Chủ đề 11 một số DẠNG TÍCH PHÂN đặc BIỆT và NÂNG CAO

CHỦ ĐỀ 11: TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ NÂNG CAO
1) Một số dạng tích phân đặc biệt
 Mệnh đề 1: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [ −a;a ] thì
 Mệnh đề 2: Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [ −a;a ] thì

a

a

−a

0

∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx

a

∫ f (x)dx = 0

−a

 Mệnh đề 3: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [ −a;a ] thì
π
2

π
2

0

0

a

a

f (x)
∫−a m x + 1 dx = ∫0 f (x)dx

 Mệnh đề 4: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên [ 0;1] thì f (s inx)dx = f (cos x)dx
∫
∫
Để chứng minh hoặc tính tốn các tích phân đặc biệt trên, thông thường ta sử dụng các phương pháp đổi
biến như sau:
a

 Với I =

∫ f (x)dx ta có thể lựa chọn việc đặt x = −t

−a
π
2

π
 Với I = f (x)dx ta có thể lựa chọn việc đặt t = − x
∫
2
0

π

 Với I = ∫ f (x)dx ta có thể lựa chọn việc đặt t = π − x
0

 Với I =

2π

∫ f (x)dx ta có thể lựa chọn việc đặt t = 2π − x
0

Ví dụ 1: Cho f(x) là hàm số lẻ liên tục trên đoạn [ −1;1] và
A. I = −5

B. I = 5

−1

1

0

0

∫ f (x)dx = 10 . Tính I = ∫ f (x)dx

C. I = −10
Lời giải

1

0

1

−1

−1

0

D. I = 10

Do f(x) là hàm số lẻ nên ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = 0
1

0

−1

0

−1

0

⇒ ∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx = 10 Chọn D.
0

3

−3

−3

Ví dụ 2: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [ −3;3] và ∫ f (x)dx = 2 . Tính I = ∫ f (x)dx
A. I = 2

B. I = 4

C. I = −2
Lời giải
3

0

3

−3

−3

0

D. I = −4

Do f(x) là hàm số chẵn nên I = ∫ f (x)dx = 2 ∫ f (x)dx = 2 ∫ f (x)dx = 2.2 = 4 . Chọn D.


Ví dụ 3: Giả sử tích phân I =

π
2

x 2 + cos x
3
∫π 1 + 3x dx = aπ + bπ + c , trong đó a, b, c ∈ ¤ . Tính S = 8a + 4b + c

−

A.

5
3

B.

2

4
3

C.

8
3
Lời giải

D.

2
3

π
π
⇒t =
2
2
Đặt t = − x ⇒ dt = −dx và đổi cận
π
π
x= ⇒t =−
2
2
x=−

−

π
2

Khi đó I = − ∫
π
2

π
2

π

π

2 2
2
( −t ) 2 + cos (−t )
t + cos t
x 2 + cosx x
dt
=
dt
=
∫π 3t + 1
∫π 1 + 3x 3 dx
1 + 3− t
−
−
2
2
3t

π
2


1 x
π3
1
⇒ 2 I = ∫ ( x + cosx) dx ⇒ I =  + s inx ÷ =
+ 1 ⇒ a = ; b = 0; c = 1
2 3

24
π
 − π 24
−

3

2

2

2

Do đó S =

4
. Chọn B.
3
π

x sin xdx
= aπ2 + bπ + c , trong ú a, b, c Ô . Tính S = a + b − c
2
1 + cos x
0

Ví dụ 4: Giả sử tích phân I = ∫
A. S =

1

2

B. S =

−1
2

C. I =

1
4

D. I =

−1
4

Lời giải
π

π

π

π

x sin xdx
(π − t)sin( π − t)
( π − t)sint
( π − x)sinx dx

=∫
(−dt) = ∫
dt = ∫
2
2
2
1 + cos x 0 1 + cos (π − t)
1 + cos t
1 + cos 2 x
0
0
0

Đặt t = π − x ⇒ I = ∫
π

π

−1

−

π
4

sin xdx
− d(cos x)
du
π2
v = tan u

= π∫
= −π ∫
→ −π ∫ du =
Khi đó 2I = π ∫
1 + cos 2 x
1 + cos 2 x
1+ u2
2
π
0
0
1
4

Do đó I =

π2
1
1
⇒ a = ; b = c = 0 ⇒ S = . Chọn C.
4
4
4

2) Một số dạng tích phân vận dụng cao
 Dạng 1. Bài tốn tích phân liên quan đến các biểu thức sau:
(1) . u ( x). f '( x) + u '(x).f(x) = h(x)
(2).

u '( x). f ( x) − u (x).f'(x)

= h(x)
f 2 ( x)

Phương pháp giải:


'

 u  u ' v − v 'u
Áp dụng các công thức: (uv) ' = u ' v + v ' u và  ÷ =
v2
v
(1). Biến đổi: u ( x). f '( x) + u '(x).f(x) = h(x) ⇔ [ u ( x). f ( x) ] ' = h( x) ⇒ u ( x). f ( x) = ∫ h( x)dx
'

 u ( x) 
u '( x ). f ( x ) − u (x).f'(x)
u ( x)
(2). Biến đổi:
= h(x) ⇔ 
= h( x ) ⇒
= h( x )dx

2
f ( x)
f ( x) ∫
 f ( x) 
 Dạng 2. Bài tốn tích phân liên quan đến các biểu thức sau:
(1) . f '( x ) + f ( x) = h( x)
2). f '( x ) − f(x) = h(x)

