Ung dung Tich phan tinh the tich khoi tron xoay

chuyên đề: ứng dụng tích phân
tính thể tích vật thể
I.Lý thuyết
1.Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
f(x), trục Ox và hai đờng thẳng x = a, x = b khi quay xung quanh trơc Ox lµ:
b

2
V = π ∫ y dx
a

*Cho hàm số x = g(y) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số x =
g(y), trục Oy và hai đờng thẳng y = a, y = b khi quay xung quanh trơc Oy lµ:
b

2
V = π∫ x dy
a

2.Cho hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai
đồ thị y = f(x) , y = g(x) và hai đờng th¼ng x = a; y = b khi quay quanh trơc Ox lµ:
b

V = π∫ f

2

( x ) − g 2 ( x ) dx

a

II.CáC bài toán thờng gặp
1.Bài toán1: TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh bëi miỊn (D) giíi h¹n bëi y = f(x); y = 0 vµ x = a; x = b
khi quay quanh trơc Ox.
*Phơng pháp giải:
b

2
áp dụng công thức: V = y dx
a

*Bài tập áp dụng:
x

VD1: Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi y = xe 2 , trục Ox và x = 0; x = 1.
Giải:
Thể tích vật thể cần tìm:
1

2 x
V = x e dx
0

1

Xét I =

x

2

e x dx

0

Đặt

u = x 2

dv = e x dx

⇒

 du = 2 xdx
 x
v= e
1

Khi ®ã: I =

x 2e x

1
0

x
- 2 ∫ xe dx = e – 2J (1)
0

1

TÝnh J =

∫ xe
0

x

dx


§Ỉt

u = x

dv = e x dx


 du = dx
 x
v= e

⇒
1

Khi ®ã: J =

xe x

1
0

-

∫e

x

dx = e –

1

ex

0

= 1 (2)

0

Tõ (1) vµ (2) ⇒ I = e – 2
VËy V = (e 2) (đvtt).
VD 2: (ĐH Nông Nghiệp- 99)
Cho hình (D) giới hạn bởi các đờng: y = sin

x
π
cos x ; y = 0 vµ x = 0; x =
.
2
2

TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay đợc tạo nên khi cho (D) quay quanh trục Ox.
Giải:
Thể tích vật thể cần tìm:

2


2

V = sin 2 x cos 2 xdx = π (1 − cos x ) cos 2 xdx
∫ 2
2∫
0
0
π
2

π
2

= π (cos 2 x − cos 3 x)dx = π (1 − cos 2 x − 3 cos x − 1 cos 3 x) dx
2∫
2∫
2
4
4
0
0
= π ( 1 x − 1 sin 2 x − 3 sin x −

2 2

4

π

2
1
sin 3 x )
12
0

4

=

π2
8

−

π
3

(®vtt)

VD 3: TÝnh thĨ tích khối tròn xoay do hình (H) giới hạn bởi: y = sin 4 x + cos 4 x +
trôc Ox và x =

6

;x=



Giải:
Thể tích vật thể cần tìm:

3
4

4


4



6


4

6

3
1
3
4 3 1

4
4
2
V = π ∫ (sin x + cos x + )dx = π ∫ (1 − sin 2 x + )dx = ∫ ( + cos 4 x) dx
4
2
4
4π 2 4


6

=

3
x
8


4


6

+


64

sin 4 x

4


6

=



2

32

-

3
(đvtt)
128

VD 4:( HVNH.TPHCM- 99)
Cho (H) là miền kín giới hạn bởi các đờng: y = x ln(1 + x 3 ) (L), trơc Ox vµ x = 1.
TÝnh thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi cho ( H) quay quanh trục Ox.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (L) và trục Ox là nghiệm phơng trình:
x

ln(1 + x 3 )

=0 ⇔ x=0


Thể tích vật thể cần tìm:
1

2
3
V = x ln(1 + x ) dx
0

1

XÐt I =

∫x

2

ln(1 + x 3 ) dx

0

dt = 3x 2 dx
Đặt t = 1 + x 3
§ỉi cËn: x = 0 ⇒ t = 1
x=1 t=2
12
Khi đó: I = ln tdt

