Một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN - TIN
-----------------------

NGUYỄN THỊ ĐỨC

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán học

Phú Thọ, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN - TIN

-----------------------

NGUYỄN THỊ ĐỨC

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. TRẦN ANH TUẤN

Phú Thọ, 2018

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài khố luận
Trong những năm gần đây, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết kỹ
thuật số và ứng dụng của nó trong khoa học cũng như trong cuộc sống hàng
ngày mà lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng của nó đã
thu hút được rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học trong và
ngồi nước, cũng như các thầy, cơ giáo và các bạn sinh viên của các trường
Đại học, Cao đẳng trên cả nước.
Phương trình sai phân tuyến tính khơng chỉ có ứng dụng trong Tốn
học thuần t mà cịn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học
như: Sinh học, Kinh tế, Hóa học,… Phương trình sai phân tuyến tính khơng
phải ở bậc Đại học hay cao hơn Đại học mới xuất hiện mà phương trình sai
phân đã xuất hiện ở bậc Trung học phổ thông cũng như trong các kì thi học
sinh giỏi Tốn thơng qua những bài tốn hay và khó về dãy số, giới hạn, tích
phân,… được cho dưới dạng một phương trình sai phân tuyến tính hay sử
dụng phương trình sai phân tuyến tính để giải. Qua đó ta thấy phương trình
sai phân tuyến tính cịn có cả ứng dụng trong giải các bài tốn sơ cấp để phục
vụ cho việc giảng dạy Toán học phổ thơng. Phương trình sai phân và ứng
dụng của nó rất quan trọng, nó khơng những góp phần giải quyết các bài tốn
dãy số mà cịn giúp giải một số bài tốn khác như: phương trình hàm, đa thức,
tích phân,…
Chính vì vậy mà nhiệm vụ nghiên cứu những ứng dụng của phương
trình sai phân tuyến tính đã được rất nhiều các thầy, cô giáo và các nhà khoa
học trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Tuy nhiên đây vẫn là một nhiệm vụ
cấp thiết và quan trọng cần được nghiên cứu, tìm tịi hơn nữa. Việc tổng hợp

có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân tuyến tính và tổng
hợp một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính sẽ giúp mọi người
có thêm tài liệu để nghiên cứu về phương trình sai phân tuyến tính, để từ đó


2

mở rộng các ứng dụng đó trong thực tiễn giảng dạy, đưa những ứng dụng của
khoa học vào đời sống. Đó chính là những lí do em chọn nghiên cứu đề tài
khoá luận “ Một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính ”.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
2.1. Ý nghĩa khoa học
Khoá luận nêu được một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến
tính trong Tốn học minh họa qua các ví dụ cụ thể và nêu một số ứng dụng
của phương trình sai phân tuyến tính trong Sinh học và Kinh tế.
2.2. Ý nghĩa thực tiễn
Khoá luận tạo điều kiện cho việc dạy và học Toán tốt hơn, đạt kết quả
cao hơn và là tài liệu tham khảo cho thầy cô và các bạn sinh viên ngành Sinh
học, Kinh tế.
3. Mục tiêu khoá luận
Minh họa một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong
Tốn học thơng qua các ví dụ cụ thể và nêu một số ứng dụng của phương
trình sai phân trong Sinh học và Kinh tế.


3

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐẠT ĐƯỢC

CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

1.1. Dãy số, hàm lưới và sai phân
1.1.1. Dãy số
Định nghĩa 1.1
*



Mỗi hàm số u xác định trên tập (hay tập

*

Cho hàm số u :



(hay u :

) xác định bởi un  u  n  .
) được gọi là một dãy số vô hạn,

gọi tắt là dãy số. Kí hiệu là un  hay  un  .
Như vậy ta có thể xem dãy số là một hàm đối số tự nhiên n .
Dãy  un  xác định trên tập có dạng khai triển là: u1 , u2 ,..., un ,...
Ví dụ 1.1: Dãy số tự nhiên xác định bởi un  n, n  .
Dạng khai triển là  un  : 0,1,2,3,..., n .
Ví dụ 1.2: Dãy số điều hoà xác định bởi un 
Dạng khai triển là  un  :

1

, n 
2n

*

.

