(SKKN mới NHẤT) rèn LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG tìm lời GIẢI CHO học SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM cực TRỊ của hàm số TRONG GIẢI TÍCH 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.51 MB, 43 trang )
Đề tài:
RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI
CHO HỌC SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN TRẮC
NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TÍCH 12
MƠN: TỐN HỌC
TIEU LUAN MOI download :
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 4
Đề tài:
RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI
CHO HỌC SINH QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI TOÁN TRẮC
NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TÍCH 12
Thuộc mơn: Tốn học
Tên tác giả: Ngơ Quang Vân
Tổ bộ mơn: Tốn – Tin - VP
Năm thực hiện: 2021 – 2022
Số điện thoại liên hệ: 0984879679
TIEU LUAN MOI download :
MỤC LỤC
MỤC LỤC.............................................................................................................1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ..................................................................................................2
B. NỘI DUNG.......................................................................................................3
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN...........................................................................................3
II. THỰC TRẠNG............................................................................................3
III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .............................................................................4
1. Định hướng tìm lời giải bài tốn tìm số điểm cực trị của các hàm số dạng
với
là hàm đa thức bậc ba …………………………......
…5
a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng.................................................................5
b. Các định hướng.............................................................................................6
c. Các ví dụ áp dụng........................................................................................10
2. Định hướng tìm lời giải bài tốn cực trị của hàm số dạng
khi
biết đồ thị hàm số
hoặc bảng xét dấu của hàm số
....................11
a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng...............................................................12
b. Định hướng..................................................................................................12
c. Các ví dụ áp dụng........................................................................................12
3. Định hướng tìm lời giải bài tốn cực trị của hàm só dạng
khi
biết đồ thị hàm số
hoặc bảng xét dấu của hàm số
....................15
a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng...............................................................15
b. Định hướng..................................................................................................16
c. Các ví dụ áp dụng........................................................................................16
4. Định hướng tìm lời giải bài tốn tìm tham số
để hàm số
có
điểm cực trị......................................................................................................20
a. Các định hướng...........................................................................................20
b. Các ví dụ áp dụng........................................................................................20
5. Định hướng tìm lời giải bài tốn tìm cực trị của hàm số hợp
......22
a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng...............................................................22
b. Định hướng..................................................................................................23
c. Các ví dụ áp dụng........................................................................................23
6. Bài tập tự luyện...........................................................................................27
Hướng dẫn giải - Bài tập tự luyện...................................................................29
C. PHẦN KẾT LUẬN ........................................................................................34
D. PHỤ LỤC.......................................................................................................35
1
TIEU LUAN MOI download :
Hướng tiếp tục mở rộng và nghiên cứu đề tài.................................................37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................38
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Ngày nay trước yêu cầu của sự nghiệp cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước
để tránh nguy cơ tụt hậu về kinh tế và khoa học cơng nghệ thì việc cấp bách và lâu
dài là nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Tầm quan trọng đó đặt lên vai
những người làm công tác giáo dục và dạy học nhiều trách nhiệm nặng nề.
Trong các khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng và nổi bật.
Cơng việc dạy toán của giáo viên nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy toán học
cùng những phẩm chất tốt đẹp của con người lao động mới để các em vũng vàng
trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước.
Ở trường phổ thơng dạy học tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh
có thể xem giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học. Các bài tốn ở
trường phổ thơng là một phương tiện rất có hiệu quả và khơng thể thay thế được
trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng,
kỹ xảo trong ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập tốn là điều
kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học tốn ở trường phổ thơng. Vì vậy tổ
chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập tốn học có vai trị quyết định đối với chất
lượng dạy học tốn. Như vậy việc định hướng tìm lời giải cho học sinh là một
trong những khâu then chốt, chiến lược trong q trình dạy học mơn tốn.
