Chủ đề 13 ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

CHỦ ĐỀ 13: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH
1) Tính thể tích vật thể
Cắt một vật thể

 H

bởi hai mặt phẳng

 P

và

 Q

vng góc với trục Ox lần lượt tại

x  a; x  b  a  b  . Một mặt phẳng tuỳ ý vng góc với Ox tại điểm x ( a �x �b ) cắt  H  theo thiết
diện là S  x  (hình vẽ). Giả sử S  x  liên tục trên đoạn  a; b  .

Khi đó thể tích V của vật thể  H  giới hạn bởi hai mặt phẳng  P  và  Q  được tính bởi cơng thức:
b

V �
S  x  dx.
a

2) Tính thể tích vật trịn xoay sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox
Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a và

 a  b

xb

quay quanh trục Ox tạo thành một khối

trịn xoay (hình vẽ). Khi đó ta có thể tích vật thể là:
b

V S  x  dx
a

Mặt khác tại điểm x ta có S  x  là một hình trịn có
bán kính R  f  x 
� S  x    R 2   f 2  x  . Vậy VOx  

b

�f  x  dx.
2

a

Trong trường hợp S  x  giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
y  f  x  và y  g  x  ta được khối trịn xoay có thể tích là:
b

VOx   �f 2  x   g 2  x  dx.
a

Chú ý: Khi bài toán không cho hai đường thẳng giới hạn
x  a và x  b thì ta giải phương trình f  x   g  x  để

tìm cận của tích phân, trong đó x  a là nghiệm nhỏ nhất
và x  b là nghiệm lớn nhất của phương trình.


3) Tính thể tích vật trịn xoay sinh bởi diện tích S quay quanh trục Oy
Thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  trục Oy và hai
đường thẳng y  f  a  ; y  f  b  .
- Bước 1: Biến đổi y  f  x  về dạng x  f1  y  .
- Bước 2: Khi đó VOy  

f  b

�f  y  dy.

f  a

2
1

Tương tự: Trong trường hợp VOy sinh ra bởi diện tích hình phẳng
của hai đồ thị hàm số y  f  x  ; y  g  x  và hai đường thẳng
n

y  m ; y  n ta có VOy   �
f12  y   g12  y  dy.
m

Chú ý: Khi quay diện tích hình phẳng S quanh trục Ox ta được
khối trịn xoay có thể tích VOx . Khi quay quanh trục Oy ta được
khối trịn xoay có thể tích VOy .

Hầu như VOx không bằng VOy . Chúng chỉ bằng nhau trong một số
trường hợp đặc biệt.
4) Ứng dụng tính thể tích khối cầu, khối chỏm cầu và một số hình đặc biệt
a) Thể tích của khối cầu
Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường trịn có phương trình:  P  : x 2  y 2 r 2 với r  0; y �0 (hình vẽ).
Quay nửa hình trịn đó quanh trục hồnh ta được một mặt cầu có bán kính r.
4 3
Thể tích của mặt cầu này là: V   rđvtt
 .
3
Thật vậy: Ta có x 2  y 2 r 2  y  r 2  x 2
Với y 0 ta có: y  r 2  x 2 có đồ thị là nửa đường trịn phía
trên trục hồnh.
Khi
đó
r



V  �r x
r

2

thể

2



2

tích

khối

cầu
r

r

�2
x3 �
dx  2 �
 r  x  dx  2 �r x  3 �
�
�0
0
2

2

�3 r 3 � 4 r 3
 2 �rđvtt
 �
� 3� 3





b) Thể tích khối chỏm cầu
Khi quay hình phẳng tơ đậm quanh trục Ox ta được khối 3 chỏm cầu bán kính r và chiều cao h.


�
r

Khi đó: VC  

r 2  x2

r h



2

dx  

r

r
�

 x 2  dx

2

r h

r

�r x
�
� h�
  �  x3 �   h 2 �r  �
.
� 3�
�3
�r  h
2

c) Thể tích khối nêm (xem hình vẽ)
�NP  R 2  x 2
� � tan   h � �
Đặt OP  x; h  MN ;   MPN
�
R
�MN  NP tan 
R
1
1
h
V �
S  x  dx trong đó S  x   MN .NP   R 2  x 2  . .
2
2
R
R

R
1
h
1 h � 3 2 R 3 � 2 R 2 h 2 R 3 tan 
�V  �
R 2  x 2  . dx 
.�
2R 


�
2 R
R
2R �
3 � 3
3

5) Hệ thống Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 ; y  0; x  2 . Tính thể tích V của khối trịn
xoay thu được khi quay  H  quanh trục Ox.
8
32
A. V  .
B. V  .
3
5
Lời giải:

C. V 

8
.
3

D. V 

32
.
5

2

x5
32
x dx   .

. Chọn D.
Thể tích cần tính là V   �
5 0
5
0
2

4

Ví dụ 2: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  x 2  1 , trục hoành và các đường thẳng
x  0, x  1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh có thể tích V bằng bao nhiêu?
4
4
A. V  .