1 1 1
1
, , ,..., ,...
2 4 6
2n

1.1.2. Hàm lưới
Định nghĩa 1.2
Gọi các đường lưới là các đường thẳng song song với các trục toạ độ bị
hạn chế bởi miền D  0  x  1, 0  t  T  trên hệ trục Oxt . Khi ấy:
Các đường thẳng song song với trục Ot có phương trình: x  xm  mh .
Trong đó: m  0,1, 2,..., M ; Mh  1 .
Các đường thẳng song song với trục Ox có phương trình: t  tn  n .
Trong đó: n  0,1,..., N ; N  T .
Ta gọi: h là bước lưới theo không gian,  là bước lưới theo thời gian.
Giao điểm của các đường lưới x  xm và t  tn được gọi là điểm lưới  m, n  .


4

Tập hợp các điểm lưới  m, n  được gọi là lưới, kí hiệu là h .
Hàm u  x, t  tại điểm lưới  m, n  có giá trị u  mh, n  được kí hiệu là umn

 

Tập hợp umn

được gọi là hàm lưới.

1.1.3. Sai phân
Định nghĩa 1.3
Sai phân hữu hạn cấp một của hàm số x  n  là hiệu xn1  xn , kí hiệu là
xn .

Vậy: xn  xn1  xn .
Định nghĩa 1.4
Sai phân hữu hạn cấp k của hàm số  xn  là sai phân của sai phân cấp

 k  1

của hàm số  xn  (với k  2 ), kí hiệu là  k xn .

Vậy:  k xn  ( k 1 xn )   k 1 (xn )   k 1 xn1   k 1 xn .
* Các tính chất:
Tính chất 1.1
Mọi sai phân đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số.
k

Công thức:  ( k ) xn   (1)i cki xn k i , (với cki 
i 0

k!
).

i !(k  i )!

Tính chất 1.2
Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính
Cơng thức:  k  (axn  byn )  a  k  xn  b k  yn , (với a, b  , k  1,2,... )
Tính chất 1.3
Sai phân cấp k của đa thức bậc m là:
i) Đa thức bậc m  k nếu k  m
ii) Hằng số nếu k  m
iii) Bằng 0 nếu k  m
Tính chất 1.4
N

  k  xn   k 1 xN 1   k 1 xi (với k  1,2,... )
n i


5
N

Đặc biệt khi k  1 , ta có:

 xn  xN 1  xi .
n i

Tính chất 1.5
( xn yn )  xn yn  yn1xn .

1.2. Phương trình sai phân tuyến tính
1.2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.5
Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính của sai phân
các cấp.
Dạng: F ( xn , xn ,  2  xn ,...,  k  xn )  0.
(1)
Trong đó:   k  xn là sai phân cấp k của xn , k là bậc của phương trình sai
phân.
Định nghĩa 1.6
Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một hệ thức tuyến tính
giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau.
Dạng: Lh ( xn )  a0 xn k  a1xn k 1  ...  ak xn  f n.

(2)

Trong đó: a0 , a1 ,..., ak (với a0  0, ak  0 ) là các hệ số biểu thị bởi hằng số
cho trước hay các hàm số của n ;
h : khoảng cách giữa các mối, còn gọi là bước lưới, h  xn1  xn ; Lh xn là

tốn tử tuyến tính tác dụng lên hàm số xn xác định trên lưới có bước lưới h ;
f n là một hàm số của biến n ; xn là ẩn số cần tìm.

Định nghĩa 1.7
- Nếu f n  0 thì (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất.
- Nếu f n  0 thì (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần
nhất.
- Nếu f n  0 :
i) a0 , a1,...,a k là các hằng số, a0  0, ak  0 thì (2) trở thành


6

Lh ( xn )  a0 xnk  a1 xnk 1  ...  ak xn  0

(3)

