Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND TỈNH PHÚ THỌ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

PHẠM CAO CƯỜNG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn

Phú Thọ, năm 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND TỈNH PHÚ THỌ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

PHẠM CAO CƯỜNG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8140111

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS. TS. Bùi Văn Nghị

Phú Thọ, năm 2021


i

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và
kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và chƣa ai cơng bố trong bất kì
cơng trình nào khác.
Việt Trì, tháng 7 năm 2021
Tác giả luận văn

Phạm Cao Cường


ii

LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Giảng viên,
Khoa Khoa học Tự nhiên trƣờng Đại học Hùng Vƣơng đã tạo điều kiện giúp đỡ tơi
trong q trình học tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và các em học sinh trƣờng
THPT Tam Nơng, THPT Hƣng Hóa, THPT Mỹ Văn tỉnh Phú Thọ đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi để tôi hồn thành luận văn.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc nhất đến GS. TS. Bùi Văn Nghị - ngƣời
đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến gia đình, ngƣời thân, các bạn đồng

nghiệp, những ngƣời luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ về mọi mặt để tơi có
thể hồn thành cơng việc nghiên cứu của mình.
Việt Trì, tháng 7 năm 2021
Tác giả luận văn

Phạm Cao Cường


iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii
MỤC LỤC ................................................................................................................. iii
DANH MỤC BẢNG ...................................................................................................v
DANH MỤC BIỂU ĐỒ ............................................................................................ vi
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ...................................................................... vii
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................................1
2. Tổng quan nghiên cứu .............................................................................................3
3. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................4
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...........................................................................4
5. Giả thuyết khoa học ................................................................................................4
6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài ..............................................................................4
7. Phƣơng pháp tiến hành nghiên cứu .........................................................................5
8. Những đóng góp mới của luận văn .........................................................................6
9. Cấu trúc luận văn.....................................................................................................6
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .....................................................7
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán ...............................................................................7
1.1.1. Khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải tốn ..............................................................7

1.1.2. Phân loại kỹ năng, sự hình thành kỹ năng giải tốn .........................................8
1.1.3. Điều kiện để có kỹ năng ....................................................................................9
1.1.4. Các mức độ của kỹ năng giải toán ....................................................................9
1.2. Dạy học giải tốn .................................................................................................9
1.2.1. Vị trí vai trị của bài tập toán .............................................................................9
1.2.2. Phƣơng pháp giải bài toán ...............................................................................10
1.3. Giải bài toán bằng phƣơng pháp hàm số ............................................................11
1.3.1. Mục tiêu và nhiệm vụ của dạy học giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho
học sinh lớp 12 THPT ...............................................................................................11
1.3.2. Phƣơng pháp giải toán bằng hàm số ...............................................................12


iv

1.4. Khảo sát thực tiễn dạy học giải các bài tốn bằng phƣơng pháp hàm số ..........13
1.4.1. Mục đích, đối tƣợng, hình thức, nội dung khảo sát ........................................13
1.4.2. Kết quả khảo sát giáo viên ..............................................................................13
1.4.3. Kết quả khảo sát 100 học sinh ........................................................................17
1.4.4. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong giải toán lớp 12 ....................20
Chƣơng 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ..........................................................................24
2.1. Định hƣớng.........................................................................................................24
2.2. Biện pháp rèn luyện ...........................................................................................24
2.3. Nội dung rèn luyện .............................................................................................25
2.3.1. Rèn luyện kỹ năng giải tốn về phƣơng trình (tìm điều kiện có nghiệm, biện
luận về số nghiệm của phƣơng trình) bằng phƣơng pháp hàm số ............................25
2.3.2. Rèn luyện kỹ năng tìm GTLN – GTNN của biểu thức đại số hoặc hình học
bằng phƣơng pháp hàm số ........................................................................................39
2.3.3. Rèn luyện kỹ năng giải bất phƣơng trình, điều kiện có nghiệm của bất phƣơng
trình bằng phƣơng pháp hàm số ................................................................................68

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..................................................................83
3.1. Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm .........................................................83
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm .....................................................................83
3.1.2. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm ......................................................................83
3.2. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ...........................................................................83
3.2.1. Thời gian thực nghiệm sƣ phạm .....................................................................83
3.2.2. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm ....................................................................83
3.3. Đề kiểm tra sau thực nghiệm .............................................................................84
3.4. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm............................................................................88
3.4.1. Đánh giá định tính ...........................................................................................88
3.4.2. Đánh giá định lƣợng ........................................................................................92
3.4.3. Đánh giá chung kết quả thực nghiệm..............................................................94
KẾT LUẬN ...............................................................................................................96