B. V  2 .
C. V  .
D. V  2.
3
3
Lời giải:
1
2
4
2
. Chọn A.
Thể tích cần tính bằng V   � x  1 dx 
3
0





Ví dụ 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  cos x , trục hoành và các đường thẳng
x  0; x 


. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh có thể tích V bằng:
2

A. V     1  .

B. V    1.


2





2


2

Thể tích cần tính bằng V  
 2  cos x  dx    2 x  sinx 
� 2  cos x dx   �
0

D. V     1  .

C. V    1.
Lời giải:

0


2
0

    1  . Chọn A.

Ví dụ 4: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi đường cong  C  : y  x 2  4 x và đường thẳng d : y  x.
Tính thể tích V của vật thể trịn xoay do hình phẳng  H  quay xung quanh trục hoành.
81
81
108
108
.
.
.
.
A. V 
B. V 
C. V 
D. V 
10
5
5
10
Lời giải:
 x 0
2
2
Phương trình hồnh độ giao điểm là:  x  4 x  x   x  3 x 0  
 x 3
3

 4 x  x 2   x 2 dx 
Thể tích cần tìm là: V   �
2

0

108
. Chọn C.
5

Ví dụ 5: Tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  x ln  1  x 3  ; y  0; x  1 khi xoay quanh trục Ox.
�2 ln 2 1 �
 �
.
A. V   �
3�
�3

�ln 2 1 �
.
B. V   �  �
�3 3 �



2 ln 2 1 �
2�
 �
.
C. V   �
3�
�3
Lời giải:

ln 2 1 �
2�
.
D. V   �  �
�3 3 �



Phương trình hồnh độ giao điểm là: x ln 1  x 3 0  x 0
1

x 2 ln  1  x 3  dx
Gọi V là thể tích khối trịn xoay cần tìm ta có: V   �
0

�
3x
du

3
�
�x3  1
�
u  ln  1  x 
�
�
1  x3
�
��

�
V


ln  1  x 3 
Đặt �
3
2
�
3
x 1
dv  x dx
�
�
�
v
�
3
�
�2 ln 2 1 �
 �
 � đvtt  . Chọn A.
3�
�3
2

1
�
�
x 2 dx �

�
0
0
�

1

Ví dụ 6: Thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  0, y  x ln  x  1 ; x  1 xung quanh trục Ox là
5
.
6
5
C. V  .
18
A. V 


 12 ln 2  5 .
6

D. V   12 ln 2  5  .
18
Lời giải:
B. V 

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và Ox là x ln  x  1 0  x 0


dx


du

 u ln x  1 
x 1
x 2 ln  x  1 dx . Đặt 
 
Thể tích khối trịn xoay cần tính là  �
2
3
0
 dv x dx
 dv  x  1

3
1

1

x3  1
x ln  x  1 dx 
ln  x  1
Ta có: �
3
0

1

2

0

1

�
 x2  x  1 dx 
0

1
 12ln 2  5 
18


Do đó V  12 ln 2  5 . Chọn D.
18

Ví dụ 7: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x  y 2  5; x  3  y quay quanh Oy.
A. V 

153
.
3

9
B. V   .
2

C. V 

81

.
10

D. V 

153
.
5

Lời giải:
 y  1
2
Tung độ giao điểm là:  y  5 3  y  
 y 2
2
2
153
CASIO
�V   �
�V 

  y 2  5   3  y  2 dy ���
5
1
153
 (đvtt). Chọn D.
Vậy V 
5

x

Ví dụ 8: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  2 ,  d  : y   x  a và trục Oy. Biết rằng  C  và

 d

cắt nhau tại một điểm duy nhất có hồnh độ bằng 1. Tính thể tích V của khối trịn xoay sinh bởi  H 

khi nó quay quanh trục Ox.
19 3 �
�
.
A. V  � 
�
�3 ln 4 �
�35 3 �
.
C. V  � 
�
�3 ln 4 �

19 3 �
�
.
B. V  � 
�
�3 ln 4 �
�35 3 �
.
D. V  � 
�
�3 ln 4 �

Lời giải:

Theo đề bài ta có 2  1  a  a 3  (d ) : y  x  3 .
Gọi V1 là thể tích khối trịn xoay thu được khi quay hình phẳng  S1  được giới hạn bởi các đường

 C  ,  d  , Oy, Ox

1

3

 3  x  dx
 2x  dx   �
như hình bên quanh trục Ox � V1   �
0

2

1

2


�8 3 �
� V1   � 
.
�
�3 ln 4 �
Gọi V2 là thể tích khối trịn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường  d  , Ox
như hình bên quanh trục hồnh,

3

2
19 3 �
 . Chọn A.
 3  x  dx  9 . Khi đó V  V2  V1  �
Suy ra V2   �
� 
�
�3 ln 4 �
0

Ví dụ 9: Để tạo ra những chiếc chậu hoa hình quả lê, người ta dùng một chiếc khn là đường cong có
phương trình trong hệ trục tọa độ là y  x3  k  x   k  0  . Biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy
tương ứng với chiều dài 1 dm. Hãy xác định k để thể tích chậu hoa là 12,15 dm3.
A. k = 2.

