Tài liệu Nhập môn Quang học dẫn sóng và sợi quang học doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.62 MB, 54 trang )
143
Nhập môn Quang học dẫn sóng
và sợi quang học
Jean-Michel JONATHAN
Viện Quang học Lý thuyết và Ứng dụng
Phòng Thí nghiệm Charles Fabry
(Trung tâm Quốc Gia NCKH Pháp,
Đơn vị nghiên cứu hỗn hợp số 8501)
Trường Đại Học Paris XI
Trung tâm Khoa học Orsay – Nhà 503
91403 Orsay cedex
/> />J.M. Jonathan
144
Sau khi theo học Maîtrise về Vật lý cơ bản ở Trường Đại Học Paris VI và DEA về Quang
học kết hợp ở Trường Đại Học Paris–Sud (Orsay), Jean-Michel Jonathan bảo vệ năm 1981
luận án Tiến sĩ Quốc gia với công trình nghiên cứu về các ứng dụng của hiệu ứng Weigert
(hiện tượng lưỡng sắc bởi cảm ứng quang học) vào xử lý thông tin bằng phương pháp quang
học.
Ông thực hiện giai đoạn đầu sự nghiệp nghiên cứu của mình ở Trung tâm Quốc gia Nghiên
cứu Khoa học Pháp (CNRS), trong Phòng Thí nghiệm Quang học của Giáo sư Maurice
Françon tại Paris và sau đó ông về làm việc trong nhóm nghiên cứu của Alain Brun và
Gérald Roosen ở Viện Quang học Orsay. Khi đó ông nghiên cứu về hiệu ứng quang khúc xạ
(photoréfractif), hiện tượng mà ông đã đóng góp vào việc mô hình hoá, ở Viện Quang học
và có 3 năm nghiên cứu trong nhóm của Robert W. Hellwarth, ở Trường Đại Học Nam
California, tại Los Angeles. Nhận chức vụ Giám đốc Nghiên cứu của CNRS, ở Viện Quang
học, ông làm việc trong nhóm của Gérald Roosen, về sự mở rộng các tính chất quang khúc
xạ của titanate baryum ở trong vùng phổ hồng ngoại gần và ứng dụng của nó trong việc thực
hiện các gương dùng liên hợp pha tự bơm (miroirs à conjugaison de phase auto-pompés).
Sau đó, ông đóng góp vào việc thiết kế các bộ cộng hưởng laser mới theo cơ chế tự tổ chức
(auto-organisées) dùng các hôlôgram động lực (hologrammes dynamiques). Song song với
hoạt động nghiên cứu khoa học, ông trở thành người phụ trách của DEA « Quang học và
Phôtônic » (là chương trình đào tạo các nghiên cứu sinh tương lai) của Trường Đại Học
Paris-Sud.
Năm 1999, ông rời CNRS để trở thành Giáo sư đại học và Phó hiệu trưởng của Trường Đại
học Kỹ thuật Quang học (Ecole Supérieure d’Optique). Ông giảng dạy các hiệu ứng điện-
quang và hiệu ứng quang âm, quang học dẫn sóng và quang học phi tuyến. Từ tháng 9 năm
2003, ông là Hiệu trưởng Trường Đại học Kỹ thuật Quang học.
Từ năm 1995 đến năm 2003, ông là thành viên của hội đồng quản trị và sau đó là Chủ tịch
của Hội Quang học Pháp.
/>J.M. Jonathan
145
MỤC LỤC
MỤC LỤC
Chương I. Giới thiệu chung và các khái niệm cơ bản
1. Tổng quan: linh kiện dẫn sóng (waveguide) dùng gương
1.1. Điều kiện của việc truyền dẫn (sóng TE)
1.2. Cấu trúc của các trường dẫn
1.3. Sự tán sắc của linh kiện dẫn sóng (dispersion du guide)
1.4. Tính trực giao của các mode dẫn sóng
1.5. Số lượng các mode
2. Linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng đối xứng
2.1. Dẫn sóng bằng phản xạ toàn phần
2.2. Điều kiện dẫn sóng (đối với TE)
2.3. Các hằng số lan truyền và số lượng mode (đối với TE)
2.4. Phân bố của trường (đối với TE)
2.5. Quan hệ của sự tán sắc và tốc độ nhóm
Chương II. Điện từ trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng
1. Khái niệm chung
1.1. Các phương trình Maxwell
1.2. Phân bố ngang của trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng
1.3. Các mode TE và TM của linh kiện dẫn sóng
2. Linh kiện dẫn sóng có hố chiết suất (guide à saut indice)
2.1. Phương trình truyền các mode TE
2.2. Mode dẫn TE
2.3. Xác định đồ thị của các mode dẫn sóng TE
2.4. Chiết suất hiệu dụng và hằng số lan truyền chuẩn hóa
2.5. Các mode TM của linh kiện dẫn sóng phẳng có hố chiết suất
2.6. Tính lưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng phẳng hố chiết suất
2.7. Tính ngang của trường dẫn sóng
2.8. Công suất được truyền tải (puissance transportée) bởi mode
2.9. Kích thích các mode dẫn sóng
3. Linh kiện dẫn sóng chiết suất bậc bai
3.1. Mode của linh kiện dẫn sóng bậc hai
3.2. Kết hợp (couplage) của một sóng gauss
3.3. Tán xạ giữa các mode (inter-modes) trong linh kiện dẫn sóng bậc hai
4. Khái niệm về dẫn sóng yếu
4.1. Phương trình truyền sóng
4.2. Các thành phần ngang và dọc
4.3. Gần đúng của sự truyền dẫn yếu
Chương III. Sợi quang học
1. Cấu trúc mode
1.1. Phương trình truyền
1.2. Sợi quang học tiết diện tròn có hố chiết suất
1.3. Các mode dẫn LP
1.4. Mô tả chuẩn
1.5. Cấu trúc của các mode
/>J.M. Jonathan
146
2. Gần đúng Gausse của mode LP01 và các ứng dụng của nó
2.1. Sự tương đương của hai sợi quang học có bán kính khác nhau
2.2. Sự mất mát bởi kết hợp giữa hai sợi
3. Tán xạ và sự suy giảm trong một sợi quang học đơn mode
3.1. Vận tốc nhóm
3.2. Độ tán sắc liên quan đến linh kiện dẫn
3.3. Độ tán sắc gây bởi vật liệu
3.4. Độ tán sắc toàn phần của sợi quang
Chương IV. Kết hợp của các mode
1. Lý thuyết của các mode kết hợp
1.1. Môi trường không nhiễu loạn
1.2. Môi trường nhiễu loạn
1.3. Giải phương trình nhiễu loạn
1.4. Khái niệm về kết hợp cộng hưởng
2. Kết hợp giữa các linh kiện dẫn sóng
2.1. Kết hợp giữa hai linh kiện dẫn sóng
2.2. Trường hợp hai linh kiện dẫn sóng giống nhau
2.3. Ước lượng các hằng số kết hợp
2.4. Các ví dụ
3. Kết hợp bằng cách tử
3.1. Kết hợp đ`ồng hướng của hai mode được dẫn
3.2. Kết hợp của một mode được dẫn và một mode bức xạ
3.3. Kết hợp ngược chiều
/>J.M. Jonathan
147
Chương I. Giới thiệu chung và các khái niệm cơ bản
1.
Tổng quan: linh kiện dẫn sóng (waveguide) dùng gương
Sự nghiên cứu về một mặt phẳng dẫn tạo bởi hai mặt phản xạ kim loại giả thiết là
phẳng tuyệt đối, song song, cách nhau một khoảng d, cho phép đưa ra những khái niệm quan
trọng sẽ sử dụng ở những phần sau.