v

DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.1. Kết quả điều tra nhận thức của GV về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc
rèn luyện kỹ năng giải toán .......................................................................................13
Bảng 1.2. Điều tra về tính hiệu quả khi sử dụng “phƣơng pháp hàm số” để giải các
dạng tốn có liên quan...............................................................................................15
Bảng 1.3. Tổng hợp nhận thức của HS về vai trò, tác dụng của rèn luyện kỹ năng
giải tốn .....................................................................................................................17
Bảng 1.4. Những khó khăn của HS khi học tập giải toán bằng phƣơng pháp hàm số
...................................................................................................................................19
Bảng 3.1. So sánh mức độ học lực hai lớp (kiểm tra học kì I năm học 2020-2021)84
Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra trƣớc khi thực nghiệm (kết quả bài thi học kì I) ...........93
Bảng 3.3. Kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm (kết quả bài kiểm tra 45 phút) .....93

vi

DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 1.1. Tần suất vận dụng phƣơng pháp hàm số vào giải tốn trong q trình
giảng dạy của GV ......................................................................................................14
Biểu đồ 1.2. mức độ hiệu quả khi sử dụng “phƣơng pháp hàm số” để giải toán ......16
Biểu đồ 1.3. Mức độ cần thiết của việc rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng
pháp hàm số...............................................................................................................18
Biểu đồ 1.4. Khả năng vận dụng phƣơng pháp hàm số để giải tốn của HS ............18
Biểu đồ 1.5. Những khó khăn của HS khi học tập giải toán bằng phƣơng pháp hàm
số. ..............................................................................................................................19
Biểu đồ 3.1: Kết quả kiểm tra trƣớc khi thực nghiệm...............................................93
Biểu đồ 3.2. Kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm ..................................................94


vii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết đầy đủ

Viết tắt
GV

Giáo viên

HS

Học sinh

THPT

Trung học phổ thông

ĐH

Đại học

ĐHSP

Đại học sƣ phạm

GTLN – GTNN

Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất

SBT

Sách bài tập

GT

Giải tích

PT

Phƣơng trình

BPT

Bất phƣơng trình

BĐT

Bất đẳng thức

TN

Thực nghiệm

ĐC

Đối chứng

TNSP

Thực nghiệm sƣ phạm

TTCM

Tổ trƣởng chuyên môn

TTN

Trƣớc thực nghiệm

STT

Sau thực nghiệm

SL

Số lƣợng

MĐ

Mức độ

HKI

Học kì I

HT

Học tập

XH

Xã hội


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Yêu cầu mới về giáo dục trong giai đoạn hiện nay
Một mục tiêu rất quan trọng của giáo dục phổ thông là trang bị tri thức, rèn
luyện kỹ năng, phát triển tƣ duy cho học sinh. “Giáo dục phổ thơng nhằm phát triển
tồn diện cho người học về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ, kỹ năng cơ bản, phát
triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo; hình thành nhân cách con

người Việt Nam xã hội chủ nghĩa và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho người học
tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham gia lao
động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. (Luật giáo dục số 43/2019/QH14 của Quốc hội
Việt Nam)
Đặc biệt, mục tiêu giáo dục trung học phổ thông “Nhằm trang bị kiến thức
công dân; bảo đảm cho học sinh củng cố, phát triển kết quả của giáo dục trung học
cơ sở, hồn thiện học vấn phổ thơng và có hiểu biết thơng thường về kỹ thuật,
hướng nghiệp; có điều kiện phát huy năng lực cá nhân để lựa chọn hướng phát
triển, tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham
gia lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.” (Điều 29)
Nhằm phát triển giáo dục với mục tiêu là đào tạo con ngƣời Việt Nam phát
triển tồn diện, có tri thức, phẩm chất tốt, Đảng và Nhà nƣớc đã ra nhiều chủ
trƣơng, chính sách để nền giáo dục nƣớc nhà có những chuyển biến đáp ứng đƣợc
với sự kì vọng của nhân dân.
1.2. Mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học môn Tốn ở trường phổ thơng
Trong cuộc sống hiện tại chúng ta đang phải đối đầu với nhiều vấn đề thực tế
mà đòi hỏi phải dùng kiến thức và kỹ năng Toán học để giải quyết, bằng những ứng
thực tế của toán học mà con ngƣời đã giải quyết đƣợc những điều đó để góp phần
thúc đẩy xã hội phát triển.
Mơn Tốn ở trƣờng trung học phổ thơng góp phần hình thành và phát triển
các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực Toán học cho học sinh; phát
triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh đƣợc trải nghiệm.


