SKKN PHÁT TRIỂN NĂNG lực tư DUY và lập LUẬN TOÁN học CHO học SINH THÔNG QUA dạy học cực TRỊ HÌNH học KHÔNG GIAN TỔNG hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐÔNG HIẾU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN
HỌC CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠY HỌC CỰC TRỊ
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP

MƠN: TỐN

Nhóm tác giả:

1. Trần Ngọc Tuyến 0989227948
2. Lê Thị Hải Anh

Tổ:

Toán Tin

Năm thực hiện: 2021 – 2022

0978060966


TT
Phần I
1
2
3

4
5
Phần II
Chương I
I
1
2
3
4

MỤC LỤC
NỘI DUNG
ĐẶT VẤN ĐỀ
Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
Dự báo những đóng góp mới của đề tài
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Cơ sở lý luận và thực tiễn
Một số khái niệm và thuật ngữ liên quan đến đề tài.
Năng lực toán học.
Tư duy.
Lập luận
Năng lực tư duy và lập luận toán học

Thực trạng của việc tìm hiểu dạy các tiết về cực trị về hình học
khơng gian hiện nay
1
Mục đích điều tra

2
Nội dung điều tra
3
Đối tượng điều tra
4
Phương pháp điều tra
5
Tập hợp số liệu điều tra
6
Nguyên nhân của những thực trạng
Những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học nhằm phát
triển năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh trong
7
bài tốn cực trị của hình học khơng gian tổng hợp tại trường
THPT Đông Hiếu
Một số biểu hiện và các biện pháp nhằm phát triển năng
Chương II
lực tư duy và lập luận tốn học của học sinh trung học phổ thơng
Một số biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học của
I
học sinh trong bài toán cực trị của hình học khơng gian tổng hợp
Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng năng lực tư duy và lập luận
II
tốn học cho học sinh trong dạy học hình học không gian tổng hợp
Kế hoạch bài dạy chủ đề tự chọn cực trị hình học khơng gian tổng hợp
III
Chương
Thực nghiệm sư phạm
III
1

Mục đích của thực nghiệm sư phạm
2
Tổ chức và nội dung của thực nghiệm sư phạm
3
Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
Phần III
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1
Kết luận
2
Kiến nghị
II

TRANG
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
7
8
9
9
9

9
9
10
11
11
12
12
18
38
46
46
46
46
49
49
49

1


CHỮ VIẾT TẮT
STT

Chữ viết thường

Chữ viết tắt

1

Giáo viên

GV

2

Học sinh

HS

3

Trung học phổ thông

THPT

4

Nhà xuất bản

NBX

5

Sách giáo khoa

SGK

6

Thực nghiệm

TN

7

Đối chứng

ĐC

8

Sở giáo dục và đào tạo

SGD&ĐT

9

Kỹ năng

KN

10

Hoạt động

HĐ

11

Chương trình

CT

12

Giáo dục phổ thơng

GDPT

13

Năng lực

NL

2


PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV của Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng
Sản Việt Nam (khoá IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào
việc đào tạo những con người tự chủ sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề
thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước…”.
Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Ban chấp hành Trung ương
Đảng về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã nêu rõ “Phát triển
giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài.
Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn
diện năng lực và phẩm chất người học”.
Nghị quyết 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 của Quốc hội về đổi mới chương

trình sách giáo khoa phổ thơng cũng đã xác định mục tiêu đổi mới. Đó là:” Đổi mới
CT, SGK GDPT nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả
GDPT; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển
nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả
về phẩm chất và năng lực, hài hồ đức trí thể mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của
mỗi học sinh”.
Cụ thể hoá các Nghị quyết của Đảng và Nhà nước, chương trình GDPT mơn
Tốn nêu rõ “Mơn Tốn góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực
toán học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: NL tư duy và lập luận tốn học; NL
mơ hình hoá toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp tốn học; NL
sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán”.

Phát triển năng lực tư duy và lập luận logic cho học sinh trung học phổ thông trong
môn Toán là hết sức quan trọng và cần thiết. Năng lực tư duy và lập luận Toán học
gây hứng thú học tập Tốn, kích thích sự tưởng tượng góp phần hình thành bước đầu
phương pháp tự học và làm việc có kế hoạch, khoa học, chủ động, sáng tạo.
Phần lớn học sinh có tâm lý e ngại khi giải bài tập hình học khơng gian vì các em
thường vẫn coi hình học khơng gian là một phần khó của bộ mơn Tốn học. Các em
khơng biết giải các bài tốn hình học khơng gian phải bắt đầu từ đâu và phương pháp
giải như thế nào. Thực tế cho thấy, các bài tốn về hình học khơng gian thường xun
xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia ở cả bốn mức độ nhận biết, thông
hiểu, vận dụng và vận dụng cao.
Xuất phát từ việc đổi mới của chương trình giáo dục phổ thơng cũng như u cầu
về đổi mới về phương pháp dạy học nhằm giúp học sinh học tốt hơn, nắm bắt các
kiến thức về hình học không gian một các sâu sắc nên chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển
năng lực tư duy và lập luận tốn học cho học sinh thơng qua dạy học cực trị hình
học khơng gian tổng hợp”.
3

