Bài toán về lăng trụ xiên LTĐH

Bài 04: Lăng trụ xiên – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 1 of 2


BÀI 04: LĂNG TRỤ XIÊN
1. Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc
của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và
vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo 1 thiết diện có diện tích là
2
3
8
a
. Tính thể tích hình lăng trụ.
Giải:
• Xác định thiết diện: Trong (A’B’BA) hạ
BH
⊥
AA’ khi đó ta thấy:
' ; AA '
A O BC AO BC BC
⊥ ⊥ ⇒ ⊥

Mà
AA '; AA ' AA '
BH BC CH
⊥ ⊥ ⇒ ⊥

Vậy thiết diện của (P) với lăng trụ chính là tam
giác HBC và
1

.
2
S HM BC
=
(M là trung
đ
i
ể
m
c
ủ
a BC).
•

Ta có:
2
1 3 3
.
2 8 4
a a
S HM a HM
= = ⇒ =

và
2 2
2 2
3 7
16 4 4
a a a
CH BH HM CM

   
= = + = + =
   
   

Đặt A’A = A’B = x
2
2
2 2
7 2
.AA'=AB. ' . .
2 4 4 3
AB a a a
HB A B x a x x
 
⇒
− ⇔ = − ⇔ =
 
 

2 2
2 2
4 3
' AA '
9 9 3
a a a
h A O AO
⇒ = = − = − =

2 3

3 3
.
3 4 12
a a a
V Bh
⇒ = = =

2.
Ví dụ 2:
Cho l
ă
ng tr
ụ
xiên ABC.A’B’C’,
đ
áy ABC là tam giác
đề
u n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn tâm O.
Hình chi
ế
u c
ủ
a C’ lên (ABC) là tâm O. Kho
ả

ng cách gi
ữ
a AB và CC’ là d và s
ố

đ
o nh
ị
di
ệ
n c
ạ
nh
c
ạ
nh CC’ là
2
φ
. Tính th
ể
tích l
ă
ng tr
ụ
theo d và
φ


Giải:
Gọi I là trung điểm của AB

(
)
' '
AB COC AB CC
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒
Qua AB dựng mặt phẳng vuông góc
với CC’ tại K
IK d
⇒ =
là đoạn vuông góc chung của AB và CC’.
Bài 03: Lăng trụ biết góc giữa 2 mặt phẳng – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2
tan
φ tan φ 2 2 tan φ
IB IK d AB IB d
= = ⇒ = =
.
3 2 2
3 tan
φ 3 tan φ
2 3 3
CI AB d OC CI d= = ⇒ = =

(
)
2 2 2 2 2 2
3 tan
φ 1 3 tan φ 1
CK CI IK d CK d

= − = − ⇒ = −

2
' 2 3 tan
φ
' '
3
3tan
φ 1
OC OC d
CKI COC OC
CK IK
⇒ = ⇒ =
−
 ∼

3 3
2
2 3 tan
φ
. '
3 tan
φ 1
ABC
d
V S OC⇒ = =
−


3.

Ví dụ 3: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên
ABB’A’ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên (ACC’A’) hợp với
đáy góc nhị diện có số đo
(
)
0 0
α 0 α 90
< <
.
a) CMR :
'
α
A AB
=


b) Tính V lăng trụ.
Giải:
a) Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
' '
' ' '
'
ABB A ABC
ABB A ABC AB A H ABC

A H AB H AB
 ⊥

∩ = ⇒ ⊥


⊥ ∈


⇒
A’H là đường cao của lăng trụ.
Mặt khác
(
)
( )
AA '
'/
ABC
AC AH gt
AC
AH hcAA
 ⊥

⇒ ⊥

=


(ĐL 3 đường vuông góc)
Vậy góc

'
A AH

là góc phẳng của nhị diện
(
)
(
)
(
)
' ' ; ; 'ABB A AB ABC A AB
⇒
=

α

b)
2
1
. ' . . ' . '
2 2
ABC
a
V S A H AB AC A H A H
= = =


Trong tam giác AA’H ta có:
3
1

A'H=AA 'sin sin
2
V a⇒ =
α α

====================Hết==================


Giáo viên: Trịnh Hào Quang

Nguồn:

Hocmai.vn