2

Hiện nay phong trào đổi mới phƣơng pháp dạy và học đang diễn ra sâu rộng
ở tất cả các bậc học và cấp học. Ngƣời giáo viên dạy Tốn có nhiệm vụ là phải rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Nếu học sinh khơng có kỹ năng giải tốn thì
bản thân học sinh sẽ khơng có năng lực thực hành. Trong dạy học ở trƣờng THPT,

tất cả các môn học đều giúp các em học sinh phát triển tồn diện về bản thân, trong
đó mơn tốn đƣợc coi là một trong những mơn học giúp phát triển trí tuệ và tƣ duy
lơgic. Khi học Tốn các em học sinh phải hoạt động giải tốn, đây chính là cơ hội
tốt để học sinh đƣợc bộc lộ và phát triển khả năng tƣ duy sáng tạo của mình.
1.3. Rèn luyện kỹ năng giải tốn nói chung, giải tốn bằng phương pháp hàm số nói
riêng cho học sinh lớp 12 là nhiệm vụ quan trọng và cần thiết.
Trong chƣơng trình giải tích 12 trung học phổ thơng: Hàm số và ứng dụng
đạo hàm giữ vai trị chủ đạo, có số tiết khá lớn trong mơn tốn và bằng phƣơng
pháp hàm số giải quyết đƣợc khá nhiều dạng toán ra thi trong các kỳ thi học sinh
giỏi các cấp và thi THPT Quốc gia.
Phƣơng pháp sử dụng hàm số để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ,
lơgarit, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đƣợc bổ sung khi học sinh có đủ kiến thức
về đạo hàm. Tuy nhiên trong chƣơng trình giải tích 12 bài tập dạng này khơng
nhiều.
Chƣơng trình mơn Toán của cấp THPT gồm rất nhiều chủ đề, mỗi chủ đề có
rất nhiều dạng tốn, số lƣợng bài tập của mỗi dạng khá nhiều. Học sinh cần phải
biết hết các dạng bài tập, nhìn nhận về phƣơng pháp giải chung cho từng dạng. Mỗi
dạng bài tập lớn đều có phƣơng pháp và kỹ thuật giải khác nhau, đặc biệt là các
dạng bài tốn về phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ, lơgarit, giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số và cực trị hình học trong khơng gian. Học sinh sẽ dễ mắc
sai lầm trong lập luận trình bày và đa số các em học sinh đều chƣa có kỹ năng thành
thạo để giải phƣơng trình và bất phƣơng mũ, lôgarit, GTLN – GTNN của hàm số và
các bài tốn về cực trị hình học trong khơng gian bằng phƣơng pháp hàm số. Trong
khi đó, những năm gần đây các đề thi THPT Quốc gia, đề thi học sinh giỏi các cấp
ln ln có dạng bài tập về phƣơng trình bất phƣơng trình, tìm giá trị nhỏ nhất, giá


3

trị lớn nhất, trong đó có rất nhiều bài tập đƣợc giải bằng phƣơng pháp hàm số.

Trong chƣơng trình giải tích 12 THPT trong nội dung phƣơng trình, bất
phƣơng trình, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số... giữ vai trị quan trọng,
có số tiết khá lớn trong mơn tốn, dùng phƣơng pháp hàm số có thể giải quyết các
vấn đề đó một cách nhẹ nhàng, ngắn gọn và dễ hiểu cho học sinh.
Từ những lí do trên và từ kinh nghiệm giảng dạy, nghiên cứu sâu về chuyên
đề phƣơng pháp hàm số trong giải toán của bản thân, đề tài đƣợc chọn là: “Rèn
luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12”.
2. Tổng quan nghiên cứu
Đã có một số luận văn, khóa luận với đề tài về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải
tốn cho học sinh thơng qua các nội dung tốn nhƣ tích phân, đạo hàm, phƣơng
pháp vectơ, phép biến hình...
Đã có một số luận văn với các đề tài liên quan đến sử dụng phƣơng pháp
hàm số trong giải Tốn nhƣ:
+ Luận văn Thạc sĩ của Hồng Trung Hiếu (2014) về “Dạy học giải tốn phƣơng
trình, bất phƣơng trình bằng phƣơng pháp hàm số ở THPT”, trƣờng ĐHSP – ĐH
Thái Nguyên [10].
+ Luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Trung Sỹ (2015) về “Sử dụng phƣơng pháp hàm số
để chứng minh bất đẳng thức”, trƣờng Đại học Khoa học – ĐH Thái Nguyên [26].
+ Luận văn Thạc sĩ của Vũ Thị Thùy Hƣơng (2015) về “Rèn luyện kỹ năng giải
phƣơng trình và bất phƣơng trình bằng phƣơng pháp hàm số”, trƣờng Đại học Giáo
dục – ĐH Quốc gia Hà Nội [11].
Lí luận về rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh trong dạy học mơn tốn có
thể kể đến các tài liệu [19], [17], [28] của các tác giả Bùi Văn Nghị (2009, 2017),
Nguyễn Bá Kim (2004, 2017), Nguyễn Cảnh Tồn (2002).
Ngồi ra có thể kể đến một số sách tham khảo [9], [14] của Nguyễn Đại
Dƣơng, Đồn trí Dũng (2016) về Phƣơng pháp hàm số, Tƣ duy giải bất đẳng thức,
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; của Phan Huy Khải (2013) về phƣơng pháp giải
toán trọng tâm, các bài giảng luyện thi Tốt nghiệp – Đại học – Cao Đẳng.