B. k = 4.

C. k = 3.
Lời giải:

D. k 4 243 .

Ta có: y 2 x 3  k  x   đồ thị cắt trục Ox tại điểm  0; k  .
k

k

� x 4 x5 �

�k 5 k 5 �
x  k  x  dx   �
k  �   �  � 12,15
Thể tích của chậu hoa là: V   �
� 4 5 �0
�4 5 �
0
 k 5 243  k 3 . Chọn C.
3

Ví dụ 10: Cho hình thang cong

 H

1
giới hạn bởi các đường y  ; y  0; x  1; x  5 . Đường
x

thẳng x  k với 1  k  5 chia  H  thành hai phần là  S1  và  S 2  quay quanh trục Ox ta thu được hai
khối trịn xoay có thể tích lần lượt là V1 và V2 . Xác đinh k để V1  2V2 .
5
A. k  .
3

B. k 

15
.
7

C. k  ln 5.

D. k  3 25.

Lời giải:
k

2

�1 �
�
� �dx F k  F 1
x
     2 � k  15 .
dx
1
V1
1� �

Ta có �2    F  x  �  5
Chọn B.
2
x
x
V2
F  5  F  k 
7
�1 �
�
� �dx

x
k� �

Ví dụ 11: Cho hình thang cong

 H

giới hạn bởi các đường y  x ; y  0; x  1; x  7 . Đường

thẳng x  k với 1  k  7 chia  H  thành hai phần là  S1  và  S 2  quay quanh trục Ox ta thu được hai
khối trịn xoay có thể tích lần lượt là V1 và V2 . Xác đinh k để V1  2V2 .


A. k  33.

C. k 

B. k  33.

33
.
2

D. k  3 33.

Lời giải:
k

Ta có

x
�

2

x
V
 F  x � 1 
2
V2

 

2

 � x dx
1
7

 

2



 � x dx
k

F  k   F  1
1

�49
�
 2 � F  k   2�  F  k �
F  7  F  k 
2
�2
�

33
� F  k   � k  33. Chọn B.
2

Ví dụ 12: [Đề Tham khảo Bộ Giáo dục và Đào tạo 2017] Tính thể V của phần vật thể giới hạn bởi hai
mặt phẳng x  1 và x  3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có
hồnh độ x  1 �x �3 thì được một thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và
B. V 

A. V  32  2 15.

124
.
3

C. V 



124
.
3

3x 2  2 ?



D. V  32  2 15  .

Lời giải:
3

3

1

1

2
S  x  dx  �
3x 3x 2  2 dx 
Ta có: S  x   S HCN  3x 3x  2 � V  �



1
3

 3x

2

 2

3

3


1

3

1
3 x 2  2 d  3x 2  2 
�
21

124
. Chọn C.
3

Ví dụ 13: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x  1, biết thiết diện của vật thể cắt
bởi mặt phẳng  P  vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x  0 �x �1 là một hình chữ nhật có độ





dài hai cạnh là x và ln x 2  1 .
A. ln 2  1.

B.

1
 ln 2  1 .
2

1
C. ln 2  .
2
Lời giải:

D.



1
ln 2  1.
2



Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là: S  x   x ln x 2  1
1

x ln  x 2  1 dx
Ta có thể tích cần tính là V  �
0

1

V

1



1
1
1
1
ln  x 2  1 d  x 2  1   x 2  1 ln  x 2  1  �
x 2  1 d ln  x 2  1

�
0
20
2
20



1

ln 2 

1
1
2 xdx  ln 2  . Chọn C.
�
20

2

Ví dụ 14: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x   , biết thiết điện của vật thể cắt


bởi mặt phẳng  P  vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x  0 �x �  là một tam giác đều có cạnh
bằng 2 sin x .
B. V  2 3.

A. V  8 3.

2
Diện tích thiết diện là S  x   



C. V  2 3.
Lời giải:
2

sin x . 3
4

D. V  3.

 3 sin x





0

0

Ta có thể tích cần tính là V  �3 sin xdx   3 cos x  2 3. Chọn C.

Ví dụ 15: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017] Gọi V là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình
phẳng giới hạn bởi các đường y  x ; y  0; x  4 quanh trục Ox. Đường thẳng x  a  0  a  4  cắt đồ
thị hàm số y  x tại M (hình vẽ bên). Gọi V1 là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay tam giác
OMH quanh trục Ox. Biết rằng V 2V1 . Khi đó

5
B. a  .
2

A. a  2 2.

C. a  2.

D. a  3.

Lời giải:
4

xdx  8 � V1  4 .
Ta có V   �
0

Gọi N là giao điểm của đường thẳng x  a và trục hồnh. Khi đó V1 là thể tích tạo được khi xoay hai

tam giác OMN và MNH quanh trục Ox với N là hình chiếu của M trên OH .
2
2
1
1
4
Ta có V1   a a    4  a  a   a  4 � a  3.
3
3
3
Chọn D.

 

 

Ví dụ 16: Có một vật thể là hình trịn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây: Người ta đo
được đường kính của miệng ly là 4 cm và chiều cao là 6 cm. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt
3
phẳng qua trục đối xứng là một parabol. Tính thể tích V  cm  của vật thể đã cho?