31
Đặt

u = ln t

 dv = dt

⇒

 dt
 du =
t

 v = t
2

1
1
1
2
2
⇒ I = t ln t 1 - ∫dt = 2ln2 - t 1 = (2ln2 – 1)
3
3 1
3
1
VËy V =
(2ln2 1) (đvtt)
3

*Chú ý: Bài toán tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi: y = f(x); y = 0 hc y = f(x);
y = 0 và x = a.Khi đó giải phơng trình f(x) = 0 để tìm cận.
VD 5: ( ĐH-CĐ - Khối B- 2007)
Cho hình (H) giới hạn bởi : y = xlnx; y = 0 vµ x = e .TÝnh thĨ tÝch vật thể tròn xoay khi cho hình (H) quay
quanh trục Ox.
Giải:
Xét phơng trình: xlnx = 0
Thể tích vật thể cần tìm:

x> 0

ln x = 0

x=1

e

2
2
V = x ln xdx
1

e

Xét I =

2
2
x ln xdx

Đặt

1

e

Khi đó: I =

 u = ln x

 dv = x 2 dx
2

1 3
x ln 2 x 3
1

2e 2
1
2
x ln xdx = e 3 J
3
3
3∫
1

2

du = ln xdx



x
⇒ 
 v = 1 x3
 3



Tính J:

Đặt

u = ln x

2
dv = x dx
e

Khi ®ã: J =

⇒I=

1

du = dx


x
⇒ 
 v = 1 x3

 3


1 3
x ln x
3
1

5 3 2
e 27
27

VËy V = ( 5e 3 - 2 )

e

1
1
2
- ∫ x dx = e 3 3
31


27

1 3
x
9

e

=
1

2 3 1
e +
9
9

(đvtt)

VD 6: (ĐH Y Hà Nội 99)
Tính thể tích hình elipxôit tròn xoay sinh ra bëi h×nh elip:

x2
y2
+ 2 = 1 khi nã quay quanh trục Ox.
b2
a

Giải:
Hình elip trên nhận Ox làm trục đối xứng nên khối elipxôit tròn xoay đợc sinh ra bởi nưa phÝa trªn Ox cđa
elip khi quay quanh Ox.
a2
a2 2
Ta cã: y2 = 2 (b 2 − x 2 ) Phơng trình nửa trên Ox của elip: y =
(b − x 2 )
2
b
b

b

3 b
a2 2
4
a2
(b − x 2 )dx = π 2 (b 2 x − x ) = 2 b (đvtt).
a
2
3 b
b
3
b b
2.Bài toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới h¹n bëi: y = f(x);
y = g(x) quay quanh trơc Ox.
*Phơng pháp giải:
+ Giải phơng trình: f(x) = g(x) có nghiệm x = a; x = b

Thể tích cần tìm: V =

b

+ Khi đó thể tích cần tìm : V = π ∫ f

2

( x ) − g 2 ( x ) dx

a

*Bài tập áp dụng:
VD 1: ( ĐHQG Hà Nội- 99)
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 – 4x + 6 vµ
y = - x2 – 2x + 6 quay quanh trục Ox.
Giải:
Hoành độ giao điểm là nghiệm phơng trình:
x2 4x + 6 = - x2 – 2x + 6 ⇔ 2x2 – 2x = 0
Thể tích vật thể cần tìm:
1

2
2
2
2
V = ( x − 4 x + 6) − ( − x − 2 x + 6) dx
0

x
0
 =
 =
x 1



1

1

3

2
3
2
= π ∫ − 12 x + 36 x − 24 x dx = π ∫ (−12 x + 36 x − 24 x )dx
0

0

( 3
12
= π−x + x
Chó ý: Nếu vẽ đồ thị ta có:
4

1

3

2

x )
12

1
0

= 3 (®vtt)

[

]

2
2
2
2
V = π ∫ (− x − 2 x + 6) − ( x − 4 x + 6) dx
0

VD 2: (HVQY- 97)
Cho hình phẳng giới hạn bởi : D = { y = x2 ; y =
trục Ox.
Giải:
Xét phơng tr×nh: x2 =

⇔ x4 = x ⇔

x

x

}. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay khi D quay quanh

x
0
 =
 =
x 1

1

1
4
Thể tích vật thể cần tìm: V = ( x − x ) dx = π( x 2
2

0

−

1
3π
1 5
x ) =
5
10
0

(đvtt).

