Chuyên đề Ôn Tuyển sinh vào lớp 10 Toán

ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT MƠN TỐN
CHỦ ĐỀ: CĂN THỨC BẬC HAI, CĂN BẬC BA
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I. CĂN BẬC HAI.
1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2 = a.
2. Ký hiệu:  a > 0:
a : Căn bậc hai của số a
 a : Căn bậc hai âm của số a

a = 0: 0  0
3. Chú ý: Với a  0: ( a )2  (  a )2  a
4. Căn bậc hai số học:
 Với a  0: số a được gọi là căn bậc hai số học của a

 Phép khi phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số a khơng âm.
So sánh các căn bậc hai số học: Với a  0, b  0: a  b  a  b
II. CĂN THỨC BẬC HAI.
1. Định nghĩa.
 Nếu A là một biểu thức đại số thì A gọi là căn thức bậc hai của A.
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
 A các định (có nghĩa) khi A  0
 Chú ý:
a) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:
A(x) là một đa thức  A(x) ln có nghĩa.
A( x ) có nghĩa  B(x)  0
B( x )

A( x ) có nghĩa 

A(x)  0

1
có nghĩa 
A( x )

A(x) > 0

b)Với M > 0, ta có:
X 2  M 2  X  M  M  X  M
X 2  M 2  X  M  X   M hoặc X  M

2. Hằng đẳng thức ( A )2  A
 Định lí: Với mọi số a, ta có:

khi a  0
a
a2  a  
 a khi a  0

 Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng có:
A0
A0

khi
A
A2  A  
 A khi

3.Các phép tính

Khai phương một tích:

A.B  A. B ( A  0, B  0)
A. B  A.B (A  0, B  0)

Nhân các căn bậc hai:
A

B

Khai phương một thương:
Chia hai căn bậc hai:

 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì

A
B



A
B

( A  0, B  0)

A
( A  0, B  0)
B

A2B  A B

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì

A2B   A B

 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B  A2B
+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B   A2B
B. DẠNG BÀI TẬP
Tổng quát
I. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản.
Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức”
Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng…
Loại 4: Chứng minh đẳng thức số.
II. DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC.
Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức
Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng:
Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng.
III. DẠNG TỐN CHỨA CĂN VÀ BÀI TỐN PHỤ
Bài tốn 1: Tìm ẩn để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước. (lớn hơn, nhỏ hơn,
Bài tốn 2. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước.
Bài toán 3: Tìm a nguyên để biểu thức nguyên.
Chi tiết
I. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản.

A
khi A  0
A2  A 
1. Phương pháp:
A
khi A  0
Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Dễ dàng đặt thừa số chung.
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 1: Rút gọn M  45  245  80
Giải
M  45  245  80



 32.5  7 2.5  42.5
3 57 54 5 6 5
Bài tập 01. Rút gọn các biểu thức sau: A  (2 3  5 27  4 12) : 3
Giải.
A  (2 3  5 27  4 12) : 3

 (2 3  5.3 3  4.2 3) : 3
 5 3 : 3  5
3. Hệ thống bài tập áp dụng
Bài tập 01: Rút gọn biểu thức : A  5 8  50  2 18
Bài tập 02. Rút gọn các biểu thức sau: A  (2 3  5 27  4 12) : 3
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức : A  27  2 12  75
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: A= 12  27  48
Bài tập 05.. Rút gọn biểu thức: B  2 3  3 27  300
Bài tập 06 .Rút gọn các biểu thức sau: A  (2 3  5 27  4 12) : 3

Bài tập 07. Rút gọn các biểu thức sau: A  125  4 45  3 20  80
Bài tập 08. Rút gọn biểu thức: A  3 2  4 18

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

Bài tập 09. Rút gọn các biểu thức sau: A  2 3  4 27  5 48
Bài tập 10. Rút gọn các biểu thức sau : M  (3 50  5 18  3 8) 2
Bài tập 11. Rút gọn biểu thức sau 2 9  25  5 4
Bài tập 12. Tính 2 32  5 27  4 8  3 75
Bài tập 13. Rút gọn biểu thức: A  2 3.52  3. 3.22  3.32
Bài tập 14. Tính: A  2 5  3 45  500
Bài tập 15. Rút gọn các biểu thức sau : M  (3 50  5 18  3 8) 2
Bài tập 16. Rút gọn các biểu thức sau: A  3  12  27
Bài tập 17. Rút gọn: B  20  45  2 5
Bài tập 18. Rút gọn biểu thức A  3( 27  4 3)
Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức”
A
khi A  0
A2  A 
1. Phương pháp:
A
khi A  0
Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Sử dụng các hằng đẳng thức:
2
A2  2 AB  B 2   A  B 



A2  2 AB  B 2   A  B 

2

A2  B 2   A  B   A  B 
Với m, n > 0 thỏa mãn m + n = A và m . n = B
ta có: A 2 B m n 2 m.n ( m  n)2
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 1.
a) Rút gọn biểu thức sau: N  6  2 5  6  2 5
b) Rút gọn biểu thức: A 

2 3
2 3

2
2

Giải
a) N  6  2 5  6  2 5
 5  2 5 1  5  2 5 1
 ( 5  1) 2  ( 5  1) 2
| 5  1|  | 5  1| 5  1  5  1  2
b) A 

2 3
2 3
42 3

42 3



2
2
4
4

1
( ( 3  1) 2  ( 3  1) 2 )
2
1
1
 (| 3  1|  | 3  1|)  ( 3  1  3  1)  1
2
2
3. Hệ thống bài tập áp dụng
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức sau : B  (3 2  6) 6  3 3


Bài tập 02. Rút gọn biểu thức sau B  ( 5  1) 6  2 5
Bài tập 03. Rút gọn các biểu thức: A  7  2 10  20 
Bài tập 04. Tính B  (2  3) 2  3
Bài tập 05: Rút gọn biểu thức : B  21



1
8

2

2 3  62 5

2

 
2

6

2 3  3 5



2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng…
1. Phương pháp:

 Với A.B ≥ 0 và B  0 thì
 Với A ≥ 0 và A  B2 thì

A

B

AB
B

C
AB

 Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A  B thì



+ Với B > 0 thì

A
B



C( A mB)
A  B2

C
A B



C( A m B )
A B

2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 01. (PP cơ bản: khai phương, rút gọn..)