4

3. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là đề xuất đƣợc một số biện pháp rèn luyện kỹ năng
giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12, thơng qua các hoạt động
phân tích, tổng hợp, vận dụng vào giải các dạng tốn về phƣơng trình và bất phƣơng
trình, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, cực trị hình học. Từ đó góp phần
phát triển tƣ duy lơgic, các hoạt động trí tuệ và tính sáng tạo cho học sinh.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tƣợng nghiên cứu là những biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng
phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12.
+ Khách thể nghiên cứu: là q trình dạy học mơn Tốn ở trƣờng THPT.
+ Phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải các bài tập về
phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của biểu thức đại số, hình học bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12
THPT.
- Phạm vi thời gian: Trong khoảng thời gian từ tháng 04 năm 2020 đến tháng
04 năm 2021.
- Phạm vi về khách thể khảo sát: Khảo sát thực trạng và tổ chức thực nghiệm
đƣợc thực hiện tại trƣờng THPT Tam Nơng, trƣờng THPT Hƣng Hóa, trƣờng THPT
Mỹ Văn tỉnh Phú Thọ.
5. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở lí luận của phƣơng pháp dạy học mơn Tốn và thực tiễn dạy học
ở trƣờng phổ thông, nếu thực hiện và vận dụng các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải
toán bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh lớp 12 nhƣ đã đề xuất trong luận văn,
thì sẽ rèn luyện đƣợc cho học sinh kỹ năng sử dụng hàm số để giải một số dạng tốn
thƣờng hay gặp trong chƣơng trình THPT, góp phần khắc phục những yếu kém của
học sinh, đồng thời cho các em sự hứng thú trong học tập, nâng cao chất lƣợng dạy
học mơn Tốn lớp 12 THPT.

6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
- Nghiên cứu lí luận về rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm


5

số cho học sinh lớp 12 THPT. Đề xuất một số kỹ năng thành phần của kỹ năng giải
toán bằng phƣơng pháp hàm số vào giải toán ở trƣờng THPT và việc rèn luyện kỹ
năng trong dạy học giải toán.
- Khảo sát thực tiễn dạy học giải các bài toán bằng phƣơng pháp hàm số,
phân tích những khó khăn và sai lầm của học sinh thƣờng mắc khi sử dụng phƣơng
pháp hàm số để giải toán.
- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp
hàm số cho học sinh lớp 12 THPT.
- Thực nghiệm sƣ phạm và đánh giá tính khả thi, hiệu quả của những biện
pháp đã đề xuất.
7. Phƣơng pháp tiến hành nghiên cứu
7.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận:
- Nghiên cứu và phân tích các tài liệu về lí luận dạy học, sách giáo khoa,
sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài.
- Nghiên cứu nội dung, cấu trúc chủ đề: Giải toán bằng phƣơng pháp hàm số
cho học sinh lớp 12.
7.2. Phương pháp điều tra – khảo sát:
- Dùng phiếu khảo GV toán và HS lớp 12 tại các trƣờng THPT trên địa bàn
huyện Tam Nông tỉnh Phú Thọ xung quanh việc rèn luyện các kỹ năng giải toán cho
học sinh khi dạy học về phƣơng trình, bất phƣơng trình, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
nhất của biểu thức đại số hoặc hình học ở trung học phổ thông; chất lƣợng của học
sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.
- Trao đổi trực tiếp với học sinh để nắm đƣợc mức độ cần thiết của việc rèn
luyện kỹ năng.

- Dùng phiếu khảo sát học sinh để thấy đƣợc trình độ khả năng tiếp thu và
khả năng vận dụng các phƣơng pháp hàm số để giải tốn, áp dụng vào các bài tốn
có mức độ vận dụng và vận dụng cao.
7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm sƣ phạm
tại trƣờng THPT Tam Nông – huyện Tam Nông – tỉnh Phú Thọ để kiểm nghiệm
tính khả thi, tính hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất trong dạy học giải toán bằng


6

phƣơng pháp hàm số.
8. Những đóng góp mới của luận văn
8.1. Về lý luận
- Hệ thơng hóa đƣợc cơ sở lý luận về dạy học rèn luyện kỹ năng giải tốn
cho học sinh lớp 12 tại trƣờng THPT Tam Nơng - huyện Tam Nông - tỉnh Phú Thọ
- Cụ thể hóa những kỹ năng cần thiết giải tốn lớp 12 bằng phƣơng pháp hàm
số nhằm rèn luyện cho học sinh.
- Xây dựng đƣợc một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng
pháp hàm số cho học sinh lớp 12.
8.2. Về thực tiễn
- Đánh giá đƣợc một phần thực trạng về kỹ năng giải toán của học sinh, kỹ
năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số trong các bài tốn về phƣơng trình, bất
phƣơng trình, GTLN – GTNN của biểu thức đại số, hình học, những thuận lợi và
khó khăn của giáo viên và học sinh.
- Kết quả nghiên cứu có thể là tài liệu tham khảo hữu ích đối với GV và HS
trong dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho học sinh
lớp 12.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chƣơng
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chƣơng 2. Biện pháp rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh bằng
phƣơng pháp hàm số.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.