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
A
B
B’
θ
d
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
d/2
-d/2
z
x
y
θ
A
B
B’
θ
d
A
B
B’
θ
d
Hình I-1. Hình học của linh kiện dẫn sóng dùng gương và điều kiện dẫn
Như trên hình I-1, một mô tả khá thô sơ là xét các phản xạ liên tiếp của một chùm
sáng hẹp trên hai thành phản xạ lý tưởng cho mọi góc
θ
giữa chùm sáng này và hướng truyền
trung bình z. Cách mô tả này khiến người ta nghĩ một cách sai lệch rằng mọi chùm sáng đều
có thể truyền đi nhờ một dẫn sáng như vậy. Nhưng điều đó chỉ thỏa mãn khi chiều dày d của
linh kiện dẫn sóng lớn hơn độ dài kết hợp của ánh sáng. Còn trong trường hợp ngược lại thì
cần phải tính đến sự giao thoa giữa các sóng phẳng gần như đơn sắc, mà các tia sáng thể hiện
hướng truyền sóng. Như vậy, sóng phẳng tiến lên ở phía sau điểm B xuất phát từ sóng phẳng
tiến lên đến điểm A; một phần bởi một lộ trình có quang lộ (AB’), một phần bởi lộ trình có
quang lộ AB thông qua hai lần phản xạ (hình I-1). Vì vậy hai quang lộ này cần phải khác nhau
một số nguyên lần của bước sóng.
1.1. Điều kiện của việc truyền dẫn sóng (sóng TE)
Hình I-1 đặt ra các giả thuyết tính toán trong trường hợp một sóng phân cực song song
với mặt phẳng của linh kiện dẫn sóng (sóng TE). Sự khác nhau về độ dài hình học có thể viết
như sau:
()( )
θ
sin2' dABAB
=
− (1.1)
và với mỗi phản xạ, khi tính tới sự lệch pha
φ
r
= π độc lập với sóng tới, điều kiện giao thoa
()( )
[]
0
0
22'
2
kmABAB
r
πφ
λ
π
=−−
(1.2)
sẽ buộc góc
θ
chỉ được nhận một vài giá trị đặc biệt xác định bởi công thức:
d
m
m
2
sin
0
λ
θ
=
(1.3)
Chúng ta cũng có thể diễn đạt lại điều kiện đối với góc
θ
này thành điều kiện cho các vectơ
sóng tương ứng
1
k
r
và
2
k
r
của các sóng phẳng đi lên và đi xuống.
Gọi
k
ym
là thành phần ngang (theo y) của
1
k
r
và
β
m
là thành phần dọc (theo x), ta tìm
được :
−
=
=
=
=
=
=
m
y
m
mm
m
y
m
m
m
kk
k
k
k k
k
k
θ
θ
β
θ
θ
β
sin
cos
sin
cos
0
0
2
0
0
1
r
r
(1.4)
J.M. Jonathan
148
với
0
0
2
λ
π
=k
Hình I-2. Các thành phần dọc và ngang của hằng số lan truyền của các sóng dẫn
Trước tiên chúng ta nhận thấy rằng, hai sóng ứng với cùng một giá trị m sẽ có cùng
hằng số lan truyền dọc và các hằng số lan truyền ngang đối nhau. Hình vẽ I-2 cho chúng ta
biết các nghiệm được thể hiện bằng hình. Nó cho ta biết rằng thành phần ngang của hằng số
lan truyền là bội của
d
0
λ
π
và hằng số lan truyền dọc nhận các giá trị nằm giữa 0 và k
0
.
1.2. Cấu trúc của các trường dẫn
Độ lệch pha π khi phản xạ chỉ ra rằng trường được tạo thành do sự chồng chập của các
sóng phẳng có cùng hằng số lan truyền dọc
β
m
bằng 0. Điều kiện đồng bộ pha (1.2) là kết quả
của việc hai sóng này có hằng số lan truyền ngang đối nhau (hệ thức 1.4). Sự chồng chập của
hai sóng phẳng này tạo ra một cấu trúc trường có các đặc trưng ngang được xác định bởi k
ym
và lan truyền theo z một cách không đổi về không gian với hằng số lan truyền
β
m
.
Người ta gọi đó là một
mode truyền: một sóng ngang truyền không biến dạng theo
hướng z. Cấu trúc này có thể được đặc trưng một cách đơn giản từ hai sóng phẳng đang nói
đến:
()
ziyjkAzyE
mymm
x
β
−−=
+
expexp,
r
()
(
)
πβ
1expexpexp, −−+=
−
mjziyjkAzyE
mymm
x
r
(1.5)
φ
m
là độ lệch pha giữa hai sóng tại điểm y = 0. Hệ thức (1.2) chỉ ra rằng:
φ
m
= (m+1)π
Nhờ có hệ số pha này chúng ta có thể tìm thấy các mode “đối xứng” và các mode “phản đối
xứng”. Thực vậy, trường hình thành từ sự chồng chập của hai sóng phẳng là:
Nếu m lẻ :
()
ziykAzyE
mymmx
β
−= expcos2,
r
Nếu m chẵn :
()
ziykAizyE
mymmx
β
−= expsin2,
r
(1.6)
J.M. Jonathan
149
Hình I-3. a) mode m = 1,2,3 ; b) chu kỳ lộ trình của một tia sáng
Như hình I-3 ở trên cho thấy, các mode lẻ thì đối xứng và các mode chẵn thì bất đối
xứng. Các hệ thức (1.6) thể hiện rõ các mode như là các cẩu trúc ngang truyền không biến
dạng theo z. m là giá trị của số cực trị mà ta quan sát được.
1.3. Sự tán sắc của linh kiện dẫn sóng (dispersion du guide)
m cũng xác định hằng số lan truyền
β
m
của mode :
2
22
2
2
2
d
m
c
m
πω
β
−= (1.7)
Hệ thức này là một “hệ thức tán sắc” vì nó thể hiện mối tương quan giữa sự truyền sóng và
tần số của nó. Hệ thức chỉ ra rằng
β
m
giảm khi bậc m tăng. Về mặt này, nó phản ánh việc
trường lan truyền trong linh kiện dẫn sóng càng chậm nếu như sóng phẳng càng nghiêng
nhiều so với trục của linh kiện dẫn sóng. Chúng ta có thể biểu diễn kết quả này bằng cách tính
vận tốc nhóm từ biểu thức (1.7)
mg
c
d
d
v
θ
β
ω
cos.==
(1.8)
Ta cũng có thể tìm thấy kết quả này khi tính tốc độ lan truyền của một thông tin được
mang bởi một tia sáng bằng hình học. Thực vậy, hình I-3-b chỉ ra rằng để vượt qua khoảng
cách
m
dl θ= cot2 thì cần một thời gian
c
d
t
m
2
sin θ
=
.
1.4. Tính trực giao của các mode dẫn sóng
Đối với phần tiếp theo, một điều quan trọng cần lưu ý là các mode được định nghĩa bởi
các hệ thức (1.6) trực giao với nhau. Thực vậy :
nếu l ≠ m, khi ấy :
∫
−
=
2/
2/
0.sin.cos.
d
d
ylymm
dyykykA
(1.9)
Đặt :
()
ziuazyE
mmmx
β
−
= exp., (1.10)
với m lẻ :
()
y
d
m
d
yudja
mm
π
sin
2
2 ==
J.M. Jonathan
150
sin
θ
λ
m
m
d
=≤
2
1
m chẵn :
()
y
d
m
d
yuda
mm
π
cos
2
2 ==
(1.11)
ta định nghĩa các mode u
m
(y) trực giao và chuẩn hóa. Thực vậy:
nếu l ≠ m, thì:
() ()
0
2
2
=
∫
−
d
d
ml
dyyuyu và
()
1
2
2
2
=
∫
−
d
d
m
dyyu (1.12)
Như vậy trường tổng cộng trong linh kiện dẫn sóng được viết dưới dạng tổng quát như một sự
chồng chập của các mode được hỗ trợ bởi linh kiện dẫn sóng này:
() ()
∑
=
−=
max
0
exp',
m
mmmx
ziyuazyE
β
r
(1.13)
Tích phân:
()()
ziadyyuzyE
mm
d
d
mx
β
−=
∫
−
exp.',
2/
2/
r
(1.14)
được gọi là tích phân xen phủ giữa trường trong linh kiện dẫn sóng và mode m.