A. V 

72
.
5

C. V  12 .

B. V  12.

D. V 

72
.
5
Lời giải:


Chọn hệ trục tọa độ như hình suy ra phương trình Parabol là: y 
Thể tích của vật là thể tích khối trịn xoay khi quay hình
2 y  12
, x  0, y  6; y  0
3

x

quanh

trục

 H

3 x 2  12
2 y  12
� x2 
.
2
3

giới hạn bởi các đường

tung.

0

0

2 y  12
�1
�
dy   � y 2  4 y �  12 . Chọn
Khi đó V   �
3
�3
�6
6
C.
Ví dụ 17: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua
mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh
và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h
của mực cát bằng

3
chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi
4

2,90 cm3/ phút. Khi chiều cao của cát cịn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi
8  cm (xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của
khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
A. 8 cm.

B. 12 cm.
C. 9 cm.
D. 10 cm.
Lời giải:
Gọi (α) là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát.
2
2
Khi đó mặt cắt là một hình trịn có bán kính là x nên diện tích hình trịn là St R x .

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình của parabol  P  là y ax 2  bx  c .
Vì  P  đi qua điểm O  0;0  , A  4; 4  , B  4; 4 

x2
� x 2  4 y � S  4 y.
4

Nên phương trình  P  : y 

h

h

0

0

St dy vì mặt cắt vng góc với Oy. Suy ra V  �
 4 y  dy mà thể tích
→ Thể tích cát ban đầu là V  �
3

khối cát Vc  2,9.30  87 cm .

h

��
 4 y  dy  87 � 2 y 2  87 � 2 h2  87 � h 
0

h

0

87
.
2

4
4 87
Vậy chiều cao của khối trụ bên ngoài là 2. .h  2. .
�9,92 cm . Chọn D.
3
3 2


Ví dụ 18: Một chậu nước hình bán cầu băng nhơm có bán kính R  10 cm, đặt trong một khung hình hộp
chữ nhật (Hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h  4 cm. Người ta
bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (Hình 2). Bán
kính của viên bi gần bằng:

A. 9,63.

B. 2,09.

C. 1,72.
Lời giải:
Gọi x là bán kính viên bi hình cầu. Điều kiện: 0  2 x  10  0  x  5
h�
2�
.
Chú ý: Cơng thức thể tích chỏm cầu: V   h �R  �
� 3�

D. 4,01.

Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào:
h
4  416


V1 h 2  R   16 10   

3
3
3


Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi có thể tích là:
2 x  4x 2  30  2 x 
2
V2   2 x   R 


3 
3

4 3
2
3
Ta có phương trình: V2  V1  x  4x  30  2 x   416 4x
3
�x �9,626  5 (lo �i)
3
2

3x �30 x 104 0 �
. Chọn B.
�x 2,0940 5
�
�x  1,72 (lo�i)

Ví dụ 19: Từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 6 dm, bác nông dân dùng cưa để cắt theo mặt cắt đi qua
một điểm trên đường sinh cách đáy 1 dm và đi qua đường kính của đáy (như hình vẽ) để được một "khối
nêm”. Giúp bác nơng dân tính thể tích của "khối nêm” đó ?
A. 0,06 m3 .
C. 0,018 m3 .

B. 0,006 m3 .
D. 0,006 m3 .
Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó khúc gỗ bé có đáy là nửa hình trịn có phương trình:

y  9  x 2  x � 3;3 

Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
x, x � 3;3


cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích là S  x  (xem hình).
Dễ thấy NP  y và MN  NP tan   9  x 2 tan 
1
1
1
S  x   MN .PN  9  x 2 tan  trong đó tan  
2
2
3
3
3
1
S  x  �
9  x 2  tan  dx  0, 006 m3 . Chọn D.

Khi đó thể tích khúc gỗ bé là : V  �
2 3
3





Ví dụ 20: [Đề thi chuyên Đại học Vinh 2017] Bạn A có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lịng

đáy cốc là 6 cm, chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước,
vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước
trong cốc.
A. 15 cm3 .
C. 60 cm3 .

B. 60 cm3 .
D. 70 cm3 .
Lời giải:

Áp dụng cơng thức thể tích nêm có bán kính đấy R  3, chiều cao h  10 ta có:
2 R 2 h 2 R 3 .tan  2.32.10
V


 60 cm3 . Chọn C.
3
3
3


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  . Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi
quay D quanh trục hồnh được tính theo cơng thức.
b

b

f 2  x  dx.

A. V   �

f 2  x  dx.
B. V  2 �

a

a

b

b

2
f 2  x  dx.
C. V   �

2
f  x  dx.
D. V   �

a

a

Câu 2: Viết cơng thức tính thể tích V của khối trịn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn
bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  , xung quanh trục Ox.
b

b

f  x  dx.
A. V   �

f  x  dx.
B. V  �

2

2

a

a

b

b

f  x  dx.
C. V   �

f  x  dx.
D. V  �

a

a

Câu 3: Cho  H  là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường x  a, x  b  a  b  và đồ thị của hai hàm

số y  f  x  , y  g  x  . Gọi V là thể tích của vật thể trịn xoay khi quay  H  quanh Ox. Mệnh đề nào
dưới đây là đúng?
b

f  x  g
A. V   �
2

2

 x

b

f  x   g  x  dx.
B. V   �

dx.

a

2

a

b

b

f 2  x   g 2  x  dx.