Phương pháp giải:
(1). Biến đổi: f '( x ) + f ( x) = h( x) ⇒ e x . f '( x) + e x . f ( x) = e x .h( x)
⇔ e x . f ( x) ′ = e x .h( x) ⇔ e x . f ( x ) = ∫ e x .h( x )dx
(2). Biến đổi: f '( x ) − f ( x) = h( x) ⇒ e − x . f '( x ) − e − x . f ( x) = e − x .h( x)
⇔ e − x . f ( x) ′ = e− x .h( x ) ⇔ e − x . f ( x) = ∫ e − x .h( x)dx
 Dạng 3. Bài toán tổng quát: f '( x ) + p( x). f ( x) = h( x )
Phương pháp giải:
Nhân 2 vế với e ∫ p ( x ) dx ta được e ∫ p ( x ) dx . f '( x) + e ∫ p ( x ) dx . p( x). f ( x) = e ∫ p ( x ) dx .h( x)
⇔ e ∫


p ( x ) dx

′
p ( x ) dx
p ( x ) dx
p ( x ) dx
. f ( x)  = h( x).e ∫
⇒ e∫
. f ( x) = ∫ h( x).e ∫
dx


p ( x ) dx
p ( x ) dx
Tổng quát: e ∫
. f ( x) = ∫ h( x).e ∫
dx

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0; 2] thỏa mãn f (0) = 3 và

(2x + 3)f '(x) + 2 f(x) = 4x − 3x 2 . Tính f (2) bằng
A. f (2) = 1

B. f (2) =

9
7

C. f (2) =

1
5

D. f (2) =

Lời giải
Ta có: (2x + 3)f '(x) + 2 f(x) = 4x − 3x 2 ⇔ [ (2x + 3)f (x) ] ′ = 4x − 3x 2
2
2
3
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: (2x + 3)f (x) = ∫ (4x − 3x )dx = 2x − x + C

Do f (0) = 3 ⇒ 3f(0) = C ⇒ C = 9
Thay x = 2 ⇒ 7f (2) = 8 − 8 + 9 ⇒ f (2) =

9
. Chọn B.
7

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 1;3] thỏa mãn f (1) = 2 và

(x 2 + x + 2)f '(x) + (2x + 1)f (x) = 4x 3 + 2x . Khẳng định nào sau đây là đúng?

1
7


A. 2 < f (3) < 3

B. 3 < f (3) < 5

C. f (3) < 2
Lời giải

D. f (3) > 5

Ta có: (x 2 + x + 2)f '(x) + (2x + 1)f (x) = 4x 3 + 2x ⇔ (x 2 + x + 2)f (x) ′ = 4x 3 + 2x
2
3
4
2
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: (x + x + 2)f (x) = ∫ (4x + 2x)dx = x + x + C

Do f (1) = 2 ⇒ 4 f(1) = 2 + C ⇒ C = 6
2
4
2
Khi đó (3 + 3 + 2)f (3) = 3 + 3 + 6 ⇒ f (3) =

48
> 5 . Chọn D.

7

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 1; 4] thỏa mãn f (1) = 2 và
f(x) = x .f'(x) + 3x 4 − 4x 2 . Tính giá trị f (4)
A. f (4) = −2

B. f (4) = −196

C. f (4) = −48

D. f (4) = −193

Lời giải
4
2
Ta có f(x) = x .f'(x) + 3x − 4x ⇒

⇔

f (x) − x.f '(x)
= 3x 2 − 4
2
x

′
xf '(x) − f (x)
= −3x 2 + 4 (*). Mặt khác  f( x)  = x. f '( x ) 2− f ( x)
2
 x 
x

x

Lấy nguyên hàm 2 vế của (*) ta có:
Do f (1) = 2 ⇒

f( x)
= − x3 + 4 x + C
x

f (1)
= −1 + 4 + C ⇒ C = −1 ⇒ f (x) = − x 4 + 4x 2 − x
1

Khi đó f (4) = −196 . Chọn B.
π
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên ¡ . Biết rằng f  ÷ = 0 và
4
π
s inx.f'(x) + cos x.f (x) = s inx + cos x . Tính giá trị của f  ÷
2
π 
A. f  ÷ = 0
2

π  1
B. f  ÷ =
2 2

π 
C. f  ÷ = 2

2
Lời giải

Ta có: [ s inx.f(x) ] ′ = s inx.f '(x) + cos x.f (x)
Từ giả thiết lấy nguyên hàm 2 vế ta được: s inx.f (x) = − cos x + s inx + C
π
π
π
Do f  ÷ = 0 ⇒ −cos + sin + C = 0 ⇔ C = 0
4
4
4

Suy ra s inx.f (x) = s inx − cos x ⇒ sin

π π
π
.f  ÷ = 1 ⇒ f  ÷ = 1 . Chọn D.
2 2
2

π 
D. f  ÷ = 1
2


Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0; 2] thỏa mãn f '(x) + f(x) = x − 1 . Biết
f (0) = 9 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. f (2) = 9 e −2

B. f (2) = 9 e 2

C. f (2) = 1 + 9 e 2
Lời giải

D. f (2) = −1 + 9 e 2

Ta có: f '(x) + f(x) = x − 1 ⇔ e x .f '(x) + e x .f (x) = e x (x − 1)
⇔ e x .f (x) ′ = e x (x − 1) ⇒ e x .f (x) = ∫ e x (x − 1)dx
u = x − 1
du = dx
⇒
⇒ ∫ e x (x − 1)dx = (x − 1)e x − ∫ e x dx = (x − 2)e x + C
Đặt 
x
x
dv
=
e
dx
v
=
e


Do đó e x .f (x) = (x − 2)e x + C ⇒ f (x) =

(x − 2)e x + C
ex

Lại có f (0) = −2 + C = 7 ⇒ C = 9 ⇒ f (x) =

(x − 2)e x + 9
9
⇒ f (2) = 2 . Chọn A.
x
e
e

Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên ¡ . Biết rằng f (0) = 3 và
f (x) − f '(x) = 2x + 1 . Giá trị của f ( 1) thuộc đoạn
A. [ 0; 2]