Hơn nữa, hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh học tập môn tốn một
cách rất thụ động, rập khn theo những dạng bài tốn mà các thầy giáo, cơ giáo
hay các sách đã chỉ sẵn mà khơng chịu suy nghị tìm đường lối giải, đặt vấn đề trở
lại đối với bài toán đó, lời giải đó. Chính vì vậy, gặp một bài tốn mà các em chưa
từng tiếp xúc thì việc tìm lời giải cho bài toán đối với nhiều học sinh là rất khó
khăn và khơng tự tìm đường lối giải được. Q trình định hướng tìm đường lối giải
có tính chất quan trọng, quyết định nhất trong việc giải một bài tốn. Q trình này
là cơ sở cho việc rèn luyện khả năng tư duy, làm việc sáng tạo – một khả năng
không thể thiếu đối với một người giải tốn.
Cực trị trong giải tích đóng một vai trị quan trọng trong chương trình tốn
học phổ thơng, đặc biệt là trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia hiện nay. Bài
tốn cực trị trong giải tích 12 xuất hiện trong đề với tư cách là các câu hỏi nhận
biết, thông hiểu, đặc biệt là các câu vận dụng và vận dụng cao, các câu hỏi quyết
định và phân loại học sinh. Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, thì cần hơn
nữa cho học sinh những định hướng rõ ràng và học sinh chỉ cần tra giả thiết vào là
có ngay đáp án. Nhìn chung đa số học sinh đều chưa trang bị được cho mình các
phương pháp đó hoặc có thì cũng chưa được rõ ràng và bài bản. Là giáo viên tơi
ln trăn trở, tìm cách để giúp cho học sinh của mình có được các định hướng
trước mỗi bài tốn khó để học sinh có thể tìm thấy được những thuật tốn, tạo tích
2
TIEU LUAN MOI download :
lũy cho bản thân để giải quyết nhanh các bài tốn trắc nghiệm trong khoảng thời
gian ngắn.
Với mong muốn góp phần nhỏ đơn giản hóa việc giải các bài tập trắc nghiệm
cực trị vận dụng và vận dụng cao trong giải tích lớp 12, làm phong phú thêm hệ
thống các phương pháp giải dạng toán này. Nhận thức được thực tế đó, tác giả
mạnh dạn đề xuất chuyên đề nghiên cứu “ Rèn luyện khả năng định hướng tìm
lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số
trong giải tích 12” làm đề tài cho sáng kiến kinh nghiệm này.
B. NỘI DỤNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Hiện nay, với trình độ lý luận ngày càng cao và sự thay đổi về hình thức thi
do đó hệ thống các bài tốn nêu ra cũng bắt buộc phải đổi mới theo hướng này. Sự
đổi mới đó cũng yêu cầu người học tư duy nhiều hơn, tìm tòi nhiều hơn để “phá
tan” được lớp bảo vệ và đưa bài tốn về đúng bản chất của nó và từ đó có thể giải
được một cách nhanh gọn. Đối với giáo viên phổ thông, vấn đề giúp học sinh có
được kỹ năng này là rất quan trọng và then chốt, đặc biệt đối với những học sinh
khá và giỏi.
Qua nhiều năm giảng dạy; cùng sự tìm tịi, nghiên cứu của bản thân; học hỏi
các giáo viên, giảng viên có kinh nghiệm lâu năm, tác giả đã đúc kết vấn đề trên
thành một chuyên đề được gọi là các định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt
động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12.
Tổng quan lý luận về định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải
toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12: Dựa vào các cách biến đổi
đồ thị, dùng phần mềm vẽ hình GeoGebra rút ra các định hướng tổng quát, quy tắc
tìm cực trị và kết hợp với việc khái quát, tổng quát hóa. Từ đó đưa ra được hệ
thống các bài toán cơ sở, làm định hướng để vận dụng giải các bài toán khác một
cách nhanh gọn và phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay.
Đề tài cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả tri thức về phương
pháp, khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, đưa những vấn đề phức tạp trở
thành những vấn đề tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán. Từ
những kiến thức cơ bản dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một
cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao).