C. V  �

f  x   g  x  dx.
D. V  �

a

2

a

Câu 4: Cho hình  D  giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0, x   , x  e. Quay  D  quanh trục Ox ta
được khối tròn xoay có thể tích V . Khi đó V được xác định bằng công thức nào sau đây?


f  x  dx.
A. V   �
e

e

f  x  dx.
B. V   �
2





f  x  dx.

C. V   �
2

e



f  x  dx.
D. V  �
e

Câu 5: Thể tích V của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 và đường
thẳng d : y  x quay xung quanh Ox được xác định bởi công thức nào?
1

 x  x  dx.
A. V   �
2

0

2

1

1

x dx   �
x 4 dx.
B. V   �

2

0

0


1

1

0

0

x 2 dx   �
x 4 dx.
C. V   �

1

 x  x 2  dx.
D. V   �
2

0

Câu 6: Thể tích V của khối trịn xoay khi cho hình phẳng

 P  : y  x2

 H  giới

hạn bởi đồ thị của parabol

và đường thẳng d : y 2 x quay xung quanh trục Ox được xác định bằng công thức nào sau

đây?
2

2

0

0

2

2

0

0

4 x 2 dx   �
x 4 dx.
A. V   �
4 x 2 dx   �
x 4 dx.
C. V   �

2

 x2  2 x  dx.
B. V   �
2

0

2

 2 x  x 2  dx.
D. V   �
2

0

Câu 7: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 và y  x . Khối tròn xoay tạo ra khi  H 
quay quanh Ox có thể tích V được xác định bằng công thức nào?
1

1

 x  x  dx.
A. V   �
0

1



0



C. V   � x  x dx.
0

2





x 2  x dx.
B. V   �

4

1

 x  x4  dx.
D. V   �
0

Câu 8: Thể tích V của khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x và
y  x 2  x  2 quanh trục Ox được xác định bằng công thức nào sau đây?
2

A. V   �

 x  3x  2  dx.
2

2

1

2

2
�
4 x 2   x 2  3 x  2  �dx.
B. V   �
�
�
1

2

2
�
B. V   �
�x 2  x  2   4 x 2 �
�dx.
1
2

2
�
dx.

D. V   �
�x2  3x  2   4 x 2 �
�
1

Câu 9: Hình phẳng  H  giới hạn bởi đường parabol  P  : y x 2  1 , trục tung và tiếp tuyến với  P  tại
điểm M  1; 2  khi quay quanh trục Ox. Công thức nào sau đây sử dụng để tính thể tích V của hình  H  ?
1

 x  1 dx.
A. V   �
2

2

0

1

 2 x  dx.
C. V   �
0

2

1

2
�
dx.

 x 2  1  4 x 2 �
B. V   �
�
�
0
1

 x 2  2 x  1 dx.
D. V   �
0

2


Câu 10: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  3, biết rằng khi cắt
vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x  1 �x �3 thì được thiết diện
là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và
A. V  32  2 15.

B. V 

124
.
3

3x 2  2.
C. V 

124
.

3





D. V  32  5  .

Câu 11: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  3, có thiết diện bị cắt
bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x  0 �x �3 là một hình chữ nhật có hai
kích thước bằng x và 2 9  x 2 .
A. V  3.

B. V  18.

C. V  20.

D. V  22.

Câu 12: Tính thể tích V của phẩn vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  2, có thiết diện bị cắt
bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x  0 �x �2  là một hình chữ nhật có hai
kích thước bằng x và 2 4  x 2 .
8
A. V  .
3

B. V 

16
.

3

C. V  16.

D. V 

3
.
16

Câu 13: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  1, có thiết diện bị cắt
bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x  0 �x �1 là một tam giác đều có cạnh
bằng x.
A. V 

3
.
3

B. V 

12
.
5

C. V  1.

D. V 

12

.
5

Câu 14: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x   , biết rằng thiết diện
của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x  0 �x �  thì được thiết
diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là x và 2 sin x .
A. V  8 3.

B. V  3 3.

C. V  2 3.

Câu 15: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0, x 

D. V  3.


; biết rằng thiết diện của vật thể
2

�
�
0 �x � �là tam giác đều có cạnh là
cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x �
2�
�
2 cos x  sin x .


A. V  3.

B. V  2 3.

C. V  2 3.

D. V 

 3
.
2

Câu 16: Tính thể tích V của khối trịn xoay trong khơng gian Oxyz, giới hạn bởi hai mặt phẳng
x  0, x   và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vng góc với Ox tại điểm  x;0;0  bất kỳ là đường trịn
bán kính

sin x .
B. V   .

A. V  2.

C. V  4 .

D. V  2 .

Câu 17: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x  2, biết rằng thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x  0 �x �2  là một nửa hình trịn
đường kính

5x 2 .