1 1 3
 1
4

2
200 
Rút gọn biểu thức sau A= 
: 8
2
2
2
5


Giải
1 1 3
 1 1 2 3
 1
4
4
2
A  

2
200 
:


2


10
.2


 8 2 22 2
:
5
5
2 2 2


 8
3
1

 
2
2  8 2 .8  2 2  12 2  64 2  54 2
2
4

Bài tập 02. (PP quy đồng)
1
1
2 2 6


Rút gọn biểu thức A 
3 1
3 1

2
Giải
3 1  3  1
2(2  3) 2 3
A


 2 3  3  2 3  2
3 1
( 3  1)( 3  1)
2
Bài tập 03. (PP đặt thừa số chung)
3 3
Rút gọn biểu thức : P  ( 3  1)
2 3
Giải
3 3
3( 3  1) ( 3  1)( 3  1) 3  1
P  ( 3  1)
 ( 3  1)


1
2
2
2 3
2 3
Bài tập 04. (PP liên hợp và đặt thừa số chung):
1
8  10


Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: A 
2 1 2  5
Giải
1
8  10
2 1
2(2  5)
A



 2  1  2  1
1
2 1 2  5
2 5
Bài tập 05. (PP liên hợp và hằng đẳng thức trong căn):
2 3
2 3

Rút gọn biểu thức : A 
74 3
74 3
Giải.
2 3
2 3
A

74 3
74 3

2

A B
B


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN




2 3
(2  3)2

2 3



(2  3) 2

2 3 2 3

2 3 2 3

 (2  3) 2  (2  3) 2
 ( 3  2  2  3)(2  3  2  3)
8 3
3. Hệ thống bài tập áp dụng
5

2 5
5 2
1
1

Bài tập 02: Rút gọn biểu thức : B 
3 7 3 7
1
1

Bài tập 03. Rút gọn biểu thức : P 
5 2
52
1
1

Bài tập 04. Rút gọn biểu thức sau B 
3 2
3 2
2
1
 . 18
Bài tập 05. Tính:
22 3
1
 74 3
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức A 
2 3
Loại 4: Chứng minh đẳng thức số.
1. Phương pháp:

Sử dụng các phép biến đổi để biến đổi VT hoặc VP để được đẳng thức bằng nhau.
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 01: Chứng minh các đẳng thức sau:
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức : P 

a/ 2 2
b/
c/



 

3  2  1 2 2



2

2 6 9

2 3  2 3  6
4

 2  5

2



4

 2  5

Giải:
a) Biến đổi vế trái ta có :
VT  2 2



8

2

 

3  2  1 2 2



2

 2 6  2 6  4 2  1  4 2  8  2 6  9  VP

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
b) Biến đổi vế trái ta có :
VT  2  3  2  3 

2

42 3  42 3


2
3 1  3 1



2 3  2 3



2





2

3 1 





3 1

2

2

3  1  3 1 2 3

 6  VP
2
2
2
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.




2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

4

 2  5

c/

2



4

 2  5

2

Biến đổi vế trái ta có :
4
4
VT 

2
2 5
2 5







2
2 5





2
2 5





8

2



2

52

22

 2  5

22



 2  5
2  5  2  2  5  2
2

52
 5  2  5  2
2

2

2 5 42 5 4
 8  VP
54
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
3. Hệ thống bài tập áp dụng
Bài tập 01: Chứng minh:
a) (2  3) (2  3) 1


b)

9  17. 9  17 8

c) ( 2014  2013) . ( 2014  2013) =1
d) 2 2( 3  2)  (1 2 2) 2  2 6 9
Bài tập 02: Chứng minh các số sau đây là số nguyên:
3 32 2
66

a) A 
3 2
6 1

 15
4
12 




b) B 
6  2 3 6 
 6 1





6  11

c) C  2 3 2 3 

2  3 2 2
2 3
3 1
Bài tập 03: Chứng minh rằng:
a) 9  4 5 ( 5  2) 2
b) 9  4 5  5  2
23 8 7 ( 4  7) 2 d)
c)
17  12 2  2 2  3
II. DẠNG TỐN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC.
Lí thuyết:
Cho x  0, y  0. Ta có các cơng thức biến đổi sau:
1. x  ( x )2 ; x x  ( x )3
2. x  x  x( x  1 )
3. x y  y x  xy( x  y )
4. x  y  ( x  y )( x  y )
5. x  2 xy  y  ( x  y )2
6. x x  y y  ( x )3  ( y )3  ( x  y )( x m xy  y )

Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức
1. Ví dụ minh hoạ.
1 a a
1 a 2
 a ).(
) (với a  0;a  1)
Bài 1: Rút gọn biểu thức: P  (
1 a
1 a
Giải:
Với a  0 a  1 ta có:

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

1 a a
1 a 2
P(
 a ).(
)
1 a
1 a
2

 (1  a )(1  a  a 2 )



1 a

 a 


 (1  a )(1  a ) 
1 a



1
 (1  a ) 2 .
1
(1  a ) 2
2. Hệ thống bài tập áp dụng.
(a  b) 2  (a  b) 2
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức M 
với ab ≠ 0
ab
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức B  x  1  2 x  2  1  x  2 với 2 ≤ x < 3
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức: A  (

Bài tập 04: Cho biểu thức A 

2 xx
1
x 2

) : (1 
) với x ≥ 0, x ≠ 1

x x 1
x 1
x  x 1

x x 1 x 1

(với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A.
x 1
x 1

Bài tập 05. Rút gọn biểu thức: D  (1  x ) 2 . x  1  2 x
1
2 x  x 1 x

)(

) ( với x>0;x  1)
Bài tập 06: Rút gọn biểu thức Q  (
x 1 x 1
x 1
xx
.
Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng:
1. Ví dụ minh hoạ:
1
1

Bài 1. Rút gọn biểu thức : B 
1 x 1 x
Giải

(1  x)  (1  x) 2 x
B

(1  x)(1  x ) 1  x 2
2. Hệ thống bài tập áp dụng.
4
2
x 5


Bài tập 01. Rút gọn biểu thức: B 
với x ≥ 0, x ≠ 1
x 1
x 1 1 x
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức: B 

Bài tập 03. Cho biểu thức G =

x x
x 1

.Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G.
x 1
x 1

Bài tập 04. Cho biểu thức: P 

2 x 2 x

điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1.Rút gọn biểu thức P

x 1
x 1

Bài tập 05. Rút gọn biểu thức A  (
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức

x
2 x
1


với x  0 và x  1
x 1 x 1
x 1

B(

x
2
x4

):
với x  0 và x  4
x 2
x 2
x2
1

x 2

1
x  2 với x > 0 và x ≠ 4..
)
x 2
x

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

1
1
a 1

):
Bài tập 07. Rút ngắn biểu thức: P  (
a 1
a 1 a 1
Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng.
1.Ví dụ minh hoạ:
x 2
2x  2

Bài 1.Rút gọn biểu thức P 
với x > 0, x  2
x2
2 xx 2
Giải:
Với điều kiện đã cho thì

x 2
2( x  2)
x
2
P



1
2 x ( 2  x ) ( x  2)( x  2)
2 x
x 2
2. Hệ thống bài tập áp dụng
x yy x
1
:
 x  y ; với x>0;y0 và x  y
Bài tập 01. Chứng minh rằng:
xy
x y

a b b a
ab

ab
a b

a  a 
a 5 a 
3


Bài tập 03. Rút gọn biểu thức A   3 


 với a ≥ 0, a ≠ 25

a 1 
a  5 


III. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ
Sau khi rút gọn bài toán chứa căn xong chúng ta thường gặp các ý phụ. Các bài toán ý phụ của bài tốn
chứa căn gồm:
Bài tốn 1: Tìm ẩn để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước. (lớn hơn, nhỏ hơn, bằng một
giá trị cho trước)
1.Phương pháp:
Cho biểu thức rút gọn thỏa điều kiện được phương trình hoặc bất phương trình. Sau đó ta đi giải
phương trình hoặc bất phương trình đó.
2. Ví dụ minh họa.
Bài 1. Cho hai biểu thức:
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức: B 