II. THỰC TRẠNG
Trong giảng dạy ở trường phổ thông hiện nay, đặc biệt trong dạy ôn thi TN
THPT, các bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12 là một vấn đề
khó tiếp cận với học sinh và giáo viên. Cái khó ở đây thể hiện có nhiều phương
pháp giải bài tốn cực trị trong giải tích 12 nhưng lại khó vận dụng để áp dụng cụ
thể cho từng bài toán đó. Mỗi bài tốn đưa ra đều được che đậy bởi một lớp phủ
bên ngồi bản chất của bài tốn. Đồng thời các phương pháp giải bài toán cực trị
3
TIEU LUAN MOI download :
trong giải tích 12 khơng thể sử dụng được trực tiếp (thời gian không cho phép) mà
phải thông qua các bài tốn định hướng. Nói cụ thể hơn, dựa vào các cách biến đổi
đồ thị, dùng phần mềm vẽ hình GeoGebra rút ra các bài tốn tổng qt, quy tắc
tìm cực trị và kết hợp với việc khái quát, để đưa ra các định hướng và từ đó tìm
được ngay lời giải phù hợp cho bài toán đặt ra. Đây chính là điểm yếu mà học sinh
và giáo viên phổ thơng cần có thêm sự hộ trợ để giải quyết các bài toán loại này.
Việc rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải bài tốn trắc nghiệm cực trị
trong giải tích 12 là một vấn đề hết sức khó khăn. Nhận thức được thực trạng đó tơi
đã tiến hành làm thực nghiệm ở các lớp của trường THPT Quỳnh Lưu 4, bằng hai
bài kiểm tra 10 phút trên 10 học sinh của mỗi lớp.
Đề kiểm tra số 1 (Thực hiện khi chưa dạy chuyên đề- Mức độ vận dụng)
Câu 1. (VD) Cho hàm số
nhiêu điểm cực trị?
A.
.
, hàm số
B. .
Câu 2. (VDC) Cho hàm số
C.
.
có bao
D. .
có đạo hàm
. Hàm số
với mọi
có tối đa mấy điểm cực trị?
A.
B.
C.
D.
“ Chọn đáp án đúng và trình bày cách thức làm để có thể chọn được đáp án đó”
Đề kiểm tra số 2 (Thực hiện sau khi dạy chuyên đề - Mức độ vận dụng)
Câu 1. (VD) Cho hàm số
nhiêu giá trị nguyên của tham số
điểm cực trị?
A. 16
B. 9.
Câu 2. (VDC) Cho hàm số
đạo hàm
như hình vẽ. Gọi
A. .
. Có bao
có đúng 9
C. 15.
liên tục và xác định trên
D. 10.
và có đồ thị
là tập chứa tất cả các giá trị nguyên
để hàm số
trị . Số phần tử của
có đạo hàm
để hàm số
có đúng 7 điểm cực
là:
B. .
C.
.
D. .
“Chọn đáp án đúng và trình bày cách thức làm để có thể chọn được đáp án đó”
4
TIEU LUAN MOI download :
Kết quả thực nghiệm trên được trình bày và phân tích trong phần phụ lục ở
trang 35 trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này.
III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trước hết cần phải khẳng định, đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện
trong đề thi minh họa, đề thi thử của các trường và đề thi tốt nghiệp THPT. Có một
số câu của dạng tốn này có mặt cũng nhằm mục đích phân loại học sinh khá, giỏi
để tìm kiếm và đào tạo chun mơn mũi nhọn.
Đối với bài tốn cực trị trong giải tích 12 có nhiều phương pháp giải nhưng
trong giai đoạn hiện nay, để giải các bài toán bằng các phương pháp này, đòi hỏi
các đối tượng học cần đào sâu nghiên cứu, để định hướng và đưa bài toán đa màu
sắc về một dạng toán cụ thể, từ đó người học có thể giải quyết dễ dàng khi gặp
những bài toán loại này.
Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho các bài tốn cực trị trong giải
tích 12 là rèn luyện khả năng định hướng đưa bài toán ban đầu về các bài toán mà
chỉ cần tra giả thiết vào là cho kết quả, tạo khả năng liên kết các bài tốn có cùng
dạng nhưng đã được phủ bởi một số phép đổi biến.