2. Mục đích nghiên cứu

Xây dựng các thành tố của năng lực huy động kiến thức và đề xuất các biện pháp
nhằm phát triển năng lực huy động kiến thức cho học sinh khi học chủ đề kiến thức
hình học không gian.
3. Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Học sinh khối 11 và khối 12 cấp trung học phổ thông.
- Các bài tốn về hình học khơng gian và vận dụng tư duy và lập luận toán học vào
để giải quyết vấn đề của bài toán.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài sẽ làm rõ các vấn đề sau:
- Cơ sở lí luận và thực tiễn của năng lực huy động kiến thức.
- Các thành tố của năng lực huy động kiến thức.
- Để phát triển năng lực huy động kiến thức cho học sinh ta cần phải thực hiện
những biện pháp nào?
- Kết quả thực nghiệm ra sao?
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học giáo dục, tài liệu
giáo dục học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ mơn tốn làm cơ sở để đề xuất
các biện pháp nhằm phát triển năng lực huy động kiến thức cho học sinh.
4.2. Quan sát, trao đổi: Thực hiện việc trao đổi với giáo viên và học sinh,
tham khảo các tài liệu để đề xuất các thành tố của năng lực huy động kiến thức cho
học sinh.
4.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng
học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
5. Dự báo những đóng góp mới của đề tài
Đề tài đã xây dựng được các thành tố của năng lực huy động kiến thức nhằm
giúp học sinh kiến tạo kiến thức.
Đề tài đề xuất các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức

cho học sinh thông qua dạy học hình học khơng gian.
Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trung học phổ thông.

4


PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
I. Một số khái niệm và thuật ngữ liên quan đến đề tài.
1. Năng lực toán học

Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân
được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập, rèn luyện, cho
phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân
khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành cơng một loại hoạt động nhất
định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.
Thơng qua chương trình mơn Tốn, học sinh cần hình thành và phát triển được
năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính tốn. Năng lực tốn học
bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận tốn học; năng lực mơ
hình hóa tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp tốn học;
năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán.
Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt của từng khối lớp, năng lực
toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độ khác nhau.
Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc “học
sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình huống và
bối cảnh khác nhau. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng
lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động
trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân.
2. Tư duy
2.1. Khái niệm

Hiện nay, tư duy còn là một khái niệm chưa thống nhất bởi chưa có một định nghĩa
nào thể hiện được trọn vẹn hết các đặc điểm, tính chất, vai trị ở tư duy. Từ trước
đến nay đã có nhiều cơng trình nghiên cứu về phát triển tư duy, xong người nghiên
cứu cũng không hề đưa ra một định nghĩa tư duy cụ thể mà chỉ đưa ra cách hiểu của
bản thân bởi như vậy sẽ không làm hạn chế năng lực tư duy hay gói gọn suy nghĩ
trong một phạm vi cụ thể. Mỗi lĩnh vực khác nhau lại nghiên cứu tư duy dưới những
góc nhìn khác nhau. Theo quan điểm của các nhà tâm lý học Mác - xít dựa trên nền
tảng là chủ nghĩa duy vật biện chứng đã khẳng định: tư duy là sản phẩm của một cơ
quan vật chất sống có tổ chức cao là bộ óc con người; được hình thành trong quá
trình hoạt động thực tiễn của con người. Theo “Từ điển bách khoa Việt Nam”, tập 4
(Nhà xuất bản Từ điển bách khoa, Hà Nội): Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật
chất được tổ chức một cách đặc biệt – bộ não con người. Tư duy phản ánh tích cực
hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận…
Tựu chung lại, tư duy có thể hiểu là quá trình tâm lý thể hiện khả năng nhận thức
bậc cao diễn ra trong não bộ con người. Quá trình này thu nhận thông tin từ xúc giác,
5


thị giác, vị giác, khứu giác, thính giác qua các dây thần kinh đến được não bộ giúp
con người có được tư duy rõ ràng, sâu sắc, trừu tượng,... về những sự vật, hiện tượng
trong đời sống bằng con đường khái quát hoá, hướng sâu vào nhận thức bản chất,
quy luật của đối tượng.
2.2. Đặc điểm của tư duy

Tư duy ở con người chỉ xuất hiện khi gặp hoàn cảnh hay tình huống có vấn đề.
Những hồn cảnh hay tình huống này chứa đựng vấn đề đòi hỏi con người phải tư duy
tìm ra cách giải quyết mới do những hiểu biết ban đầu và các phương thức giải quyết
trước không thể giải quyết triệt để vấn đề vừa phát sinh. Tư duy cịn mang tính gián tiếp,
thể hiện thơng qua việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy. Khơng chỉ vậy, ngơn
ngữ và tư duy cịn có mối quan hệ khăng khít với nhau, khơng có ngơn ngữ con

người không thể tư duy và các kết quả của tư duy cũng không thể để cả chủ thể hay
bản thân người khác tiếp nhận. Ngoài ra, tư duy không thể hiện các sự vật, hiện tượng
một cách riêng lẻ mà rút ra khỏi các sự vật, hiện tượng đó những gì cụ thể, cá biệt và
chỉ giữ lại các thuộc tính bản chất chung rồi sắp xếp chúng thành một nhóm, một
loại, một phạm trù. Tư duy dựa vào nhận thức cảm tính nhưng chính nhận thức cảm tính lại
chịu sự tác động ngược lại của tư duy và các sản phẩm của quá trình này nên ta nhận thấy hoạt
động tư duy cịn có hiện tượng khơng chịu chi phối từ những kinh nghiệm cảm tính.
2.3. Các giai đoạn của tư duy

Quá trình tư duy của con người nhằm mục đích giải quyết một nhiệm vụ cụ thể
phát sinh trong quá trình nhận thức hoặc trong hoạt động thực tiễn. Đây là quá trình
gồm nhiều giai đoạn, được nhà tâm lý học K.K.Platonơv sơ đồ hóa.
Như vậy, các giai đoạn của quá trình tư duy bắt đầu từ việc nhận thức được
vấn đề trong các tình huống có vấn đề rồi thơng qua các giai đoạn khác nhau nhằm
mục đích giải quyết được vấn đề để từ đó bắt đầu một hành động tư duy mới.