A = 9  4 5  5 và B =

x x
x 1

(x  0, x  1)
x
x 1

a. Rút gọn biểu thức A và B.
b. Tìm giá trị của x để 3A + B = 0.
Ta có: A = 9  4 5 

B=

5  ( 5  2) 2 

5

5  2  5  5  2  5  2 (vì

5  2  0)

x x
x 1
x.( x  1) ( x  1).( x  1)



x
x 1
x
x 1

 x  1  x  1 2 x
b. Với x  0, x  1
ta có B = 2 x ; A = -2
Khi đó : 3A + B = 0  6  2 x  0

 2 x  6  x  3  x  9 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy với x = 9 thì 3A + B = 0
Bài 2
a) Rút gọn các biểu thức sau
A=

2 3



6 2


2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

x 1 1 x

(với x > 0)
x
x x
b) Tìm giá trị của x để B < 0
B=

B=

x 1 1 x



x
x x

=

x 1
x 1

Với x > 0 ta có B =

Khi đó : B < 0







x 1

x

x 1
x 1
x 1
0
(vì
x 1





x 1 1 x



x 1

x x



x





x 1

x  1  0 với x > 0)

 x 1  0

 x < 1 kết hợp đk x> 0

Vậy với 0 < x< 1 thì B < 0

3. Hệ thống bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hai biểu thức A  50  3 8 





2 1

2

và B 

x x  1 x 1

(Đk: x  0; x  1 )
x 1
x 1

a) Rút gọn biểu thức A,B.
b) Tìm các giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng giá trị biểu thức B
Bài 2
Cho hai biểu thức A = 2 20 

2
31

 80  4  2 3

 x  x  x  x 
1
B =  1



, với 0 ≤ x ≠ 1
 1 x  1 x 
a) Rút gọn A; B
b) Tìm giá trị của x để A = 4 B

2 x
x  1 3  11 x


( x  0, x  9 )
9 x
x 3
x 3
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A < 1.
Cho biểu thức A =

5 5

- 62 5
51
1 
x
 1


và B = 
, với x > 0, x  1
:
x 1  x - 2 x  1
x- x
a) Rút gọn biểu thức A và B
b) Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức B nhỏ hơn giá trị của biểu thức
Bài 4
2
1
1
1
2
3 3
).(


)
Cho hai biểu thức A = 1  3 
và B  (1 
x
x 1
x 1 x 1
1 3
Bài 3.Cho hai biểu thức A =





( với x  1 ; x  0)

a)Rút gọn biểu thức A và B
b)Tìm các giá trị của x để A và B là hai biểu thức đối nhau
Bài 5.Cho hai biểu thức A =

5 5
51

-

62 5
2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

1 
x
 1

và B = 
, với x > 0, x  1
:
x 1  x - 2 x  1
x- x
a.Rút gọn biểu thức A và B
b.Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức B nhỏ hơn giá trị của biểu thức A.
2 x

x  1 3  11 x


Bài 6.Cho biểu thức A =
( x  0, x  9 )
9 x
x 3
x 3
1.) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm x để A < 1.
Bài 7

x 2
và B =
x

Cho hai biểu thức A 

x 1 2 x 1

(x>0)
x
x x

a) Rút gọn biểu thức B.
A 3
b)Tìm giá trị của x để  .
B 2
Bài tốn 2. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước.
1. Phương pháp

Thay vào biểu thức rút gọn.
2.Ví dụ minh họa.
Cho biểu thức :





1.Rút gọn biểu thức A = 5 2  3 32  200 : 8



x 1
1
4 
1


:
với x ≥ 0, x ≠ 4.


x 2 4 x  x 2
 x 2

2.Cho biểu thức B = 

a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của B khi x = 9  4 5

 x 1
1
4 
1
B= 


:

x 2 4 x
 x 2
 x 2

=


=

=





x 1 .

x 2

x4



( x  0; x  4)


x 2
4 
1

:
x4 x4 x 2


x 3 x  2 x 2 4
1
:
x4
x 2





x 2



x 2 .



2

x 2







 x 2 =

x 2

Thay x = 9  4 5 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức B ta được:

B = 94 5 2 




5 2



2

2

5 2 2  5 22  5

3.Hệ thống bài tập
Bài 1.
 x x  x x 
1
Cho biểu thức B =  1

  1 x 
, với 0 ≤ x ≠ 1
1

x



1) Rút gọn B

2


ƠN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỐN

2) Tính giá trị biểu thức B khi x =
Bài 2

1
1 2



x 1
1
4 
1


:
với x ≥ 0, x ≠ 4.

x 2 4 x
 x 2
 x 2

Cho biểu thức B = 

a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của B khi x = 9  4 5
Bài 3



x 1
1
4 
1


:


 x  2 với x ≥ 0, x ≠ 4.
4

x
x

2
x

2



Cho biểu thức B = 

a.Rút gọn biểu thức B.
b.Tính giá trị của B khi x = 9  4 5
Bài toán 3: Tìm a nguyên để biểu thức nguyên.
1.Phương pháp:
Hay dùng: Lấy tử chia cho mẫu tách biểu thức thành tổng của một số nguyên và một biểu thức có tử là
một số nguyên
Cho mẫu là ước của tử suy ra ẩn.
2.Ví dụ minh họa

x 2
x  2 

( x  x ) với x  0; x 1
. Cho biểu thức B 


x

1
x

2
x

1


a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên.



x 2
x  2 
x 2
x 2
 x ( x  1)
B 

( x  x ) 

 x  2 x 1 x  1 
 ( x  1) 2 ( x  1)( x  1) 





 x 2
 x  1 1
x  2 
x  1  1 


x 

x
 ( x  1) ( x  1) 
 ( x  1) ( x  1) 






 x 1  x  1 
1
1
 x  
 x  2 x
1 
 1
 ( x  1)


x 1
x 1

( x 1) 



2x
Vậy B 
x 1
 2( x  1)  2
2x
2
B 

 2 
x 1
x 1
x 1
 x 0
 x 2
 x  1 1
2
 
Q nhậngiátrịnguyênkhi
nhậngiátrịnguyênkhi 2 chia hếtcho x  1  
 x  1
x

1


2

x 1


 x 3
Đốichiếuvớiđiềukiện x  0; x 1
 x 2
vậy 
thì B nhận giá trị nguyên.
 x 3
3. Hệ thống bài tập áp dụng
 1
1 
a 1

 :
Bài 1: Cho biÓu thøc: P 
( a > 0; a ≠ 1)
a  1 a  2 a 1
a a
a, Rút gọn P;
b, Tìm giá trị nguyờn của a để biểu thức P có giá trị nguyên.