Chúng ta chú ý rằng nếu như mode (theo định nghĩa) là một cấu trúc ngang bất biến
khi lan truyền, thì sự chồng chập của hai mode lại không có tính chất này. Ví dụ như cấu trúc
thu được từ sự chồng chập của các mode m = 1 và m = 2 là biến đổi tuần hoàn dọc theo hướng
lan truyền.
1.5. Số lượng các mode
Tùy theo các điều kiện khác nhau, cần phải định nghĩa số lượng của các mode có khả
năng tồn tại trong linh kiện dẫn sóng. Trước hết, ta sẽ nhận thẩy rằng trong một linh kiện dẫn
sóng đã cho, trường là bằng 0 trên các mặt. Vì thế mode m = 0 không thể tồn tại, bởi vì nó
tương ứng với trường bằng không ở khắp nơi. Mặt khác, giá trị cực đại của m được xác định
bởi điều kiện:
vậy
=<<
0
max
2
λ
d
EntmmO
(1.15)
Mode m chỉ có thể tồn tại nếu
m
d
≥
λ
0
2
, tức là nếu:
m
d2
max0
=λ≤λ hay
d
c
m
2
min
=ν≥ν (1.16)
ν
min
được gọi là tần số cắt của mode m. Vậy số mode trong linh kiện dẫn sóng tăng khi tần số
của sóng truyền qua tăng (hay khi bước sóng của sóng truyền qua giảm).
2. Linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng đối xứng
Một linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng được tạo bởi một lớp điện môi có chỉ số khúc
xạ n
1
và độ dày d. Nó được bao phủ bởi hai môi trường điện môi bán vô hạn (semi-infini),
chất nền và lớp phía trên đều có chỉ số khúc xạ nhỏ hơn n
1
. Nếu hai môi trường này có cùng
một chiết suất n
2
thì linh kiện dẫn sóng như vậy được gọi là đối xứng.
Môi trường hỗn hợp như vậy là bất biến khi tịnh tiến theo các hướng x và z. Nó có hai
“hố chiết suất” theo hướng y. Các gương trong chương trước được thay thế bằng mặt phẳng
J.M. Jonathan
151
các lưỡng chất (dioptres) phân tách hai môi trường chất điện môi. Ngược lại với trường hợp
trước, các tính chất phản xạ của chúng phụ thuộc chặt chẽ vào góc tới của các tia sáng lên mặt
phân cách này.
2.1. Dẫn sóng bằng phản xạ toàn phần
Nếu góc
θ
giữa tia sáng và trục z lớn, ánh sáng sẽ được truyền qua một phần và phản
xạ một phần. Ánh sáng không bị giam giữ trong môi trường có chiều dày d. Điều kiện để
nhận được độ phản xạ toàn phần trên các mặt phân cách chính là điều kiện phản xạ toàn phần.
Thông thường nó được biểu thị theo hàm của góc tới i. Nhưng trong trường hợp các dẫn sóng
thì người ta thường biểu diễn theo hàm của góc
θ
như sau:
=≥
−
1
2
1
sin
n
n
ii
c
hoặc
−=≤
−
1
2
1
sin
2 n
n
c
π
θθ
(1.17)
Hình I-4 : Cấu trúc của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng và các cách ký hiệu
2.2. Điều kiện dẫn sóng (đối với TE)
Điều kiện dẫn sóng có thể được thiết lập hoàn toàn tương tự như trong trường hợp
trước. Điều khác biệt duy nhất là ở chỗ độ lệch pha
φ
r
được đưa vào bởi sự phản xạ trên các
bề mặt phân cách bây giờ lại phụ thuộc vào góc tới và độ phân cực của sóng quang học. Khi
phân cực là phân cực điện ngang (sóng TE) thì độ lệch pha khi phản xạ được xác định khi
θ
≤
θ
c
bởi:
2/1
2
2
2/1
2
2
1
sin
sin
1
cos
cos
2
tan
−=
−=
θ
θφ
cc
r
i
i
(1.18)
Như vậy điều kiện dẫn sóng sẽ là:
2/1
2
2
1
sin
sin
sin
2
2
tan
−=
−
θ
θ
θ
λ
π
c
m
d
với
c
θ
θ
≤
(1.19)
Lớp
dưới
Dẫn sóng
Lớp trên
n
2
n
1
n
2
Tia không
được dẫn
Tia được dẫn
d
θ
θ
Môi trường không mất mát
n
1
>n
2
θ
i
2
n
1
n
J.M. Jonathan
152
2.3. Các hằng số lan truyền và số lượng mode (đối với TE)
sinθ
10
8
2
6
4
d2
λ
sinθ
c
m=0
24 6 8
β
02
kn
01
kn
01
kn
02
kn
c
kn
θ
sin
01
0
m
M
y
k
c
θ
m
θ
sinθ
10
8
2
6
4
d2
λ
sinθ
c
m=0
24 6 8
β
02
kn
01
kn
01
kn
02
kn
c
kn
θ
sin
01
0
m
M
y
k
c
θ
m
θ
Hình I-5: Các mode TE của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng. Nghiệm hình học và sơ đồ
của các hằng số lan truyền
Đường biểu diễn hai vế trong phương trình (1.18) theo hàm sin
θ
cho phép biểu thị các
nghiệm theo hình học. Vế trái là một chuỗi tuần hoàn (chu kỳ
d2
λ
) các nhánh (branche)
dương của hàm tan. Vế phải là hàm nghịch biến được xác định trong khoảng 0
≤
θ
≤
θ
c
. Chúng
ta lưu ý trên hình I-5, có ba điều khác so với linh kiện dẫn sóng trước:
-
các giá trị của
θ
m
không còn cách đều nhau,
các hằng số lan truyền lại có tiếp 2 thành phần dọc và ngang:
mm
kn
θ
β
cos
01
= và
mym
knk
θ
sin
01
=
(1.20)
với các điều kiện cho
θ
m
:
1cos
1
2
≤≤
m
n
n
θ
và
cm
θ
θ
sinsin0
≤
≤
(1.21)
θ
m
cần phải nhỏ hơn
θ
c
. Vậy số lượng các mode TE được xác định bởi:
−+=
+=
2
1
2
1
2
1
2/
sin
1
n
nd
Ent
d
EntM
c
λλ
θ
(1.22)
-
Mode m = 0 (mode cơ bản) luôn luôn tồn tại với bất kỳ bước sóng ánh sáng nào: tần
số cắt của mode cơ bản bằng không. Linh kiện dẫn sóng là đơn mode (chỉ có duy nhất
mode m = 0) nếu:
2
0
NO
d
λ
≤
khi đưa vào khẩu độ số của sợi quang:
2
2
2
1
nnNO −=
(1.23)
-
Vì điều kiện phản xạ toàn phần giới hạn giá trị lớn nhất của
θ
m
nên nó sẽ phản ánh
giới hạn độ mở số của sợi quang. Vậy số lượng các mode TE là:
+=
+=
ν
λ
2
1
2
1
0
NO
c
d
EntNO
d
EntM
(1.24)
Tần số cắt của mode m là:
1
2
N
Od
c
m
m
=
ν
(1.25)
J.M. Jonathan
153
2.4. Phân bố của trường (đối với TE)
Cùng ý tưởng trong chương trước, ta có thể mô tả phân bố của trường trong linh kiện
dẫn sóng phẳng. Tuy nhiên, cần phải mô tả một cách riêng biệt ba môi trường cấu thành linh
kiện dẫn sóng.