Nhận thức vấn đề là giai đoạn đầu tiên trong các giai đoạn (q trình) của
tư duy. Nó chỉ nảy sinh trong những tình huống mà con người cho là “có vấn đề”.
Đây là giai đoạn mở đầu và quan trọng nhất của cả quá trình tư duy. Tiếp đến là
giai đoạn cá nhân người tư duy huy động những kinh nghiệm và kiến thức sẵn có
của bản thân và người khác vào vấn đề vừa được nhận thức để làm xuất hiện các
liên tưởng có liên quan đến vấn đề.
Giai đoạn này được gọi là xuất hiện các liên tưởng. Sàng lọc các liên tưởng
và hình thành giả thuyết là giai đoạn thu hẹp phạm vi các kinh nghiệm, kiến thức
tìm được trước đó để phù hợp với nhiệm vụ giải quyết vấn đề. Từ đó, chủ thể tư duy
có thể đưa ra các phương án giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và tiết kiệm
thời gian. Kiểm tra giả thuyết là khâu kiểm tra tính khả thi và phù hợp thực tiễn của
các phương án được đề xuất. Trong quá trình kiểm tra, chủ thể tư duy sẽ phát hiện
được đâu là phương án đem lại hiệu quả cao nhất. Đây cũng là giai đoạn mà sau đó
người kiểm tra đôi khi sẽ phát hiện nhiệm vụ mới cần giải quyết. Giai đoạn cuối

6


cùng là giải quyết vấn đề. Bằng việc thực hiện phương án tối ưu nhất được lựa chọn
trong các giả thuyết để giải quyết vấn đề thì việc giải quyết vấn đề được đặt ra lúc
ban đầu sẽ có kết quả là câu trả lời hoặc đáp số.
2.4. Các thao tác của tư duy

Coi quá trình tư duy là một hành động thì các giai đoạn của quá trình hành động
đó mới chỉ thể hiện được cấu trúc bên ngồi của việc tư duy. Phần nội dung bên
trong của từng giai đoạn lại diễn ra dựa vào cơ sở các thao tác tư duy. Đây là các
thao tác trí tuệ được chủ thể thực hiện ở trong đầu, nên còn được gọi là những quy
luật bên trong của tư duy, bao gồm:

 Phân tích: là q trình sử dụng não bộ phân tách đối tượng nhận thức thành
những bộ phận, những thành phần khác nhau để có được cái nhìn một cách chi tiết
và tổng qt. Thơng qua đó, xác định được đối tượng mang các đặc điểm, thuộc tính
gì hoặc nhìn ra được các bộ phận của một tổng thể một cách rõ ràng, tường minh.

 Tổng hợp: là quá trình sử dụng não bộ tổ hợp lại những thành phần được
tách rời từ việc phân tích thành một chỉnh thể.

 So sánh: là quá trình sử dụng não bộ để đối chiếu các đối tượng nhận thức
nhằm tìm ra sự tương đồng, đồng nhất hay khác biệt giữa các đối tượng nhận thức
đó mà rút ra những điểm chúng hay khác biệt của các đối tượng nhận thức.

 Trừu tượng hóa: là q trình sử dụng não bộ làm đơn giản hóa các mặt, các
liên hệ, các thuộc tính và các quan hệ thứ yếu khơng cần thiết đồng thời chỉ giữ lại
những yếu tố cần thiết sử dụng cho tư duy.

 Khái qt hóa: là q trình sử dụng não bộ để tổng hợp các đối tượng khác nhau
thành một nhóm hay một loại dựa trên cơ sở phân loại là các thuộc tính, các mối liên hệ
và quan hệ chung nhất định. Các thao tác tư duy không hoạt động riêng rẽ mà tác động
qua lại, đan xen vào với nhau khơng theo một trình tự cụ thể nào. Chủ thể tư duy căn
cứ vào các yếu tố về điều kiện và mục tiêu trong từng nhiệm vụ tư duy mà lựa chọn
các thao tác tư duy phù hợp cũng như không cần phải sử dụng hết các thao tác tư duy
trong một hoạt động tư duy.
3. Lập luận
3.1. Khái niệm
Trong “Đại cương Ngôn ngữ học (tập 2, Ngữ dụng học)” giáo sư Đỗ Hữu
Châu định nghĩa: “Lập luận là đưa ra những lí lẽ (được gọi là luận cứ trong lập luận)
nhằm dẫn dắt người nghe đến một kết luận nào đó mà người nói muốn đạt tới”.
Trong sách giáo khoa Ngữ văn lớp 10 (tập 2) định nghĩa: “lập luận là đưa ra
lí lẽ, bằng chứng nhằm dẫn dắt người đọc đến một kết luận nào đó mà người viết
muốn đạt tới” .

7


Lập luận là thuật ngữ với hai cách hiểu. Theo hướng thứ nhất, lập luận dùng để
chỉ hành vi, hoạt động của con người thực hiện các thao tác nhằm mục đích lập luận.
Ở cách hiểu thứ hai, lập luận là kết quả (sản phẩm) của hoạt động lập luận bao gồm
cả cách thức và nội dung của quá trình tiến hành lập luận.
Tóm lại, dù sử dụng lập luận để nói hay để viết thì mục đích của lập luận đều
hướng tới kết quả cuối cùng mà người lâp luận mong muốn đạt được. Lập luận hiểu
đơn giản là cách trình lí lẽ của người lập luận dùng để thuyết phục mọi người tin vào
quan điểm mình đưa ra.
3.2. Các giai đoạn lập luận
Giai đoạn 1: Xác định luận điểm