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

Bài 2.
2
1

2 x


với x  0; x  4
2 x 2 x x4
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm các giá trị x nguyên để B có giá trị nguyên dương?
Cho biểu thức : Q 

CHUYÊN ĐỀ
HÀM SỐ BẬC NHẤT
VÀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Hàm số bậc nhất y=ax+b (a0)
- Hàm số xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Hàm số đồng biến trên R khi a > 0, nghịch biến trên R khi a < 0
- Đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) là một đường thẳng
. cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
. song song với đường thẳng y = ax+b nếu b  0
. trùng với đường thẳng y = ax+b nếu b = 0
- Đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) là một đường thẳng nên khi vẽ cần xác định 2 điểm thuộc đồ thị
+ Nếu b=0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
+ Nếu b0, đồ thị hàm số ln cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA;yA) khi và chỉ khi yA=axA+b
2. Vị trí tương đối của hai dường thẳng trên mặt phẳng tọa độ
Xét hai đường thẳng (d): y = ax + b (a  0) và (d’): y = a’x + b’ (a’  0). Khi đó
+) (d ) // (d’)  a  a '

b  b '
+) (d) và (d’) trùng nhau  a  a '


b  b '
+) (d) và (d’) cắt nhau  a  a '
a  a '
+) (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục tung  
'
b  b
II. BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ, GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ, XÁC ĐỊNH HÀM SỐ
Bài 1. a. Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3 (
). Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Cho hàm số y =





3  2 x + 1. Tính giá trị của hàm số khi x =

32

Hướng dẫn: a. Hàm số đồng biến với m > 2. Hàm số nghịch biến với m < 2 ;
b. Thay x = 3  2 vào hàm số ta được
y=



32





3  2 1 

 3

2

 22  1  0 .

Bài 2: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó song song với đồ thị hàm số y =2x-3 và đi qua
điểm A( 2;3)
Hướng dẫn:
Vì đồ thị hàm số y=ax+b song song với đồ thị hàm số y=2x-3 nên a = 2 và b≠-3, hàm số có dạng
y=2x+b ( b≠-3)
Vì đồ thị hàm số y=2x+b ( b≠-3) đi qua A(2;3) nên 3=2.2+b . vậy b=-1 (TMĐK)
Vậy hàm số cần tìm là y=2x-1
Chú ý: Đối chiếu điều kiện sau khi tìm được b.

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

Bài 3: Xác định hàm số y = ax + b. Biết đồ thị hàm số song song với đường thẳng y =

1
x 5 và cắt
2

trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng -3
Hướng dẫn:
1

1
a 
2
Vì đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y  x  5 nên 
2
 b  5
1
Khi đó hàm số có dạng y  x  b ( b≠ 5)
2
1
Vì đồ thị của hàm số y  x  b cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bẳng -3 nên nó đi qua điểm (-3;
2

0). Khi đó ta có:
1
3
0  (3)  b  b  (tho¶ m· n b  5)
2
2
1
3
Vậy hàm số cần tìm là: y  x  .
2
2
Bài 4: Xác định hàm số y = ax + b. Biết đồ thị hàm số song song với đường thẳng y =

1
x 5 và cắt
2

trục tung tại điểm có tung độ bằng -3
Hướng dẫn:
1
Cách 1. Vì đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y  x  5 nên
2

Khi đó hàm số có dạng y 
Vì đồ thị của hàm số y 

1

a 
2

 b  5

1
x  b ( b≠ 5)
2

1
x  b cắt trục tung tại điểm cótung độ bẳng -3
2

=> b = -3 ( TMĐK)

Vậy hàm số cần tìm là: y 

1
x  3.
2

Cách 2.
1

1
a 
2
Vì đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y  x  5 nên 
2
 b  5
1
Khi đó hàm số có dạng y  x  b ( b≠ 5)
2
1
Vì đồ thị của hàm số y  x  b cắt trục tung tại điểm cótung độ bẳng -3 nên nó đi qua điểm ( 0; -3).
2

Khi đó ta có:
1
3  .0 b  b  3 (tho¶ m· n b  5)
2
1
Vậy hàm số cần tìm là: y  x  3 .
2
Bài 5: Xác định hàm số bậc nhất: y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm

3
(2; - 1) và cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ là
.
2

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

3
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng
2
Để hàm số là hàm số bậc nhất thì a  0
3
3
; 0)nên: a .  b  0 (1)
2
2
Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2; -1 ) nên: a. 2 + b = -1 ( 2 )
3
 a  2
 a b 0

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình  2
 2a  b   1
 b 3

Vậy hàm số cần tìm là y = -2x + 3:

hay đi qua (

Chú ý :xác định hàm số bậc nhất cần chú ý điều kiện của hệ số a
Bài 6:Tìm a và b để đường thẳng y=(a-2)x+b có hệ số góc bằng 4 và đi qua
M(1;-3)
Hướng dẫn :
Đường thẳng y=(a-2)x+b có hệ số góc bằng 4 khi a - 2 = 4 = a = 6
Khi đó đường thẳng là: y = 4x + b
Đường thẳng y = 4x + b đi qua M(1;-3) khi -3 = 4.1 = b => b = -7
Vậy a = 4, b = -7
Bài 7
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1; 2) và song song với
đường thẳng y = 3x + 1. Tìm hệ số a và b.
Hướng dẫn:
Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x + 1 nên a = 3 và b  1 .
Vì đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1;2) nên ta có:
1

= 3.(-1) + b

Tìm được b= 5 (t/m vì b  1 )
Vậy: a = 3, b = 5 là các giá trị cần tìm
Bài 8: Cho hàm số y = ax + b có đồ thị (d). Tìm a, b biết (d) cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ -2 và
(d) song song với đường thẳng y = - 2x + 3
Hướng dẫn:
Do (d) cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ -2 nên ta thay x = -2 ; y = 0 vào hàm số y = ax + b ta được
0 = a.(-2) + b  -2a + b = 0 (1)
Do (d) song song với đường thẳng y = -2x + 3 nên ta có
/


a  2
a  a
(2)



/
b

3
b

b



a  2
Từ (1) và (2) ta có 
b  4
Bài 9
Cho hàm số y = ax + b có đồ thị (d). Tìm a, b biết (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ -2 và (d) song
song với đường thẳng y = 2x + 3
Hướng dẫn:
Do (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ -2 nên ta thay x = 0 ; y = -2vào hàm số y = ax + b ta được -2 =
a.0 + b  b=-2 (1)
Do (d) song song với đường thẳng y = 2x + 3 nên ta có
/

a  2

a  a
(2)



/
b

3
b

b



Từ (1) và (2) ta có a=2 và b=-2.