được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng.
ii) a0 , a1 ,..., ak là các hàm của n thì (2) là phương trình sai phân tuyến
tính với hệ số biến thiên.
1.2.2. Nghiệm
Định nghĩa 1.8
Hàm số xn thoả mãn (2) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân
tuyến tính (2).
Định nghĩa 1.9
Hàm số xn thoả mãn (3) được gọi là nghiệm tổng quát của phương
trình sai phân tuyến tính thuần nhất (3) nếu với mọi tập giá trị ban đầu
x0 , x1 ,..., xk 1 ta đều xác định được duy nhất các tham số C1 , C2 ,..., Ck để

nghiệm xn trở thành nghiệm riêng của (3), tức là đồng thời thoả mãn (3) và

xi  xi , i  0, k  1 .
* Các tính chất:
Định lí 1.1
Nghiệm tổng quát của (2) là: xn  xn  xn* .
Trong đó: xn là nghiệm tổng quát của (3), xn* là nghiệm riêng của (2).
Định lí 1. 2
Nghiệm tổng qt của (3) có dạng: xn  C1xn1  C2 xn 2  ...  Ck xnk .
Trong đó: xn1, xn 2 ,..., xnk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (3) và
C1 , C2 ,..., Ck là các hằng số tuỳ ý.

Định lí 1.3

Xét phương trình đặc trưng: Lh  a0 k  a1 k 1  ...  ak  0

(4)

Trường hợp 1: Nếu (4) có k nghiệm thực khác nhau là 1 , 2 ,..., k thì hệ



n
n
n
1 , 2 ,..., k





 là hệ k nghiệm độc lập tuyến tính của (3).

Khi đó nghiệm tổng quát của (3) là xn  C11n  C22n  ...  Ck kn .


7

Trong đó Ci là các hằng số tuỳ ý ( với i  1, k ).
Trường hợp 2: Nếu (4) có nghiệm thực  j bội s thì ngồi nghiệm  nj ta bổ
sung thêm  s  1 nghiệm n nj , n 2 jn ,..., n s 1 nj cũng là các nghiệm độc lập
tuyến tính của (4).
k

Khi đó xn 



Ci in

j i 1

s 1

   C ij ni  nj .
i 0

Trong đó: C ij và Ci là các hằng số tuỳ ý.
b
Trường hợp 3: Nếu (4) có nghiệm phức  j  r  cos   i sin   , tan   ,
a
r   j  a 2  b 2 thì ta lấy thêm các nghiệm r n cos n , r n sin n .
k

Khi đó: xn 

 Ciin  r n (C1j cosn  C 2j sin n ) .
j i 1

Trong đó: Ci , C1j , C 2j là các hằng số tuỳ ý ( với i  1, k ).
1.2.3. Phương pháp tìm nghiệm riêng xn*
* Phương pháp chọn (hệ số bất định)
Trong một số trường hợp đặc biệt hàm f n có thể tìm xn* đơn giản hơn.
Để xác định các tham số trong các dạng nghiệm ta dùng phương pháp hệ số

bất định.
Trường hợp 1: Khi f n  Pm ( n) là đa thức bậc m của n, m 

.

- Nếu (4) không có nghiệm   1 ; ta chọn xn*  Qm (n) .
- Nếu (4) có nghiệm   1 bội s ; ta chọn xn*  n sQm (n) .
Trường hợp 2: Khi f n   n Pm (n),   0, m  , Pm ( n) là đa thức bậc m của
n.

- Nếu (4) đều có các nghiệm thực khác  ; ta chọn xn*   nQm (n) .
- Nếu (4) có nghiệm    bội s ; ta chọn xn*  n s nQm ( n) .
Trường hợp 3: Khi f n   cosnx+  sinnx , (với  ,  là các hằng số).


8

Ta chọn: xn*  a cos nx  n sin nx .
Trường hợp 4: Khi f n  f n1  f n 2  ...  f ns .
*
Ta chọn: xn*  xn*1  xn* 2  ...  xns
. Trong đó: xni* ứng với hàm f ni , i  1, s .

* Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange
Nghiệm tổng quát là: xn  C1 (n) xn1  C2 (n) xn 2  ...  Ck (n) xnk .
* Phương pháp đưa về dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến
tính
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k, k  3:
xn k  a1 xn k 1  a2 xn k 2  ...  ak xn  f n

Trong đó: a1 , a2 ,..., ak là các hệ số; xn ,..., xn k là ẩn; các giá trị ban đầu
x0 , x1 ,..., xk 1 .

 
Phương trình đã cho ln đưa về dạng chính tắc: y n1  Ay n  f n .