Chủ thể lập luận bằng khả năng liên tưởng, tưởng tượng cũng như vận dụng
những tri thức liên quan và năng lực suy luận logic của bản thân nêu ra những
quan điểm tư tưởng là những điểm chính, trọng tâm nhằm chứng minh tính đúng đắn
trong vấn đề mà chủ thể lập luận muốn đạt tới.
Giai đoạn 2: Tìm luận cứ.
Luận cứ là những lí lẽ, dẫn chứng mà người lập luận đưa ra nhằm thuyết phục
người đọc/nghe tin vào luận điểm mà mình đưa ra.
Giai đoạn 3: Lựa chọn phương pháp lập luận
Là lựa chọn cách thức tổ chức luận điểm và luận cứ một cách chặt chẽ nhằm
tăng sức thuyết phục với đối tượng mà người lập luận hướng tới. Một số phương
pháp lập luận thường thấy như: diễn dịch, quy nạp, so sánh, tương tự, loại suy,....
Giai đoạn 4: Trình bày lập luận.

Sau khi đã săp xếp các luận điểm, luận cứ theo một thứ tự cụ thể cũng như
lựa chọn được các phương pháp lập luận thích hợp cho từng từng luận điểm, luận cứ
thì việc cuối cùng người lập luận cần thực hiện đó là trình bày lập luận thành một
sản phẩm hồn chỉnh có mở đầu và kết thúc.
4. Năng lực tư duy và lập luận toán học
4.1. Khái niệm

“Năng lực tư duy và lập luận toán học” là một trong ba thành phần cốt lõi
biểu hiện năng lực toán học của một học sinh. Đây cũng là năng lực địi hỏi q trình
giáo dục cần phải hình thành cho các em nếu muốn đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của
chương trình giáo dục phổ thơng mới nói chung và đổi mới trong mơn tốn nói riêng.
4.2. Năng lực tư duy và lập luận toán học mà học sinh THPT cần đạt.
Đối với học sinh THPT tức là đã hoàn thành xong chương trình giáo dục mơn
tốn lớp 11, các biểu hiện dưới đây là những biểu hiện cần có của một học sinh
cuối cấp THPT để làm chủ khả năng tư duy và lập luận toán học trong phạm vi lứa
8

tuổi. Đây đều là các nội dung được nêu cụ thể trong mơn Tốn thuộc chương trình
giáo dục phổ thơng mới, đó là:
 Khả năng thực hiện những thao tác tư duy như so sánh, phân tích, tổng hợp
ở mức độ cơ bản cũng như bước đầu biết trừu tượng hóa, khái quát hóa các đối tượng
tư duy. Khả năng quan sát một cách chi tiết nhằm phát hiện được những nét giống
và khác nhau trong những tình huống thân quen cũng như có thể thuật lại kết quả từ
việc quan sát.
 Đưa ra được những chứng cứ, lí lẽ, những căn cứ thuyết phục, đồng thời
biết sắp xếp chúng một cách hợp lý giúp tăng tính logic trong việc lập luận của bản
thân trước khi đưa ra kết luận.
 Nêu lên cũng như trả lời được câu hỏi khi lập luận và giải quyết vấn đề.
Bước đầu chỉ ra được chứng cớ và lập luận có cơ sở và lí lẽ trước khi đi đến kết luận.
II. Thực trạng dạy học các tiết tự chọn về cực trị hình học khơng gian hiện nay.
1. Mục đích điều tra.
Điều tra thực trạng dạy học các tiết luyện tập trong các tiết tự chọn và năng lực
giải các bài toán cực trị về hình học khơng gian của học sinh hiện nay như thế nào.
2. Nội dung điều tra.
Điều tra về việc dạy học các tiết luyện tập hình học trong các tiết tự chọn.
3. Đối tượng điều tra.
Học sinh khối 12 THPT.
4. Phương pháp điều tra.
Tiến hành phát phiếu điều tra HS cho 205 học sinh khối 12 của THPT Đông
Hiếu( gồm các lớp 12C5,12C6,12C7,12C8,12C9):
STT

Lớp

Số phiếu phát ra

Số phiếu thu về

1

12C5

40

40

2

12C6

41

41

3

12C7

41

41

4

12C8

44

44

5

12C9

39

39

Phiếu điều tra gồm 2 câu hỏi, được soạn dưới hình thức trắc nghiệm cho học
sinh đánh dấu.
9


5. Tập hợp số liệu điều tra.
Câu hỏi
Nội dung

Câu 1

Câu 2

Số ý kiến

Tỉ lệ
%
Em đánh giá việc học các tiết tự chọn hình học hiện nay?

A. Cũng giống như các tiết luyện tập nhưng
22
10,73
bài tập khó hơn bài tập sách giáo khoa.
B. Cũng giống như các tiết luyện tập nhưng bài
157
76,59
tập tương tự bài tập sách giáo khoa.
C. Bài tập các tiết tự chọn q khó, em khơng
26
12,68
có định hướng giải
Em muốn các tiết học tự chọn hình học theo hướng nào ?
A. Giáo viên dạy theo hướng truyền thống:
38
18,54
Giáo viên ra đề, học sinh tìm lời giải
B. Giáo viên dạy theo định hướng phát triển năng
167
81,46
lực tư duy và lập luận Toán học của học sinh

Biểu đồ số liệu điều tra các tiết dạy tự chọn cực trị hình không gian
10


* Nhận xét: Từ kết quả trên, ta thấy đa số HS đều cho rằng cách dạy các tiết tự
chọn, luyện tập hiện nay chủ yếu là giải các bài tập tương tự sách giáo khoa
(76,59%), một số ít giải các bài tập nâng cao hơn. Tuy nhiên đa số (81,46%) HS
được hỏi đều mong muốn được học theo định hướng phát triển năng lực tư duy và

lập luận để có cơ hội thể hiện mình nhiều hơn. Điều này một lần nữa khẳng định vai
trò quan trọng phương pháp dạy học tích cực trong dạy học Tốn học.
6. Ngun nhân của những thực trạng
GV chưa chú trọng dạy học theo phương pháp kích thích tính chủ động của
HS thơng qua cho các em vận dụng kiến thức đã học tự thiết kế các bài tập.