7

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán
1.1.1. Khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán
a) Kỹ năng
Theo Từ điển Hán Việt “Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học
vào thực tiễn” trong đó khả năng đƣợc hiểu là “Sức đã có (về mặt nào đó) để có thể
làm tốt một việc gì”.[1, tr.548]
Từ điển Tiếng Việt “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu
nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”. [32, tr.426]
Theo giáo trình tâm lý học đại cƣơng “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ
kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những
thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý
luận hay thực hành xác định”. [3, tr.149]
“Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các
thao tác hành động để đạt tới mục đích đã định. Cơ sở của kỹ năng là kiến thức.
Người có kỹ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái
niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể;
phải biết tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, phù hợp với mục tiêu của hành
động”. [11, tr.16]
b) Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là kỹ năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài
tập toán học (bằng suy luận, chứng minh…). Kỹ năng giải toán cũng dựa trên cơ sở
tri thức tốn học, do đó khi nói đến kỹ năng giải tốn thì gắn liền với nó là phƣơng

pháp tốn học nhằm hình thành và rèn luyện những kỹ năng đó.
Kỹ năng dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Tri thức là cơ sở của kỹ
năng. Kỹ năng và tri thức thống nhất trong hoạt động.
Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kỹ
năng, phƣơng pháp). Do đó nói đến kỹ năng sử dụng đạo hàm để giải tốn khơng
thể tách rời phƣơng pháp tốn học nhằm hình thành và rèn luyện những kỹ năng
tính tốn đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để giải tốn phƣơng trình bất phƣơng


8

trình và chứng minh bất đẳng thức.
1.1.2. Phân loại kỹ năng, sự hình thành kỹ năng giải tốn
a) Phân loại kỹ năng
Kỹ năng giải tốn có thể phân loại chi tiết nhƣ sau:
+ Kỹ năng phát hiện vấn đề: Phát hiện đƣợc điều kiện đặt ra của bài toán, bài
toán yêu cầu giải quyết vấn đề gì. Đối với các bài tốn có tính chất là một vấn đề thì
việc phân tích làm rõ các thành phần, mối liên hệ qua các yếu tố của bài toán là hết
sức quan trọng.
+ Kỹ năng định hƣớng và xác định đƣờng lối giải: Việc xác định đƣờng lối
giải một bài toán trƣớc hết là xác định đúng thể loại bài toán. Mỗi bài tốn tuy nằm
trong một thể loại nào đó nhƣng lại có những cái riêng biệt của nó. Vì thế ngƣời giải
toán phải nắm vững các đƣờng lối chung, phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài toán
để chọn đƣờng lối thích hợp nhất.
+ Kỹ năng chọn lựa phƣơng pháp và công cụ: Kỹ năng này thể hiện qua việc
xác định các phƣơng pháp và công cụ cũng nhƣ các phép biến đổi mang tính chất kỹ
thuật.
+ Kỹ năng liên tƣởng, liên hệ các bài toán liên quan, các bài toán tƣơng tự:
Việc liên tƣởng, liên hệ các bài toán liên quan giúp học sinh quy bài toán đã cho về
bài tốn quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụng khía cạnh nào đó của bài

tốn liên quan để giải bải tốn đã cho.
b) Sự hình thành kỹ năng
Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở là kiến thức. Để có kỹ năng sử
dụng phƣơng pháp đạo hàm để giải toán học sinh phải thơng thạo các quy tắc tính
đạo hàm, nắm chắc các khái niệm có liên quan, vững vàng trong lập luận và ngơn
ngữ chính xác trong lời giải. Rèn luyện kỹ năng có vai trị đặc biệt quan trọng đối
với sự phát triển trí tuệ.
Để hình thành một kỹ năng cho học sinh, cần phải tổ chức cho các em tập
luyện những hoạt động tƣơng ứng với kỹ năng đó và phải đƣợc tập luyện nhiều lần
trên một hoạt động; cần giúp học sinh biết cách tìm tịi nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng từ đó hình thành kỹ năng. Học sinh cần hình


9

thành đƣợc một mơ hình khái qt để giải quyết các bài tập cùng loại; xác lập đƣợc
mối liên quan giữa bài tập mơ hình khái qt và các kiến thức tƣơng ứng; biết qui lạ
về quen, biết khái quát hóa, đặt biệt hóa…
1.1.3. Điều kiện để có kỹ năng
Muốn có kỹ năng về hành động nào đó chủ thể cần:
- Có kiến thức để hiểu đƣợc mục đích của hành động, biết đƣợc điều kiện,
cách thức để đạt đƣợc kết quả.
- Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó.
- Đạt đƣợc kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
- Có thể hành động một cách hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
- Có thể qua bắt chƣớc, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhƣng phải cần thời
gian đủ dài.
1.1.4. Các mức độ của kỹ năng giải tốn
Trong tốn học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải tốn:
- Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản

- Kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp
Trong mỗi nhóm lại có 3 mức độ khác nhau:
- Mức độ biết làm: Nắm đƣợc qui trình giải một bài tốn cơ bản nào đó tƣơng
tự nhƣ bài tập mẫu nhƣng chƣa nhanh.
- Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn ngọn, chính xác theo cách giải
nhƣ bài tập mẫu nhƣng chƣa có nhiều biến đổi.
- Mức độ mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đƣa ra đƣợc cách giải ngắn gọn, độc
đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo không chỉ
với các bài toán cơ bản mà với cả bài tốn mới.
1.2. Dạy học giải tốn
1.2.1. Vị trí vai trị của bài tập toán
Theo Nguyễn Bá Kim (2004, 2017): “Ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy
hoạt động tốn học. Đối với học sinh có thể xem giải tốn là hình thức chủ yếu của
hoạt động tốn học. Các bài tập tốn ở trường phổ thơng là một phương tiện rất có
hiệu quả và khơng thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức,


10

phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn.
Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học tốn
ở trường phổ thơng. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập tốn học có
vai trị quyết định đối với chất lượng dạy học toán”.[16, tr. 201].
Cũng theo Nguyễn Bá Kim (2017): “Bài tập tốn có vai trị hết sức quan
trọng trong mơn Tốn. Thơng qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt
động bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương
pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong
tốn học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngơn ngữ.” [16,
tr.388].
Tốn học có vai trị lớn trong khoa học, cơng nghệ hiện đại và đời sống, nhƣ

Các–Mác đã nói “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có sử dụng được
phương pháp của tốn học.” (Dẫn theo Hồng Chúng, [4, tr.5]).
Học toán giúp cho học sinh phát triển đƣợc năng lực tƣ duy nhƣ: tính lơgic,
tính sáng tạo khoa học... và năng lực trí tuệ nhƣ: khái qt hóa, đặc biệt hóa, phân
tích, tổng hợp... Rèn luyện những phẩm chất, đức tính tốt nhƣ: tính kỷ luật, chính
xác, cẩn thận....
1.2.2. Phương pháp giải bài toán
Qua những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải một bài toán đã đƣợc
kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học ; ngƣời giáo viên khi dạy học sinh giải tốn
khơng chỉ đƣa ra lời giải, hay áp đặt học sinh giải theo một cách giải nhất định nào
đó đã biết trƣớc; giáo viên cần phân tích, gợi ý, hƣớng dẫn để học sinh tự suy nghĩ
và tìm ra lời giải cho bài tốn.
Tổng qt hóa các bƣớc giải tốn theo Polya (1977) nhƣ sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
- Điều gì chƣa biết? Đâu là cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều
kiện cho trƣớc hay khơng? Có đủ dữ kiện để tìm ra những thứ chƣa biết khơng?
- Vẽ hình; chú thích phù hợp với u câu bài toán.
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm phải chứng minh; có thể diễn tả các
điều kiện đó thành cơng thức hay khơng?


11

Bƣớc 2: Tìm cách giải
- Bạn đã gặp bài tốn tƣơng tự nhƣ bài tốn này chƣa? Bạn có thể phân tích
bài tốn?
- Bạn có biết định lí, tính chất nào có thể áp dụng để giải đƣợc bài tốn đó
khơng?
- Có thể đƣa bài tốn về dạng mới đơn giản hơn khơng?
- Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định đƣợc cái

phải tìm hay khơng? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần
thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới gần nhau hơn không?
- Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chƣa? Đã dùng hết các điều kiện chƣa?
Đã để ý một khái niệm chủ yếu của bài tốn chƣa?
- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bƣớc, thấy mỗi bƣớc
đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại tồn bộ q trình giải bài tốn?
- So sánh các cách giải tìm đƣợc để đƣa ra lời giải khoa học nhất.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
- Giải bài toán theo cách ngắn gọn, khoa học và hợp lí nhất.
- Trình bày lại lời giải, điều chỉnh những chỗ chƣa hợp lí, loại bỏ những tìm
đốn bằng các khẳng định.
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Bạn có thể đƣa ra bài tốn tổng qt áp dụng bằng phƣơng pháp đó khơng?
- Trong các bƣớc của q trình giải bài tốn thì bƣớc nào quan trọng nhất? Dĩ
nhiên đó là bƣớc nảy ra “ý”.
“Nảy ra một ý mới, như vụt lóe lên một tia sáng sau một thời gian dài suy
nghĩ căng thẳng và phân vân dao động, có thể gây ấn tượng mạnh mẽ; đó là phút
giây huy hồng của cảm xúc mà mỗi người giải toán phải cố gắng đừng để lỡ.” [30]
1.3. Giải bài toán bằng phƣơng pháp hàm số
1.3.1. Mục tiêu và nhiệm vụ của dạy học giải toán bằng phương pháp hàm số cho
học sinh lớp 12 THPT
a) Kỹ Năng nhận thức
- Kỹ năng hiểu khái niệm: Khi dạy học sinh về sử dụng phƣơng pháp hàm số để giải