Với hơn hai mươi năm giảng dạy cùng sự học hỏi, rèn luyện, tự nghiên cứu,
bản thân tác giả đã đúc kết một số vấn đề có tính liên kết phương pháp giải bài
tốn cực trị trong giải tích 12 bằng định hướng sử dụng các phép biến đổi đồ thị,
dùng phần mềm vẽ hình GeoGebra và khái quát hệ thống các bài tốn tìm cực trị
của hàm hợp từ quy tắc tìm cực trị cơ bản. Sau đây là năm định hướng cơ bản mà
tơi đã sử dụng trong q trình ôn thi cho học sinh và đã đạt được một số kết quả
cao trong các kỳ thi THPT quốc gia và tốt nghiệp THPT.
1. Định hướng tìm lời giải bài tốn tìm số điểm cực trị của các hàm số dạng
với
là hàm đa thức bậc ba.
Cái khó của các bài tốn tìm số điểm cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt
đối, thường liên quan đến việc làm thế nào để “phá vỡ” được dấu giá trị tuyệt đối.
Nên định hướng để giải quyết bài tốn ln là một vấn đề khá hấp dẫn. Với mục
này tôi muốn bằng sự kết hợp các cách suy đồ thị quen thuộc và bằng trực quan vẽ
hình bằng phần mềm GeoGebra xây dựng hệ thống các định hướng tìm lời giải
nhằm “phá vỡ” lớp vỏ bọc về giá trị tuyệt đối bên ngồi đưa nó về dạng quen
thuộc. Từ đó có thể tìm ra kết quả nhanh cho bài tốn. (Link video về cách suy đồ
thị trực quan bằng phần mềm vẽ hình GeoGebra)
/>usp=sharing
a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng.
+/ Cách suy đồ thị:
5
TIEU LUAN MOI download :
Bước 1. Từ đồ thị (C) của hàm số
.
, suy ra cách vẽ đồ thị (H) của hàm số
Lời giải
Vì
nên
là hàm số chẵn, suy ra đồ thị (H) nhận trục tung làm
trục đối xứng. Vì vậy
phải trục tung
với
, cịn
là phần đồ thị của (C) nằm bên
là phần đối xứng của
Bước 2. Từ đồ thị (H) của hàm số
qua trục tung.
, suy ra cách vẽ đồ thị (G) của hàm số
.
Lời giải
Ta có
Suy ra
với
, cịn
phía dưới
là phần đồ thị (H) nằm phía trên trục hồnh
là phần đối xứng qua trục hồnh của phần đồ thị (H) nằm
.
+/ Phần mềm GeoGebra:
GeoGebraCalculator-Windows-Installer-6-0-689-0.exe.zip
+/ Tính chất hàm liên tục:
Nếu hàm số
một điểm
liên tục trên đoạn
sao cho
.
và
*Phương pháp chứng minh phương trình có
Cho phương trình
thực hiện các bước sau :
. Để chứng minh
Bước 1 : Chọn các số
thì tồn tại ít nhất
nghiệm trong
có
nghiệm trong
chia đoạn
thành
, ta
đoạn
thỏa mãn :
Hàm số
liên tục trên đoạn
nên liện tục trên
đoạn
.
6
TIEU LUAN MOI download :
Bước 2 : Kết luận về số nghiệm phương trình
trên
.
b. Các định hướng.
Ví dụ 1. Cho hàm số đa thức bậc ba
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số
Căn cứ vào đồ thị hàm số
số bằng 11.
như hình vẽ sau:
vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị của hàm
- Định hướng [1.1]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba
điểm phân biệt và có hồnh độ dương thì hàm số
cắt trục hồnh tại ba
có 11 điểm cực trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số đa thức bậc ba
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số
như hình vẽ sau:
7
TIEU LUAN MOI download :
Căn cứ vào đồ thị hàm số
số bằng 9.
vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị của hàm
- Định hướng [1.2]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba
cắt trục hồnh tại ba
điểm phân biệt, có hai điểm có hồnh độ dương và có hai điểm cực trị dương thì
hàm số
có 9 điểm cực trị.
Ví dụ 3. Cho hàm số đa thức bậc ba
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số
Căn cứ vào đồ thị hàm số
như hình vẽ sau:
vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 7.