Trong linh kiện dẫn sóng (
22
d
y
d
≤≤−
)
Trường là sự chồng chập của hai sóng phẳng lệch pha π tại y = 0:
Ta nhận thấy rằng số lượng cực trị của trường trong linh kiện dẫn sóng là m + 1.
() ()
ziyuazyE
mmmx
β
−= exp ,
int
với
()
=
=
∝
, 5,3,1
sin2
sin
, 4,2,0
sin2
cos
0
1
0
1
m
n
m
n
yu
m
m
m
λ
θπ
λ
θπ
(1.26)
Ngoài linh kiện dẫn sóng (
2
d
y −≤
và
2
d
y ≥
)
Các nghiệm có dạng xiyuayxE
mmm
ext
x
β−
′′
= exp)(),( được xác định bởi phương trình
Helmoltz:
0),(),(
2
0
2
2
=+∆ zyEknzyE
ext
x
ext
x
. Chúng ta dễ dàng nhận được:
()
()
0'
'
2
2
2
=− yu
dy
yud
mm
m
γ
với
2
2
2
02
2
0
2
2
2
1
cos
cos
−=−=
c
m
mm
knkn
θ
θ
βγ
(1.27)
Các nghiệm thu được là các sóng tắt dần có biên độ phải tiến dần về 0 khi khoảng cách
càng xa trong dẫn sóng. Vậy ta có:
Các hệ số a
m
và a
m
’ được xác định bởi tính liên tục của các mặt phân cách.
() ()
ziyuazyE
mmm
ext
x
β
−= exp.'.,
với
()
−≤+
≥−
=
2/y khi exp
2/y khi exp
'
dy
dy
yu
m
m
m
γ
γ
(1.28)
Hình I-6: Các ví dụ về cấu trúc của các mode
γ
m
được gọi là hệ số dập tắt. Đây là hàm nghịch biến của m, tức là trường càng trải
rộng ra ngoài linh kiện dẫn sóng khi m càng lớn.
Như vậy, một điều rất thú vị là chúng ta có thể thêm vào một đại lượng mới miêu tả
chất lượng giam giữ (confinement) của trường bên trong linh kiện dẫn sóng. Đó là hệ số giam
Γ
m
. Giá trị này chính là phần công suất được giam trong linh kiện dẫn sóng:
()
()
()
()
∫
∫
∫
∫
∞+
∞
−
−
∞+
∞−
−
==Γ
dyyu
dyyu
dyzyE
dyzyE
m
d
d
m
x
m
d
d
x
m
m
2
2/
2/
2
2
)(
2/
2/
2
)(
,
,
(1.29)
J.M. Jonathan
154
2.5. Quan hệ của sự tán sắc và tốc độ nhóm
Điều kiện dẫn sóng cho phép ta nhận được hệ thức tán sắc. Khi sử dụng:
ω
β=θ
1
cos
n
c
m
và
1
2
cos
n
n
m
=θ
ta tìm được:
2/1
2
2
22
1
2
22
2
2
2
2
22
1
22
tan
−
−
=
−−
β
ω
ω
β
π
β
ω
c
n
c
n
m
c
nd
(1.30)
Phương trình này chỉ có nghiệm khi số hạng dưới căn bậc hai của vế phải là dương. Trong
mặt phẳng (
β
,
ω
), chúng cần phải nằm giữa hai đường thẳng β=ω
2
n
c
và β=ω
1
n
c
. Vậy vận
tốc nhóm sẽ nằm trong khoảng
1
n
c
và
2
n
c
. Dạng chung của các nghiệm được biểu diễn trên
hình I-7-a. Đặc biệt, hình vẽ cho thấy với một
ω
cho trước thì mode thấp nhất sẽ có vận tốc
nhóm vào khoảng
1
n
c
v
g
≈
, đó chính là vận tốc nhóm mà mode đó có được khi nó được giam
giữ hoàn toàn trong linh kiện dẫn sóng. Trong các điều kiện tương tự như vậy, mode cao nhất
sẽ có vận tốc vào khoảng
12
n
c
n
c
v
g
>≈
, giống như nếu nó truyền chủ yếu ra ngoài linh kiện
dẫn sóng.
βω
1
n
c
<
βω
2
n
c
>
ω
β
m=0
m=1
m=2
c
n
c
n
12
ω
β
ω
<<
βω
1
n
c
<
βω
2
n
c
>
ω
β
m=0
m=1
m=2
c
n
c
n
12
ω
β
ω
<<
m
d
θ
cot
m
d
θ
sin
z
∆
m
d
θ
cot
m
d
θ
sin
z
∆
a) b)
βω
1
n
c
<
βω
2
n
c
>
ω
β
m=0
m=1
m=2
c
n
c
n
12
ω
β
ω
<<
βω
1
n
c
<
βω
2
n
c
>
ω
β
m=0
m=1
m=2
c
n
c
n
12
ω
β
ω
<<
βω
1
n
c
<
βω
1
n
c
<
βω
2
n
c
>
βω
2
n
c
>
ω
β
m=0
m=1
m=2
c
n
c
n
12
ω
β
ω
<<
c
n
c
n
12
ω
β
ω
<<
βω
1
n
c
<
βω
1
n
c
<
βω
2
n
c
>
βω
2
n
c
>
ω
β
m=0
m=1
m=2
c
n
c
n
12
ω
β
ω
<<
c
n
c
n
12
ω
β
ω
<<
m
d
θ
cot
m
d
θ
sin
z
∆
m
d
θ
cot
m
d
θ
sin
z
∆
m
d
θ
cot
m
d
θ
cot
m
d
θ
sin
m
d
θ
sin
z
∆
z
∆
m
d
θ
cot
m
d
θ
sin
z
∆
m
d
θ
cot
m
d
θ
cot
m
d
θ
sin
m
d
θ
sin
z
∆
z
∆
a) b)
Hình I-7: a) biểu diễn sơ đồ của các nghiệm của hệ thức tán xạ ; b) Các ký hiệu cho phép tính hình học
của vận tốc nhóm
Ta có thể biểu diễn sự thay đổi của vận tốc nhóm giữa các mode bằng cách tính đạo
hàm toàn phần theo
β
từ điều kiện dẫn (1.2):
β
ω
ω
φ
β
φ
β
β
ω
β
β
ω
β
ω
ω
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
−
∂
∂
−
∂
∂
−
rr
c
n
c
n
d
2
2
22
1
2
2
1
(1.31)
J.M. Jonathan
155
Hai đại lượng đầu tiên của vế trái làm xuất hiện hai hàm đã biết trước của
θ
m
.
β∂
φ∂
r
là
đồng nhất (homogene) trên chiều dài ∆z và
ω
∂
φ∂
r
đồng nhất trong khoảng thời gian -∆t. Vậy
biểu thức này được viết như sau:
g
m
g
m
vtzv
c
n
d ∆−∆=
−
θθ
tan
1
sin
1
1
Ta có thể biểu diễn vận tốc nhóm dưới dạng:
t
c
n
d
zd
v
m
m
g
∆+
∆
+
=
1
sin
cot
θ
θ
(1.32)
Chính tỉ lệ giữa quãng đường hiệu dụng (parcours effectif) và thời gian hiệu dụng:
c
n
d
d
v
m
m
g
1
0
sin
cot
θ
θ
=
là tốc độ nhóm trong linh kiện dẫn quang dùng gương có chiết suất n
1
. Vậy trong một chu kỳ
quỹ đạo của tia sáng, ta có thể biểu diễn (hình I-7-b) biểu thức của v
g
là kết quả của quãng
đường trong linh kiện dẫn quang dùng gương được tăng thêm một quãng đường có chiều dài
∆z thực hiện được trong khoảng thời gian ∆t. Vậy độ lệch pha khi phản xạ là bằng sự lan
truyền phụ
β∂
φ∂
=∆
r
z ở bên ngoài linh kiện dẫn sóng: đây là độ dịch chuyển Goos-Hânchen.