Trong đó:
 xnk 
x

 nk 1 

 . 
y n1  
,
.


 . 


 xn1 




 
f n 






fn 
0 
. 
,
. 
. 

0

 a1 a2
1 0

0 1
A
.
 .
 .
.

0 0

 xk 1 
x 
 k 2 
  . 
y0  


 . 
 . 


 x0 

 ak 1 ak 
 0
0 
 0
0
.
.
.
. 
.
.
. 

 1
0

Với mọi ma trận A đều tìm được ma trận Q khơng suy biến sao cho QAQ-1 =
 . Trong đó  là ma trận đường chéo Gioocđan.


 
Thực hiện phép đổi biến un  Qyn , Fn  Qf n ta được:

9
n
 



un   nu0    nk Fk 1 , yn  Q 1un .
k 1

Từ đó xác định được xn .
1.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng
1.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng
Định nghĩa 1.10
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng có
dạng:
axn1  bxn  0 hoặc xn1  qxn , trong đó a, b hay q là các hằng số khác 0.

* Nghiệm tổng quát xn của phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần
nhất với hệ số hằng
Ta có: xn  C n , với   

b
hay   q .
a

1.3.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một khơng thuần nhất với hệ số
hằng
Định nghĩa 1.11
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một khơng thuần nhất với hệ số
hằng có dạng:

axn1  bxn  f n hoặc xn1  qxn  f n , trong đó f n  0 và a, b hay q là các

hằng số khác 0.
* Nghiệm tổng qt xn của phương trình sai phân tuyến tính cấp một khơng
thuần nhất với hệ số hằng
Ta có: xn  xn  xn* . Trong đó: xn là nghiệm tổng qt của phương trình
sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng, xn* là nghiệm riêng của
phương trình sai phân tuyến tính cấp một khơng thuần nhất với hệ số hằng.
* Nghiệm riêng xn* của phương trình sai phân tuyến tính cấp một khơng thuần
nhất
Trường hợp 1: f n  Pm ( n) là đa thức bậc m của n, m .
- Nếu   1 thì xn*  Qm ( n) .


10

- Nếu   1 thì xn*  nQm ( n) .
Trường hợp 2: f n   n Pm (n),   0, m  , Pm ( n) là đa thức bậc m của n .
- Nếu    thì xn*   nQm (n) .
- Nếu    thì xn*  n nQm (n) .
Trường hợp 3: f n   cos nx   sin nx,  2   2  0, x  k , k  .
Ta có: xn*  a cos nx  b sin nx .
1.3.3. Các ví dụ
Ví dụ 1.3: Giải phương trình un1  un  4n (1) với u1  2, n 

*

.

Giải

Phương trình đặc trưng:   1  0 có nghiệm   1 .
Ta có un  un  un* . Trong đó: un  c.1n  c, un*  n( an  b) .
Thay un* vào phương trình (1), ta được: (n  1)  a(n  1)  b   n(an  b)  4n .
Với n = 1, ta được: 3a  b  4 .
Với n = 2, ta được: 5a  b  8 .
Suy ra : a  2, b  2 . Do đó: un*  n(2n  2) .
Như vậy: un  un  un*  c  n(2n  2) .
Vì u1  2 nên 2  c  1(2.1  2)  c  2  un  2  n(2n  2)  2n 2  2n  2 .
Ví dụ 1.4: Giải phương trình un1  3un  4n với u0  6, n 

.

Giải
Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất: un1  3un  un  c.3n .

  3  4    un*  4n.d
 4n1.d  3.d.4n  4n  4d  3d  1  d  1  un*  4n
 un  un  un*  c.3n  4n.

Với n  0  6  u0  c  1  c  5  un  5.3n  4n .
Ví dụ 1.5: Giải phương trình un1  2un  3n 2  4.2n , với u1  2, n 

*

.


11

Giải

Phương trình đặc trưng:   2  0    2 .
Ta có: un  un  un*  un** .
Trong đó: un  c.2n , un*  an 2  bn  c, un**  An.2n .
Thay un* vào phương trình un1  2un  3n 2 , ta được:
a( n  1) 2  b(n  1)  c  2an 2  2bn  2c  3n 2 .