Các GV chủ yếu vẫn còn nặng nề về lối truyền thụ 1 chiều, chưa chuẩn bị tâm lý,
ngại thay đổi, sợ mất thời gian thiết kế và soạn bài, chưa khẳng đinh được người học
sẽ vận dụng để tự thiết kế được các bài tập khi được yêu cầu.
7. Những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học nhằm phát triển năng lực
tư duy và lập luận toán học của học sinh trong bài tốn cực trị của hình học
khơng gian tổng hợp tại trường THPT Đơng Hiếu
7.1. Thuận lợi

Trong q trình đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, học sinh cũng học tập
một cách chủ động hơn, tự tìm tịi tài liệu ở nhiều nguồn, có khả năng đánh giá,
hợp tác tốt hơn và mong muốn thể hiện mình nhiều hơn. Do đó việc giáo viên tạo
điều kiện để học sinh phát triển khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa,
khả năng lập luận Tốn học để giải bài toán và phát biểu các bài toán mới, thiết kế
bài tập là một xu thế tất yếu và cần được nhân rộng.
7.2. Khó khăn
Để phát biểu bài tốn mới, thiết kế được bài tập, cần nhiều yêu cầu cao hơn.
Học sinh phải có một hệ thống kiến thức nền đủ tốt để thiết kế được bài tập. Về phía
giáo viên thì địi hỏi người dạy phải bao qt được nội dung chương trình, kiến thức
chun mơn vững vàng. Đặc biệt là cần những giáo viên không ngại thay đổi bản thân,
ln hướng học sinh tìm cái mới. Điều này không phải giáo viên nào cũng dám làm.
Công tác kiểm tra đánh giá hiện nay mặc dù có nhiều thay đổi nhưng vẫn
nặng về đánh giá nội dung kiến thức, chưa đánh giá những năng lực khác của học
sinh nên chưa thực sự phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.

11


Chương II: Một số biểu hiện và các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy
và lập luận toán học của học sinh trung học phổ thông.
I. Một số biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh trong
bài toán cực trị của hình học khơng gian tổng hợp.
Biểu hiện 1: Thực hiện được các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, tổng
hợp, đặc biệt hố, khái qt hố, tương tự; quy nạp, diễn dịch.
- So sánh nhằm phát hiện những đặc điểm chung và khác nhau ở một số các bài
toán. So sánh thường dẫn đến tương tự hoá và khái quát hoá.
- Trong dạy học giải toán, phát triển năng lực lập luận logic phân tích đề bài
được thực hiện tốt sẽ tạo cơ sở giúp các em hình thành các bước giải nhanh
chóng và khả năng lập luận khi viết lời giải sẽ ngắn gọn, khoa học hơn. Phân
tích trong chứng minh là phương pháp suy luận từ cái chưa biết đến cái đã
biết. Tổng hợp là thao tác ngược lại với phân tích.
- Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ
của những bài toán khác nhau.
- Khái quát hoá và đặc biệt hoá: Khái quát hoá là chuyển từ khái niệm, tính chất
từ tập hợp này sang tập hợp khác rộng hơn, hay mở rộng khái niệm, tính chất
ngay trên tập hợp. Đặc biệt hố là ngược lại của khái quát hoá.
- Trừu tượng hoá là gạt bỏ những dấu hiệu khơng bản chất, tìm ra các dấu hiệu
bản chất.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD . M là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD . Kẻ
qua M đường thẳng d / /AB . Xác định giao điểm B ' của đường thẳng d
và mặt phẳng ACD  . Kẻ qua M các đường thẳng lần lượt song song với
AC

và AD cắt các mặt phẳng ABD  và ABC  theo thứ tự tại C ', D ' . Tính

giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 

AB
AC
AD


.
MB '
MC '
MD '

1) Phân tích: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 

AB
AC
AD


MB '
MC '
MD '

trước tiên chúng ta cần xác định các giao điểm B’, C’, D’. Sau đó chúng ta
cần tìm ra tỷ số

MB ' MC ' MD '
bằng bao nhiêu thông qua so sánh tỷ số



AB
AC
AD

đó với diện tích của các tam giác S BCD , S MBC , S MCD , S MBD .

2) Nếu đưa các tỷ số về diện tích của tam giác, ta sẽ có cách chứng minh tương tự.
Ta có MB '/ /AB 

S
MB ' ME

 MCD .
AB
BE
S BCD

12


Tương tự ta có

MC ' S MBD MD ' S MBC

;

..
AC
S BCD AD
S BCD

3) Trở lại vấn đề tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, ta cần chứng minh:
MB ' MC ' MD '


1
AB
AC
AD

4) Ta có

MB ' MC ' MD '


 1 bằng một số không đổi, theo Cô-si, ta có thể
AB
AC
AD

khai thác tiếp bài tốn để được các kết quả sau:

MB ' MC ' MD '
MB '.MC '.MD '
1
27


 33



.
AB
AC
AD
AB.AC .AD
MB '.MC '.MD ' AB.AC .AD

Ta có
T 

AB
AC
AD


 33
MB '
MC '
MD '

Từ đây ta có lời giải cụ thể sau:

AB.AC .AD
 33
MB '.MC '.MD '

27.AB .AC .AD
3 3
AB.AC .AD

Trong mặt phẳng BCD  gọi BM  CD  E  .

Trong mặt phẳng ABE  kẻ MB '/ /AB B '  AE   d  MB ' .