B. [ 4;6]

C. [ 2; 4]
Lời giải

D. [ 6;8]

Ta có : f (x) − f '(x) = 2x + 1 ⇔ e − x f (x) − e − x .f '(x) = e − x (2x + 1)
Mặt khác e − x .f (x) ′ = e − x .f '(x) − e − x f (x)
−x
−x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: −e .f (x) = ∫ e (2x + 1)dx

 u = (2x + 1)dx du = 2dx
⇒
⇒ ∫ e − x (2x + 1)dx = −e − x (2x + 1) + ∫ 2e − x dx
Đặt 

−x
−x
dv
=
e
dx
v
=
−
e


⇒ −e − x .f (x) = −e − x (2x + 3) + C ⇔ e − x .f(x) = e − x (2 x + 3) + C
Do f (0) = 4 nên 4 = 3 + C ⇒ C = 1 ⇒ f (x) = 2x + 3 +

1
= f (x) = 2x + 3 + e x
−x
e

⇒ f (1) = 5 + e ∈ [ 6;8] . Chọn D.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ 0;1] , biết rằng f (0) =
(x 2 + 1)f '(x) + xf (x) = x 3 + 4x . Khi đó:
A. 0 < f (1) < 2

B. 2 < f (1) < 4

C. 4 < f (1) < 5
Lời giải

Ta có : (x 2 + 1)f '(x) + xf (x) = x 3 + 4x ⇔ f '(x) +

D. f (1) > 5

x
x 3 + 4x
f (x) = 2
x2 +1
x +1

13
và
3


xdx

Áp dụng cơng thức nhanh Dạng 3 ta có f ( x).e ∫ x
xdx

2

+1

xdx

x 3 + 4 x ∫ x2 +1
=∫ 2
.e
dx (*)

x +1

1

2
Ta tính: e ∫ x2 +1 = e 2 ln( x +1) = x 2 + 1

Do đó (*) ⇔ x 2 + 1. f ( x ) = ∫
=∫

x3 + 4 x 2
x + 1dx
x2 + 1

x(x 2 + 4)
1 
3  2
1
dx = ∫  x 2 + 1 +
d ( x + 1) =
( x 2 + 1)3 + 3 x 2 + 1 + C
÷
2
2
x +1
2 
3
x +1 

Do đó f ( x) =

x2 + 1
C
x 2 + 10
C
+3+
=
+
3
3
x2 + 1
x2 + 1

Mặt khác f (0) =

10
13
11 1
+ C = ⇒ C = 1 ⇒ f (1) = +
⇒ 4 < f (1) < 5 . Chọn C.
3
3
3
2

Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ 2; 4] , biết rằng f (2) = 6 và
(x 2 − 1)f '(x) + f (x) = x 2 + x . Tính f (4)
A. f (4) = 2 + 5

B. f (4) = 5 + 5

C. f (4) = 5 + 15
Lời giải

2
2
Ta có: (x − 1)f '(x) + f (x) = x + x ⇔ f '(x) +

f (x)
x
=
với x ∈ [ 2; 4]
2
x −1 x −1

Áp dụng cơng thức nhanh Dạng 3 ta có f ( x).e ∫ x
dx

Lại có e

∫ x2 −1

=e

1 x −1
ln
2 x +1

Do đó (*) ⇔ f ( x).

=

D. f (4) = 2 + 15

dx
2

−1

dx

x ∫ x2 −1
=∫
.e
dx (*)
x −1

x −1
x +1

x −1
x
x −1
xdx
1 d ( x 2 − 1)
=∫
dx = ∫
= ∫
= x2 −1 + C
2

2
x +1
x −1 x +1
x −1 2
x −1

x +1
3x + 3
+ x + 1 ⇒ f (2) = C 3 + 3 = 6 ⇒ f ( x) =
+ x +1
x −1
x −1

Suy ra f ( x ) = C

Vậy f (4) = 5 + 5 . Chọn B.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [ 1; e] , thỏa mãn
xf '(x) = x [ f (x) ] + 3f (x) +
2

A.

5
2e

B. −

4
và f (1) = −3 . Tính f (e)
x

5
2

Ta có xf '(x) = x [ f (x) ] + 3f (x) +
2

5
2e
Lời giải

C. −

D.

5
2

4
4
2
⇔ f (x) + xf '(x) = x [ f (x) ] + 4f (x) +
x
x


xf (x) ] ′
[
1
1
2

′
⇔ [ xf (x) ] = [ xf (x) + 2 ] ⇔
=
2
x
[ xf (x) + 2] x
Đặt g (x) = xf ( x) ta có:
⇔∫

d [ g(x) ]

[ g(x) + 2]

2

g '(x)

[ g(x) + 2]

=

1
g '(x) dx
dx
=∫
suy
ra
2
∫
x

x
[ g(x) + 2]

−1
−1
= ln x + C ⇔
= ln x + C
g(x) + 2
xf (x) + 2

= ln x + C ⇔

Do f (1) = −3 nên

2

−1
−5
−1
= 2 ⇔ f (e) =
= C ⇔ C = 1 . Suy ra
. Chọn C.
ef (e) + 2
2e
−1

Ví dụ 10: Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ ( 0; +∞ ) , đồng thời thỏa mãn điều kiện
f (x) = x ( s inx + f '(x) ) + cos x và
A. ( 6;7 )

3π
2

∫

f ( x)sin xdx = −4 . Khi đó, f (π ) nằm trong khoảng

π
2

B. ( 5;6 )

C. ( 12;13)

D. ( 11;12 )

Lời giải
Ta có f (x) = x ( s inx + f '(x) ) + cos x ⇔ f (x) − xf '(x) = x sin x + cos x
⇔

f (x) − xf '(x) x sin x + cos x
 f (x) ′
 cos x ′
=
⇔
−
=
−

÷

 x 
x2
x2
 x 

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:
3π
2

Khi đó:

∫

π
2

f (x) cos x
=
+ C ⇒ f (x) = cos x + Cx
x
x

3π
2

f ( x)sin xdx = ∫ (sin xcosx+Cxsinx)dx = −4 ⇒ C = 2
π
2

Suy ra f (x) = cos x + 2x ⇒ f ( π) = −1 + 2π ∈ (5;6) . Chọn B.