VD 3: (ĐH Nông Nghiệp I 99)
Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đờng: y =
thµnh khi cho D quay quanh trơc Ox.

1
x2
vµ y =
. Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo
1 + x2

2

Gi¶i:
x 1
1
 =
x2
⇔ x =−
2 =
1

1+ x
2
ThĨ tÝch vËt thĨ cần tìm:
1
1
1
1
x2
1
x2
dx
dx

dx =
V=
2 2
2 2
4
4

(1 + x )
1

1
1 (1 + x )

Xét phơng trình:

1

=

1
x3

dx
2 2
12
x )
(1 +
1

Tính I:
Đặt x = tant , t (
Đổi cận:

x = -1 t = -

Khi đó: I =

∫

−π
4

−
1

1
= πI −
6

1

víi I =

⇒ dx = (1 + tan 2 t )dt

π
4

4

π

2

1 + tan t
dt =
(1 + tan 2 t ) 2

4

2
∫cos tdt =

−π
4

π

1 4
∫ (1 + cos 2t )dt
2 −π
4

dx

∫ (1 + x 2 ) 2

−1

⇒ t= π

x=1
π
4

−π π
; )

2 2

1


=
VËy V =

π
12

1
1
(t + sin 2t )
2
2

π
4
−
π
4

=

π
4

+

1
(®vtt)
2

(3π + 4) (®vtt)

VD 4: (ĐHSP Hà Nội 2 99)
Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đờng: y = x ; y = x ; x = 5.
TÝnh thĨ tÝch khèi trßn xoay đợc tạo thành khi quay hình phẳng (D) quanh trục Ox.
Giải:

Xét phơng trình:

x

x 0
=x
x = x2


Vẽ đồ thÞ:

x ≥ 0

x
0
 =
⇔   x = 0 ⇒ x =
1

x = 1


Thể tích cần tìm:
1

5

2
2
V = ( x − x )dx + π ∫ ( x − x) dx
0

1

2

x
= π( 2

−

3

1

x
)
3 0

3

x
+ π( 3

5

−

x2
)
2 1

=

59π
(®vtt)
2

VD 5: (ĐH Y dợc tp.hcm- 2001)
Gọi (D) là miền giới hạn bởi các đờng: y = -3x + 10 ; y = 1 ; y = x2 (x > 0) vµ (D) n»m ngoµi parabol y =
x2.
TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ tròn xoay khi quay (D) quanh trục Ox.
Giải:
Xét phơng trình: x2 = -3x + 10 ⇔ x2 + 3x – 10 = 0
Vẽ đồ thị:

x
=2
x> 0

=
x
5


Thể tích vật thể cần tìm:
2

3

3

1

2

1

4
2
V = x dx + π ∫ (10 − 3 x ) dx - π∫dx

x=2


=


5

2

-

x5
1


9

3

(10 3 x ) 3
2

3
x
-1 =

56
(đvtt).
5

3.Bài toán3: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bëi: x = g(y);
x = 0 vµ y = a; y = b quay xung quanh trục Oy.
*Phơng pháp giải:
b

2

áp dụng công thức: V = x dy
a

*Bài tập ¸p dơng:
VD 1:
TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay do hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 + 1; y = 1; y = 2 vµ trơc Oy quay quanh
trơc Oy.
Gi¶i:
Ta cã: y = x2 + 1 ⇔ x2 = y 1
Thể tích vật thể cần tìm:
2

2

1
2
V = π∫ x dy = = π ∫( y −1)dy = π( y 2
2
1

2

=

− y)
1

1

VD 2: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ tròn xoay sinh ra bởi elip (E): x 2 +

2

(đvtt).