- Định hướng [1.3]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba
cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt, có hai điểm có hồnh độ dương và có một điểm cực trị dương thì
hàm số
có 7 điểm cực trị.
Ví dụ 4. Cho hàm số đa thức bậc ba
có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số
có bao nhiêu điểm
8
TIEU LUAN MOI download :
cực trị ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số
Căn cứ vào đồ thị hàm số
như hình vẽ sau:
vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 5.
- Định hướng [1.4]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba
cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt, có một điểm có hồnh độ dương và có một điểm cực trị dương thì
hàm số
có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 5. Cho hàm số đa thức bậc ba
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số
Căn cứ vào đồ thị hàm số
như hình vẽ sau:
vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 3.
9
TIEU LUAN MOI download :
- Định hướng [1.5]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba
cắt trục hồnh tại 3
điểm phân biệt, có 1 điểm có hồnh độ dương và khơng có điểm cực trị dương thì
hàm số
có 3 điểm cực trị.
Nhận xét. Tương tự cách làm trên học sinh có thể tự rút ra thêm một số các
định hướng sau:
- Định hướng [1.6]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba
cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt và có hồnh độ khơng dương thì hàm số
có 1 cực trị.
- Định hướng [1.7]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba
điểm duy nhất, có hồnh độ khơng dương và hàm số
cắt trục hồnh tại 1
khơng có cực trị thì
có 1 điểm cực trị.
- Định hướng [1.8]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba
điểm duy nhất, có hồnh độ dương và hàm số
cắt trục hồnh tại 1
khơng có cực trị thì hàm số
có 3 điểm cực trị.
- Định hướng [1.9]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba
cắt trục hồnh tại 2
điểm, trong đó có 1 điểm tiếp xúc, một điểm cắt và có hồnh độ dương thì hàm số
có 7 điểm cực trị.
- Định hướng [1.10]. Đồ thị hàm số đa thức bậc ba
cắt trục hồnh tại 2
điểm, có 1 điểm tiếp xúc dương, một điểm cắt âm và hai điểm cực trị dương thì
hàm số
có 5 điểm cực trị.
c. Các ví dụ áp dụng.
Ví dụ 1. Cho hàm số
Hàm số
với
và
.
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 5.
C. 9.
D. 11.
Lời giải
Ta có
Suy ra
và
sao cho
có ba nghiệm phân biệt
Suy ra đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị
và
và
10
TIEU LUAN MOI download :
Sử dụng định hướng [1.1] ta có hàm số
có 11 điểm cực trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số
điểm cực trị?
A.
.
, hàm số
B. .
C.
có bao nhiêu
.
D. .
Lời giải
Dùng máy tính cầm tay ta bấm được phương trình
biệt, có đúng 1 nghiệm dương và phương trình
dương. Áp dụng định hướng [1.4] suy ra hàm số
Ví dụ 3. Cho hàm số
Hàm số
có 3 nghiệm phân
có đúng một nghiệm
có 5 điểm cực trị.
xác định, liên tục trên
và có bảng biến thiên:
có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có đúng 1 điểm cực trị dương và phương trình
có 3 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có tối đa hainghiệm dương. Áp dụng
định hướng [1.3] suy ra hàm số
có nhiều nhất 7 điểm cực trị.
Ví dụ 4. Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số
. Gọi là tập hợp các giá trị nguyên của tham số
để
hàm số
có
điểm cực trị. Tổng giá trị
tất cả các phần tử của bằng:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Từ đồ thị của hàm số
hàm số
xuống dưới
, ta có đồ thị của hàm số
. Khi đó: đồ thị
có được bằng cách di chuyển đồ thị
lên trên hoặc
đơn vị. Áp dụng định hướng [1.1] và lưu ý là giao của đồ thị hàm
11
TIEU LUAN MOI download :
số
với trục tung trùng với
có
,
các phần tử
điểm cực trị
suy ra
bằng
. Suy ra tổng
.(
,
Ví dụ 5. Cho hàm số bậc ba
)
có đồ thị như hình
vẽ bên. Hàm số
A. ..
của hàm số. Ta có hàm số
có bao nhiêu cực trị?
B.
.
C. .
D.
.