 π
Ví dụ 11: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn 0;  . Biết rằng
 3
π

3
 π
f '(x).cos x + f (x).s inx = 1, ∀x ∈ 0;  và f (0) = 1 . Tính tích phân I = f ( x )dx
∫
 3
0

A. I =

3 +1
2

B. I =

3 −1
2

C. I =

1
2

D. I =

Lời giải

f '(x).cos x + f (x).s inx = 1 ⇔

f '(x).cos x + f (x).s inx
1
1
 f (x) ′
=
⇔
=
2
2
2


cos x
cos x
 cos x  cos x

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:

f (x)
= tanx + C . Theo giả thiết f (0) = 1 ⇒ C = 1
cos x

1 π
+
2 3


π

3

π
3

π
3

π
Khi đó I = f ( x )dx = (tanx+1)cosxdx = (s inx + cosx)dx = ( − cos x + s inx) 3 = 3 + 1
∫0
∫0
∫0
0
2

Chọn A.
 π
Ví dụ 12: Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm tại mọi  0; ÷, đồng thời thỏa mãn hệ thức
 2
f (x) + tanx .f'(x) =

x
. Biết rằng
cos3 x

π 
3 f  ÷−
3

π 
f  ÷ = aπ 3 + b ln 3 trong đó a, b ∈ ¡ . Tính giá trị của
6

biểu thức P = a + b
A. P =

14
9

B. P =

−4
9

C. P =

7
9

D. P =

Lời giải
Ta có f (x) + tanx .f'(x) =

x
x
x
⇔ cos.f(x) + sin xf '(x) =
⇔ [ s inx.f (x) ] ′ =

3
2
cos x
cos x
cos 2 x

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: s inx.f (x) = ∫

xdx
cos 2 x

u = x
du = dx
xdx

⇒ sin x.f (x) = ∫
= x tan x − ∫ tan xdx
Đặt 
dx ⇒ 
cos 2 x
 v = tan x
dv = cos 2 x
⇒ sin x.f (x) = x tan x + ln cos x
Do đó

π 
3 f  ÷−
3
2

π 
f ÷
 6  = π 3 + ln 1 − π − ln 3 = 5π 3 − ln 3
3
2 6 3
2
18

Suy ra

π 
3 f  ÷−
3

5

−4
a =
 π  5π 3
f  ÷=
− ln 3 ⇒ 
9 ⇒ a+b =
. Chọn B.
9
9
6
b = −1
3

x

−x
Ví dụ 13: Tính tích phân I = ∫ min { e ;e } dx
−1

A. I =

2
−2
e

B. I =

2
+2
e

x
−x
x
Xét phương trình e = e ⇔ e =

2
e
Lời giải

C. I = 2 −

1
⇔ ex = 1 ⇔ x = 0
x

e

x
−x
x
−x
x
Suy ra trên [ −1;0] → e − e < 0 ⇒ min { e ; e } = e
x
−x
x
−x
−x
Và trên [ 1;3] → e − e > 0 ⇒ min { e ; e } = e
0

3

−x
Vậy I = ∫ e dx + ∫ e dx = 2 −
x

−1

0

2
. Chọn C.
e

D. I =

2
e

−2
9


3

3
2
Ví dụ 14: Tính tích phân I = ∫ max { x ; 4 x − 3 x} dx
0

A. I =

117
2

B. I =

275
12

C. I = 19

D. I = 27

Lời giải
x = 0
3
2
3
2
Xét phương trình x = 4 x − 3x ⇔ x − 4 x + 3x = 0 ⇔ 
 x = 1; x = 3
3
2
3
2
3
Suy ra trên [ 0;1] → x − (4 x − 3x) > 0 ⇒ max { x ; 4 x − 3 x} = x
3
2
3
2
2
Và trên [ 1;3] → x − (4 x − 3 x) < 0 ⇒ max { x ; 4 x − 3 x} = 4 x − 3 x
1

3

2
Vậy I = ∫ x dx + ∫ (4 x − 3x) dx =
3

0

1

275
. Chọn B.
12

π
2

Ví dụ 15: Tính tích phân I = min { s inx;cosx} dx
∫
0

A. I = 2 − 2

B. I = 2

C. I = 2 + 2
Lời giải

π
π

Xét phương trình s inx − cos x = 0 ⇔ sin  x − ÷ = 0 ⇔ x =
4
4

 π
Suy ra trên 0;  → s inx − cos x < 0 ⇒ min { s inx;cos x} = sinx
 4

 π
Và trên 0;  → s inx − cos x > 0 ⇒ min { s inx;cos x} = cos x
 4
π
4

π
2

0

π
4

Vậy I = ∫ s inx dx + ∫ cosxdx = 2 − 2 . Chọn D.