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 10
Lập phương trình đường thẳng (d) biết đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d1): y = 2x – 1 và đi
qua điểm M(4; 6).
Hướng dẫn:
Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b
a = 2
Vì (d) song song với (d1) nên 

, phương trình đường thẳng (d) là
b  -1
y = 2x + b ( b≠ 1)
Mà (d) đi qua M(4; 6) nên ta có: 6 = 2.4 + b => b = -2(thỏa mãn)
Vậy phương trình đường thẳng (d) là y = 2x-2.
Chú ý: Đối chiếu điều kiện sau khi tìm được b.
Bài 11 : Lập phương trình đường thẳng (d1), biết đường thẳng (d1) đi qua điểm
M(-3; -1) và có hệ số góc là 3.
Bài 12 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;- 1) và N(3;- 5) trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Hướng dẫn:
Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b. Điểm M và điểm N thuộc (d) nên ta có:

 y M ax M  b


 y N ax N  b

 a.1  b  1


 a.3  b  5

 a  b  1


 3a  b  5

 a  2

 b 1

Vậy phương trình của đường thẳng d là: y = - 2x + 1
1
Bài 13: Cho hàm số : y   x  3 (d)
2
Viết phương trình đường thẳng (d’), biết đồ thị của nó song song với đường thẳng (d) và cắt trục hồnh
tại điểm có hồnh độ bằng 3
Hướng dẫn:
1
y   x  3 (d)
2
Phương trình đường thẳng (d’) có dạng : y = ax + b
Vì đồ thị của nó song song với đường thẳng (d) suy ra a = 

1
nên
2

1
y   x  b (d’)
2
1
Vì (d’) cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 3 nên có :  3 b 0
2
3
Suy ra b 
2
Bài 14:Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 3 và cắt trục tung tại điểm

tung có tung độ bằng 5.

Hướng dẫn:
Gọi phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (d)
Vì (d) song song với đường thẳng y = 2x + 3 nên a = 2; b  3
Vì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5  b = 5
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 2x + 5
DẠNG 3:CHỨNG MINH BA ĐƯƠNG THẲNG ĐỒNG QUY
Bài 15: Tìm giá trị của k để ba đường thẳng : y = - 2x + 3 ( d1 ); y = 3x – 2 ( d 2 ) y = kx + k – 5 ( d3
)đồng quy trong mặt phẳng tọa độ.
Hướng dẫn:

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

Hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) có hệ số góc khác nhau ( - 2  3) nên hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) cắt
nhau tại điểm M trong mặt phẳng tọa độ. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn :

 y  2x+3

 y  3x  2
Suy ra tọa độ của điểm M là (1;1)
Để ba đường thẳng đồng quy thì ( d3 ) phải đi qua điểm M(1;1)
Nên k.1 + k – 5 = 1 => k = 3
Kết luận : k = 3
DẠNG 4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Bài 16. Cho 3 điểm A(2;0), B(0; -2), C(3;1). Chứng tỏ 3 điểm A, B, C thẳng hàng
Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b
Vì đường thẳng AB đi qua A(2;0), B(0; -2) nên ta có
 2a  b  0

a  1


2.0  b  2
b  2
Do đó Phương trình đường thẳng AB là y = x -2
Có C(3;1)=> xC = 3 và yC = 1
Thay xC = 3 và yC = 1 vào phương trình đường thẳng AB ta được
1= 3-2 ( đẳng thức đúng)
 C thuộc đường thẳng AB
Chứng tỏ 3 điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 17: Trong cùng một hệ trục xOy cho ba điểm A(2;4) B(-3;-1) và
C(-2;1).Chứng minh rằng ba điểm không thẳng hàng
DẠNG 5 :CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG LUÔN QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Bài 18: Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.
Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy.
Hướng dẫn:
Gọi điểm cố định mà đồ thị ln đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
1

x

0

2
y0 = (2m – 1)x0 + m – 3  (2x0 + 1)m – x0 – y0 – 3 = 0  

y  5
 0 2
1 5

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định ( ; ).
2 2
DẠNG 6:TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ
Bài tốn 1:
a) Tìm m đế đường thẳng qua một điểm
Bài 19
Cho hàm số y  2mx  m  2 (1) (m là tham số).
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm A  1;1 . Với giá trị của m vừa tìm
được thì hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên ¡ .
b)Tìm m để đường thẳng(d) qua điểm thuộc đường thẳng cho trước có hồnh độ là a hoặc tung
độ b
Bài 20: Tìm m để đường thẳng y = (2m-5)x – 5m đi qua điểm thuộc đường thẳng y = x+5 có hồnh độ
là 1.
Hướng dẫn:
x = 1  y = 1 + 5 = 6 Vậy A(1,6)
Vì đường thẳng y = (2m-5)x – 5m đi qua A(1,6)

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

11
 6 = (2m-5).1 – 5m  11 = -3m  m  
3
11
3
Chú ý: HS có thể nhầm đường thẳng (2m-5)x – 5m đi qua điểm A(1;0).

Vậy m  

c)Tìm m để 2 đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hồnh
Bài 21:Tìm m để đường thẳng y = 3x - 7 và đường thẳng y =

2
x + m cắt nhau tại một điểm nằm trên
3

trục hoành.
Hướng dẫn:
*) Xét đường thẳng y = 3x – 7

7
7
 đường thẳng y = 3x – 7 cắt trục hoành tại điểm M( ; 0)
3
3
2
*) Để đường thẳng y = 3x – 7 và đường thẳng y = x + m cắt nhau tại một điểm trên trục hoành 
3
+ Cho y = 0  x =

M(

7
2
; 0) thuộc đường thẳng y = x + m
3
3

m=

14
9

d)Tìm m để 2 đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung
Bài 22: Với giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số: y = -5x + (m +1) và
y = 4x + (7- m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tìm tọa độ giao điểm đó.
Hướng dẫn:
Đường thẳng y = -5x + (m + 1) (d) và đường thẳng y = 4x + (7 - m) (d’) ln cắt nhau vì a  a’(-5 
4).
Để (d) và (d’) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung thì b = b’  m + 1 = 7 – m
 2m = 6  m = 3.
Với m = 3 thì tung độ gốc của 2 đường thẳng (d) và (d’) là b = b’ = 4 nên toạ độ giao điểm của 2
đường thẳng (d) và (d’) là (0; 4).
d)Tìm m để 2 đường thẳng thỏa mãn 1 vị trí nào đó
Bài 23. Cho hai đường thẳng (d): y  (m  1) x  5 và (d’) y  x  m 2  1 . Tìm m để hai đường thẳng
(d) và (d’) trùng nhau.
DAPAN
m  1  1
m  2
 2
m2
Hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau  
2
5  m  1
m  4
Vậy m=2 thì hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau.
Bài 24. Cho các hàm số bậc nhất: y = (k+1)x + 3 (d1)
y = (3-2k)x + 1 (d2)

Tìm k để:
a) (d1) // (d2);
b) (d1) cắt (d2);
ĐÁP ÁN
y = (k+1)x + 3 (d1) (k  1 )

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

y = (3-2k)x + 1

3

(d2)  k  
2


2
(tm)
3
2
b) Để (d1) cắt (d2) thì k+1  3-2k  3k  2  k 
3
3
2
Với k  1 ; k  ; k  thì (d1) // (d2)
2
3

Bài 25. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng sau song song với nhau:

a) Để (d1) // (d2) thì k+1=3-2k  3k  2  k 

2
a) y   m  4  x  2  m   2  và y  5 x  m  1

DAP AN

m 2  4  5
Để hai đường thẳng y   m  4  x  2  m  2  và y  5 x  m  1 song song với nhau thì: 
 m 1  2
2

 m  3

 m  3
 m3

2
b) y  2mx  m  2 và y   m  3 x  2m  1.