Ta có 

B' d

B '  AE  ACD 


 d  ACD   B '

Trong mặt phẳng BCD  gọi CM  BD  F , DM  BC  G  .
Trong mặt phẳng ACF  kẻ MC '/ /AC C '  AF  .

Trong mặt phẳng ADG  kẻ MD '/ /AD D '  AG  .
Ta có MB '/ /AB 

S
MB ' ME

 MCD (1).
AB
BE
S BCD

13


Tương tự ta có

MC ' S MBD
MD ' S MBC

(2);

(3) .
AC
S BCD
AD
S BCD

Từ (1) , (2) và (3) Suy ra

MB ' MC ' MD ' S MCD  S MBD  S MBC



1
AB
AC
AD
S ABC

Ta có
MB ' MC ' MD '

MB '.MC '.MD '
1
27
.


 33


AB
AC
AD
AB.AC .AD
MB '.MC '.MD ' AB.AC .AD

Ta có
T 

AB
AC
AD


 33
MB '
MC '
MD '

AB.AC .AD
 33

MB '.MC '.MD '

27.AB .AC .AD
3 3.
AB.AC .AD

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi
MB ' MC ' MD ' 1
ME
MF
MD
1


 


 .
AB
AC
AD
3
BE
CF
DG
3

Biểu hiện 2: Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận.
Người có năng lực lập luận là người biết chỉ ra được các chứng cứ, đánh giá
thông tin thu thập được nhằm đưa ra những lập luận hoàn chỉnh cho việc giải quyết

vấn đề, sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau và lựa chọn, sử dụng ngôn ngữ tốn
học một cách cẩn thận, chính xác. Trong dạy học nhằm phát triển năng lực lập luận
logic cho học sinh thì việc chỉ ra chứng cứ, lí lẽ và biết kiểm tra, nhận xét lời giải là
một bước quan trọng, thể hiện rất rõ năng lực lập luận của mỗi học sinh là khác nhau.
Việc chỉ ra chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận chia thành các
mức độ sau:
+ Đưa ra được lời giải của bài toán (để làm cơ sở cho việc so sánh, phân tích)
+ Kiểm tra lời giải của mình trước khi kết luận.
+ So sánh được lời giải của mình với lời giải của các bạn khác trước khi kết luận.

Thự tế dạy học cho thấy học sinh khi trước khi kết luận thường chỉ nhận xét
bài làm đúng hay sai khi xem xét đáp số cuối cùng của bài toán mà chưa quan tâm
đến các bước giải chi tiết. Đây có thể là do hệ quả của của việc giáo viên chỉ quan tâm
rèn kĩ năng giải toán mà chưa quan tâm phát triển tư duy, lập luận cho học sinh.
Hạn chế này cần khắc phục để các em có kĩ năng suy xét nguyên nhân sai sót (nếu
có) và cách sửa chữa cũng như nhận xét về cái hay của lời giải, tạo tiền đề cho việc
tìm ra nhiều cách giải, lựa chọn cách giải tối ưu cho bài tốn.
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' tâm O cạnh có độ dài bằng 1 . Gọi
 3   1 
M , P là hai điểm sao cho AM  AA ',CP  CC ' . Mặt phẳng   thay đổi đi qua
4
4

14


M , P đồng thời cắt hai cạnh BB ', DD ' lần lượt tại N vàQ . Tìm giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ .
Dựa vào yêu cầu bài toán, học sinh cần chỉ ra các chứng cứ, lí lẽ sau:

- Chỉ ra được:
+ Hình thang AMPC ta có AM  CP  1 ,tương tự DQ  BN  2.OI  1 .
+ Chứng minh được: tứ giác MNPQ là hình bình hành.

a  c   b  d 
2

+ Biết cách sử dụng BĐT a 2  b 2  c 2  d 2 

2

và BĐT Côsi

Lời giải:
D'

C'

O

Q

B'
A'

M

P
I

C

D

N
O'
A

B

Gọi I  MP  OO '  I là trung điểm của MP .
Do đó trong hình thang AMPC ta có AM  CP  1 , tương tự DQ  BN  2.OI  1 .
Đặt BN  x , DQ  y thì x , y   0;1 và x  y  1 .
Ta có
(MNPQ )  (ABB ' A ')  MN 

(MNPQ )  (CDD 'C ')  QP   MN / /QP

(ABB ' A ') / /(CDD 'C ')



Chứng minh tương tự MQ / /NP , suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Suy ra của chu vi tứ giác MNPQ  2MN  2MQ .
3



2

3



2

Ta tính được MN  1    x  ; MQ  1    y  .


 4
 4
15



2
2
3

3
 





Chu vi tứ giác MNPQ  2  1    x   1    y   * .

 4
 4


 



Áp dụng BĐT a 2  b 2  c 2  d 2 

a  c   b  d 
2

2

3

3

3

17
 1    x   1    y   4    x  y  
.


2
4
4
2

2

2

2

1
2

Dấu "  " xảy ra khi x  y  .
Suy ra giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ  17 .
*) Thế y  1  x vào (*) ta có

2
2
3

1
 



Chu vi tứ giác MNPQ  2  1    x   1    x    2 f x  .