Tương tự như vậy, ta cũng có thể định nghĩa chiều dày hiệu dụng của linh kiện dẫn sóng là:
meff
zdd
θ
tan
∆
+
=
(1.33)
Chúng ta có thể chỉ ra rằng
θ
=
∆
∆
cos
2
n
c
t
z
, tức là tốc độ lan truyền trong đường đi phụ này sẽ
càng lớn khi góc
θ
tăng.
J.M. Jonathan
156
Chương II. Trường điện từ trong linh kiện dẫn sóng phẳng
Ở đây ta nghiên cứu về linh kiện dẫn sóng phẳng (guide plan) dưới quan điểm trường
điện từ bằng cách mô tả quá trình truyền sóng trong môi trường có chỉ số khúc xạ bất biến
theo các hướng y và z, nhưng lại thay đổi theo hướng x. Đầu tiên, chúng ta xét trường hợp linh
kiện dẫn sóng phẳng đối xứng có hố chiết suất (saut indice) là linh kiện dẫn sóng đã được
nghiên cứu đến ở chương trước, sau đó ta sẽ nghiên cứu linh kiện dẫn quang có tiết diện
parabol. Nghiên cứu này sẽ cho phép ta định nghĩa một cách chính xác hơn các khái niệm đã
được đưa ra từ trước đến nay.
1. Khái niệm chung
1.1. Các phương trình Maxwell
Từ đây trở đi, các khái niệm điện trường
E
, từ trường
H
, cảm ứng điện
D
và cảm
ứng từ
B , là các đại lượng vectơ có các thành phần thực.
Môi trường mà các sóng được truyền qua được giả thiết là môi trường tuyến tính, đẳng
hướng và không dẫn điện cũng như không nhiễm từ. Tuy nhiên, cấu trúc hình thành linh kiện
dẫn sóng không thể coi là đồng chất.
Với các điều kiện này, các phương trình Maxwell được viết như sau:
t
Rot
∂
∂
−=
B
E (a) 0=Ddiv (c)
t
Rot
∂
∂
=
D
H
(b)
0=Bdiv
(d) (2.1)
Các phương trình cấu thành môi trường được viết như sau:
(
)
(b) ,, (a)
2
00
EDHB zyxn
εµ
== (2.2)
Chúng ta nhớ lại rằng:
7
0
104
−
=
πµ
12
0
10.84,8
−
=
ε
và 1
2
00
=c
µε
(2.3)
1.2. Phân bố ngang của trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng
Ta tìm nghiệm của các phương trình truyền của các trường lan truyền theo hướng z là
một trong các hướng mà cấu trúc bất biến theo hướng đó. Vậy chúng có dạng:
()
(
)
()
()()
()
zti
zti
eyxHtzyx
eyxEtzyx
βω
βω
−
−
=
=
,,,,
,,,,
r
r
H
E
β
là hằng số lan truyền theo z.
),(
yxE
r
và
),(
yxH
r
là các phân bố ngang của trường được lan
truyền theo
z, không bị biến dạng. Sự bất biến của cấu trúc theo y khiến cho các phân bố này
cũng bất biến theo
y. Như vậy, các thành phần của trường được viết như sau:
(
)
(
)
(
)
()()
()
zyxjexHtzyx
zyxjexEtzyx
zti
jj
zti
jj
,,,,,
,,,,,
==
==
−
−
βω
βω
H
E
(2.4)
1.3. Các mode TE và TM của linh kiện dẫn sóng
Khi thay thế các trường bởi các biểu thức của chúng trong (2.4) vào các phương trình:
J.M. Jonathan
157
t
Rot
O
∂
∂
−=
H
E
µ
t
nRot
∂
∂
=
E
H
2
0
ε
ta nhận được 2 nhóm chứa 3 phương trình độc lập. Nhóm thứ nhất mô tả các mode điện ngang
(mode TE), có nghĩa là các mode mà điện trường (
E
y
) của chúng trực giao với phương truyền,
giống như đối với trường hợp của một sóng phẳng:
()
-c-
-b-
-a-
2
0
0
0
y
z
x
z
y
xy
Exni
x
H
Hi
Hi
x
E
HiEi
ωεβ
ωµ
ωµ
β
=
∂
∂
−−
−=
∂
∂
−=
(2.5)
Nhóm thứ 2 liên kết thành phần H
y
của từ trường với các thành phần E
x
và E
z
của điện
trường. Chúng mô tả các mode từ ngang (mode TM) mà từ trường (H
y
) của chúng trực giao
với phương truyền:
()
()
y
z
x
z
y
xy
Hi
x
E
Ei
Exni
x
H
ExniHi
0
2
0
2
0
ωµβ
ωε
ωεβ
−=
∂
∂
−−
=
∂
∂
=
(2.6)
Vậy nghiệm chung của các phương trình Maxwell trong linh kiện dẫn sóng sẽ là sự kết
hợp tuyến tính của các mode TE và mode TM. Ta không có các mode điện từ ngang (mode
TEM) của sự lan truyền tự do: các sóng điện từ được dẫn thường là không phải là sóng ngang;
điện trường hay từ trường hoặc là cả từ trường và điện trường đều có thể chứa các thành phần
khác 0 theo phương truyền.
2. Linh kiện dẫn sóng có hố chiết suất (guide à saut indice)
Đầu tiên, chúng ta sử dụng các kết quả này vào trong trường hợp linh kiện dẫn sóng
đối xứng có hố chiết suất (hình II-1). Linh kiện dẫn sóng có bề dày là
d và chỉ số khúc xạ n
1
đồng nhất, lớp nền và lớp phía trên đều là môi trường bán vô hạn và có cùng một chiết suất
n
2
nhỏ hơn
n
1
.
Hình II-1: Phân bố của chiết suất của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng có hố chiết suất
Chúng ta sẽ diễn giải chi tiết các tính toán và các kết quả thu được trong trường hợp
các mode TE, sau đó sẽ chỉ đưa ra kết quả đối với các mode TM.
2.1. Phương trình truyền các mode TE
Các phương trình (2.5) trực tiếp cho chúng ta phương trình truyền của điện trường
ngang:
J.M. Jonathan
158
()
()
0
22
00
2
2
2
=−+
∂
∂
y
y
Exn
x
E
βµεω
(2.7)
phương trình này tồn tại
000
ηεω=k là hằng số lan truyền trong chân không, của sóng điện
từ có tần số góc là
ω
.
Phương trình này sẽ thay đổi khác nhau tùy theo ở trong linh kiện dẫn sóng (chiết suất
n
1
) hay là ở ngoài linh kiện dẫn sóng (chiết suất n
2
). Điện trường tổng cần phải thỏa mãn hai
phương trình sau:
Trong linh
kiện dẫn
2
d
x <
()
0
22
1
2
0
2
2
=−+
∂
∂
y
y
Enk
x
E
β
-a-
Ngoài linh
kiện dẫn
2
d
x >
()
0
22
2
2
0
2
2
=−+
∂
∂
y
y
Enk
x
E
β
-b-
Sau đó, các thành phần của từ trường được định nghĩa từ hai phương trình đầu tiên của
(2.5).
Cuối cùng, các thành phần tiếp tuyến của hai trường (E
y
và H
x
) cần phải liên tục trên
các bề mặt. Điều này làm cho các hàm E
y
(x) và
dx
xdE
y
)(
phải liên tục khi
2
d
x ±= .
Trước khi giải các phương trình này, ta cần phải lưu ý rằng bản chất của các sóng phụ
thuộc chủ yếu vào giá trị của hằng số lan truyền dọc
β
. Các dạng nghiệm có thể nhận đựợc
của các phương trình (2.8) được tóm tắt trong bảng sau đây:
Giá trị của β
2
d
x <
2
d
x >
Nghiệm tổng quát
2
1
2
0
2
2
2
0
2
nknk <<β
nghiệm dao động nghiệm dao động mode bức xạ
2
1
2
0
22
2
2
0
nknk <β<
nghiệm dao động nghiệm exp mode dẫn sóng
22
1
2
0
2
2
2
0
β<< nknk
nghiệm exp nghiệm exp không có nghiệm
Sóng điện từ sẽ chỉ được dẫn khi hằng số lan truyền dọc
β
nằm trong khoảng các giá
trị của hằng số lan truyền tự do trong linh kiện dẫn sóng (k
0
n
1
) và trong chất nền (k
0
n
2
). Đó là
trường hợp mà chúng ta sẽ giải các phương trình.