DAPAN

 2m  m 2  3
2
Đường thẳng đã cho song song với đường thẳng y   m  3 x  2m  1 khi và chỉ khi 
 m  2  2m  1
m  3
 m 2  2m  3  0



   m  1  m  1
m  3
m  3

Kết luận m  1 .
e)Tìm m để đường thẳng cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ là a,cắt trục tung tại điểm có tung
độ là b
Bài 26: Cho hàm số bậc nhất y = (a - 1)x + b (d). Tìm giá trị của a và b để đường thẳng (d) cắt trục
tung tại điểm có tung độ 2 và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng -1.
Hướng dẫn:
ĐK: a ≠ 1, (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ 2  b = 2
(d) cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng -1  0 = (a – 1).(-1) + 2
 a = 2 + 1(TM)
Vậy a = 2 + 1; b = 2
Chú ý: Tìm ĐK để hàm số y = (a - 1)x + b là hàm số hàm số bậc nhất và đối chiếu điều kiện.
Chú ý: HS có thể nhầm điều kiện để hai đường thẳng song song với điều kiện để hai đường thẳng cắt
nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
HS quên đối chiếu điều kiện sau khi tìm được b.
d)Tìm m để đường thẳng cắt đường cho trước tại điểm có tung độ (hoặc hoành độ) là b và song
song với đường thẳng cho trước.
Bài 27.
a. Cho hai đường thẳng (d1) : y = 2x-1và (d2):y = -x +5.
Tìm a, b biết đường thẳng (d3): y = ax + b song song với đường thẳng (d1) và cắt (d2) tại điểm có tung
độ bằng -1
Hướng dẫn:

2

ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

Đường thẳng (d3): y = ax + b song song với đường thẳng (d1) nên a= 2 và
b ≠ -1. Khi đó (d3): y = 2x + b
Đường thẳng (d3): y = 2x + b cắt (d2) tại điểm có tung độ bằng -1 nên gọi tọa độ giao điểm của (d3) và
(d2) là A(x0;-1)
A(x0;-1) (d2)  -1 = -x0 +5  x0 = 6
A(6;-1) (d3)  -1 = 2. 6 + b  b = -13 ( TM b ≠ -1 )
Bài tốn 3:Tìm m để đường thẳng cắt tại một điểm M thỏa mãn tính chất cho trước
Bài 28.
Tìm m để đồ thị của hàm số y   x  2m  1 cắt đường thẳng y  2x  3 tại một điểm nằm về phía
bên phải trục tung.
Hướng dẫn:
Vì -1 ≠2 nên hai đường thẳng trên cắt nhau.
Giả sử A(x0; y0) là giao điểm của đồ thị của hàm số y = -x + 2m - 1 và đường thẳng y = 2x – 3
 y0   x0  2m  1
khi đó ta có: 
 y0  2 x0  3

3x  2m  2  0
 0
 y 0  2x 0  3
2m  2
 x0 
3

2m  2
 0  m  1
3

Bài 29: Cho hàm số : y = x + m (d). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) :
1) Đi qua điểm A(1; 2013).
2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0.

- Điểm A(x0;y0) nằm về bên phải trục tung khi và chỉ khi x0 

Bài 30: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (k+1)x + 3 (d1) và y = (3-2k)x + 1(d2)
Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thằng song song? Cắt nhau?
Hướng dẫn:
y = (k+1)x + 3

(d1)

y = (3-2k)x + 1

(k  1 )

3

(d2)  k  
2


2
(tm)
3
2
+) Để (d1) cắt (d2) thì k+1  3-2k  3k  2  k 
3

+) Để (d1) // (d2) thì k+1=3-2k  3k  2  k 

3
2
; k  thì (d1) // (d2)
2
3
Bài 31: Cho hai đường thẳng (d) y  (m  1)  5 và (d’) y  x  m 2  1 . Tìm m để hai đường thẳng (d)

Với k  1 ; k 

và (d’) trùng nhau.
Bài tốn 4: Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn tính chất cho trước
Bài 32: Cho hàm số y = x – 2 có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm điểm trên (d) có hồnh độ và tung độ
đối nhau.
Hướng dẫn:
Gọi M(a; -a) là điểm trên (d) có hồnh độ và tung độ đối nhau.
Vì M(a; -a) (d)  a – 2 = -a  a= 1
Vậy M(1; -1) là điểm cần tìm.

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

Bài 33
a) Vẽ đồ thị (d) hàm số y= -x+3
b)Tìm trên (d) những điểm có hồnh độ và tung độ bằng nhau
Bài 34: Điểm A( xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = - 3x + 2 và cách trục tung một khoảng bằng 3.Tìm tọa
độ điểm A.

Hướng dẫn :
Vì điểm A cách trục tung một khoảng bằng 3 nên xA = 3 hoặc xA = -3
Với xA = 3 thay vào y = - 3x + 2 được yA = -3.3 + 2 = -7.
Với xA = - 3 thay vào y = - 3x + 2 được yA = -3.(-3 )+ 2 =11
Vậy tọa độ điểm A là A(3 ;-7), A(-3 ; 11)
Bài 35 .Điểm M thuộc đường thẳng y = 3x + 4 cách trục hoành một khoảng bằng 2. Tìm toạ độ điểm
M.
Hướng dẫn:
Điểm M cách trục hồnh một khoảng bằng 2 nên tung độ của M bằng 2 hoặc -2.

2
2
 toạ độ của điểm M(
; 2).
3
3
Với y = -2 thì -2 = 3x +4  x  2 toạ độ của điểm M( 2 ; 2).
Với y = 2 thì 2 = 3x +4  x 

* ỨNG DỤNG HÀM SỐ BẬC NHẤT GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài 1
Một người vay ngân hàng 30 000 000 (ba mươi triệu) đồng với lãi suất ngân hàng là 5% một năm
và theo thể thức lãi đơn (tiền lãi không gộp vào chung với vốn)
a) Hãy thiết lập hàm số thể hiện mối liên hệ giữa tổng số tiền nợ T (VNĐ) và số nợ n (năm).
b) Sau 4 năm, người đó nợ ngân hàng tất cả bao nhiêu tiền?
HD
a) Một người vay ngân hàng 30 000 000 VNĐ với lãi suất 5% một năm theo thể thức lãi đơn.
Sau 1 năm người này nợ thêm: 30 000 000.5% = 1 500 000 (VNĐ)
Sau n năm người này nợ thêm: 1 500 000.n (VNĐ)
Khi đó tổng số tiền người đó nợ sau n năm là:

1 500 000.n + 30 000 000 (VNĐ)
Hàm số thể hiện mối liên hệ giữa tổng số tiền nợ T (VNĐ) và số nợ n (năm) là:
T = 1 500 000.n + 30 000 000
b) Thay n = 4 vào công thức T = 1 500 000.n + 30 000 000, ta được:
T = 1 500 000.4 + 30 000 000 = 36 000 000
Vậy sau 4 năm người đó nợ ngân hàng là 36 000 000 VNĐ
Bài 2
Hiện tại bạn Duy đã để dành được một số tiền là 80 000 đồng. Bạn Duy đang có ý định mua một
cuốn truyện trị giá 200 000 đồng, nên hàng ngày bạn ấy đều tiết kiệm 2000 đồng. Gọi m (đồng) là số
tiền bạn Duy tiết kiệm được sau t ngày.
a) Thiết lập hàm số của m theo t.
b) Hỏi sau bao nhiêu lâu kể từ ngày bắt đầu tiết kiệm thì bạn Duy có thể mua được cuốn truyện đó.
HD
a) Hàm số của m theo t là: m = 2000.t + 80 000
b) Thay m = 200 000 vào công thức m = 2000.t + 80 000, ta được:
2000.t + 80 000 = 200 000
 2000.t
= 120 000

t = 60
Vậy Duy cần tiết kiệm tiền trong vòng 60 ngày để mua được cuốn truyện đó.
Câu 3
Nhà máy A sản xuất một lơ áo gồm 200 chiếc áo với giá vốn là 30 000 000 đồng và giá bán mỗi chiếc
áo sẽ là 300 000 đồng. Khi đó gọi y ( đồng) là số tiền lời ( hoặc lỗ ) của nhà máy thu được khi bán x
chiếc áo.

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

a) Thiết lập hàm số của y theo x.
b) Để lãi được 6 000 000 đồng thì cần phải bán bao nhiêu chiếc áo?
HD
Hàm số của y theo x là:
y = 300 000 x - 30 000 000 ( với 0

x

200 Thay y = 6 000 000 vào hàm số y = 300 000 x - 30 000

000
ta được: 6 000 000 = 300 000 x - 30 000 000 300 000 x = 36 000 000

x = 120
Vậy để lãi được 6 000 000 đồng thì cần phải bán 120 chiếc áo.
Câu 4
Một quyển vở giá 4000 đồng, một hộp bút giá 30000 đồng. Bạn Hà cần mua một số quyển vở và 01
hộp bút.
a) Gọi x là số quyển vở bạn Hà mua và y (đồng) là số tiền phải trả ( bao gồm tiền mua vở và một 01
bút). Viết công thức biểu diễn y theo x.
b) Nếu bạn Hà có 200000 đồng để mua vở và 01 hộp bút thì tối đa bạn mua được bao nhiêu quyển vở ?
HD
Công thức biểu diễn y theo x là: y = 30 000+ 4000 x
Thay y =200 000 vào công thức y=30000+4000 x, ta có:
200000 = 30 000+ 4000 x 4000 x = 170 000

x= 42,5
Vậy nếu có 200000 đồng thì tối đa bạn Hà mua được 42 quyển vở
Câu 5

Nhà Minh có một mảnh đất hình chữ nhật có các kích thức là 4m và 7m. Để làm lối đi, bố Minh đã bớt
mỗi kích thước đó đi x (m) ( 0 < x < 4) được khu vực trồng rau có chu vi là y (m).
a) Hãy lập cơng thức tính y theo x ?
b) Trong trường hợp x = 0,5m, hãy tính chu vi khu đất trồng rau.
HD
Khi bớt mỗi kích thước đi x (m) ta được các kích thước mới là:
7 - x (m) và 4 - x (m)Chu vi khu đất trồng rau hình chữ nhật là:
y = [(7 - x) + (4 - x)]. 2 = - 4x + 22Với x = 0,5 cm thì chu vi khu đất trồng rau hình chữ nhật là:
y = -4.0,5 + 22 = 20 (m)
Câu 6
Quãng đường trung tâm thanh phố Hải Phòng đến trung tâm thành phố Hà Nội dài 100km. Một xe
máy đi lên Hà Nội với vận tốc 50km/h, xuất phát từ trạm thu phí Quán Toan ( biết trạm thu phí Quán
Toan nằm trên đường đi Hải Phòng-Hà Nội) cách trung tâm thành phố Hải Phòng 15km. Gọi y (km) là
khoảng cách từ xe máy đến trung tâm thành phố Hải Phòng, gọi t là thời gian xe máy đi.
a) Viết hàm số biểu diễn y theo t.
b) Hỏi sau bao lâu xe máy đến trung tâm Hà Nội.
HD
a) Hàm số biểu diễn y theo t của xe máy là: y  50t  15
Hàm số biểu diễn y theo t của ô tô là: y  60t
b, Ơ tơ đuổi kịp xe máy khi: 60t  50t  15  t  1, 5
Vậy ô tô đuổi kịp xe máy sau 1,5 giờ.
Câu 7

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

Một hãng xe tính tiền cho th một chiếc xe mỗi ki-lơ-mét với giá tiền 5000 đồng. Gọi y là số tiền
phải trả, x là số ki-lơ-mét di chuyển.

a) Lập cơng thức tính tiền thuê xe của hãng xe.
b) Một người thuê xe đi từ Hải Phịng đến thành phố Thanh Hóa với đoạn đường dài 250km. Hỏi phải
trả cho hãng xe bao nhiêu tiền ?
HD
a) Vì mỗi km phải trả 5000đồng cho hãng xe nên ta có hàm số biểu diễn giá tiền thuê xe của hãng xe
đó là y  5000 x
b) Số tiền phải trả cho hãng xe khi thuê một chiếc xe đi đoạn đường dài 250km là
5000.250 = 1250000 đồng
Câu 8
Do các hoạt động công nghiệp thiếu kiểm soát của con người làm cho nhiệt độ Trái Đất tăng dần một
cách rất đáng lo ngại.
Gọi T là nhiệt độ trung bình của bề mặt trái đất tính theo độ C; t là số năm kể từ năm kể từ năm 1950.
Biết năm 1950 nhiệt độ trung bình của trái đất là 15 độ C cứ mỗi năm nhiệt độ của trái đất tăng 0,02 độ
C.
a) Hãy lập hàm số T theo t.
b) Hãy tính xem nhiệt độ trung bình của bề mặt trái đất vào năm 2100 là bao nhiêu độ.
HD
a) T = 0,02t + 15
b) 0,02.(2100-1950)+15 = 18 0C
Vậy nhiệt độ trung bình năm 2100 là 18 0C
Câu 9
Bà Lan gửi một số tiền vào ngân hàng theo kì hạn 12 tháng với lãi suất 6,5%/năm. Sau 12 tháng bà
Lan nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 53 250 000 đồng.
Hỏi số tiền gốc lúc đầu bà Lan gửi vào ngân hàng là bao nhiêu?
HD
Gọi số tiền gốc lúc đầu bà Lan gửi vào ngân hàng là x (đồng)
(0 < x < 53 250 000)Vì bà Lan gửi tiền vào ngân hàng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6,5%/năm. Sau 12
tháng bà Lan nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là
53 250 000 đồng nên ta có phương trình:
x + 6,5%.x = 53 250 000  x = 50 000 000 (Thỏa mãn)