D. I = 2 − 2


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn f ( x ) + f (− x ) = 2 + 2cos2x , ∀x ∈ ¡ . Tính

I=

3π
2

∫

f ( x)dx

3π
−
2

A. I = −6

B. I = 0

D. I = 6

C. I = −2

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn f ( x) + f (− x) = 3 − 2cosx, ∀x ∈ ¡ . Tính

I=

π
2

∫

f ( x) dx

π
−
2

A. I =

π −1
3

B. I =

π
+2
2

C. I =

3π
−2
2

D. I =

π +1
2

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn f ( − x) + 2 f ( x) = cosx . Tính I =

π
2

∫

f ( x) dx

π

−
2

A. I =

1
3

B. I =

4
3

C. I =

2
3

D. I = 1

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn f ( x) + f (− x) = sin 2 x . Tính I =

π
2

∫

f ( x)dx

π

−
2

B. I =

A. I = 0

1
2

C. I = 2

D. I = −2
1

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn 2 f (− x ) − f ( x) = x . Tính I =
3

∫ f ( x)dx

−1

B. I =

A. I = 0

4
3

C. I =

2
3

D. I = 1

1

1

f ( x)
dx = 4 , trong đó hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [ −1;1] . Tính I = ∫ f ( x)dx
Câu 6: Cho ∫
1 + 2x
−1
−1
A. I = 2

B. I = 16

C. I = 4

D. I = 8

2

x 2016
dx
Câu 7: Tính tích phân I = ∫ x
e +1

−2
A. I =

22016
2017

B. I =

22018
2017

C. I =

22017
2017

D. I =

Câu 8: Cho hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [ −2; 2] . Tìm khẳng định luôn đúng?

22018
2018


2

A.

∫

−2

C.

2

2

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x )dx

B.

∫ f ( x)dx = 0

0

−2

2

0

2

−2

−2

∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx

2

∫

D.

−2

f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx
0

1

1

Câu 9: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ thỏa

∫

f ( x)dx = 2 . Tính

−1

A. 1

B. 2

C.

∫ f ( x)dx

0

1
2

D.

1
4

0

Câu 10: Cho f(x) là hàm số chẵn trên ¡ thỏa mãn

∫ f ( x)dx = 2 . Chọn mệnh đề đúng?

−3
3

A.

∫ f ( x)dx = 2

3

B.

−3

3

∫ f ( x)dx = 4

C.

−3

0

∫ f ( x)dx = −2

D.

0

∫ f ( x)dx = 2
3

1

2017
x 2 + 2017 dx
Câu 11: Tính tích phân I = ∫ x
−1

A. I = 0

B. I = 2

Câu 12: Cho f là hàm số liên tục trên [ a; b ] thỏa

b

∫
a

A. I = 7

D. I =

C. I = −2

B. I = a + b − 7

1
3

b

f ( x)dx = 7 . Tính I = ∫ f (a + b − x)dx
a

C. I = 7 − a − b

Câu 13: Cho hàm số f(x) là hàm chẵn, có đạo hàm trên đoạn

D. I = a + b + 7

[ −6;6] .

2

Biết rằng

∫ f ( x)dx = 8 và

−1

3

6

1

−1

∫ f (−2 x)dx = 3 . Tính I = ∫ f ( x)dx
A. I = 11

B. I = 5

C. I = 2

D. I = 14

0

Câu 14: Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn

∫ f ( x)dx = a . Mệnh đề nào sau đây đúng?

−2
2

A.

∫

f ( x)dx = − a

0

2

B.

∫

−2

Câu 15: Cho hàm số f(x) là hàm số lẻ

∫

−2

B. I = −2

C.

∫

f ( x)dx = 0

D.

−2
0

A. I = 2

−2

2

f ( x)dx = 2a

∫ f ( x)dx = a
0

2

f ( x)dx = 2 . Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx
0

C. I = 1

D. I = −1

3

Câu 16: Cho hàm số f(x) là hàm chẵn và liên tục trên ¡ , thỏa mãn I = ∫ f ( x)dx = 6 . Tính tích phân
0

J=

π
2

∫ cos x. f (3sin x)dx

−

π
2

A. J = 0

B. J = 3

C. J = 6

D. J = 4

2

Câu 17: Cho tích phân I =

∫ f ( x)dx = 5 trong đó f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [ −1; 2] . Tính tích phân

−1

2

∫ f (1 − x)dx

−1

A. −1

C. 5

B. 2

D. 8

π
4

a
Câu 18: Biết I = ln(1 + tanx)dx = a ln c với a,b,c ∈ ¢ + và là phân số tối giản. Giá trị a + 2b − c thuộc
∫0
b
b
khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (17;19)

B. (25; 27)
π

π

0

0

C. (31;33)

D. (41; 43)

C. 2π

D. 4

Câu 19: Biết ∫ xf(sin x) dx = 2π . Tính ∫ f(sin x) dx
B. π

A. 1
π

π

2
Câu 20: Biết ∫ f(sin x)dx = . Tính ∫ xf(s inx)dx
3
0
0
A.

π
3

B.
5

Câu 21: Biết

∫
1

2π
3

2
3

D. 2

2 x − 2 +1
dx = 4 + a ln 2 + b ln 5 với a,b ∈ ¢ . Tính S=a+b
x

A. S = 9

B. S = 11
4

Câu 22: Tích phân

∫x

2

− 3x + 2 dx =

−1

A. 22

C.

C. S = −3

D. S = 5

a
a
với a,b ∈ ¥ * và là phân số tối giản. Tính a+2b
b
b

B. 17

Câu 23: Cho các số thực m, n thỏa mãn

C. 23

D. 67

1

1

a

b

∫ (1 − x)dx = m và ∫ (1 − x)dx = n

trong đó a, b là các số thực

1

a < 1 < b . Tính tích phân I = ∫ 1 − x dx
a

A. I = − m − n

B. I = n − m

C. I = m − n

D. I = m + n


4

2
Câu 24: Tính tích phân I = ∫ max { x + 1; 4 x − 3} dx

0

A. I =

80
3

B. I =

76
3

C. I = 24

D. I =

148
3

C. I = 18

D. I =

2
3

C. I =

11
6

D. I =

27
2

C. I =

2
3

D. I =

4
3

C. I =

5
3
− 4 ln
2
2

D. I =

7
3
− 2 ln
2

2

C. I =

9
2

D. I =

8
3

4

2
Câu 25: Tính tích phân I = ∫ max { x ; 4 x − 3} dx
2

A. I =

56
3

B. I =

58
3

2

2
Câu 26: Tính tích phân I = ∫ min { x; x } dx
0

A. I = 9

B. I =

9
2

2

2
Câu 27: Tính tích phân I = ∫ min { 1; x } dx
0

A. I =

8
3

B. I = 2
2

 3x − 1

; 2 − x dx
Câu 28: Tính tích phân I = ∫ max 
 x +1


0
A. I =

9
3
− 4 ln
2
2

B. I =

3
3
− 2 ln
2
2

2

2
Câu 29: Tính tích phân I = ∫ max { x; x } dx
0

A. I =

17
6

B. I =

2
3

4

2
Câu 30: Tính tích phân I = ∫ max { x − 2 x + 1; x + 1} dx
0

A. I =

83
6

B. I =

7
6

C. I = −

7
6

D. I = −

83
6

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Lấy tích phân 2 vế của f ( x) + f (− x) = cos2 x cận từ −
3π
2