Lời giải
Nhận xét: Đồ thị của hàm số
nhận đường thẳng
trục đối xứng, do đó số điểm cực trị của hàm số
với
là số điểm cực trị lớn hơn
bằng
của hàm
Từ nhận xét đó, kết hợp với đồ thị hàm số
Suy ra số điểm cực trị của hàm số
là
,
.
đã cho và định hướng [1.2].
là 9 điểm.
2. Định hướng tìm lời giải bài tốn cực trị của hàm số dạng
khi biết đồ thị hàm số
hàm số
hoặc bảng xét dấu của
.
Phải khẳng định rằng đây là loại hàm số rất phức tạp, bản thân nó vừa là hàm
số hợp, vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối. Do đó khi gặp bài tốn cực trị của hàm số
dạng này, học sinh chưa có định hướng trước thì khó có thể giải quyết được bài
tốn trong khoảng thời gian ngắn. Trong mục này xuất phát từ quy tắc tìm cực trị
của hàm số
, kết hợp với trực quan từ việc suy đồ thị bằng phần mềm vẽ
hình GeoGebra. Từ đó ta khái qt nên quy tắc tìm cực trị cho loại hàm số này.
a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng.
Quy tắc I: Các bước tìm cực trị của hàm số
.
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tìm
. Tìm các điểm
bằng 0 hoặc
khơng xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
12
TIEU LUAN MOI download :
b. Định hướng:
Từ quy tắc tìm cực trị của hàm số
, cách suy đồ thị hàm số và phần mềm
GeoGebra ta khái quát nên quy tắc tìm cực trị của hàm số
- Đặt
, tính
như sau:
.
- Tìm các nghiệm của phương trình
hàm khơng xác định.
,
và các điểm tại đó đạo
- Số điểm cực trị của hàm số
bằng tổng số nghiệm bội lẻ của hai
phương trình và các điểm tại đó đạo hàm khơng xác định. (Định hướng [2])
c. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. Cho hàm số
có đạo hàm
Hàm số
có tối đa mấy điểm cực trị?
A.
với mọi
B.
C.
.
D.
Lời giải
Ta có
.
Xét hàm số
. Ta có
.
. (Do
là nghiệm kép). Vậy hàm số
có tối đa
có
điểm cực trị. Từ đó ta suy ra phương trình
nghiệm thực phân biệt. Do đó theo định hướng [2] hàm số
có tối đa
điểm cực trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số
thỏa mãn
. Hàm số
A.
và
có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có
,
là hàm số đa thức liên tục trên
,
,
,
. Suy ra các kết quả
,
13
TIEU LUAN MOI download :
,
nên theo tính chất hàm liên tục thì phương
trình
và ít nhất ba nghiệm và
trình
sẽ có ba nghiệm. Do đó phương trình
Theo định hướng [2] ta có hàm số
Ví dụ 3. Cho hàm số
Đồ thị của hàm số
là hàm đa thức bậc ba nên phương
có hai điểm cực trị.
có 5 điểm cực trị.
có đạo hàm liên tục trên
như hình vẽ bên. Biết
và
. Số điểm cực trị của hàm số
A.
B.
là:
C.
D.
Lời giải
Xét hàm số
. Ta có
.
.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ở trên ta có hàm số
có
, nên phương trình
có
nghiệm kép và hai nghiệm đơn phân biệt
. Từ
,
ra hàm số
có điểm cực trị.
Ví dụ 4. Cho hàm số
như hình vẽ. Tìm
điểm cực trị
. Mặt khác
nghiệm trong đó có một
và định hướng [2] ta suy
có đồ thị của đạo hàm
để hàm số
đúng ba điểm cực trị. Biết rằng
có
và
,
.
14
TIEU LUAN MOI download :
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Bảng biến thiên của hàm số
Xét hàm số
.
Ta có
;
Ta có bảng biến thiên của hàm số
:
Từ bảng biến thiên và định hướng [2] suy ra hàm số
có đúng ba điểm cực trị khi và
chỉ khi
Ví dụ 5. Cho hàm số
có đồ thị
như
hình vẽ bên . Đồ thị hàm số
trị?