y2
= 1 khi nó quay quanh trục Oy.
9

Giải:
Hình elip trên nhận Oy làm trục đối xứng nên vật thể tròn xoay đợc sinh ra bởi nửa bên phải trục Oy của
elip khi quay quanh Oy.
Ta cã: x2 = 1 -

y2
9

⇒ Ph¬ng trình nửa bên phải Oy của elip: x =

1

y2
9

Thể tích vật thể cần tìm:
3

V = (1
3

3
3
y2
) dy = π( y − y ) = 4 π (®vtt).
27 −
9
3

VD 3: Hình phẳng (H) giới hạn bởi: Parabol (P): y = x2 – 2x ; trục Oy và tiếp tuyến tại
(P), Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Oy.

Giải:
Gọi I là đỉnh của (P) ⇒ I(1;-1)
Ta có: y ' = 2x – 2 ⇒ y ' (1) = 0
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại I:
y = y ' (1)(x – 1) – 1
y = -1

đỉnh của


Ta có: y = x2 – 2x ⇔ x2 – 2x – y = 0 ⇒

 = + 1 +y
x
1

x
1

 = − 1 +y


TrêncungOI → x = 1  

1 +y

Thể tích cần tính:
0

0

2

y
2
V = π ∫ (1 − 1 + y ) dy = π ∫ ( 2 + y − 2 1 + y )dy = π( 2 y + 2
1

1

=


6



4
3

0

(1 + y ) 3

1

(vtt).

4.Bài toán 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới h¹n bëi: x = f(y); x =
g(y) và y = a; y = b.
*Phương pháp giải:
b

2
2
Áp dụng công thức: V = π ∫ f ( y ) − g ( y ) dy
a

*Bài tập áp dụng:
VD 1: (ĐHQG TP.HCM – 2000)
Cho (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: y = x ; y = 2 – x và y = 0.
Tính thể tích vật thể trịn xoay được tạo thành khi quay (D) quanh trục Oy.
Giải:
Ta có: y =

x

y≥ 0
⇔

x = y2


y≥ 0
⇔
Tung độ giao điểm thỏa mãn: 
2
 y = 2− y
y≥ 0

 y = 1 ⇒
 y = −2


y=1


:
2
4
Thể tích cần tính: V = π ∫ [(2 − y ) − y ]dy
1

0

1

π ∫ (− y 4 + y 2 − 4 y + 4)dy π( − y
5

0

5

32π
y3
− 2 y 2 + 4 y) =
3
15
0
1

+

(đvtt).

Giải:

VD 2: Tính thể tích vật thể tạo thành do miền (D) giới hạn bởi: y = 2x – x2 ; y = 0 khi nó
quay quanh trục Oy.
x =1 + 1 − y

Ta có: y = 2x – x2 ⇔ x2 – 2x + y = 0 ⇒

x =1 − 1 − y


Thể tích cần tính:
1

[

]

2
2
V = π ∫ (1 + 1 − y ) − (1 − 1 − y ) dy
0

1

= 4π ∫ 1 − y dy =
0

=

− 8π
3

(1 − y ) 3

1
0

8π
(đvtt).
3

VD 3: (ĐH Hằng Hải – 2000)
Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi: y = (x – 2)2 và y = 4.

Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng (D) khi nó quay quanh trục Oy.

Giải:
2

Ta có: y = (x – 2)

x = 2 +
⇒
x = 2 −


4

y
y

]

0

4

Thể tích cần tính:

[

2
2
V = π ∫ (2 + y ) − ( 2 − y ) dy =

8π ∫ y dy =
0

16π
3

4

=

y3
0

128π
(đvtt).
3


Bài tốn 5: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi một đường
cong (C) kín.