2.2. Mode dẫn TE
Nếu điều kiện dẫn (
2
1
2
0
22
2
2
0
nknk <β< ) được thỏa mãn, các phương trình truyền được
viết như sau:
0
2
2
2
2
=+
∂
∂
<
y
y
E
x
E
d
x
α
0
22
1
2
0
2
≥−=
βα
nk
-a-
(2.9)
(2.8)
J.M. Jonathan
159
0
2
2
2
2
=−
∂
∂
>
y
y
E
x
E
d
x
κ
0
2
2
2
0
22
≥−= nk
βκ
-b- (2.10)
tính đến việc các hàm e mũ phải giảm về vô cùng, các nghiệm là:
()
xBxAxE
d
x
y
αα
sincos
2
+=<
-a-
()
xDxE
d
x
y
κ
−=> exp
2
-b- (2.11)
()
xCxE
d
x
y
κ
exp
2
=−<
-c-
Chúng ta cũng chỉ ra rằng trong linh kiện dẫn sóng đối xứng, [n(x) = n(-x)], trường hoặc là đối
xứng [E
y
(-x) = E
y
(-x)], hoặc là phản đối xứng [E
y
(-x) = -E
y
(x)].
Mode dẫn sóng TE đối xứng
Các nghiệm đối xứng:
()
xAxE
d
x
y
α
cos
2
=<
()
xCxE
d
x
y
κ
−=> exp
2
(2.12)
phải thỏa mãn các phương trình liên tục của trường và đạo hàm của nó:
2
exp
2
cos
d
C
d
A
κα
−=
và
2
exp.
2
sin
d
C
d
A
κκαα
−−=−
(2.13)
Chúng ta thường giản lược các phương trình trên bằng cách đưa vào các đại lượng
chuẩn hóa không có đơn vị mà các đại lượng này sẽ được sử dụng một cách có hệ thống trong
phần tiếp theo:
2
d
u
α
=
2
d
v
κ
=
hệ số dập tắt rút gọn (2.14)
2
2
2
10
2
nn
d
kV −= tần số rút gọn
mà ta sẽ nhận thấy rằng các đại lượng này liên hệ với nhau bởi hệ thức:
222
Vvu =+ (2.15)
Vậy các phương trình (2.13) có nghiệm khi:
22
tan uVuu −= (2.16)
Mode dẫn sóng TE phản đối xứng
Các nghiệm phản đối xứng:
()
xBxE
d
x
y
α
sin
2
=<
()
xD
x
x
xE
d
x
y
κ
−=> exp
2
(2.17)
J.M. Jonathan
160
cần phải thỏa mãn các phương trình liên tục:
2
exp
2
sin
d
D
d
B
κα
−−=
và
2
exp
2
cos
d
D
d
B
κκαα
−=
(2.18)
Hệ này có nghiệm nếu:
22
cot uVuu −=− (2.19)
2.3. Xác định đồ thị của các mode dẫn sóng TE
Đối với mỗi giá trị của tham số V, các phương trình (2.16) và (2.19) cho phép xác định
các giá trị của tham số
u sao cho tồn tại các mode dẫn sóng điện ngang, chẵn hay lẻ. Việc giải
phương trình có thể thực hiện bằng đồ thị.
-
Tham số V gọi là tần số rút gọn (fréquence réduite) được xác định bởi các đặc trưng
của linh kiện dẫn (bao gồm độ dày
d và các chỉ số khúc xạ n
1
và n
2
), và bởi bước sóng
của ánh sáng trong chân không.
-
Tham số u xác định dạng của trường trong linh kiện dẫn sóng nhận được thông qua
một trung gian
α
Ta vẽ trên cùng một đồ thị hai hàm của
u:
-
Hàm
22
uV − biểu thị bằng một vòng cung tròn có bán kính V (đường chấm chấm
trên đồ thị)
-
Hàm u tan u (đường kẻ liền), các giao điểm của nó với đường trước sẽ xác định các
mode đối xứng có thể.
-
Hàm –ucotu (đường chấm gạch), các giao điểm của nó với đồ thị thứ nhất sẽ xác định
các mode bất đối xứng có thể.
Cũng như vậy với mỗi giá trị của
V, ta xác định số lượng các mode đối xứng và phản
đối xứng có thể và các giá trị tương ứng của
u. Kết quả của cách giải này được đưa lên hình
II-2 để cho ta các giá trị của
u theo hàm của V. Chúng ta nhận thấy rằng số lượng các mode là
hàm đồng biến của
V. Đồ thị sẽ biểu thị với mỗi mode (được đánh số m) một tần số cắt V
m
.
Từ các giá trị này của
u chúng ta có thể dễ dàng tính được hằng số lan truyền
β
của mode
tương ứng.
()
uf
u
2
4 6
2=V
5=V
8
6
4
2
0
u(V)
20151050
V
m=0
m=2
m=3
m=1
m=4
m=5
()
uf
u
2
4 6
2=V
5=V
u
2
4 6
2=V
5=V
8
6
4
2
0
u(V)
20151050
V
m=0
m=2
m=3
m=1
m=4
m=5
Hình II-2: Giải bằng đồ thị và biểu diễn các nghiệm u(V)
J.M. Jonathan
161
2.4. Chiết suất hiệu dụng và hằng số lan truyền chuẩn hóa
Khái niệm chiết suất hiệu dụng cho thấy rằng nếu một sóng lan truyền trong chân
không với hằng số
k
0
và chính sóng này lan truyền trong linh kiện dẫn sóng với hằng số lan
truyền
β
thì chiết suất hiệu dụng được định nghĩa một cách tự nhiên là:
0
k
n
eff
β
=
(2.20)
và được biểu diễn theo hàm của các tham số
u và V:
()
2
2
2
2
1
2
1
2
−−=
V
u
nnnn
eff
(2.21)
Điều kiện dẫn sóng được viết với chiết suất hiệu dụng là:
12
nnn
eff
≤
≤
(2.22)
Tương tự như vậy, ta thường sử dụng hằng số lan truyền chuẩn
b:
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
0
2
1
/
−=
−
−
=
−
−
≡
V
u
nn
nn
nn
nk
b
eff
β
(2.23)
Vậy một mode sẽ được dẫn nếu như hằng số lan truyền chuẩn hóa của nó nằm trong
khoảng 0 và 1. Giá trị
b = 0 biểu thị trường hợp đặc biệt là tần số cắt của mỗi mode. Hình II-3
là một ví dụ biểu diễn biến thiên của chiết suất hiệu dụng theo hàm của
V. Đường biểu diễn
biến thiên của
b hoàn toàn tương tự như vậy được biểu diễn trên hình bên cạnh.
Hình II-3: Biến thiên của chiết suất hiệu dụng
n
eff
và của hằng số lan truyền rút gọn b
theo hàm của tần số rút gọn
V
2.5. Các mode TM của linh kiện dẫn sóng phẳng có hố chiết suất
Tương tự như phần trước, chúng ta có thể giải bài toán biểu diễn sự tồn tại của các
mode dẫn sóng TM trong linh kiện dẫn sóng đối xứng có hố chiết suất. Như vậy ta phải giải
các phương trình định nghĩa các thành phần ngang của từ trường:
0
2
2
2
2
=+
∂
∂
<
y
y
H
x
H
d
x
α
22
1
2
0
2
βα
−= nk
0
2
2
2
2
=−
∂
∂
>
y
y
H
x
H
d
x
κ
2
2
2
0
22
nk−=
βκ
(2.24)
và viết tính liên tục của hàm
H
y
(x) và của
dx
dH
n
y
2
1
, ta thu được các điều kiện tồn tại như sau:
J.M. Jonathan
162
Mode TM đối xứng
[]
2/1
22
2
2
1
tan uV
n
n
uu −
=
Mode TM bất đối
[]
2/1
22
2
2
1
cot uV
n
n
uu −
=−
(2.25)
và chúng ta có thể giải bằng đồ thị các phương trình này tương tự như ở phần trước để nhận
được các hằng số lan truyền của các mode dẫn sóng TM.