A. V  8 5 .

B. V  2 5.

C. V  4 .

D. V  4 5 .

Câu 18: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  4 biết rằng khi cắt vật
thể bởi mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x  1 �x �4  thì được thiết diện là
một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 2 x.
A. V  63 3 .

B. V  126 3.

C. V  63 3.

D. V  126 3 .

Câu 19: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3 x, y  x, x  0, x  1 quay xung quanh trục Ox. Tính
thể tích V của khối trịn xoay tạo thành.
A. V 

8
.
3

B. V 

4

.
3

C. V 

2
.
3

D. V   .

Câu 20: Hình  H  giới hạn bởi y  x 2  4 x  4, y  0, x  0, x  1 quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích
V của khối trịn xoay tạo thành.
A. V 

8
.
3

B. V 

4
.
3

C. V 

2
.
3

D. V 

31
.
5

Câu 21: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  x 2  2 x , trục hoành, đường thẳng x  0 và đường thẳng x  1 quay quanh trục hoành.
A. V 

2
.
3

B. V 

8
.
15

C. V 

16
.
15

D. V 

4

.
3

Câu 22: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  sin x, trục hoành và hai đường thẳng x  0 và
x  . Tính thể tích V của khối trịn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox.
A. V 

2
.
2

B. V   R 2 .

C. V 

2
.
3

D. V  2 .


Câu 23: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi y  e x , y  0, x  0, x  1 . Tính thể tích V của vật thể tròn
xoay được sinh ra khi ta quay hình  H  quanh trục Ox.
A. V    e  1 .

B. V    e  3 .

C. V   e.

D. V  e  1.

Câu 24: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y e

3 x 1

, x  0, x  1, y  0 quay quanh Ox.

A. V   e 2 .

2
C. V    e  e  .

B. V   e.

2
D. V    e  e  .

Câu 25: Tính thể tích của vật thể trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường
y e
A.

3 x 1

, x  0, x  1, y  0 quay quanh Ox.

 4 2
 3e  e  .
6

�1 3 �
.
B.  � e  e �
�3
�

1
3
C.   e  e  .
3

3
D.   e  e  .

Câu 26: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x  1 , trục
hoành và x  4. Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay
hình phẳng  H  quanh trục Ox.
A. V 

7
.
6

7 2
B. V 
.
6
D. V 

C.

7
V .
6

5
.
3

Câu 27: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể  H 
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x  a và x  b  a  b  . Gọi S  x  là diện tích thiết diện của

 H

bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x với a  x b . Giả sử hàm số

y  S  x  liên tục trên  a; b  . Thể tích V của vật thể  H  được xác định bởi công thức nào?
b

S  x  dx.
A. V  �
a

b

S  x  dx.
C. V   �
a

b

�
S  x �
B. V  �
�
�dx.
2

a

b

�
S  x �
D. V   �
�
�dx.
a

2


Câu 28: Cho hình phẳng  D  giới hạn bởi các đồ thị hàm số y e 2 trục Ox và hai đường thẳng
x

x  0, x  1. Viết cơng thức tính thể tích V của khối trịn xoay khi quay hình  D  quay quanh trục Ox.
A. V  

1

2

2

1

e dx.
B. V   �

e dx.
�
x

x

0

0

�1 2 x �
C. V  ��
e dx �.
�0
�

1

e 2 x dx.
D.  �

0

Câu 29: Cho hai hàm số y  f1  x  và y  f 2  x  liên
tục trên đoạn  a; b và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi
S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các
đường thẳng x  a, x  b. Thể tích V của vật thể tròn
xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính
bởi cơng thức nào sau đây?

b

�
A. V   �
�f1  x   f 2  x  �
�dx.
2

a

b

�
C. V   �
�f1  x   f 2  x  �
�dx.
a

b

2

2
�
B. V  �
�f1  x   f 2  x  �
�dx.
a

b

2
2
�
D. V   �
�f1  x   f 2  x  �
�dx.
a

Câu 30: Nêu cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của
hình vẽ) xung quanh trục hồnh Ox.
1

2

0

1

x 2 dx.
 2  x  dx   �
A. V   �

2

 2  x  dx.
B. V   �
0

1

2

0

1

xdx   �2  xdx.
C. V   �
1

2

0

1

x 2 dx   �
 2  x  dx.
D. V   �
Câu 31: Nêu công thức tính thể tích vật thể trịn xoay thu được khi quay
hình phẳng (phần gạch sọc

của hình vẽ) xung quanh trục hồnh Ox.
4
4
�
�
xdx

 x  2  dx �.
A. V   �
�
�
0
2
�
�
4
4
�
�
2
V


xdx

 x  2  dx �.
B.
�
�

�
0
2
�
�
2
4
�
�
2
xdx

x

2
dx
.