 4

 4
 



3


1

Với f x   1    x   1    x 


 4
 4
2

2

2
2
 5  17
 5  17
3

1

5 
17  5
17




 1    x   
x    1    x   
x

  
 4
 4


4
4 
4
4  4
4





13  5 17 2
(x  x )
8

3

5(1  x )  17x
1    x  
 4
4

2



5

13  5 17 2
(x  x )
8

1

5x  17 1  x 
1    x  
 4
4

2



5
17

4
4

17

Do x 2  x  0, x  0;1  f (x )  
4
4
Suy ra maxf (x ) 

5  17
khi x  0 hoặc x  1
4

Suy ra giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác MNPQ 

5  17
.
2

3x 2
1
1
1  3x  4  3x 
1
  .
Ta có : x 
 x 4  3x   .3x .4  3x   
4
4
12
12 
2
3

1
3

Do đó : S MNPQK  .SB .AC . sin   S MNPQK lớn nhất bằng
 3x  4  3x  x 

2
BM
2

 .
3
BC
3

2

1
.SB.AC . sin 
3

16


Biểu hiện 3: Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về
phương diện toán học.
Việc giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện
tốn học gồm có các bước sau:
+ Kiểm tra về trình bày các bước giải
+ Kiểm tra về kết quả của bài tốn
Khi học sinh giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về
phương diện toán học, các em sẽ thể hiện năng lực lập luận như suy xét cẩn thận,
cân nhắc hợp lí các yếu tố đã cho và mối quan hệ với kết quả. Đó chính là cơ hội
cho các em thể hiện năng lực lập luận khi kiểm tra các bước giải đã trình bày theo
đúng thứ tự hợp lí chưa, cách diễn đạt tốt chưa, ngơn ngữ tốn học sử dụng chính

xác chưa, kiểm tra kết quả thực hiện các phép tính trong từng bước giải và kiểm tra
đáp số cuối cùng của bài toán. Ở bất cứ bước kiểm tra nào nếu phát hiện ra sai sót
cần tìm nguyên nhân để lập luận và sửa lại.
Tuy nhiên học sinh thường có tâm lí chủ quan vì cho rằng chỉ cần thực hiện
đầy đủ các bước giải là được mà ít quan tâm đến yếu tố riêng biệt của bài toán nên
dễ mắc lỗi về câu lời giải, đơn vị của các đại lượng trong quá trình giải khi phép tính
và kết quả thì đúng. Với các em trong biểu hiện tự giải thích hoặc điều chỉnh được
cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học, các em thường khó phát hiện
sai sót ở các dạng tốn bổ sung, mở rộng hoặc các bài tốn ơn tập tổng hợp.
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC , BD thỏa mãn AC 2  BD 2  16 và các
cạnh còn lại đều bằng 6 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD .
Phân tích:
- Bước 1: Tìm được thể tích khối tứ diện ABCD là:
VABCD  2.

1
2 2
. AC.4 2 16  AC 2 
. AC. 16  AC 2 ,  0  AC  4 
12
3

- Bước 2: Sử dụng phương pháp hàm số hoặc bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị
lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD.
Lời giải
Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AC , BD .
Ta có: AC  IB , AC  ID  AC   BID   VABCD  2.VABID
VABID 

1

1 1
1
AI .S IBD  . AC. IK .BD (Do IB  ID nên tam giác IBD cân tại I
3
3 2
2

BD  16  AC 2 ; 0  AC  4

17


IB2  ID2 BD2
BD2

 ID2 
2
4
4
2
2
AC BD
 AD2 

 32
4
4

IK 2 

 IK  4 2
1
VABCD  2. . AC.4 2 16  AC 2
12
2 2

. AC. 16  AC 2 ,  0  AC  4 
3

Đặt t  AC , (0  t  4) . Xét f (t )  t 16  t 2 , (0  t  4)
Ta có:

Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn nhất là

16 2
.
3

II. Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng năng lực tư duy và lập luận toán học
cho học sinh trong dạy học cực trị hình học khơng gian tổng hợp.
Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng nhìn bài tốn cực trị hình học
khơng gian dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm được nhiều cách giải khác nhau.
Bài tốn cực trị hình học khơng gian tổng hợp có rất nhiều bài tập đa dạng và
phong phú, có thể nhìn nhận ở các góc độ khác nhau, mỗi cách nhìn nhận có thể tạo ra
những cách giải khác nhau. Trong quá trình dạy học, việc rèn luyện cho HS nhìn nhận
bài tốn theo nhiều hình thức khác nhau sẽ rèn luyện được tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn
và độc đáo của tư duy. Để tìm được nhiều cách giải cho một bài toán, trước hết HS
cần nắm vững các kiến thức cơ bản và các phương pháp giải toán. Đồng thời, bằng
tư duy lập luận, HS sẽ trình bày được các cách để giải bài toán.
Phương pháp thực hiện: GV đưa ra các bài tốn cực trị hình học khơng gian tổng hợp

có thể giải bằng nhiều cách, nhiều phương pháp khác nhau. Sau đó GV yêu cầu HS
giải bài tập đó, hướng dẫn HS các cách nhìn nhận khác nhau để đưa ra các lời giải
khác nhau cho bài tốn. Sau khi đưa ra các lời giải thì so sánh để nhận xét về ưu
điểm, nhược điểm của từng cách giải, đưa ra lời giải tối ưu nhất.
Ví dụ 1. Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG
cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M , N . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số

VS . AMN
là?
VS . ABC

18


Phân tích: Gặp bài tốn này, HS khơng thể làm theo cách tính thể tích của hai khối đa
diện VS . AMN , VS . ABC . Khi đó cần nghĩ đến phương pháp tỷ số thể tích, phương pháp nào có

thể chọn lựa để giải quyết bài tốn, qua đây thể hiện hoạt động tư duy phân tích của HS.
+ Hướng thứ nhất: Ta có thể chỉ ra SP  SQ  2SE sau đó dùng tỷ số thể tích và áp
dụng BĐT AM – GM.
+ Hướng thứ hai: Chúng ta cần chứng minh

SB SC
MI 
 NI

 3

  3 sau đó
SM SN

 NM MN 

dùng tỷ số thể tích và áp dụng BĐT AM – GM.
+ Hướng thứ ba: Sử dụng phương pháp véc tơ chứng minh tỷ số

SB SC

 3 sau
SM SN

đó dùng tỷ số thể tích và áp dụng BĐT AM – GM.