2.6. Tính lưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng phẳng hố chiết suất
Các kết quả tính toán chỉ ra rằng các hằng số lan truyền là khác nhau với các mode TE
và TM cùng bậc. Điều này được thể hiện rất rõ trong hình II-4.
Hình II-4: Độ nhạy của hằng số lan truyền rút gọn b khi phân cực; các mode TE được biểu diễn bằng
các đường kẻ liền, các mode TM được biểu diễn bằng đường chấm chấm
Một nhận xét nữa là một linh kiện dẫn sóng phẳng đơn mode sẽ có một mode TE và
một mode TM. Cả hai mode này đều có các hằng số lan truyền khác nhau, điều này tương ứng
với tính lưỡng chiết.
Ví dụ như chúng ta xét một linh kiện dẫn sóng có chiết suất
n
1
= 1,5 và độ dày
d = 0,555
µ
m, được đặt trong một môi trường có chiết suất n
2
= 1. Chúng ta tìm cách cho một
bước sóng
λ
0
= 1,3
µ
m truyền qua linh kiện dẫn này.
Trong trường hợp này, tần số rút gọn là
V ≈ 3. Chúng ta có một linh kiện dẫn đơn
mode: nó chỉ chứa một mode cơ bản và:
mode
b n
eff
TE 0,6280 1,336
TM 0,4491 1,2495
Vậy ta có một lưỡng chiết
∆n ≈ 0,09. Độ lệch pha của các mode cơ bản TE và TM là π
đối với một độ dài truyền:
mL
b
µ
β
π
15
2
≈
∆
=
Như vậy, tính lưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng là rất lớn.
J.M. Jonathan
163
2.7. Tính ngang của trường dẫn sóng
Như ta đã chỉ ra trong phần trước, chính xác thì điện từ trường tương ứng với một
mode dẫn sóng không phải là trường ngang. Ví dụ, ta xét một mode TE. Điện trường theo
định nghĩa là trường ngang. Bây giờ chúng ta hãy tính các thành phần của từ trường. Các hệ
thức (2.5, a và b) cho phép tính tỉ lệ giữa thành phần dọc
H
z
và thành phần ngang H
x
:
y
y
x
z
E
xE
H
H
∂∂
=
β
1
dE
y
/dx cũng như E
y
là các đại lượng hình sin (phương trình 2.11-a-), ta có:
β
α
≈
max
max
x
z
H
H
Định nghĩa
α
(
α
2
= k
0
2
n
1
2
-
β
2
) và điều kiện dẫn
2
1
2
0
22
2
2
0
nknk <β<
bắt buộc:
2/1
2
2
2
2
2
1
max
max
−
≤
n
nn
H
H
x
z
(2.26)
Nếu các chiết suất
n
1
và n
2
gần nhau thì thành phần dọc của từ trường có thể được bỏ
qua và chúng ta có thể coi như sóng TE là sóng ngang đối với cả hai trường. Ta có thể tính
toán tương tự như đối với sóng TM.
Khi các chiết suất
n
1
và n
2
gần nhau, ta nói rằng ta đang ở gần đúng của dẫn sóng yếu.
Đây là trường hợp quan trọng mà chúng ta sẽ quay trở lại ở phần sợi quang học.
2.8. Công suất được truyền tải (puissance transportée) bởi mode
Thông lượng công suất (flux de puissance) của một sóng điện từ là giá trị trung bình
nhất thời
S
r
của vectơ Poynting
HES
r
r
r
×
=
.
Công suất truyền tải bởi sóng này chính là tích phân của thông lượng.
Công suất trong một mode TE
Chúng ta kiểm tra dễ dàng rằng trong trường hợp này, các thành phần khác không của
các trường là:
(
)
(
)
ztxE
yy
βω
−= cos
E
() ( )
()
()
zt
dx
xdE
ztxE
y
z
yx
βω
ωµ
β
βω
ωµ
β
−−=
−−=
sin
cos
0
0
H
H
và các giá trị trung bình nhất thời của các thành phần của vectơ Poynting được viết như sau:
()
=
==
xE
yz
yx
2
0
2
0
ωµ
β
S
SS
(2.27)
Vậy công suất truyền tải bởi sóng này được viết như sau:
()
∫
∞+
∞−
= dxxEP
yTE
2
0
2
ωµ
β
(2.28)
Trong trường hợp mode đối xứng (2.12), với các điều kiện biên (2.13), ta nhận được:
J.M. Jonathan
164
−
+=
+=
22
2
0
2
0
1
1
22
1
22
uV
d
A
d
AP
TE
ωµ
β
κωµ
β
(2.29)
với
κ
là hệ số dập tắt. Chúng ta thu được kết quả tương tự như vậy đối với mode phản đối
xứng.
Công suất trong một mode TM
Tính toán giống như trên sẽ cho ta một biểu thức tính công suất truyền tải bởi một
mode TM là:
(
)
+
−
+=
24
1
24
2
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1
2
0
22
κακωµ
β
nn
nnk
nnd
AP
TM
(2.30)
2.9. Kích thích các mode dẫn sóng
Chúng ta sẽ diễn giải ở đây, bằng cách nào mà tập hợp các mode (được dẫn và truyền
qua) của một linh kiện dẫn sóng phẳng tạo thành một trục toạ độ mà ta có thể chiếu toàn bộ
sóng lên toạ độ đó. Ta sẽ có thể suy ra từ đó một cách đơn giản là công suất dẫn được bởi mỗi
mode của một linh kiện dẫn quang khi nó được kích thích bởi bất kỳ một sóng quang học nào
đó.
Tính trực giao của các mode dẫn
Gọi Φ
m
(x) là một cấu trúc ngang của trường biểu diễn mode TE. Nó thỏa mãn phương
trình truyền:
()
()
()
()
0
222
0
2
2
=Φ−+
Φ
xxnk
dx
xd
mm
m
β
Đầu tiên ta nhận thấy rằng phương trình này có các trị riêng. Thực tế là có thể được
viết như sau:
()
() () ()
xxxnk
dx
xd
mmm
m
Φ=Φ+
Φ
λ
22
0
2
2
với
2
mm
βλ
=
(2.31)
vậy
λ
m
là một trị riêng và Φ
m
(x) là hàm riêng của nó. Như vậy sẽ tồn tại một quan hệ trực giao
giữa các hàm riêng ứng với các trị riêng khác biệt nhau. Bây giờ ta sẽ khai triển nó. Ta nhận
được một cách đơn giản từ phương trình (2.31) hai phương trình sau:
()
() () ()
xxxnk
dx
xd
kmkkm
k
m
***22
0
2
*2
ΦΦ=ΦΦ+
Φ
Φ
λ
()
() () ()
xxxnk
dx
xd
mkmmk
m
k
ΦΦ=ΦΦ+
Φ
Φ
**22
0
2
2
*
λ
(2.32)
hiệu của chúng sẽ là:
() ()
()
()
x
dx
xd
dx
xd
dx
d
kmkm
k
m
m
k
**
*
*
ΦΦ−=
Φ
Φ−
Φ
Φ
λλ
(2.33)
tích phân hai vế của phương trình này dẫn đến phương trình:
()
()
()
()
0
*
***
=
Φ
Φ−
Φ
Φ=ΦΦ−
+∞
∞−
∞+
∞−
∫
dx
xd
dx
xd
dxx
k
m
m
kkmkm
λλ
(2.34)
J.M. Jonathan
165
vế phải của phương trình này cần phải bằng 0 vì nếu
Φ
m
(x) biểu diễn mode dẫn sóng, giới hạn
của nó sẽ bằng 0 khi
x tiến đến ±∞. Vậy ta có:
nếu
m ≠ k
()
0
*
=ΦΦ
∫
+∞
∞−
dxx
km
nếu
m = k
*
mm
λλ
=
()
0
*
>=ΦΦ
∫
+∞
∞−
mmm
Adxx (2.35)
Như vậy chúng ta có thể chuẩn hóa các hàm
Φ
m
sao cho các giá trị A
m
đều bằng 1, ta
nhận được:
()
mkkm
dxx
δ
=ΦΦ
∫
+∞
∞−
*
δ
km
: ký hiệu của Kronecker (2.36)
Tuy nhiên các hàm này không tạo được thành cơ sở trực giao chuẩn hóa hoàn toàn mà
toàn bộ sóng có thể được được phân tích lên đó giống hệt nhau. Để làm được điều đó thì phải
thêm vào đó các mode chiếu sáng.