12

toán, ngƣời giáo viên cần đảm bảo các yêu cầu nhƣ là:
+ Hiểu đƣợc các tính chất, các quy tắc tính đạo hàm của hàm số.
+ Hiểu đƣợc khái niệm tính đơn điệu của hàm số, vận dụng trong từng

trƣờng hợp cụ thể của hàm số đạo hàm mà bài toán cho.
- Biết xét dấu hàm số đạo hàm trong các trƣờng hợp cụ thể.
- Biết các định lý (và các kết quả) sau:
+ Nếu hàm số y  f  x  đơn điệu trên D thì phƣơng trình f  x   0 có khơng
q một nghiệm trên D.
Khi vận dụng định lý này, nếu ta nhẩm đƣợc một nghiệm x  xo của phƣơng
trình, rồi chỉ rõ hàm số đơn điệu trên D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên
D) sẽ kết luận đƣợc x  xo là nghiệm duy nhất.
+ Hàm số f  t  đơn điệu trên khoảng  a; b  và u; v   a; b  thì
f u   f v   u  v .

Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm f  t  .
b) Về kỹ năng
Bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán và kỹ năng tốn
học hóa tình huống thực tiễn. Đối với việc giải bài tập về phƣơng trình, GTLN,
GTNL của biểu thức đại số hoặc hình học cho học sinh lớp 12, giáo viên chú ý đến
kỹ năng vận dụng tri thức vào giả thiết thực tế ngoài cuộc sống để học sinh có thể
giải quyết đƣợc các vấn đề thực tiễn.
c) Về kiểm tra đánh giá
Việc tự kiểm tra, đánh giá sẽ giúp học sinh tự điều chỉnh mình qua mỗi lần kiểm
tra; từ đó thấy đƣợc chỗ nào mình cịn yếu cịn chƣa chắc để có kế hoạch tự bổ sung.
1.3.2. Phương pháp giải toán bằng hàm số
Trong chƣơng trình mơn Tốn THPT, giải tốn bằng PP hàm số có thể áp
dụng cho những dạng tốn sau:
Dạng 1: Những bài tốn về số nghiệm của phƣơng trình.
Dạng 2: Những bài tốn về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số
hoặc hình học.


13

Dạng 3: Những bài tốn về giải bất phƣơng trình, điều kiện có nghiệm của bất
phƣơng trình.
1.4. Khảo sát thực tiễn dạy học giải các bài toán bằng phƣơng pháp hàm số
1.4.1. Mục đích, đối tư ng, hình thức, nội dung khảo sát
Khảo sát này đƣợc thực hiện với mục đích biết đƣợc thực trạng rèn luyện kỹ
năng giải tốn bằng phƣơng pháp hàm số ở lớp 12 trƣờng THPT hiện nay nhƣ thế nào,
tìm hiểu nguyên nhân của thực trạng để làm cơ sở đề xuất các biện pháp thích hợp.
Đối tƣợng khảo sát gồm 20 giáo viên và 100 học sinh của ba trƣờng THPT
thuộc tỉnh Phú Thọ: 8 GV trƣờng THPT Tam Nông, 6 GV trƣờng THPT Hƣng Hóa,
6 GV trƣờng THPT Mỹ Văn của huyện Tam Nơng.
Hình thức khảo sát là sử dụng bảng câu hỏi.
Nội dung khảo sát đƣợc thể hiện thông qua hai loại phiếu:
Phiếu xin ý kiến giáo viên: xem ở phụ lục 1.
Phiếu hỏi ý kiến học sinh: xem ở phụ lục 2.
1.4.2. K t quả khảo sát giáo viên
+ Nhận thức về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán
Bảng 1.1. Kết quả điều tra nhận thức của GV về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc
rèn luyện kỹ năng giải toán

TT

1
2
3

4
5

Ý nghĩa của việc rèn luyện kỹ năng giải toán

Giúp HS tự giác, tích cực và chủ động trong
học tập
Giúp HS phát triển khả năng tƣ duy sáng tạo
Giúp HS biết đoàn kết thƣơng yêu và giúp đỡ
lẫn nhau
Giúp HS tự chủ và năng động trong các hoạt
động xã hội
Tạo cho HS hứng thú trong học tập và lao động