∫

f ( x)dx +

3π
−
2

3π
2

∫

f ( − x)dx =

3π
−
2

3π
2

∫

2(1 + cos2x)dx = 2

3π
−
2

3π
2

∫

3π
3π
→
ta có:
2
2

cosx dx = 12 (Sử dụng máy tính Casio)

3π
−
2

−3π
3π
⇒t =
2
2
Đặt t = x ⇒ dt = − dx và đổi cận

3π
−3π
x=
⇒t =
2
2
x=

3π
2

Khi đó

∫

f (− x )dx = −

3π
−
2
3π
2

Suy ra

∫

3π
−
2

3π
2

∫

f (t )dt =

3π
−
2

f ( x)dx +

3π
2

∫

3π
2

∫

f (t )dt =

3π
−
2

3π
2

∫

f ( x)dx

3π
−
2

f (− x)dx = 2 I = 12 ⇒ I = 6 . Chọn D.

3π
−
2

Câu 2: Ta có f ( x) + f (− x) = 3 − 2cos x ⇒

π
2

π
2

∫

f ( x)dx + ∫ f (− x)dx =

π

−
2

π
−
2

π
2

∫ (3 − 2cosx)dx

−

π
2

−π
π
⇒t =
2
2
Đặt t = x ⇒ dt = − dx và đổi cận
π
−π
x= ⇒t =
2
2
x=

π
2

Khi đó

∫

π
−
2

π
2

π
2

π
−
2

π
−
2

f (− x)dx = − ∫ f (t )dt =

Do đó (*) ⇔ 2 I = (3 x − 2s inx)

π

2
π
−
2

∫

π
2

f (t )dt = ∫ f ( x )dx = I
−

π
2

= 3π − 4 ⇒ I =

Câu 3: Ta có f ( − x) + 2 f ( x) = cos x ⇒

π
2

∫

π
−
2

π

2

π
2

π
−
2

π
−
2

f ( x)dx + 2 ∫ f ( − x)dx =

−π
π
⇒t =
2
2
Đặt t = x ⇒ dt = − dx và đổi cận
π
−π
x= ⇒t =
2
2
x=

3π
− 2 . Chọn C.

2

∫ cosxdx

(*)

(*)


π
2

Khi đó

∫

π
−
2

π
2

π
2

π
2

π

−
2

−

f (− x)dx = − ∫ f (t )dt =

Do đó (*) ⇔ 3I = s inx

π
2
π
−
2

∫

=2⇒ I =

π
2

f (t )dt = ∫ f ( x )dx = I
−

π
2

2
. Chọn C.

3

Câu 4: Ta có: f ( x) + f (− x) = sin 2 x ⇒

π
2

∫

π
−
2

π
2

f ( x)dx + ∫ f (− x) dx =
π
−
2

π
2

∫ sin 2 xdx (*)

−

π
2

−π
π
⇒t =
2
2
Đặt t = x ⇒ dt = − dx và đổi cận
π
−π
x= ⇒t =
2
2
x=

π
2

Khi đó

∫

π
−
2

π
2

π
2

π
2

π
−
2

−

f (− x)dx = − ∫ f (t )dt =

∫

π
2

f (t )dt = ∫ f ( x )dx = I
−

π
2

π

− cos 2 x 2
= 0 ⇒ I = 0 . Chọn A.
Do đó (*) ⇔ 2 I =
π
2

−
2

1

1

1

−1

−1

−1

3
Câu 5: Ta có 2 f (− x ) − f ( x) = x ⇒ 2 ∫ f (− x) dx − ∫ f ( x )dx = ∫ x dx (*)
3

Đặt t = x ⇒ dt = − dx và đổi cận
1

Khi đó

∫

−1

1

f (− x)dx = − ∫ f (t )dt =
−1

x4
⇔
I
=
Do đó (*)
4

x = −1 ⇒ t = 1
x = 1 ⇒ t = −1
1

∫

−1

1

f (t )dt = ∫ f ( x )dx = I
−1

1

= 0 ⇒ I = 0 . Chọn A.
−1

Câu 6: Đặt t = x ⇒ dt = − dx và đổi cận
1

Khi đó

K=

1

x = −1 ⇒ t = 1
x = 1 ⇒ t = −1

1

1

1

f ( x)
f (−t )
f (t )
2t. f (t )
2 x. f ( x)
dx
=
−
dt
=
dt
=
dt
=

∫ 1 + 2x
∫ 1 + 2−t −∫1 1
∫1 1 + 2t
∫1 1 + 2 x dx
−1
−1
−
−
1+ t
2
1

1

1

1

2 x. f ( x )
f ( x)
dx + ∫
dx = ∫ f ( x)dx ⇒ ∫ f ( x)dx = 2 K = 8 . Chọn D.
Suy ra 2 K = ∫
x
1+ 2
1 + 2x
−1
−1
−1
−1