Tính trực giao của các mode bức xạ
Các mode bức xạ tạo thành một continum (continuum)
nếu
β
≠
β′
thì
∫
−∞
∞−
ββ
=ΦΦ 0)()(
*
'
dxxx
nếu
β
=
β′
thì
∫
−∞
∞−
ββ
ΦΦ dxxx )()(
*
'
không tính được về mặt ý nghĩa (sens) của
các hàm (2.37)
Chiếu một sóng lên mode dẫn sóng
Chùm liên tục này khi được thêm vào các mode dẫn sóng rời rạc, có thể tạo thành một
cơ sở trực giao chuẩn hóa hoàn toàn. Vậy một sóng bất kỳ
φ
(x) có thể được biểu diễn bằng
một cách duy nhất:
() () ( )
(
)
∑
∫
Φ+Φ=
m
mm
dxcxcx
ββϕ
β
với
() ()
∫
+∞
∞−
Φ= dxxxc
mm
*
ϕ
(2.38)
Công suất dẫn trong một mode
Xét một trường tới tại z = 0 và giá trị của nó tại z > 0:
()
(
)
(
)
(
)
∑
∫
Φ+Φ=
m
mmy
dxcxcxE
ββ
β
0,
và
()
(
)
(
)
(
)
∑
∫
−Φ+−Φ=
m
mmmy
zdixczixczxE
ββββ
β
expexp,
Công suất của mode dẫn thứ m tại z = 0 và tại z > 0 sẽ là:
() ()
2
0
22
0
22
0
m
m
mm
m
m
cdxxcP
ωµ
β
ωµ
β
=Φ=
∫
∞−
∞−
() ()
zPcziczP
mm
m
mm
m
m
==−=
2
0
2
0
2
exp
2
ωµ
β
β
ωµ
β
(2.39)
Công suất của mỗi mode sẽ bất biến bởi sự truyền qua. Điều này không đúng đối với công
suất toàn phần.
J.M. Jonathan
166
3. Linh kiện dẫn sóng chiết suất bậc bai
3.1. Mode của linh kiện dẫn sóng có chiết suất thay đổi thuần túy bậc hai
Ở đây ta xét một linh kiện dẫn sóng có chỉ số khúc xạ n(x) là hàm bậc hai khi
2
d
x < và
là hằng số ở ngoài vùng này.
Hình II-5: Mặt cắt chiết suất thay đổi bậc hai và các ký hiệu thường dùng
Chúng ta giả sử ở đây rằng chiều dày d là lớn, và các mode được giam trong phần hình
parabol. Vậy phương trình truyền đối với E
y
, H
x
, H
z
được viết là:
()
()
0221
2
2
2
1
2
0
2
2
=Φ
−
∆−+
Φ
x
d
x
nk
dx
xd
β
(2.40)
Khi thay vào đó các đại lượng:
2/
2
01
d
kn ∆
=
γ
x
γ
ξ
=
2
22
1
2
0
γ
β
−
=Λ
nk
(2.41)
Phương trình này trở thành một dạng phương trình vi phân bậc hai quen thuộc sau:
()
()
()
0
2
2
2
=Φ−Λ+
Φ
ξξ
ξ
ξ
d
d
(2.42)
Phương trình có các trị riêng này là phương trình Schrodinger của một dao động tử điều hòa
một chiều. Ta biết các nghiệm của phương trình này như sau:
-
Các trị thực là các số nguyên lẻ:
Λ = 2m + 1 và do đó:
()
2
1
01
01
2
2
121
∆+−=
dkn
mkn
m
β
(2.43)
-
Các hàm riêng là các hàm Gauss-Hermitte, đều trực giao và chuẩn hóa theo hệ thức
(2.36):
() ()
2
2
1
exp
ξξξ
−=Φ
mmm
HN
2
1
!2
=
π
γ
m
N
m
m
(
)
(
)
() () ()
ξξξξ
ξ
ξ
ξ
11
10
22
21
−+
−=
=
=
mmm
mHHH
HH
(2.44)
H
m
đa thức bậc m
J.M. Jonathan
167
Chú ý:
- Mặt cắt chiết suất là đối xứng. Như thế các mode hoặc là đối xứng (bậc m chẵn), hoặc
phản đối xứng (bậc m lẻ).
-
Mode m = 0 tương ứng với mode gauss.
-
Mode m biểu thị m bằng 0 theo x
-
β
m
là phức khi giá trị của m lớn hơn
2
1
24
01
−
d
dkn
. Điều này tương ứng với các mode bị
mất (modes à pertes)
3.2.
Kết hợp (couplage) của một sóng gauss
Để đơn giản, chúng ta sử dụng ở đây trường hợp một linh kiện dẫn sóng gauss để diễn
giải các phép tính công suất truyền trong một mode. Chúng ta xét một sóng gauss có cùng độ
rộng với mode cơ bản của linh kiện dẫn sóng, nhưng lệch đi một bên:
() ()
txx
E
tx
y
ωγ
π
cos
2
1
exp,0,
2
0
2
4/1
0
−−=
E
(2.45)
Thành phần của sóng trên mode m của linh kiện dẫn sóng có biên độ là:
() ()
∫
+∞
∞−
−−Φ= dxxxx
E
c
mm
2
0
2
4/1
0
2
1
exp
γ
π
(2.46)
và được viết là:
2
0
2
2
2
0
2
0
4
1
exp
2
!
1
x
x
m
E
c
m
m
γ
γ
γ
−
=
(2.47)
khi sử dụng đồng nhất thức:
()
()
()
m
m
m
tH
m
tttG
ξξξ
∑
+∞
=
≡−−=
0
2
!
1
2exp,
Vậy công suất tương đối được kết hợp trong mode m là:
2
exp
2!
1
2
0
22
0
2
xx
m
p
m
m
γγ
−
=
(2.48)
Đối với tất cả giá trị của m, đây là một hàm nghịch biến của sự lệch hàng x
0
. Khi sự lệch hàng
này bằng 0 thì tất cả công suất đều được kết hợp trong mode cơ bản.
3.3. Tán xạ giữa các mode (inter-modes) trong linh kiện dẫn sóng chiết suất thay đổi
bậc hai
Các kiến thức giải tích của các hằng số lan truyền
β
m
của các mode trong linh kiện dẫn
sóng bậc hai cũng cho phép ta tính vận tốc nhóm:
ω
β
d
d
v
m
g
≡
1
với
()
2
1
01
01
2
2
121
∆+−=
dkn
mkn
m
β
Chú ý rằng thông thường thì:
12
2
02
<<∆
dkn
nên ta nhận được:
∆+−≈β 2
1
)12(1
01
01
dkn
mkn
m