Cho n  1  2a  c  3 .
Cho n  2  a  b  c  12 .
Cho n  3  2a  2b  c  27 .
Suy ra : a  3, b  6, c  9  un*  3n 2  6n  9 .
Thay un** vào phương trình un1  2un  4.2n , ta được:
A( n  1).2n1  2 An.2n  4.2n  2 A( n  1)  2 An  4  A  2 .

Do vậy: un**  2n.2n .
Do đó: un  c.2n  (3n 2  6n  9)  2n.2n .
Ta có: u1  2 nên 2  2c  18  4  c  7 .
Vậy un  7.2n  (3n 2  6n  9)  2n.2n  3n 2  6n  9  (7  2n).2n .
1.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng
1.4.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng
Định nghĩa 1.12
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng có
dạng:
axn2  bxn1  cxn  0 hoặc xn2  pxn1  qxn , trong đó a, b, c hay p, q là các

hằng số và a  0, b  0 hay q  0.
* Nghiệm tổng quát xn của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần
nhất với hệ số hằng
Giải phương trình đặc trưng: a 2  b  c  0 có hai nghiệm 1, 2 .

12

- Nếu 1 , 2 

và 1  2 thì xn  C11n  C22n .

- Nếu 1 , 2 

và 1  2   thì xn  (C1  nC2 ) n .

- Nếu 1 , 2 

và 1,2  r (cosn   i sin  ) thì
xn  r n (c1 cos n  c2 sin n )

1.4.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất với hệ số
hằng
Định nghĩa 1.13
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất với hệ số
hằng có dạng:
axn 2  bxn1  cxn  f n hoặc xn 2  pxn1  qxn  f n , trong đó f n  0 và a, b, c

hay p, q là các hằng số khác 0.
* Nghiệm tổng quát xn của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai khơng
thuần nhất với hệ số hằng
Ta có: xn  xn  xn* . Trong đó: xn là nghiệm tổng qt của phương trình
sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng, xn* là nghiệm riêng của
phương trình sai phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất với hệ số hằng.
* Nghiệm riêng xn* của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai khơng thuần
nhất

Trường hợp 1: f n  Pm ( n) là đa thức bậc m của n, m .
- Nếu   1 thì xn*  Qm ( n) , Qm (n) là đa thức bậc m của n .
- Nếu   1 là nghiệm đơn thì xn*  nQm ( n) .
- Nếu   1 là nghiệm kép thì xn*  n 2Qm ( n) .
Trường hợp 2: f n   n Pm (n),  0, m  , Pm (n) là đa thức bậc m của n .
- Nếu    thì xn*   nQm (n) , Qm (n) là đa thức bậc m của n .
- Nếu có một nghiệm đơn    thì xn*  n nQm (n) .
- Nếu có nghiệm kép    thì xn*  n2 nQm (n) .


13

Trường hợp 3: f n  Pm (n)cos  n  Ql (n)sin  n, ( với Pm (n), Ql (n) tương ứng
là các đa thức bậc m, l của n). Ký hiệu k  max m, l .
- Nếu   cos  i sin  , i 2  1 khơng là nghiệm của phương trình đặc
trưng thì xn*  Tk (n)cos  n  nR k (n)sin  n .
- Nếu   cos  i sin  , i 2  1 là nghiệm của phương trình đặc trưng
thì xn*  nTk (n)cos  n  R k ( n)sin  n .


14

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Chương một của khóa luận đã trình bày tóm lược những kiến thức cơ
bản, trọng tâm về phương trình sai phân tuyến tính để sử dụng ở chương hai.
Ba nội dung chủ yếu, cốt lõi của chương là:
 Các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân tuyến tính.
 Phương pháp giải dẫn đến nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính
cấp một với hệ số hằng và có ví dụ minh hoạ cụ thể.
 Phương pháp giải dẫn đến nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính

cấp hai với hệ số hằng.