Không

Đồng ý

đồng ý

SL

%

SL

%

18

90,0

2

10,0

17

85,0

3

15,0

19

95,0

1

5,0

16

80,0

4

20,0

15

75,0

5

25,0


14

Qua bảng số liệu trên cho thấy, hầu hết các GV đều nhận thức đƣợc ý nghĩa của
việc “rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12”. Rèn
luyện kỹ năng giải toán giúp cho học sinh phát triển tƣ duy sáng tạo, tự giác, tích cực trong
mọi hoạt động.
+ Về sự cần thiết của việc “rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số”
Có 12/20 (60% ) GV thấy rất cần thiết, 30% GV thấy cần thiết, 10% GV thấy
bình thƣờng và khơng có GV nào cho là khơng cần thiết. Điều đó cho thấy rằng đa
số GV hƣởng ứng việc rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh nói chung và “rèn
luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp hàm số cho học sinh lớp 12” nói riêng.
+ Về mức độ vận dụng phương pháp hàm số trong giảng dạy của GV:
Có 2/20 = 10% GV sử dụng rất thƣờng xuyên, 3/20 = 15% GV sử dụng
thƣờng xuyên, 4/20 = 20% GV ít sử dụng, cịn lại 11/20 = 55% GV rất ít sử dụng.

Biểu đồ 1.1. Tần suất vận dụng phương pháp hàm số vào giải toán trong q trình
giảng dạy của GV
Nhƣ vậy giải tốn bằng phƣơng pháp hàm số đƣợc áp dụng trong thực tế
giảng dạy của GV tuy nhiên không phải là phƣơng pháp đƣợc sử dụng thƣờng
xuyên nhất, thể hiện chỉ có 25% GV đƣợc hỏi là sử dụng thƣờng xuyên. Việc áp
dụng phƣơng pháp hàm số vào giải tốn cịn khó khăn đối với nhiều giáo viên trẻ,
chƣa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy, thể hiện 55% GV đƣợc hỏi rất ít sử dụng


15

phƣơng pháp hàm số vào giải toán. Đây cũng là một hạn chế trong việc rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh.
+ Về độ khó của phương pháp hàm số
Đánh giá về mức độ kiến thức của “phương pháp hàm số”, có 18/20 = 90%
GV cho rằng nội dung kiến thức của phƣơng pháp hàm số là khó và rất khó áp
dụng.
+ Đánh giá tính hiệu quả của việc sử dụng “phương pháp hàm số” giải một số
dạng toán cụ thể ở lớp 12.
Bảng 1.2. Điều tra về tính hiệu quả khi sử dụng “phương pháp hàm số” để giải các
dạng tốn có liên quan
Mức độ hiệu quả

Các dạng tốn giải
bằng phƣơng pháp

1

hàm số
1.

Điều

kiện

2

3

4

5

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

2

10,0

8

40,0

5

25,0

3

15,0

2

10,0

1

5,0

7

35,0

6

30,0

4

20,0

2

10,0

3

15,0

6

30,0

7

35,0

3

15,0

1

5,0

có

nghiệm, biện luận số
nghiệm của phƣơng
trình mũ, lơgarit
2. GTLN-GTNN của
biểu thức đại số, hình
học

3. Bất phƣơng trình
mũ, lơgarit
Mức 1: Khơng hiệu quả

Mức 2: Ít hiệu quả

Mức 4: Hiệu quá

Mức 5: Rất hiệu quả

Mức 3: Bình thường


16

Biểu đồ 1.2. mức độ hiệu quả khi sử dụng “phương pháp hàm số” để giải tốn
Thơng qua biểu đồ 1.2 thấy rằng phần lớn giáo viên khi giảng dạy thực tế
học sinh của mình thấy hiệu quả của việc áp dụng phƣơng pháp hàm số vào giải
tốn cịn ít và bình thƣờng. Khoảng gần 30% GV cho thấy hiệu quả và rất hiệu quả.
Nhƣ vậy cũng có thể nói rằng áp dụng phƣơng pháp hàm số vào giải một số dạng
toán sẽ mang lại hiệu quả, nếu nhƣ GV hiểu rõ ý nghĩa của phƣơng pháp đó, góp
phần phát triển tƣ duy toán học cho học sinh, rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải
tốn.
+ Về khó khăn khi giảng dạy phương pháp hàm số
Khi đƣợc hỏi về trong q trình “rèn luyện kỹ năng giải tốn bằng phương
pháp hàm số cho học sinh lớp 12” gặp những khó khăn gì ở Câu hỏi 6 [Phụ lục 1],
thì 100% GV đều cho rằng để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bằng
phƣơng pháp hàm số, mất nhiều cơng sức để chọn lọc các dạng tốn; trong khi đó
thời gian dạy các chủ đề về các dạng tốn sử dụng phƣơng pháp hàm số thì q ít;
mức độ các bài tốn khó nhiều; thƣờng xuất hiện trong các đề thi TN THPT gần

đây; đặc biệt học sinh chƣa hiểu đƣợc giải toán bằng phƣơng pháp hàm số. Điều đó
cho thấy sự cần thiết “rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp hàm số cho
học sinh lớp 12”.