A. .
có tối đa bao nhiêu điểm cực
B. .
C. .
D.
.
Lời giải
15
TIEU LUAN MOI download :
Xét hàm số
có
, ta
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
có tối đa
và định hướng [2] suy ra hàm số
điểm cực trị.
3. Định hướng tìm lời giải bài toán cực trị của hàm số dạng
biết đồ thị hàm số
hoặc bảng xét dấu của hàm số
khi
.
Trước hết phải khẳng định rằng đây là loại hàm số rất phức tạp, bản thân nó
vừa là hàm số hợp, vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối. Do đó khi gặp bài tốn cực trị
của hàm số dạng này, học sinh chưa có định hướng trước thì khó có thể giải quyết
được bài toán trong khoảng thời gian ngắn. Trong mục này xuất phát từ quy tắc tìm
cực trị của hàm số
, kết hợp với trực quan từ việc suy đồ thị bằng phần
mềm vẽ hình GeoGebra. Từ đó ta khái qt nên quy tắc tìm cực trị cho loại hàm
số này như sau:
a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng.
Quy tắc I: Các bước tìm cực trị của hàm số
.
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tìm
. Tìm các điểm
bằng 0 hoặc
không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
b. Định hướng:
16
TIEU LUAN MOI download :
Từ quy tắc tìm cực trị của hàm số
và cách suy đồ thị ta có thể khái quát
nên quy tắc tìm cực trị của hàm số
- Đặt
như sau: (Định hướng [3])
, tính
.
- Tìm các nghiệm của phương trình
khơng xác định.
(1) hay các giá trị của
mà
- Số điểm cực trị của hàm số
bằng tổng số nghiệm bội lẻ của (1) và
các điểm bội lẻ tại đó đạo hàm khơng xác định.
c. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. Cho hàm số
Tìm số giá trị nguyên của
A. 5.
, hàm
có bảng xét dấu như sau:
để hàm số
có 3 cực trị?
B. 1.
C. 0.
D. 2.
Lời giải
Áp dụng định hướng [3]. Ta có
.
khơng xác định khi
.
.
Theo định hướng [3] ta có u cầu của bài tốn
. Vậy có 1 giá trị ngun của
Ví dụ 2. Cho hàm số bậc bốn
và do
thỏa mãn u cầu bài tốn.
có đồ thị
như hình vẽ bên. Gọi S là tập hợp các giá
trị nguyên thuộc đoạn
của tham số
để
hàm số
có đúng 3 điểm cực
trị. Số phần tử của tập hợp S bằng:
17
TIEU LUAN MOI download :
A. .
B. .
C.
.
D. .
Lời giải
Ta có
. Áp dụng định hướng [3]
Điểm đặc biệt:
hoặc
Ta thấy
không xác định
là các nghiệm đơn của
Ta có BBT của hàm số
.
như sau:
Để hàm số có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình (1) khơng có nghiệm đơn. Dựa
vào BBT trên, phương trình (1) khơng có nghiệm đơn
. Vì
,
suy ra
. Vậy tập S có 6 phần tử.
Ví dụ 3. Xét các số thực
. Cho hàm số
trên
và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Đặt
. Số điểm cực trị của hàm số
có đạo hàm liên tục
là:
18
TIEU LUAN MOI download :
A. 3.
B. 7.
C. 4.
D. 5.
Lời giải
Áp dụng định hướng [3].
Đặt
,
,
. Ta có
.
Bảng biến thiên của hàm số
Số điểm cực trị của hàm số
là 5.
Ví dụ 4. Cho hàm số
có đạo hàm
bao nhiêu giá trị ngun dương của tham số
có ít nhất 3 điểm cực trị?
A. .
B.
. Có
để hàm số
.
C. .
D.
.
Lời giải
Ta có BBT của hàm
như sau
Áp dụng định hướng [3]. Ta có
Nhận thấy
khơng xác định tại
.
và
19
TIEU LUAN MOI download :
.
Để hàm số
có ít nhất
có ít nhất
điểm cực trị thì phương trình
nghiệm đơn hoặc bội lẻ khác
. Từ BBT ta có
Vậy có 9 giá trị của
thỏa mãn
u cầu đề bài.