Vậy số tiền gốc lúc đầu của Bà Lan là 50 000 000 đồng.
Câu 10
Một mảnh vườn hình chữ nhật có các kích thước là 20m và 30m. Người ta tăng kích thước của nó lên
mỗi chiều x(m) được hình chữ nhật mới có chu vi là y(m)
a) Hãy lập hàm số y theo x.
b) Nếu chu vi của mảnh vườn là 200m. Hãy tính các kích thước của mảnh vườn?
HD
a) Chu vi mảnh vườn là y = 2.(20 + x + 30 + x) = 4x + 100
b) Chu vi là 200m ta có 4x + 100 = 200 => x = 25 .
Vậy kích thước của mảnh vườn là 45m và 55m

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a/x + b/y = c/. Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc
nhất hai ẩn
 ax  by c
(I)  /
/
/
 a x  b y c
* Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (xo;y0) thì (xo;y0) được gọi là một nghiệm của hệ (I).
* Nếu hai phương trình đã cho khơng có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vơ nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
2. Một số phương pháp giải hệ phương trình

a.Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế ta làm các bước sau đây:
Biểu diễn một ẩn từ một phương trình nào đó của hệ qua ẩn kia.
Thay ẩn này bới biểu thức biểu diễn nó vào phương trình cịn lại. .
Giải phương trình một ẩn nhận được.
Tìm giá trị tương ứng của ẩn cịn lại.
b. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số ta làm các bước sau đây:
Nhân cả hai vế của các phương trình trong hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ đã cho về hệ mới,
trong đó các hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau (hoặc đối nhau).
Trừ (hoặc cộng) từng vế của các phương trình trong hệ mới để khử bớt một ẩn.
Giải phương trình một ẩn thu được.
Thay giá trị tìm được của ẩn này vào một trong hai phương trình của hệ để tìm ẩn kia.
II. DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
a) Phương pháp giải:
Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế ta làm các bước sau đây:
Biểu diễn một ẩn từ một phương trình nào đó của hệ qua ẩn kia.
Thay ẩn này bới biểu thức biểu diễn nó vào phương trình cịn lại. .
Giải phương trình một ẩn nhận được.
Tìm giá trị tương ứng của ẩn cịn lại.
b) Ví dụ minh hoạ:
Bài 1: Giải hệ phương trình :
Hướng dẫn giải
Từ phương trình (1), biểu diễn y theo x ta có y  12  2x .
Thay y trong phương trình (2) bởi y  12  x , ta được
7 x – 2  12 – 2 x   31
            7 x – 24  4 x  31
            11x  55
             x   5

Thay x = 5 vào phương trình y  12  x , ta được:
y  12 – 2.5  2 . Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (5; 2)
Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
a) Phương pháp giải:
Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số ta làm các bước sau đây:
Nhân cả hai vế của các phương trình trong hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ đã cho về hệ mới,
trong đó các hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau (hoặc đối nhau).
Trừ (hoặc cộng) từng vế của các phương trình trong hệ mới để khử bớt một ẩn.
Giải phương trình một ẩn thu được.

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

Thay giá trị tìm được của ẩn này vào một trong hai phương trình của hệ để tìm ẩn kia.
b) Ví dụ minh hoạ : Giải hệ phương trình sau.
3x  2 y  11
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
x  2 y  1
Hướng dẫn giải
Các hệ số của ẩn y trong hai phương trình là đối nhau, vì vậy ta cộng từng vế của hai phương trình để
khử ẩn y ta thu được:
4 x  12  x  3
Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta có:
3  2 y  1   2 y   2   y   1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1)
2 x  5 y  8
Bài 3: Giải hệ phương trình: 
2 x  3 y  0

Hướng dẫn giải
Các hệ số của ẩn x trong hai phương trình là bằng nhau, vì vậy ta trừ từng vế của hai phương trình để
khử ẩn x, ta được:
8 y   8  y  1
Thay y = 1 vào một trong hai phương trình đã cho của hệ ta được:
3
2.x – 3.1  0  2 x  3  x 
2
3 
Vậy hệ phương trình có nghiệm  x, y    ; 1
2 
5 x  11 y  8
Bài 4: Giải hệ phương trình: 
10 x  7 y  74
Hướng dẫn giải
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, giữ nguyên phương trình hai ta được hệ mới:
10 x  22 y  16

10 x  7 y  74
Trừ từng vế của phương trình thứ nhất (mới) cho phương trình thứ hai ta được:
29 y   58
 y  2
Thay vào phương trình thứ hai, ta có
10 x – 7.  2   74
 10 x  60
x 6
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x, y) = (6 ; -2)
*Lưu ý:
Khi trong hệ có chứa các biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ về
một hệ mới đơn giản hơn. Sau đó sử dụng phương pháp cộng hoặc thế để tìm ra nghiệm của hệ

phương trình.
ax  by  c
Dạng 3: Giải hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng: 
a ' x  b ' y  c '
 x  4   y  4   xy  216
Bài 5: Giải hệ phương trình: 
 x  2   y  5   xy  50
Lời giải

2


ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TOÁN

 x  4   y  4   xy  216
 xy  4 x  4 y  16  xy  216

Có 
 x  2   y  5   xy  50
 xy  5 x  2 y  10  xy  50
4 x  4 y  200
 2 x  2 y  100
7 x  140
 x  20




5 x  2 y  40  5 x  2 y  40
 x  y  50

 y  30

Vậy:  x ; y  =  20 ; 30 
Dạng 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
a) Phương pháp giải
Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần).
Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt.
Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ số.
b) Ví dụ minh hoạ
Bài 6.Giải hệ phương trình: 3  x  1  2  x  2 y   4 3
 

4  x  1   x  2 y   9
Cách 1: (Giải trực tiếp)
3  x  1  2  x  2 y   4
3x  3  2 x  4 y  4

Ta có: 
4  x  1   x  2 y   9
4 x  4  x  2 y  9

5 x  4 y  1
5 x  4 y  1
11x  11
x  1





3 x  2 y  5 6 x  4 y  10
5 x  4 y  1  y  1
Vậy:  x; y    1; 1
Cách 2: Đặt ẩn phụ
a  x  1
3a  2b  4
3a  2b  4
11a  22
a  2
  3 : 



Đặt: 
b  x  2 y
 4a  b  9
8a  2b  18
3a  2b  4
b  1
x 1  2
x  1


 x  2 y  1  y  1
Vậy:  x ; y    1 ;-1 .

1 1
x  y 1

Bài 7: Giải hệ phương trình 

3  4  5
 x y
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x ≠0, y ≠ 0
1
1
Đặt  a;  b (*)
x
y
a  b  1
Hệ phương trình đã cho trở thành 
3a  4b  5

2

2
b


b

a  b  1
3a  3b  3
7b  2


7




7 
Ta có: 
3a  4b  5 3a  4b  5 a  b  1 a  1  b
a  9


7
1 2
2
7


 y  7
b  7
 y  2

Thay 
vào (*) ta có 
a  9
1  9
x  7


 x 7
7
9

2