C. V   �
�
�
�
0
2
�
�
2
4
�

�
xdx  �
 x  2  dx �.
D. V   �
�
0
2
�
�

Câu 32: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay thu được khi quay hình
phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox.
A. V 

15
.
ln 4

B. V 

8
.
ln 2

C. V 

15
.
ln 2

D. V 

17
.
ln 4

Câu 33: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay thu
được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ)
xung quanh trục hoành Ox.
A. V  4 ln 4  3.
B. V    4 ln 2  3 .
C. V  4 ln 2  3 .
D. V    4 ln 4  3 .
Câu 34: Cho hình phẳng

 H

giới hạn bởi các đường

y  ln x , y  0, x  1, x  k với k  1 như hình vẽ. Gọi Vk là thể
tích khối trịn xoay thu được khi quay hình  H  quanh trục Ox.
Biết rằng Vk  , hãy chọn khẳng định đúng?
A. 3  k  4.

B. 1  k  2.
D. 4  k  5.

C. 2  k  3.

Câu 35: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ)
xung quanh trục hồnh Ox.
A. V  2 .
B. V  e .
C. V   e  1  .
D. V   .
Câu 36: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay thu được khi quay hình
phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox.
A. V 

35
.
3

B. V 

31
.
3

C. V 

32
.
3

D. V 

34
.

3

Câu 37: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay thu được khi quay hình
phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hồnh Ox.
A. 24 .

B. 27 .

C. 25 .

D. 26 .

Câu 38: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay thu được khi quay hình
phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hồnh Ox.
A. V 

81
.
10

B. V 

81
.
5

C. V 

108
.

5

D. V  50 .
Câu 39: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay thu được khi
quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh
trục hồnh Ox.
A. V 

12
.
5

B. V 

53
.
15


C. V 

153
.
5

D. V 

31
.
13

Câu 40: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay thu được
khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung
quanh trục hồnh Ox.
A. V 

27
.
2

B. V 

9
.
2

C. V 

11
.
3

D. V 

55
.
6

Câu 41: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay thu được khi quay
hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox.

A. V 

125
.
3

B. V 

25
.
3

C. V 

157
.
3

D. V 

13
.
2

Câu 42: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay thu được khi
quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh
trục hồnh Ox.
A. V 
B. V 

55
.
6

24
.
3

C. V 

25
.
3


D. V 

125
.
9

Câu 43: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay thu được khi quay hình phẳng (phân gạch sọc của hình vẽ)
xung quanh trục hồnh Ox.
A. V  11 .
B. V 

31
.
3

C. V 

32
.
3

D. V 

34
.
3

15
 4 ln 2 là thể tích của vật thể trịn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch
Câu 44: Biết V 
4
sọc của hình vẽ) xung quanh trục hồnh Ox. Tìm k , biết k  1.
A. k 

4e
.
3

B. k 

3
C. k  ln 2.
2

e2
.
2

D. k  4.

Câu 45: Ký hiệu  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường
y

 x  1 e x 2 x , y  0, x  2 . Tính thể tích V
2

của khối trịn

xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh Ox.
A. V 

V

  2e  3
.
2e

  2e  1
.
2e

B. V 

  e  3

.
2e

D. V 

  e  1
.
2e

C.

Câu 46: Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra khi
cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x ln x , trục
hoành và đường thẳng x  e quay quanh Ox.


A. V 

2e 3  1
.
9

B. V 

2e 3  1
.
9

C. V 

2e 3  1
.
3

D. V 

2e 3  1
.
3
1
 1, y  0 ,
x

Câu 47: Gọi V là thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi cho hình  H  giới hạn bởi y 
15
�
�
x  1, x  k (k  1) quay xung quanh Ox. Tìm k để V   �  ln16 �
.
�4
�
A. k  4.

B. k  4e.

D. k  8.

C. k  e 2 .

Câu 48: Cho hình  H  giới hạn bởi các đường y  x ln x , trục hoành và đường thẳng x  e. Tính thể

tích khối trịn xoay tạo thành khi quay  H  quanh trục Ox.
A.

  5e3  2 
25

.

B.

  5e3  2 
27

.

C.

  5e3  2 
25

.

D.

  5e3  2 
27

.

Câu 49: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln x , y  0, x  e quay xung quanh trục Ox. Thể

tích khối trịn xoay tạo thành bằng bao nhiêu ?
A.

4e3  1
.
9

B.

4e3  1
.
9

C.

2e3  1
.
9

D.

2e3  1
.
9

Câu 50: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x3  6 x 2  9 x, y  0 quay xung quanh trục Ox. Thể
tích của khối trịn xoay tạo thành bằng
A.

729

.
35

B.

27
.
4

C.

256608
.
35

D.

776
.
5

Câu 51: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x 2 , y 2  4 x quay xung quanh trục Ox. Thế tích của
khối trịn xoay tạo thành bằng
A.

88
.
5

B.

9
.
70

C.

4
.
3

D.

Câu 52: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

6
.
5

x
, trục Ox và đường thẳng x  1.
4  x2

Tính thể tích V của khối trịn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh trục Ox.

4
A. V   ln .
3

B. V 

1 4
ln .
2 3

C. V 

 4
ln .
2 3

Câu 53: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  cos 4 x, Ox, x  0, x 
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng

D. V 

 3
ln .
2 4


quay xung quanh trục Ox.
8


A.

2
.
2

B.

2
.
16

C.