Ví dụ 5. Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ bên.
Số các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
A. .
có
điểm cực trị là
B. .
C.
.
D. .
Lời giải
Đặt
Trong đó:
.
. Bảng biến thiên của hàm số
.
Áp dụng định hướng [3]. Ta có
Do đó số điểm cực trị của hàm số
nghiệm bội lẻ của hệ sau:
.
chính là số các
20
TIEU LUAN MOI download :
Suy ra số điểm cực trị của hàm số
thẳng
phụ thuộc vào số giao điểm của các đường
với đồ thị hàm
. Mặt khác các nghiệm
là các nghiệm đơn, do đó yêu cầu bài tốn trở thành tìm các giá
trị
ngun để các đường thẳng trên cắt đồ thị
tại
điểm phân biệt
. Vậy số giá trị nguyên của
4. Định hướng tìm lời giải bài tốn tìm tham số
điểm cực trị.
bằng 0.
để hàm số
có
a. Các định hướng:
Từ cách suy đồ thị và kết hợp với quy tắc tìm cực trị của hàm số, ta rút ra các quy
tắc tổng qt cho bài tốn tìm tham số
như sau :
Cho hàm số
có
để hàm số
điểm cực trị dương.
* Nếu hàm số
liên tục tại
cực trị. (Định hướng [4.1])
thì hàm số
* Nếu hàm số
không liên tục tại
điểm cực trị. (Định hướng [4.2])
Đồ thị của hàm số
có
thì hàm số
nhận đường thẳng
xứng, do đó số điểm cực trị của hàm số
điểm cực trị lớn hơn
có n điểm cực trị
của hàm
bằng
có điểm
có
có
là trục đối
, với
là số
. (Định hướng [4.3])
b. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ.
21
TIEU LUAN MOI download :
Số điểm cực trị của hàm số
A. .
là:
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Hàm
có 2 điểm cực trị là:
. Áp dụng định
hướng [4.3]. Vậy: Số điểm cực trị của hàm
bằng
Ví dụ 2. Cho hàm số
. Tất cả các giá trị
của tham số m để hàm số
A.
.
.
có 5 điểm cực trị.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Ta có:
. Hàm số
có 5 điểm cực trị khi chỉ
khi (định hướng [4.1]) hàm số
có hai cực trị dương.
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
có
. Có tất cả bao nhiêu số nguyên
cực tri ?
A. 2.
để hàm số
B. 3.
C. 5.
có 5 điềm
D. 4.
Lời giải
Áp dụng định hướng [4.1]. Ta có hàm
khi hàm số
có 5 điểm cực trị khi và chỉ
chỉ có hai điểm cực trị dương. Khi và chỉ khi phương trình
có hai nghiệm trái dấu và khác 1. Khi và chỉ khi
22
TIEU LUAN MOI download :
Mà
3 giá trị ngun của
. Vậy có
.
Ví dụ 4. Cho hàm số
mọi
nên
có đạo hàm
với
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
có 3 điểm cực trị?
A. 3.
B. 4.
để hàm số
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Ta có
nghiệm bội ,
. (
là nghiệm bội
,
là
là nghiệm bội ) .
Áp dụng định hướng [4.1].
+ Nếu
thì phương trình
ra hàm số
điểm cực trị là
có 2 nghiệm bội lẻ là
suy
có hai điểm cực trị âm. Khi đó hàm số
nên
khơng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
+ Nếu
thì phương trình
suy ra hàm số
trị là
nên
+ Nếu
có hai nghiệm bội chẵn
khơng có cực trị suy ra hàm số
không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
thì
nên
có một điểm cực
có hai nghiệm bội lẻ
có hai điểm cực trị là
trị thì hàm số
. Để hàm số
phải có hai điểm cực trị trái dấu
. Vậy có 5 giá trị của
A. .
hàm số
có 3 điểm cực
mà
,
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 5. Cho hàm số
có đạo hàm
mọi
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
có
có một
, với
để hàm số
điểm cực trị?
B.
.
C. .
D. .
Lời giải
23
TIEU LUAN MOI download :