15

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
TUYẾN TÍNH TRONG GIẢI TỐN

2.1. Tìm giới hạn của dãy số
Bài toán: Cho  xn  thoả mãn f ( xn , xn1 , xn2 )  0 . Tìm lim xn .
x

Phương pháp giải:
Bước 1: Giải phương trình f ( xn , xn1, xn 2 )  0  xn .
Bước 2: Tìm lim xn .
x

Bài tập 2.1.1
Cho dãy số  xn  thoả mãn: xn1 

 1
, x1  0,  0 . Tìm lim xn .
x
xn  
Giải

Trường hợp 1: Nếu   1  xn  0, n  lim xn  0 .
x

Trường hợp 2: Nếu   1

un1  (  1)vn , u1  0
u
Xét hệ: 
 xn  n .
vn
vn1  un   vn , v1  1
 0   1
A
  VetA   ,det A  (  1)
1  

 un2   un1  (  1)un , u1  0 .

Phương trình đặc trưng:  2    (  1)  0  1  1, 2    1.
- Nếu   1  1    2  un  (c1  nc2 ).(1) n .
n  1  0  u1  c1  c2 .
n  2    1  u2  c1  2c2  c1  (  1),c 2    1
 un  (1) n .(  1).(n  1)  (1) n1.(n  1)

 vn 

1
n 1
un1  un1  (1) n3.n  xn 
 lim xn  1.
x 
 1
n

- Nếu   1  1    2  un  c1 (1) n  c2 (  1) n .

16

n  1  0  u1  c1  c2 (1   ).
n  2    1  u 2  c1  c2 (  1)2 .

 1
1
( 1) n (  1)  (  1) n
 c1 
,c 
 un 
 2 2  2
 2
n 1
n
n
(1)  (  1)
(1) (  1)  (  1) n
 vn 
 xn 
 2
(1) n1  (  1) n
0, khi   1

 lim xn  1, khi   2 hay   1  1.
x 

(1   ), khi   1  1

Bài 2.1.3
Cho hai dãy số un  ,vn  thoả mãn hệ phương trình:
un  aun1  bvn1, n  1

.
vn  bun1  avn1

2
2
u0  a0 , v0  b0 , a  b  1

Chứng minh: lim un  lim vn  0 .
Giải
Ta có:
 a b 
M 
 VetM  2a,detM  a 2  b 2

b a 
 un2  2aun1  ( a 2  b 2 )un .

Phương trình đặc trưng:  2  2a  a 2  b 2  0  1  a  bi
 1  a 2  b 2 . cos   i sin   ,cos 
 un 



2

a b

2

a
a 2  b2

n

 c .cos n  c .sin n 
1

2

n  0  u0  a0  c1.
n  1  u1  a0  b.b0  a 2  b 2  c1.cos   c2 .sin    c2  b0 .

 un 



a 2  b2

n

 a .cosn  b .sin n , v   au  u
0

 lim un  0,lim vn  0.

0

n

n

n 1

.

1
b


17

( Do lim



a2  b2



n

 0, a0 cos n  b0 sin n bị chặn).

Vậy lim un  lim vn  0.
Bài tập 2.1.4

Tìm giới hạn của dãy số un  xác định bởi:
un 

2
2
2
.
...
, u1  2 .
2 2 2
2  2  ...  2

Giải
Ta có:





2  2cos , 2  2  2 1  cos   2cos .
4
4
8

Bằng chứng minh quy nạp ta có :

2  2  ...  2  2cos


2n1

( n dấu căn)

un1
1

,u  2 .
 1
un
cos n1
2

Suy ra:

Thực hiện nhân vế với vế ta được:
un 

1
cos


4

1

.

cos

1

...


8

cos

 2n.sin




2

n 1

 lim un 
x 


2

.

2n1

Bài tập 2.1.8
Cho dãy số un  , Sn  xác định bởi:
n

u1  2, u2  8, un1  4un1  un  2, Sn   arccot uk2 , n  3 . Tìm lim Sn .
k 1

Giải
Từ cơng thức nghiệm ta có:



un  c1 2  3

Suy ra: un 



n





n

 c2 2  3 , c1 

1
2 3
3





n



1
1
.
, c2 
3
3

n
1
2 3 .
3






18

un1 un
.
1
un un1

2
Ta có: un  un1.un1  4 
.
un un1

un1 un

Mặt khác: arc cot

xy  1
 arc cot x  arc cot y .
x y

n 
u
u 
u
Do vậy: Sn    arc cot k  arc cot k 1   arc cot 4  arc cot n1 .
uk 1
uk 
un
k 2 

Ta thấy: lim



2 3



un1
1
 lim
.
un
2 3 2 3





2 n2



1
 2  3.