.
4

�  1 �
.
D. �
�
�16 �

Câu 54: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  1 , trục Ox và đường thẳng x  3 quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng
A.

3
.
2

B. 3 .

C. 2 .

D.  .

Câu 55: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  1, y  0, x  0, x  1 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng
A.

79
.
63

B.

23
.
14

C.

5
.
4

D. 9 .

2
Câu 56: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ax , y  bx  a �0, b �0  quay xung quanh trục Ox.

Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng
b3 �1 1 �

.
A. 3 �  �
a �3 5 �

b5
B. 3  .
5a

b5
C. 3  .
3a

b5 �1 1 �
.
D. 3 �  �
a �3 5 �

1 2
2
Câu 57: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  4  x , y  x quay xung quanh trục Ox.
3
Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng
A.

24 3
.
5

B.

28 3
.
5

C.

28 2
.
5

D.

24 2
.
5

Câu 58: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3 x, y  x, x  0, x  1 quay xung quanh trục Ox.
Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng
A.

8
.
3

B.

4
.
3

C.

2
.
3

D.  .


LỜI GIẢI CHI TIẾT
b

f 2  x  dx. Chọn A.
Câu 1: Thể tích khối trịn xoay cần tính là V   �
a

b

f 2  x  dx. Chọn A.
Câu 2: Thể tích khối trịn xoay cần tính là V   �
a

b

f 2  x   g 2  x  dx. Chọn A.
Câu 3: Thể tích khối trịn xoay cần tính là V   �
a



f 2  x  dx. Chọn C.
Câu 4: Thể tích khối trịn xoay cần tính là V   �
e

x0
�
2
Câu 5: Phương trình hồnh độ giao điểm của  P  và d là x  x � � .
x 1
�
1

1

x dx   �
x 4 dx. Chọn C.
Dựa vào hình vẽ, thể tích khối trịn xoay cần tính là V   �
2

0

0

x0
�
2
Câu 6: Phương trình hồnh độ giao điểm của  P  và d là x  2 x � � .
x2
�
1

1

4 x dx   �
x 4 dx. Chọn A.
Do 2 x  x , x   0;2 nên thể tích khối trịn xoay cần tính là V   �
2

2

0

0

x0
�
2
Câu 7: Phương trình hồnh độ giao điểm của  P  và  C  là x  x � � .
x 1
�
1

x
Vậy thể tích của khối trịn xoay cần tính là V   �
0

  x

2 2

2

1

dx   �
 x  x 4  dx. Chọn D.
0

x 1
�
2
Câu 8: Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và d là x  x  2  2 x � � .
x2
�
2

2
�
4 x 2   x 2  3x  2  �
Vậy thể tích của khối trịn xoay cần tính là V   �
�
�dx. Chọn C.
1
2
� y '  1  2 nên phương trình tiếp tuyến của  P  là y  2 x.
Câu 9: Ta có y '  x  1 ��

Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và d là x 2  1  2 x � x  1.
1

2
�
 x 2  1  4 x2 �
Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là V   �
�
�dx. Chọn B.
0

Câu 10: Diện tích hình chữ nhật ABCD là S  x   3 x 3x 2  2.


3

3

1

1

S  x  dx  �
3x 3 x 2  2 dx 
Do đó, thể tích cần tính là V  �

124
. Chọn C.
3

Câu 11: Diện tích hình chữ nhật ABCD là S  x   2 x 9  x 2 .
3

3

0

0

S  x  dx  �
2 x 9  x 2 dx  18. Chọn B.
Do đó, thể tích cần tính là V  �
Câu 12: Diện tích hình chữ nhật ABCD là S  x   2 x 4  x 2 .
2

2

0

0

S  x  dx  �
2 x 4  x 2 dx 
Do đó, thể tích cần tính là V  �

16
. Chọn B.
3

x2 3
Câu 13: Diện tích tam giác đều cạnh x là S  x  
.
4

1

3

x2 3
3
S  x  dx  � dx 
. Chọn A.
Do đó, thể tích cần tính là V  �
4
3
0
0
Câu 14: Diện tích hình chữ nhật ABCD là S  x  2 x sin x .




0

0

S  x  dx  �
2 x sin xdx  2 3. Chọn C.
Do đó, thể tích cần tính là V  �
2
Câu 15: Diện tích tam giác đều cạnh x là S  x   

2


2

0

0



2

sin x  cos x . 3
4

 3  sin x  cos x  .

Do đó, thể tích cần tính là V  S  x  dx  3  sin x  cos x  dx  2 3. Chọn B.
�
�
Câu 16: Diện tích đường trịn bán kính sin x là S  x    .




0

0



sin x



2

S  x  dx  �
 .sin xdx  2 . Chọn D.
Do đó, thể tích cần tính là V  �
d x2 5
Câu 17: Bán kính đường trịn R  
2
2
 Diện tích nửa đường trịn bán kính R là S  x  
2

5 x 4
.
8

2

5x4
V

S
x
dx



.
dx  4 . Chọn C.


Do đó, thể tích cần tính là
�
�
8
0
0
Câu 18: Diện tích tam giác đều cạnh 2x là S 

2

2x


4

3

x 2 3

  sin x.