*Phương pháp giải:
1/ Khi (D) quay quanh trục Ox:
Chia đường cong (C) thành 2 cung: y 1 = f 1 (x) và y 2 = f 2 (x) với x ∈ [a;b]
và f 1 (x); f 2 (x) cùng dấu
Khi đó thể tích cần tính:
b

2

2
V = π ∫ y1 − y 2 dx .
a

2/ Khi (D) quay quanh trục Oy:
Chia đường cong (C) thành 2 cung: x 1 = f 1 (y) và : x 2 = f 2 (y) với y∈ [a;b]
và f 1 (y); f 2 (y) cùng dấu.
Khi đó thể tích cần tính:
b

2
2
V = π ∫ x1 − x 2 dy
a

*Bài tập áp dụng:
VD 1: (ĐH XD – 94)
Tính thể tích hình xuyến do quay hình trịn (C): x2 + (y-2)2 = 1 quanh trục Ox.
Giải:
Hình trịn (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 1.
y = 2 + 1 − x 2

Ta có: x2 + (y-2)2 = 1 ⇒ 

y = 2 − 1 − x 2



Thể tích cần tính:
1

[

]

1

2 2
2 2
2
V = π ∫ ( 2 + 1 − x ) − ( 2 − 1 − x ) dx = 8π ∫ 1 − x dx
−1

−π π
; ]
2 2
−π
Đổi cận: x = -1 ⇒ t =
2

Đặt x = sint , t∈ [

x=1 ⇒ t=

⇒ dx = costdt

π
2

π

2

−1

π
2

Khi đó: V = 8π ∫ cos tdt = 4π ∫ (1 + cos 2t )dt =
2

−π
2

−π
2

1
4π(t + sin 2t )
2

π
2
−
π
2

= 4 π2 (đvtt)

VD 2: (ĐH SP Hà Nội 2 – 2001)
Tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục Oy của hình phẳng giới hạn bởi nửa

đườnh tròn: (x-a)2 + y2 = b2 với 0 < b < a.
Giải:
Đường tròn: Tâm I(a;0), bán kính R = b.
Ta có: : (x-a)2 + y2 = b2 ⇒

x = a + b 2 − y 2

x = a − b 2 − y 2


Thể tích cần tính:
b

[

]

b

2
2 2
2
2 2
2
2
V = π ∫ (a + b − y ) − (a − b − y ) dy = 4πa ∫ b − y dy
−b

−π π
; ] ⇒ dy = bcostdt

Đặt y = bsint , t ∈ [
2 2
−π
Đổi cận: x = -b ⇒ t =
2

x=b ⇒ t=

π
2

π
2

π

2
Khi đó: V = 4πa ∫ b cos tdt = 2πab

−π
2

−b

2

2

π

2

1
∫ (1 + cos 2t )dt = 2πab 2 (t + 2 sin 2t ) −π
2

−π

2

= 2 π 2 ab 2 (đvtt)

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên khi hình (H) giới hạn bởi:
π
y = sin 6 x + cos 6 x ; y = 0 và x = 0 ; x =
quay quanh trục Ox.
2


Bài 2. (ĐH Luật – 96).
Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi hình (H) giới hạn bởi: y = 2x2 ; y = 2x + 4
Quay quanh trục Ox.
Bài 3. (ĐHKT – 96)
Cho hình (D) giới hạn bởi: y2 = (4-x)3 và y2 = 4x.
a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (D)
b. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay (D) quanh trục Ox.
Bài 4. Cho hình trịn tâm I(3;0) bán kính R = 2 quay quanh trục Oy. Tính thể tích vật thể trịn xoay được tạo
nên.
Bài 5. Tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành do quay quanh Oy của hình phẳng giới hạn bởi nửa

đường tròn: (x-4)2 + y2 = 9.
Bài 6. Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên bởi hình trịn: x2 + (y-b)2 ≤ a2
Với 0 < a < b, khi quay quanh trục Ox.
Bài 7. Tính thể tích khối trịn xoay do quay quanh Ox của phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai trục tọa độ;
x = 1 và y = 1 + x3.
Bài 8. Cho hình (H) giới hạn bởi: y = e x ; y = e −x +2 ; và x = 0; x = 2
Tính thể tích vật thể trịn xoay khi cho (H) quay quanh trục Ox.
Bài 9. (ĐH Nông Nghiệp I, khối A – 99)
−π
π
Cho miền phẳng (D) giới hạn bởi: y = tan3x ; y = 0 và x =
;x=
4

a.Tính diện tích miền (D).
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (D) quay quanh trục Ox.

4