Hình minh hoạ giáo viên hướng dẫn học sinh

Hình minh hoạ học sinh đang tích cực hoạt động nhóm
19


Lời giải:

Gọi E, F , G lần lượt là trung điểm BC, SA, EF suy ra G là trọng tâm tứ diện SABC .
Điểm I là giao điểm của AG và SE . Qua I dựng đường thẳng cắt các cạnh SB, SC lần
lượt tại M , N . Suy ra  AMN  là mặt phẳng quay quanh AG thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Kẻ GK // SE ,  K  SA suy ra K là trung điểm FS .


KG AK 3
KG 1
SI 2


 . Mà
 
 .
SI
AS 4
SE 2
SE 3

+ Hướng thứ nhất:
Ta chứng minh được

SB SC

 3.
SM SN

Thật vậy, qua I kẻ các đường thẳng lần lượt song song SB, SC cắt SB, SC tương
ứng tại P, Q .
SB DB


 3
NI
SB 3NI
IQ DI
 SB IQ
.
 3.



Ta có:
, 1 .

IQ SM
NM
SM NM
IQ
NI 

SM NM 
SC LC


 3
MI
SC 3MI
 SC IP
.
 3.


Lại có: IP LI
,  2 .

IP
MI 
IP SN
MN
SN MN


SN MN 

Từ 1 và  2  ta có:

SB
SC
SB SC
MI 
 NI
;y
.

 3

  3 .Đặt x 
SM
SN
SM SN
 NM MN 

20


VS . AMN SA SM SN 1 AM GM
1
4

.
.



 .
2
VS . ABC SA SB SC xy
 x  y 9
4
3
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y   MN // BC .
2

Suy ra x  y  3 . Ta có:

+ Hướng thứ hai: Sản phẩm nhóm 2

Hình minh hoạ học sinh trình bày bài làm của nhóm
21


+ Hướng thứ ba: Sản phẩm nhóm 1

Hình minh hoạ học sinh trình bày bài làm của nhóm
22


Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a . Trên đường thẳng vng góc với  ABCD 
tại A lấy điểm S di động không trùng với A . Hình chiếu vng góc của A lên SB, SD
lần lượt tại H , K . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ACHK .
Phân tích: Gặp bài tốn này, HS khơng thể làm theo cách tính thể tích của hai khối đa
diện VS . AMN , VS . ABC . Khi đó cần nghĩ đến phương pháp tỷ số thể tích, phương pháp nào có
thể chọn lựa để giải quyết bài toán, qua đây thể hiện hoạt động tư duy phân tích của HS.

+ Hướng thứ nhất: Ta tính thể tích VS . AHK 
thể tích VACHK 

x

2

 a2 

.VS . ABD 
2

a 2 x5
6  x2  a 2 

2

sau đó tính

a4
x3
sau đó áp dụng BĐT AM – GM.
.
3  x 2  a 2 2

+ Hướng thứ hai: Ta tính thể tích VS . AHK 
tỷ số khoảng cách
tích VACHK 

x4

d  H ,  ABCD  
d  S ,  ABCD  



x4

x

2

 a2 

.VS . ABD 
2

a 2 x5
6  x2  a 2 

2

, tiếp đó dùng

BH
a2
a2 x
để tính thể
 2


d
H
,
ABCD





BS x  a 2
x2  a 2

a4
x3
và áp dụng phương pháp hàm số để tính giá trị lớn nhất
.
3  x 2  a 2 2

của thể tích khối tứ diện ACHK .
Lời giải:
+ Hướng thứ nhất: Sản phẩm nhóm 4

1
3

Ta có VS . ABD  S ABD .SA 
Lại có

a2 x
.

6

VS . AHK SH SK  SA 

.


VS . ABD SB SD  SB 

 VS . AHK 

x4

x

2

 a2 

.VS . ABD 
2

2

2

x4
 SA 
.



2
 SD   x 2  a 2 

a 2 x5
6  x2  a2 

2

.
23


Gọi O  AC  BD, G  SO  HK , I  AG  SC .
Ta có
 BC  AB
 BC   SAB   BC  AH ,  AH   SAB   .

 BC  SA

Lại có
 AH  SB
 AH   SBC   AH  SC .

 AH  BC
Chứng minh tương tự ta có AK  SC .
 SC  AK
 SC   AHK  , AI   AHK   SC  AI .
 SC  AH

Vì 

Xét tam giác SAC vng tại A , đặt SA  x  0 và có AC  a 2 , AI  SC
2

IC  AC 
2a 2
2a 2


  2  CI  2 SI .
IS  AS 
x
x
1
1
2a 2
2a 2
a4
x3
 VACHK  S AHK .CI  S AHK . 2 .SI  2 VS . AHK  .
.
3
3
x
x
3  x 2  a 2 2

 x2

x2

x2



Ta lại có  x 2  a 2       a 2 
 3 3 3

2

2

AM GM

 16

x3a
x3
3 3


(Dấu “=” xảy
2
2
2
16
a
3 3
x


a



ra khi và chỉ khi x  a 3 .
Suy ra VACHK 

a4 3 3
a3 3
.
.
 VACHK 
3 16a
16

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ACHK bằng

a3 3
khi x  SA  a 3 .
16

+ Hướng thứ hai: Sản phẩm nhóm 3

Đặt SA  x, x  0  VS . ABCD 

a2 x
1
a2 x
.

 VS . ABD  VS . ABCD 
3
2
6

Gọi O  AC  BD  O là trung điểm của AC  d  A,  HOK    d  C ,  HOK  
24