2n

1



Vậy lim Sn  arc cot 4  arc cot 2  3 .
Bài tập 2.1.9
Cho dãy số

un 

1
b 
xác định bởi u1  a  0, un   un1 
 , b  1. Tìm
2
un1 

lim un .

Giải
1
b 
un21  b
Từ giả thiết: un   un1 

u

.

n
2
un1 
2un1
2
2
 x  x  byn1
.
Ta tìm xn , yn thoả mãn:  n1 n1
y


2
x
.
y
 n1
n n



Ta có: xn1  b yn1  xn  b yn



xn1  b yn1  xn  b yn

Suy ra: un 

xn

yn



a  b 
a b

Vì b  1 nên a  b  1.
Vậy lim un  b .

2n 1

2





2

2



 ...  x0  b y0



a  b 

 a b

n 1





 ...  x0  b y0
2n 1

2n 1

b.

2n

2n

 



2n

2n

 a b

  a  b 

.


19

Bài tập 2.1.10
Cho dãy số un  xác định bới: u0  a  2, un1 

1 n
. 2 un  1 . Tìm lim un .

2n

Giải
Từ giả thiết: un1 

1 n
1
. 2 un  1  un1  un  n .
n
2
2

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta được: un  21n
1
1
1
 1 1
 un  a  1    ...  n   a  2  n1
n
2
2 
2
 2 4
 lim un  a  2 .

 un1  un 

Vậy lim un  a  2 .
Bài tập 2.1.11
Cho dãy số un  xác định bởi: u1  e 3 , u2  e , un1.un1  un 3 , n  2 .

Chứng minh

1
 un  e , với n  1 . Tìm lim vn , với vn  n u1u2 ...un .
e

Giải
Ta nhận thấy un  0 , với n  1  ln un1  ln un1  3 ln un .
Hay an1  3an  an1  0 , với an  ln un , a1 

3
1
, a2  .
2
2

Phương trình đặc trưng:  2  3  1  0 có nghiệm phức   cos
Vì vậy: an  c1 cos

n
n
 c2 sin
.
6
2
n

Từ các giá trị ban đầu ta suy ra: an  cos
Vì 1  cos

cos
n
, un  e 6 .
6

n
1
 1 nên  un  e , với n  1 .
6
e

Từ giả thiết: vn  n u1u2 ...un  e

1 
2
n 
 cos cos ...cos 
n
6
6
6 

.


6

 i sin



2

.


20

Do cos


6

 cos

2
n
1   2n  1  
1
.
 ...  cos

sin



 

6
6
12


2sin
sin
12
6

Vậy lim vn  e0  1 .
Bài tập 2.1.12
Cho dãy số  un  xác định bởi:


u1  0

.
u2  3

2
u  2  n  2  .u   n  1 n  2  .u  2  n  2  , n  2
n
 n2  n  1 n  3 n1
n  n  3
n3


Chứng minh rằng: lim

un
 1.
n2

Giải
Trước hết ta tìm số hạng tổng quát của dãy  un  bằng cách giải phương trình
sai phân:
2

2 n  2
 n  1 n  2  .u  2  n  2  , n  2 (*) với điều
un  2 
.un1 
n
n  n  3
n3
 n  1 n  3

kiện ban đầu: u1  0 và u2  3 .
Nhân cả hai vế của (*) với
(*) 

n3
ta được:
n2

2 n  2
n3
 n  1 .u  2, n  2 (**)
un  2 
.un1 
n
n2
n

 n  1

Đặt vn 

n 1
.un . Khi đó ta được phương trình:
n

9
vn 2  2vn1  vn  2, n  2 (***) và v1  0, v2   .
2
Ta có phương trình đặc trưng:  2  2  1  0 có nghiệm kép   1 .


21

Ta giải được: vn 

13 15
n
n  13 15

 n  n 2  un 
vn 
.  n  n 2 
12 12
n 1
n  1  12 12


13n
15n 2
n3
.



