy giao tuyến của mặt z = x2 + y 2 và z = 2 ta được
Chiếu khối V lên Oxy ta được miền Dxy

• Sau đó thực hiện tính tốn trên Vonfram Alpha ta được:
(1 + 2x + 2z)dxdydz ≈ 7.43616

I=
V

Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 13


Chủ đề 2

0.4.3

Nhóm 2

Áp dụng

1 1
Tìm vector pháp của mặt S ở trên tại các điểm M (0; −1; 2), N (0; −1; 1), P ( √ , ; 1)
2 2
Lời giải: Dễ dàng kiểm tra được M (0; −1; 2) nằm trên mặt z = 2, N (0; −1; 1) nằm trên mặt z = x2 +y 2 ,
1 1
P ( √ , ; 1) nằm trên mặt y = −x2 và 3 điểm này đều thuộc mặt S

2 2
• Với điểm M (0; −1; 2) thuộc mặt z = 2 ta có F (x, y, z) = z − 2 = 0
π
F = (0; 0; 1). Vì S là mặt biên phía ngồi của khối V nên γ < suy ra cos γ > 0. Điều này có
2
nghĩa tọa độ z của vector pháp và vector gradient cùng dấu.
F
Vậy n = +
= (0; 0; 1) ⇒ n(M ) = (0; 0; 1)
| F|
• Với điểm N (0; −1; 1) thuộc mặt z = x2 + y 2 ta có F (x, y, z) = z − x2 − y 2 = 0
π
F = (−2x; −2y; 1). Vì S là mặt biên phía ngồi khối V nên γ > suy ra cos γ < 0. Điều này
2
có nghĩa tọa độ z của vector pháp và vector gradient ngược dấu.
F
(2x, 2y, −1)
1
Vậy n = −
=
⇒ n(N ) = √ (0; −2; −1)
| F|
5
4(x2 + y 2 ) + 1
1 1
• Với điểm P ( √ , ; 1) thuộc mặt y = −x2 ta có F (x, y, z) = x2 + y = 0
2 2
π
F = (2x; 1; 0). Vì S là mặt biên phía ngồi khối V nên 0 < β < suy ra cos β > 0. Điều này
2

có nghĩa tọa độ y của vector pháp và vector gradient cùng dấu.

0.5

Lời kết

Thông qua việc làm báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2, chúng em đã trau dồi được cho mình những kiến
thức mới, cũng như đào sâu các kiến thức đã học như Tích Phân Bội, Tích Phân Bội Ba, Tích Phân
Mặt, Tích Phân Đường,. . . và thấy được sự hữu ích cũng như tầm quan trọng của chúng trong việc
tính tốn các thơng số phức tạp. Bên cạnh đó, chúng em cũng nâng cao cho bản thân các kĩ năng về
việc tự học, tự tìm hiểu thơng tin, làm việc nhóm, soạn thảo và hơn cả là biết ứng dụng các phần
mềm như Matlab, Geogebra, Vonfram Alpha,. . .

0.6

Tài liệu tham khảo

[1. ] Nguyễn Đình Huy (2018) Giáo trình Giải tích 2, NXB Đại học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh.
[2. ] Th.S Nguyễn Thị Xuân Anh Slide bài giảng Giải tích 2
[3. ] T.S Lê Xuân Đại Bài giảng điện tử Giải tích 2.
[4. ] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole.
[5. ] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole.
[6. ] />[7. ] />
Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 14


Chủ đề 2

Nhóm 2

ơ đồ khối".png ơ đồ khối".pdf ơ đồ khối".jpg ơ đồ khối".mps ơ đồ khối".jpeg ơ đồ khối".jbig2 ơ đồ
khối".jb2 ơ đồ khối".PNG ơ đồ khối".PDF ơ đồ khối".JPG ơ đồ khối".JPEG ơ đồ khối".JBIG2 ơ đồ
khối".JB2
Hình 4: Sơ đồ khối của hệ thống

Latex by Trần Ngọc Minh

Trang 15