Câu 7: Đặt t = x ⇒ dt = − dx và đổi cận

x = −1 ⇒ t = 1
x = 1 ⇒ t = −1


2

I=

Khi đó

2

2

2

2

x 2016
t 2016
t 2016
t 2016 .et
e x .x 2016
dx
=
−
dt
=

dt
=
dt
=
∫−2 e x + 1
∫−2 e−t + 1 −∫2 1
∫−2 et + 1
∫−2 e x + 1 dx
+1
et
2

2

2

2

e x .x 2016
x 2016
x 2017
2.22017
dx + ∫ x
dx = ∫ x 2016 dx =
=
Suy ra 2 I = ∫ x
e +1
e +1
2017 −2 2017
−2

−2
−2
Do đó I =

22017
. Chọn C.
2017

Câu 8: Do f(x) là hàm lẻ thì f ( − x) = − f ( x)
a

Ta có

a

∫

f ( x )dx = − ∫ f ( − x)dx =

−a

−a

a

Do đó 2 ∫ f ( x)dx = 0 ⇔
−a

a

∫

−a

a

a

−a

f (− x )d ( − x) 
→ ∫ f (t)dt = − ∫ f (x)dx
t =− x

−a

a

∫

f ( x)dx = 0 . Chọn B.

−a

Câu 9: Do f(x) là hàm chẵn thì f (− x ) = f ( x )
0

Ta có:

∫

−a
a

Do đó

∫

Do đó

∫

−1

0

0

a

−a

a

a

0

0

f ( x )dx =

−a
1

0

t =− x
f ( x)dx = − ∫ f (− x)d (− x) 
→ − ∫ f (t)dt = − ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx

∫

−a

a

a

0

0

0

−a

f ( x)dx + ∫ f ( x )dx = 2∫ f (x)dx = 2 ∫ f (x)dx

1

1

0

0

f ( x)dx = 2 ∫ f (x)dx ⇒ ∫ f (x)dx = 1 . Chọn A.
3

Câu 10: Do f(x) là hàm chẵn trên ¡ nên

∫

−3

3

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x )dx = 4 . Chọn B.
0

1

2017
x 2 + 2017dx = 0
Câu 11: Do f ( x) = x 2017 x 2 + 2017 là hàm số lẻ trên ¡ nên I = ∫ x
−1

Chọn A.
Câu 12: Đặt t = a + b − x ⇒ dt = − dx . Đổi cận

b

a

b

a

b

a

x=a⇒t =b
x=b⇒t =a

Khi đó I = ∫ f (a + b − x )dx = − ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx = 7 . Chọn A.
Câu 13: Do f(x) là hàm chẵn nên
6

=

6

3

3

1

−1

∫ f (−2 x)dx = ∫

3

1
f (2 x)dx = ∫ f (2 x)d (2 x)
2 −1

6

1
1
f (t)dt = ∫ f ( x )dx = 3 ⇒ ∫ f ( x )dx = 6
∫
2 −2
2 −2
−2
6

Khi đó I =

∫

−1

2

f (t)dx =

∫

−1

6

f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 8 + 6 = 14 . Chọn D.
2

Câu 14: Hàm số f(x) là hàm chẵn thì f ( − x) = f ( x)


0

Ta có ∫

−a

a

Do đó

0

0

0

0

−a

a

a

a

t =− x
f ( x )dx = − ∫ f ( − x)d (− x) 
→ − ∫ f (t)dt = − ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx

∫

0

f ( x )dx =

−a

∫

−a

a

a

0

0

0

−a

f ( x)d ( x) + ∫ f ( x )dx = 2∫ f (x)dx = 2 ∫ f (x)dx = 2a . Chọn B.
2

Câu 15: Do f(x) là hàm số lẻ nên

∫

0

f ( x)dx = 0 ⇔

−2
2

0

0

−2

∫

−2

2

f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = 0
0

Suy ra I = ∫ f ( x)dx = − ∫ f (x)dx = −2 . Chọn B.

3

Câu 16: Do f(x) là hàm chẵn nên

∫

−3

π
2

3

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx
0

π
2

3

3

1
1
1
t =3sin x
J = ∫ cos x. f (3sin x)dx = ∫ f (3sin x)d (3sin x) →
J = ∫ f (t )dt = ∫ f (x)dx
3 π
3 −3
3 −3
π
−

−

2

2

3

1
2
= .2∫ f ( x)dx = .6 = 4 . Chọn D.
3 0
3
Câu 17: Đặt t = 1 − x ⇔ dt = −dx . Đổi cận
2

Khi đó I =

∫

−1

−1

f (1 − x) dx = − ∫ f (t )dt =
2

x = −1 ⇒ t = 2
x = 2 ⇒ t = −1

2

∫ f ( x)dx = 5 . Chọn C.

−1

π

x =0→t =

π

4
Câu 18: Đặt t = − x ⇔ dt = − dx và 
4
x = π → t = 0

4

π
4



π

π

Do đó I = ∫ ln 1 + tan  − t ÷ (−dt ) = ∫ ln 1 + tan  − x ÷dx
 4 
4



π
0
0

4

π

π

4
4
1 − tan x
2
π


2
π
=
Mà 1 + tan  − x ÷ = 1 +
suy ra I = ln
dx
=
ln 2dx − 1 ⇔ I = ln 2
∫
∫
4
1
+
tan
x
1
+
tan
x


1 + tan x
8
0
0

a = π
a


Lại có I = .ln c → b = 8 . Vậy a+2b-c=π +2.8-2 ∈ (17;19) . Chọn A.
b
c = 2

x = 0 → t = π
Câu 19: Đặt t = π − x ⇔ dx = − dt và 
x = π → t = 0


π

0

π

0

π

0

Do đó ∫ xf(s inx) dx = ∫ (π − t ). f [ sin(π − t ) ] ( −dt ) = ∫ (π − x) f (s inx) dx
π

π

π

0

0

0

= π ∫ f(s inx)dx − ∫ x .f(s inx)dx ⇔ ∫ f(s inx)dx =

π

2
. f(s inx)dx = 4 . Chọn D.
π ∫0

x = 0 → t = π
Câu 20: Đặt t = π − x ⇔ dx = − dt và 
x = π → t = 0
π

0

π

0

π

0

Do đó ∫ xf(s inx) dx = ∫ (π − t ). f [ sin(π − t ) ] ( −dt ) = ∫ (π − x) f (s inx) dx
π

π

π

π

0

0

0

0

= π ∫ f(s inx) dx − ∫ x .f(s inx)dx ⇔ 2.∫ x .f(s inx)dx = π ∫ f(s inx)dx
π

Vậy ∫ x .f(s inx)dx =
0

2

Câu 21: Ta có I = ∫
1

π
. Chọn A.
3
5
2

5
2 x − 2 +1
2 x − 2 +1
5 − 2x
2x − 3
dx + ∫
dx = ∫
dx + ∫
dx = 4 + 8ln 2 + 3ln 5
x
x
x
x
2
1
2

a = 8
Mà I = 4 + a.ln 2 + b.ln 5 → 
. Vậy S = a + b = 8 + 3 =11. Chọn B.
b = 3
x = 1
2
Câu 22: Xét phương trình x − 3 x + 2 = 0 ⇔ 
x = 2
2
2
Do đó trên [ −1;1] , [ 2; 4] → x − 3 x + 2 > 0 và [ 1; 2] → x − 3 x + 2 < 0
1

2

4

2
Vậy I = ∫ (x − 3 x + 2) dx − ∫ (x − 3 x + 2) dx + ∫ (x − 3x + 2) dx =
2

2

−1

1

2

19 a = 19
⇒
. Chọn C.
2
b = 2

1

b

1

b

1

1

a

1

a

1

a

b

Câu 23: Ta có I = ∫ 1 − x dx + ∫ 1 − x dx = ∫ (1 − x )dx − ∫ (1 − x)dx = ∫ (1 − x)dx + ∫ (1 − x) dx = m + n
Chọn D.
2
2
2
{ x 2 + 1; 4 x − 3} = x 2 + 1
Câu 24: Ta có x + 1 − (4 x − 3) = x − 4 x + 4 = ( x − 2) ≥ 0 → max
[ 0;4]
4

 x3

43
80

Suy ra I = ∫ ( x + 1) dx =  + x ÷ = + 4 = . Chọn A.
3
 3
0 3
0
4

2

x = 1
2
2
Câu 25: Xét phương trình x = 4 x − 3 ⇔ x − 4 x + 3 = 0 ⇔ 
x = 3
2
2
Suy ra trên [ 2;3] → x − 4 x + 3 < 0 ⇒ max { x ; 4 x − 3} = 4 x − 3
2
2
2
Và trên [ 3; 4] → x − 4 x + 3 > 0 ⇒ max { x ; 4 x − 3} = x
3

4

2

3

2

Vậy I = ∫ (4 x − 3) dx + ∫ x dx =

58
. Chọn B.
3


x = 0
2
Câu 26: Xét phương trình x = x ⇔ x ( x − 1) = 0 ⇔ 
x =1
2
2
2
Suy ra trên [ 0;1] → x − x < 0 ⇒ min { x; x } = x
2
2
Và trên [ 1; 2] → x − x > 0 ⇒ min { x; x } = x
1

1

2

2

x3
x2
11
+

= . Chọn C.
Vậy I = ∫ x dx + ∫ xdx =
3 0 2 1 6
0
1
2

x =1
2
2
Câu 27: Xét phương trình x = 1 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ 
 x = −1
2
2
2
Suy ra trên [ 0;1] → x − 1 < 0 ⇒ min { 1; x } = x
2
2
Và trên [ 1; 2] → x − 1 > 0 ⇒ min { 1; x } = 1
1

1

2

x3
1
4
2
+ x 1 = + 1 = . Chọn D.

Vậy I = ∫ x dx + ∫ 1dx =
3 0
3
3
0
1
2

Câu 28: Xét phương trình
Suy ra trên [ 0;1] →
Và trên [ 1; 2] →

0 ≤ x ≤ 2
3x − 1
= 2− x ⇔ 
⇔ x =1
x +1
3x − 1 = ( x + 1)(2 − x)

3x − 1
 3x − 1

− 2 + x < 0 ⇒ max 
; 2 − x = 2 − x
x +1
 x +1


3x − 1
 3x − 1

 3x − 1
− 2 + x > 0 ⇒ max 
; 2 − x =
x +1
 x +1
 x +1

1

2

3x − 1
9
3
dx = − 4 ln . Chọn A.
x +1
2
2
1

Vậy I = ∫ (2 − x ) dx + ∫
0

x = 0
2
Câu 29: Xét phương trình x = x ⇔ x ( x − 1) = 0 ⇔ 
x =1
2
2
Suy ra trên [ 0;1] → x − x < 0 ⇒ max { x; x } = x

2
2
2
Và trên [ 1; 2] → x − x > 0 ⇒ max { x; x } = x
1

1

2

2

x2
x3
17
+
= . Chọn A.
Vậy I = ∫ x dx + ∫ x dx =
2 0 3 1 6
0
1
2

x = 0
2
Câu 30: Xét phương trình x − 2 x + 1 = x + 1 ⇔ 
x = 3
2
2
Suy ra trên [ 0;3] → x − 2 x + 1 − ( x + 1) < 0 ⇒ max { x − 2 x + 1; x + 1} = x + 1

2
2
2
Và trên [ 3; 4] → x − 2 x + 1 − ( x + 1) > 0 ⇒ max { x − 2 x + 1; x + 1} = x − 2 x + 1
3

4

0

3

2
Vậy I = ∫ ( x + 1) dx + ∫ ( x − 2 x + 1) dx =

83
. Chọn A.
6