12  n  1 12  n  1 n  1

Do đó: lim

un
1
n2

2.2. Tìm số hạng tổng qt của dãy số
 x  const
Dạng 1: Cho dãy số  xn  :  0
. Tìm số hạng tổng quát của dãy số
axn1  bxn  0

Phương pháp giải:
2

n

 b
 b
 b
Từ cơng thức truy hồi ta có: xn     .xn1     .xn2  ...     .x0 .

 a
 a
 a
n

 b
Khi đó cơng thức tổng qt của dãy số được xác định bởi: xn  x0 .   .
 a

Ví dụ 2.1:
x  5
Cho dãy số  xn  được xác định bởi:  0
, n  . Tìm số hạng
 xn1  3xn  0

tổng quát của dãy số.
Giải
Từ cơng thức truy hồi, ta có: xn  3xn1  32 xn2  ...  3n x0 hay xn  5.3n.
 x0
Dạng 2: Cho dãy số  xn  : 
, với Pk  n  là đa thức bậc k
a xn1  bxn  Pk  n 

của n. Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Phương pháp giải:
b
Xét phương trình đặc trưng: a  b  0     .
a

Đối với dạng này ta xét thêm một giá trị xn* gọi là nghiệm riêng của phương

trình sai phân. Khi đó số hạng tổng qt của dãy được xác định bởi:


22

xn  c. n  xn* .

Trong đó nghiệm riêng xn* được xác định như sau:
- Nếu a  b  0 thì nghiệm riêng xn*  Qk  n  thay vào phương trình ta được:

a.Qk  n  1  b.Qk  n   Pk  n  . Đồng nhất hệ số ta tìm được Qk  n  .
- Nếu a  b  0 thì nghiệm riêng xn*  n.Qk  n  thay vào phương trình ta được:

a  n  1 .Qk  n  1  bn.Qk  n   Pk  n  . Đồng nhất hệ số ta tìm được n.Qk  n  .
Ví dụ 2.2:
 x0  7
Cho dãy số  xn  : 
, với n 
2
 xn1  2 xn  3n  4n  5 *

. Tìm số hạng

tổng quát của dãy số.
Giải
Xét phương trình đặc trưng:   2  0    2 .
Ta có: a  b  1  2  1  0 nên nghiệm riêng xn*  an 2  bn  c . Thay xn* vào
2

(*), ta được: a  n  1  b  n  1  c  2an 2  2bn  2c  3n 2  4n  5 .

  an 2   2a  b  n  a  b  c  3n 2  4n  5 .

Đồng nhất hệ số hai vế ta được:
a  3
a  3


*
2
2a  b  4  b  10  xn  3n  10n  18 .
a  b  c  5 c  18



Số hạng tổng quát của dãy có dạng: xn  c.2n  3n 2  10n  18 .
Từ x0  7  c  18  7  c  25 .
Vậy số hạng tổng quát của dãy số: xn  25.2n  3n 2  10n  18 .
 x0
, n  .
Dạng 3: Cho dãy số  xn  : 
axn1  bxn  d  d  const 

Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Phương pháp giải:
Số hạng tổng quát của dãy số là:


23



 b  n 
d     1

n
 a 

 b
 neu a  b  0
 xn     .x0  

 b  
 a
a     1

 a  

 xn  x0  nd
neu a  b  0.

Ví dụ 2.3:
 x0  5
, n 
Cho dãy số  xn  : 
 xn1  xn  6

. Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Giải
Ta có: a  b  1  1  0 . Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là:
xn  x0  nd  xn  5  6n  6n  5 .

 x0
Dạng 4: Cho dãy số  xn  : 
, n .
n
axn1  bxn  d .

Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Phương pháp giải:
b
Xét phương trình đặc trưng:  a  b  0      q .
a

- Nếu   a thì nghiệm riêng của phương trình xn*  c. n thay vào phương
trình, ta được:
a.c. n1  b.c. n  d . n  c 

d
d . n
d . n
 xn* 

 do b  qa
a  b
a  b a  a  q 

Số hạng tổng quát của dãy: xn  c1.q n  xn*  c1.q n 
Từ x0  c1 

d n

.
a   q 

d
d
 c1  x0 
a   q 
a   q 


 n
d
d . n
d  n  qn
n
 xn   x0 
 x0 .q  .
.
 .q 
a   q  
a   q 
a  q


- Nếu   a thì nghiệm riêng xn*  c.n. n thay vào phương trình, ta được:

