Nhị thức newton và một số ứng dụng của nó

Content

Contents

I. INTRODUCTION.
Mathematics has a particularly important position in the subjects in high
schools, it is the basis of many other subjects. It is a subject that many students
love because of its abstract thinking so that they can freely discover new things
when they go to learn it.
Tốn học có vị trí đặc biệt quan trọng trong các môn học ở trường phổ thơng,
nó là cơ sở của nhiều mơn học khác. Đây là mơn học được nhiều học sinh u
thích bởi tính tư duy trừu tượng, giúp các em có thể thoải mái khám phá những
điều mới lạ khi đi học.
In mathematics, the binomial expansion theorem (for short, the binomial
theorem) is a mathematical theorem about the exponential expansion of sums. This
theorem has been independently proved by two people: Mathematician and
mechanic Isaac Newton discovered in 1665. Mathematician James Gregory
discovered in 1670. The introduced formula is also called Binary. Newton's
formula. Knowledge of Newton binomial is one of the most basic knowledge
presented in high school math curriculum. Newtonian binomial problems are not
only rich and diverse but also very important for students, in addition to the content
presented in the textbook Algebra and Calculus 11 - Advanced and some basic
math. about Newton binomial, also to meet the learning needs of students and the
purpose of innovating math teaching methods in high schools to promote positivity,
initiative and creativity to improve thinking and intelligence. wisdom for you.
Making students master the knowledge of binomial topics is the basis for them to
effectively learn many content knowledge of math and some other subjects.
Therefore, in teaching, teachers need to identify and improve the teaching quality
of binomial subjects as both the goal and a necessary condition of the performance
of the subject teaching task.
1

Trong toán học, định lý khai triển nhị thức (gọi tắt là định lý nhị thức) là một
định lý toán học về sự mở rộng cấp số nhân của các tổng. Định lý này đã được
chứng minh độc lập bởi hai người: Nhà toán học và cơ học Isaac Newton phát
hiện ra năm 1665. Nhà toán học James Gregory phát hiện ra năm 1670. Cơng
thức được giới thiệu cịn được gọi là Binary. Công thức Newton. Kiến thức về nhị
thức Newton là một trong những kiến thức cơ bản nhất được trình bày trong
chương trình tốn THPT. Các bài tốn về nhị thức Newton không chỉ phong phú,
đa dạng mà còn rất quan trọng đối với các em học sinh, bên cạnh nội dung được
trình bày trong SGK Đại số và Giải tích 11 - Nâng cao và một số bài toán cơ bản.
về nhị thức Newton, cũng nhằm đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và mục đích
đổi mới phương pháp dạy học tốn ở trường phổ thơng nhằm phát huy tính tích
cực, chủ động, sáng tạo nâng cao tư duy, trí tuệ. trí tuệ cho bạn. Việc làm cho học
sinh nắm vững kiến thức chuyên đề về nhị thức là cơ sở để các em học tập hiệu
quả nhiều nội dung kiến thức mơn Tốn và một số mơn học khác. Vì vậy, trong dạy
học, giáo viên cần xác định và nâng cao chất lượng dạy học phân môn nhị thức
vừa là mục tiêu vừa là điều kiện cần của việc thực hiện nhiệm vụ dạy học bộ môn.
The application of the binomial formula has both the effect of reviewing and
systematizing the knowledge, as well as affirming the practicality of the content of
knowledge. If students can practice solving this type of math, not only will
students master the mathematical knowledge system, but also contribute to training
their ability to solve math problems, skills to apply math knowledge to practice,
and develop mathematical thinking for students. pupil. With that in mind, my
group's essay presents the topic: ''The binomial formula and an extended number''.
Research object: system of knowledge, basic math forms, advanced applications
and math skills using Newton's binomial expansion formula.
Việc áp dụng cơng thức nhị thức vừa có tác dụng ơn tập, hệ thống hóa kiến
thức vừa khẳng định tính thiết thực của nội dung kiến thức. Nếu học sinh được
thực hành giải dạng tốn này khơng những giúp học sinh nắm vững hệ thống kiến

thức tốn học mà cịn góp phần rèn luyện năng lực giải toán, kĩ năng vận dụng
kiến thức toán vào thực tiễn, phát triển tư duy tốn học cho học sinh. Học sinh.
Với suy nghĩ đó, bài tiểu luận của nhóm em trình bày chủ đề: '' Công thức nhị thức
và một số mở rộng’’. Đối tượng nghiên cứu: hệ thống kiến thức, các dạng toán cơ
bản, ứng dụng nâng cao và kỹ năng giải toán sử dụng công thức khai triển nhị
thức Newton
Although our group has made a lot of efforts, but due to limited time and
capacity, there are inevitable shortcomings, we hope to receive your constructive
comments to improve the essay. We sincerely thank you!
2


Nhóm chúng em tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và năng lực có
hạn nên khơng tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp xây dựng của các bạn để bài tiểu luận được hồn thiện hơn. Chúng tơi xin
chân thành cảm ơn!

II.BINOMIAL FORMULA AND AN EXTENDED NUMBER.
Công thức nhị thức và một số mở rộng
1. Combination symbol.
1.Kí hiệu tổ hợp
1.1.Binomial coefficient.
1.1.Hệ số nhị thức.
The symbol binomial coefficient is the coefficient of in the binomial expansion.
Hệ số nhị thức ký hiệu là là hệ số của trong khai triển của nhị thức
1.2.Combiniatoric formula.
1.2.Công thức tổ hợp.
In Mathematics, combinatorics is a way of selecting elements from a larger
group regardless of the order. In smaller cases the number of combinations can be
counted. For example for three fruits, an apple, an orange and a pear, there are

three ways to combine the two fruits from this set: an apple and a pear; an apple
and an orange; a pear and an orange. By definition, the concatenation of n elements
is a subset of the parent set S containing elements, the subset of k distinct elements
belonging to S and unordered. The number of convolutional combinations of n
elements is equal to the binomial coefficient. We have

3


Trong Toán học, tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà
khơng phân biệt thứ tự. Trongnhững trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ
hợp. Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và mộtquả lê, có ba cách kết
hợp hai loại quả từ tập hợp này: một quả táo và một quả lê; một quả táo và một
quả cam;một quả lê và một quả cam. Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của nphần
tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng
biệt thuộc S và không sắp thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử bằngvới hệ số nhị
thức. Ta có
In where k, if k>n then the result is 0. Pay attention here n!=1.2…n and
convention 0!=1.
2. Tam giác Pascal và sự hình thành của công thức nhị thức Newton.
2. Pascal's triangle and the formation of Newton's binomial formula.
2.1 The formation of the binomial formula.
2.1.Sự hình thành của cơng thức nhị thức.
Special cases of the binomial theorem have been known since at least the 4th
century BC, when the Greek mathematician Euclid mentioned a special case of the
binomial theorem for the exponent of 2. Binomial coefficients, as combinatorial
quantities expressing the number of ways to choose k objects out of a number
without substitution, were of interest to ancient Indian mathematicians. The earliest
reference to this associative problem is Chandahsastra, an Indian lyricist Pingala
(circa 200 BC), which mentions a method for dealing with the problem. The

commentator Halayudha from the 10th century AD explains this method using the
instrument that is Pascal's triangle. In the 6th century AD, Indian mathematicians
expressed the value of this binomial coefficient by the formula which was given in
Bhaskara's Lilavati document of the 6th century 12. The first formula of the
binomial theorem and the table of binomial coefficients, can be found in a work by
Al-Karaji, quoted by the mathematician Al-Samaw'al in his work "al-Bahir" " your.
Al-Karaji described the triangular model of the binomial coefficients and gave
proofs for the binomial theorem and Pascal's triangle by mathematical induction.
The binomial expansion with polynomials of small degree is known in the 13th
century mathematical works of two Chinese mathematicians, Yang Hui and Chu
Shih-Chieh. In 1544, Michael Stifel introduced the term "binomial coefficients"
and showed how to use them to represent through using "Pascal's triangle".
Although many mathematicians worked on the binomial theorem, it still bears the
name of Newton because Newton's ideas do not stop at applying this formula to the
4


case of the exponents being positive integers, but to the exponents. any: positive,
negative, integer, and fractional. It was this new idea that gave great significance to
the development of mathematics. Mathematicians of the time immediately saw the
importance of formulas and formulas were widely applied in many mathematical
studies, especially in algebra and analysis. By the way, it must be added that
Newton's binomial formula was not Newton's greatest contribution to mathematics.
Newton contributed greatly to the beginning of advanced mathematical directions,
that is, calculations for infinitely small quantities. And so Newton is sometimes
considered the founder of mathematical analysis.
Các trường hợp đặc biệt của định lý nhị thức đã được biết đến từ ít nhất là vào
thế kỷ thứ 4 trước Cơng ngunkhi nhà tốn học Hy Lạp Euclid đã đề cập đến
trường hợp đặc biệt của định lý nhị thức cho số mũ 2. Các hệ sốnhị thức, như các
đại lượng tổ hợp biểu thị số cách chọnkđối tượng trong sốnmà không thay thế,

được cácnhà toán học Ấn Độ cổ đại quan tâm. Tài liệu tham khảo sớm nhất về vấn
đề kết hợp này là Chandahsastra, mộtnhà thơ trữ tình Ấn Độ Pingala (khoảng năm
200 trước Cơng ngun), trong đó có đề cập tới một phương pháp giải quyết vấn
đề này. Nhà bình luận Halayudha từ thế kỷ thứ 10 sau Cơng ngun giải thích
phương pháp nàybằng cách sử dụng cơng cụ đó là tam giác của Pascal. Vào thế
kỷ thứ 6 sau Công nguyên, các nhà toán học ẤnĐộ đã biểu thị giá trị của hệ số nhị
thức này theo công thức , điều này được đưa ra trong tài liệu Lilavaticủa
Bhaskara vào thế kỷ thứ 12.Công thức đầu tiên của định lý nhị thức và bảng các
hệ số nhị thức, có thể được tìm thấy trong một tác phẩm của Al-Karaji , được nhà
tốn học Al-Samaw’al trích dẫn trong tác phẩm "al-Bahir" của ông. Al-Karaji đã
mô tảmô hình tam giác của các hệ số nhị thức và đưa ra lời chứng minh cho định
lý nhị thức và tam giác Pascal bằng phương pháp quy nạp toán học. Khai triển nhị
thức với đa thức có bậc nhỏ được biết đến trong các cơng trình toán học của thế kỷ
13 của 2 nhà toán học Trung Quốc là Yang Hui và Chu Shih-Chieh. Năm 1544,
Michael Stifelđã giới thiệu thuật ngữ "hệ số nhị thức" và chỉ ra cách sử dụng
chúng để biểu diễn thông qua cách sử dụng "tam giác Pascal". Tuy có rất nhiều
nhà toán học nghiên cứu ra định lý nhị thức, nhưng nó vẫn mang tên của Newton
vì ý tưởng của Newton không dừng lại ở việc áp dụng công thức này cho trường
hợp các số mũ là số nguyên dương mà cho số mũ bất kì: số dương, số âm, số
nguyên vàphân số. Chính ý tưởng mới đó cho một ý nghĩa lớn lao đối với việc phát
triển của toán học. Các nhà toán học đương thời thấy ngay tầm quan trọng của
công thức và công thức được áp dụng rộng rãi trong nhiều cơng trình nghiên cứu
tốn học, đặc biệt trong đại số và giải tích. Nhân đây cũng phải nói thêm rằng
cơng thức nhị thức Newton khơng phải là sự đóng góp lớn nhất của Newton cho
tốn học. Newton đã đóng góp rất nhiều cho việcmở đầu những hướng tốn học
cao cấp, đó là các phép tính đối với các đại lượng vô cùng bé. Và do vậy đôi
lúcNewton được coi là người sáng lập ra ngành Giải tích toán học.
5

2.2.Newton’s binomial story.
2.2. Câu chuyện về nhị thức Newton.
To remember the merits of Isaac Newton (1642 - 1727) in finding the following
binomial expansion formula, which is called Newton's binomial.
On Newton's tombstone at Westminster Abbey (the resting place of the Royal
family and famous people of England) is also depicted Newton along with
Newton's binomial. So is it possible that mankind did not know anything about the
binomial expansion formula before the invention of this great scientist? According
to texts preserved long before Newton, as early as 200 BC Indian mathematicians
were acquainted with an arithmetical triangular table. In the work of the Chinese
mathematician Zhou Sheng written in 1303, the following table of numbers is
found
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Nguyen Minh Tuan - Newton's binomial and applications Obviously these are the
coefficients of the Newton binomial expansion formula from order 0 to level 8,
although the mathematician did not say anything for the coefficients that follow
and the general formula of them, but according to his tabular method, it is easy to
find a rule that allows new rows to be written. In the first half of the fifteenth
century, the mathematician's book Arithmetic keys was written in Arabic. ,
Xamacan astronomer named Jem Sitt-Jaxedin Casi, one encounters an arithmetic
triangle that the author has more clearly named the binomial coefficients along
with instructions on how to form successive rows of the binomial. With that

instruction (without proof) Casi gave us the possibility of binomial expansion at
any level. It can be considered as the first written statement in the history of
Newton's binomial theorem. In Europe, the arithmetic triangle was first found in
the work of the German mathematician Stiffel M. Published in 1544. In this work
also showed the coefficients of the binomial up to the 17th order. One hundred
years later, completely independent of each other, English mathematicians Borigon
6


(1624), French mathematician Fermat (1636) and French mathematician Pascal
(1654) came up with the perfect formula. about the coefficients of Newton's
binomial. Especially in the work entitled Thesis on the arithmetical triangle
published in 1665, Pascal presented in quite detail the properties of the coefficients
in the arithmetic triangle and since then the arithmetic triangle has been widely
used. and the name Pascal's triangle was born instead of the arithmetic triangle.
Obviously, historically speaking, the arithmetical triangle has been considered by
many Asian mathematicians before Pascal. So where is Newton's role in the
formation of Newton's binomial formula? In 1676, in his first letter to Oden Hiaro President of the Royal Academy of England, Newton gave formula (1) without
explaining how to prove it. Shortly thereafter, in his second letter to the Academy,
Newton made it clear how he arrived at the formula. It turns out that in this way
Newton found Newton's formula in 1665 when he was only 22 years old. But even
so, submitting his formula Newton did not say anything new to contemporary
mathematicians.

Để ghi nhớ công lao của Isaac Newton (1642 – 1727) trong việc tìm ra cơng
thức khai triển nhị thức sau, được gọi là nhị thức Newton,

Trên bia mộ của Newton tại tu viện Wesminster (là nơi an nghỉ của Hoàng gia và
những người nổi tiếng của nước Anh) người ta cịn khắc họa hình Newton cùng với
cả nhị thức Newton. Vậy có phải chăng lồi người đã khơng hề biết gì về cơng

thức khai triển nhị thức trước khi có phát minh của nhà bác học vĩ đại này ? Theo
cácvăn bản còn lưu giữ được từ rất lâu trước Newton, ngay từ 200 năm trước
Cơng ngun các nhà tốn học Ấn Độ đã quen biết với một bảng tam giác số học.
Trong tác phẩm của nhà toán học Trung Quốc Chu Sinh viết từ năm1303 người ta
tìm thấy bảng số sau
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
7


1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Rõ ràng đó là các hệ số của công thức khai triển nhị thức Newton từ cấp 0 đến
cấp 8, dù nhà toán học này đã khơng nói gì cho các hệ số tiếp theo cùng công thức
tổng quát của chúng, nhưng theo cách thức lập bảng củng, ta có thể dễ dàng tìm
ra quy luật cho phép viết được các hàng mới.Vào nửa đầu thế kỉ XV trong tác
phẩm chìa khóa số học viết bằng tiếng Ả rập của nhà toán học, thiên văn
họcXamacan có tên là Giêm Xit-Giaxedin Casi người ta lại gặp tam giác số học
mà tác giả đã gọi tên rõ hơn là các hệ số nhị thức cùng với những chỉ dẫn cách
thành lập các hàng kế tiếp của nhị thức. Với lối chỉ dẫn (khơng chứng minh) đó
Casi đã cho ta khả năng khai triển nhị thức ở một cấp bất kì. Có thể coi đó là sự
phát biểu bằng vănđầu tiên trong lịch sử của định lí về nhị thức Newton. Ở châu
Âu, tam giác số học được tìm thấy đầu tiên trongcơng trình của nhà tốn học
người Đức Stiffel M. Công bố vào năm 1544. Trong công trình này cũng đã chỉ
dẫn ra các hệ số của nhị thức cho đến cấp 17.Gần một trăm năm sau, hồn tồn

độc lập với nhau, Các nhà tốn học người Anh Bơ-rit-gơn (1624), nhà tốnhọc
Pháp Fermat (1636) rồi nhà tốn học Pháp Pascal (1654) đã đưa ra cơng thức
hồn hảo về hệ số của nhị thứcNewton. Đặc biệt trong công trình mang tên Luận
văn về tam giác số học cơng bố vào năm 1665, Pascal đã trìnhbày khá chi tiết về
tính chất của các hệ số trong tam giác số học và từ đó tam giác số học được sử
dụng một cáchrộng rãi và tên tam giác Pascal ra đời thay cho tam giác số học. Rõ
ràng mà nói về mặt lịch sử thì tam giác số học đã được các nhà tốn học Á đơng
xét đến trước Pascal rất nhiều.Vậy vai trị của Newton ở đâu trong q trình hình
thành cơng thức nhị thức Newton ? Năm 1676 trong bức thưthứ nhất gửi Ô-đen
Hiaro – Chủ tịch Viện Hàn Lâm hồng gia Anh, Newton đã đưa cơng thức (1) mà
khơng dẫn giải cách chứng minh. Sau đó ít lâu trong bức thư thứ hai gửi đến Viện
Hàn Lâm, Newton đã trình bày rõ ràng bằng cách nào ơng đi đến cơng thức đó.
Thì ra bằng cách này Newton đã tìm ra cơng thức Newton từ năm 1665 khi mà ông
chỉ mới 22 tuổi. Nhưng dù vậy thì việc đưa trình cơng thức của mình Newton cũng
khơng nói được điều gì mới cho các nhà tốn học đương thời.
2.3.Pascal Triangle
2.3. Tam giác Pascal
The rows of Pascal's triangle are listed by convention starting with the top row
n=0 (row 0). The entries in each row are numbered from the left end with k=0 and
are often staggered relative to the numbers in adjacent rows. The triangle can be
constructed in the following way. In row 0 (top row), there is a unique 1. Each
number of each subsequent row is constructed by adding the number above and to
8


the left with the number above and to the right, treating empty entries as 0. For
example the initial number in the first row (or any other number) ) is 1 (sum of 0
and 1) While the numbers 1 and 3 in the third row are added to make the number 4
in the fourth row. Or we can simply understand it
•In the first row, we write a number 1.

•In the next row, we write two numbers 1.
•Continue to the next row,
1. the first and last digit is always 1,
2. and each number inside is equal to the sum of the two numbers in the row
above.
Example : 1+1=2, 1+2=3, 2+1=3.
We have the following diagram
n=0
1
n=1
1 1
n=2
1 2 1
n=3
1 3 3 1
n=4
1 4 6 4 1
n=5
1 5 10 10 5 1
Consider:
i) Consider the first row, we have 1=,1=.
ii) In the second row, we have 1=, 2=, 1=
iii) In the third row, we have 1=,1=
So the numbers in the nth row of Pascal's triangle consist of (n+1) number

We use Pascal's triangle to expand the expressions
Development

9

Development

We number each row of Pascal's triangle in the order that starts with row 0,
followed by row 1, row 2, and so on. On each row, we arrange the order of
numbers starting with the 0th number, then the 1st digit, then the 2nd digit, and so
on. We'll call the second digit pn,k. From that, the formula to build Pascal's triangle
is
We have the following diagram
n=0
1
n=1
1 1
n=2
1 2 1
n=3
1 3 3 1
n=4
1 4 6 4 1
n=5
1 5 10 10 5 1
We have the general formula is
Trong toán học, tam giác Pascal là một mảng tam giác của các hệ số nhị thức.
Trong phần lớn thế giới phươngTây, nó được đặt theo tên nhà toán học người
Pháp Blaise Pascal, mặc dù các nhà tốn học khác đã nghiên cứunó hàng thế kỷ
trước Pascal ở Ấn Độ, Ba Tư (Iran), Trung Quốc, Đức và Ý.Các hàng của tam
giác Pascal được liệt kê theo quy ước bắt đầu bằng hàng n=0ở trên cùng (hàng 0).
Các mục trong mỗi hàng được đánh số từ đầu bên trái với k=0 và thường được đặt
10

so le so với các số trong các hàng liền kề. Tam giác có thể được xây dựng theo
cách sau. Trong hàng 0 (hàng trên cùng), có một số 1 duy nhất. Mỗi số của mỗi
hàng tiếp theo được xây dựng bằng cách thêm số ở trên và bên trái với số ở trên
và sang bên phải, coi các mục trống là 0. Ví dụ số ban đầu trong hàng đầu tiên
(hoặc bất kỳ số nào khác) là 1 (tổng của 0 và 1), trong khi các số 1 và 3 trong
hàng thứ ba được thêm vào để tạo ra số 4 ở hàng thứ tư. Hay ta có thể hiểu đơn
giản là
•Ở hàng đầu tiên, chúng ta viết một con số 1.
•Ở hàng tiếp theo, chúng ta viết hai con số 1.
•Tiếp tục các hàng tiếp theo,
1. Con số đầu tiên và con số cuối cùng bao giờ cũng là 1,
2. Cịn mỗi con số ở bên trong thì bằng tổng của hai con số đứng ngay ở hàng
phía trên.
Ví dụ:1+1=2, 1+2=3, 2+1=3.

Nhận xét.
i) Xét hang thứ nhất , ta có 1==,1=.
ii)Xét hang thứ hai, ta có 1= , 2=, 1=
iii) Xét hang thứ ba, ta có 1= ,1=
Như vậy các số ở hang thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm (n+1) số

Chúng ta dung tam giác số Pascal để khai triển các biểu thức
Khai triển

11


Khai triển

Chúng ta đánh số mỗi hàng của tam giác Pascal theo thứ tự bắt đầu là hàng số 0,
tiếp đến là hàng số 1, hàng số2, v.v... Còn trên mỗi hàng, chúng ta sắp xếp thứ tự
các con số bắt đầu là con số thứ 0, tiếp đến là con số thứ 1,rồi con số thứ 2, v.v...
Chúng ta sẽ gọi con số thứkở hàng thứ n là . Từ đó suy ra cơng thức để xây dựng
tam giác Pascal là

2.4. Prove the general formula .
2.4. Chứng minh công thức tổng quát .
Now we will prove by induction on variable n the following formula
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo biến số n công thức sau đây
=
With n=0, we have =1= note that 0! equals 1, not 0. Assume the formula holds
true for cases 0 n N. Now we will show that the formula is also true for the case
n=N+1.
Với n=0, chúng ta có =1=, như vậy công thức đúng với trường hợp n=0. Chúng
ta lưu ý rằng 0! bằng 1 chứ không phải bằng 0. Giả sử công thức đúng với các
trường hợp 0 n N. Bây giờ ta sẽ chứng minh công thức cũng đúng với trường hợp
n=N+1.
Indeed, for the case k=0 or k=N+1, then we have
Thật vậy, với trường hợp k=0 hoặc k=N+1 thì khi đó ta có
= =1==
12


With case 1 k N we have = +. According to the inductive assumption, the
formula holds for the case n, so that
Với trường hợp 1 k N ta có = +. Theo giả thiết quy nạp thì cơng thức đúng với
trường hợp n=N, do vậy mà
== =
Thus, we have

Từ đó suy ra được

Thus, we have proved the correct formula for the case n= N+1. In short, by the
principle of induction, we have proved that the formula for the coefficients in
Pascal’s triangle is
Như vậy chúng ta đã chứng minh công thức đúng cho trường hợp n=N+1. Tóm
lại, theo nguyên lý quy nạp thì chúng ta đã chứng minh được cơng thức cho các hệ
số trong tam giác Pascal là
=

2.5. Prove Newton’s binomial formula.
2.5. Chứng minh công thức nhị thức Newton.
Prove. Now we use induction to prove Newton's binomial expansion theorem
Chứng minh. Bây giờ chúng ta dung quy nạp để chứng minh định lý khai triển
nhị thức Newton

With n=0, n=1 it is obvious that we have something to prove. Assume the
formula is correct in the case of 0 n N, with N, now we will go to prove it
correctly in case n=N+1.
Với n = 0 hoặc n = 1 thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh. Giả sử cơng
thức đúng trong trường hợp 0 n N, N, bây giờ ta sẽ đi chứng minh nó đúng trong
trường hợp n = N + 1.
13


Realy, we have

Notice that according to Pascal's triangle construction formula, we have
Chú ý rằng theo công thức xây dựng tam giác Pascal, chúng ta có
Thence inferred

So we have proved the correct formula for the case n=N+1. By the principle of
induction, we have proved Newton's binomial expansion theorem.
Vậy chúng ta đã chứng minh công thức đúng cho trường hợp n=N+1.Theo
nguyên lý quy nạp thì chúng ta đã chứng minh xong định lý khai triển nhị thức
Newton.

3.Some basic properties
3. Một số tính chất cơ bản
3.1. Recalling Newton's binomial expansion
3.1. Nhắc lại khai triển nhị thức Newton
We will first have the Newton binomial expansion formula stated as follows.
Trước tiên ta sẽ có cơng thức khai triển nhị thức Newton được phát biểu như
sau.
Theorem
Định lý
With a, b being real numbers and n being positive integers, we have

Convention . The above formula is called Newton's binomial formula
In the expression on the right hand side of formula (1) we have
a) Number of terms là n+1.

14


b) The number of terms with the exponent of a decreasing from n to 0, the
exponent of b increasing from 0 to n, but the sum of the exponents of a and b in
each term is always n.
c) The coefficients of each term equidistant from the first and last two terms are
equal
Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1) ta có

a) Số các hạng tử là n+1.
b)Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của btăng dần từ 0
đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
Consequences
Hệ quả
1. With a=b=1, we have
2. With a = 1; b = -1, we have 0=
Basic formular as relating to newton binomial development.
Một số công thức cơ bản liên quan tới khai triển nhị thức Newton

Also we have some other recipes as following.
Ngồi ra ta cịn có một số cơng thức khác như sau.

In addition, from the formula k. we can expand the following formula
Ngoài ra từ công thức k. ta mở rộng được 2 công thức sau đây
15


3.2. Signs of problems using Newton's binomial in proof of equality problems.
3.2.Dấu hiệu các bài toán sử dụng nhị thức Newton trong các bài toán chứng minh
đẳng thức
The following are some signs to help us recognize the types of math in this
section, these types of math will be guided in more detail in the following section.
Some of the signs are
Sau đây là một số dấu hiệu giúp ta nhận biết được các dạng toán trong phần
này,các dạng toán này sẽ được hướng dẫn kỹ hơn ở phần sau. Một số dấu hiệu là
+When it is necessary to prove an equality or inequality where and i are
consecutive natural numbers.
+Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có với i là số tự nhiên

liên tiếp.
+ In the expression can then we use the derivative (i∈N), in addition, if
+Trong biểu thức có thì ta dùng đạo hàm, ngồi ra nếu:
•In the expression then we multiply both sides by and then take the derivative.
•Trong biểu thức có thì ta nhân 2 vế với rồi lấy đạo hàm.
•In the expression then we choose the appropriate value of x=a.
•Trong biểu thức có thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp.
• In the expression with , we take the definite integral over [a;b] suitable
• Trong biểu thức có thì ta lấy tích phân xác định trên [ a,b ] thích hợp
• If the problem is for expansion

then the coefficient of is such that the equation a (n−i)+bi=m has a solution i∈N
• Nếu bài toán cho khai triển

16


thì hệ số của là sao cho phương trình a(n-i)+bi=m có nghiệm i∈N
•reaches its maximum value when or i= with n odd, i= with n even.
• đạt giá trị lớn nhất khi i hay i= với n lẻ, i= với n chẵn.
So we have learned the signs to know when we use Newton's binomial formula,
here we will go to solve the types of exercises in this part.
Như vậy chúng ta đã tìm hiểu những dấu hiệu cần biết khi sử dụng công thức nhị
thức Newton, sau đây chúng ta sẽ đi giải các dạng bài tập ở phần này.
4. Properties of biomial coefficients.
4. Tính chất của hệ số nhị thức.
 + =
Example: Find ?
=1
=a+b=a+b

= + ab +
= + +
 Polynomial formula

).() =



Some formulas and proofs:


Proof:
Consider: =
 . .()
We will compare the coefficient of in both sides
Chúng ta sẽ so sánh hệ số của ở cả hai phía
The coefficient of the left hands side is :
Hệ số của bên tay trái là:
17


The coefficient of the right hands side is
Hệ số của mặt phải là:
The right hand side:
= . ...
=
=
= =

The right hand side: + +…+

= + + = =
Proof formula :
(+...+ )n = . . . . . (1)
We will prove (1) by Mathematical induction on n.
Ta sẽ chứng minh (1) bằng quy nạp toán học trên n.
+ Base step: Let n =1. The left hand side of (1) is . This means (+...+ )n =
Let n = k + 1 we need to prove (+...+ )n = (+...+ )n
= ()k
On the other hand, we have
C(n,) - C(k,) = . =
So (+...+ + )n =
Therefore (1) true when n = k + 1.
5. Mathematical forms related to Newton's Binomial.
5. Các dạng toán liên quan tới nhị thức Newton.
5.1. The problem of binomial expansion and the proof of fundamental equality.
5.1. Bài toán khai triển nhị thức và chứng minh đẳng thức cơ bản.
First, we will learn a fast expansion algorithm for Newton as follows.
Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu một thuật toán khai triển nhanh như sau.
IMPLEMENTATION STEPS.
18


Step 1: Write Pascal's triangle to the nth line, to get the coefficient of the
binomial Newton .
Step 1: Viết tam thức Pascal xuống dòng thứ, để nhận hệ số của nhị thức
Newton .
Step 2: At the beginning of the line, we write the monomial as Newton binomial
expansion.
Step 2: Ở đầu dòng, ta viết đơn thức là nhị thức Newton expansion.
Step 3: Multiply the mononomials at the beginning of each column by the

remaining mononomials on each row and then add the results together, we get the
expansion result and have the following:
Step3: Nhân các đơn thức ở đầu mỗi cột với các đơn thức còn lại trên mỗi hàng
rồi cộng các kết quả lại với nhau, ta được kết quả khai triển và có như sau:
1.

1
1b 1c
1b2 2bc 1c
1b2 3b2c 3bc2 1c2
…

After adding, we get:
=
Therefore: with 0 , (p+1) th term in the expansion we have:




Now let's take a look at some illustrative examples
Bây giờ ta sẽ cùng đi tìm hiểu các ví dụ minh họa

Question 1:
Finding the coefficient of the term containing x 4 in the expansion P(x)=
(3x2+x+1)10
Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển P (x) =(3x2+x+1)10
Solution:
19

With 0 10 , the general term of the expansion (Px) = (3x2+x+1)10 is :
=
We get : p - q +20 -2p = 4 ⇔ p + q = 16. Because 0 10 ,we have :
(p;q) ∈ {(8;8) ; (9;7) ; (10;6)}
So the coefficient of x4 in the expansion P(x) = (3x2 + x + 1 )10 is :
.
Question 2:Finding terms containing x13 in the polynomial expansion of
(x+x2+x3)10 ?
Câu 2: Tìm các số hạng chứa x13 trong khai triển đa thức của(x+x2+x3)10?
Solution:
With 0 10 , the general term of the expansion (Px) = (x+x2+x3)10 is :
Follow the consider, we have 10 + p + q = 13 ⇔ p + q = 3 ,because 0 10 so (p;q) ∈
{(2;1) ; (3;0)}.
Therefore, the coefficient x13 in the expansion is
+=210.
Question 3: Finding the coefficient of x8 in the polynomial expansion of
[1 + x2(1 - x)8].
Câu 3: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của
[1 + x2 (1 - x) 8].
Solution 1: We have
f(x) = [x2(1-x)]k = x2k[]k .
So we have the coefficient of x8 that satisfies :
⇒
Hence, the coefficient in the expansion of x8 is
+ = 238
Solution 2 : We have :
f(x) = + … + + + … +
We see that x8 exists only in terms:
20

4th term
th
2. 5 term
Hence, the coeficient equivalent to = + = 238.
1.

Question 4: With n being a positive interger and x , consider the expression . How
many n are there such that the expansion of the above epression has a free term of
0?
Câu 4: Với n là một liên số dương và x ≠ 0, xét biểu thức Có bao nhiêu n ≤ 2018
sao cho khai triển của biểu thức trên có số hạng tự do bằng 0?
Solution
=
So the general term of the above expansion is :
T=
This term is a free term when 3n + 5k - 10h = 0 ⇔ 3n = 5(2h - k).
If n is not divisiable by 5 then the expansion will contain no free terms, that mean
the free term is 0. And when n is divisiable by 5 then h = , k = , the free term is .
it is not satisfied .
Question 5: Find the coefficient of x6 in the expansion into the polynomial?
Câu 5: Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức?
Solution:
We consider expansion
and expansion

So

The term of the expansion contains when j+k=6. We denote [] as the coefficient of
x6, noting that

21


Then we consider the following cases
1. If k=0 => j=6 => []=
2. If k=1 => j=5 => []=
3, If k=2 => j=4 => []=
4, If k=3 => j=3 => []=
5, If k=4 => j=4 => []=
6, If k=5 => j=5 => []=
7, If k=6 => j=6 => []=
So, the coefficient [] in the expansion into the polynomial is .
Question 6: Let's expand . Find the number of integer values of n with such that
there exists ksatisfying .
Câu 6: Hãy khai triển . Tìm số giá trị nguyên của n với n≤2018 sao cho tồn tại k
(0≤k≤n-1) thỏa mãn.
Solution: The first, we have:
When we infer with k=0,1,2,3,…,n. So

Because 0k n-1 should infer n 2.
1. If n=3m, m N, then k= 2m- not belong to N.
2. If n=3m+1, m N, then k= = 2m+ N.
The problem is proved.
5.2. The problem of the largest coefficient.
5.2. Bài toán về hệ số lớn nhất.
For problems that require finding the largest coefficient when expanding the
binomial into a polynomial, we will follow the following method.
22

Đối với các bài tốn u cầu tìm hệ số lớn nhất a_k khi khai triển nhị thức thành
đa thức ta làm theo cách sau
Method:
i) Set up a system of inequalities
i) Thiết lập một hệ bất phương trình
ii) Solve the above system of inequalities to find the integers k satisfying.
ii) Giải hệ bất phương trình trên để tìm các số nguyên k thỏa mãn.
iii) Substitute the values of k just found to find the maximum coefficient.
iii) Thay các giá trị của k vừa tìm được để tìm hệ số lớn nhất.
Here are the illustrative problems.
Question 1: Polynomial expansion
Câu 1: Khai triển đa thức

Find max (, , … ) ?
Proof: Set is the largest coefficient of the expansion, we have:
From here we have the system of equations:



Max (, ,…,) = = =126720.

Question 2: For expansion ( = + x + x +…+, inside n and a0, a1, a2,..., an are real
numbers . Let S be the set containing the natural numbers n so that a 10 is the largest
of the numbers in a a0, a1, a2,..., an . What is the sum of the values of the elements of
S?

23

Câu 2: Cho khai triển ( = + x + x +…+, trong n và a0, a1, a2,..., an là các số
thực. Gọi S là tập hợp chứa các số tự nhiên n sao cho a10 là số lớn nhất trong các
số a0, a1, a2,..., an Tổng các giá trị của các phần tử của S là?
Proof :
We have
The general term of the expansion is T k = , so the coefficient of T k is a10 = . For a10
to be the largest of the numbers a0 , a1, a2, ... , an , then:
39 .
Therefore S = . The sum of the values of the elements of S is T = 39 +40 +41 +42
+ 43 = 205.
5.3. Prove the equality.
5.3. Chứng minh các đẳng thức.
5.3.1 Basic equality.
5.3.1. Các đẳng thức cơ bản
The problems here are simply applying properties of combinatorial formulas.
Các bài toán ở đây chỉ đơn giản là áp dụng các tính chất của cơng thức tổ hợp.
+ Symmetry Identity: for all positive numbers m,n such that 0 , then we have ,
this property is called symmetry Identity.
+ Nhận dạng đối xứng: với mọi số dương m, n sao cho 0 ≤n≤m thì ta có (m¦n) =
(m¦ (m-n)), tính chất này được gọi là nhận dạng đối xứng.
Proof: we have = = =
Question 1: With m Q and n is positive integers, then we have:
+
Proof:
With n is natural numbers we get n! = n. (n - 1)! Then:
(n - 1)! =
= = .n
We have
= (m.(m - 1) . . . (m - (n - 1) +1))
Replace m with m - 1 we get

.
= . ((m - 1)(m - 2) . . . (m - n +1))
(1)
24


In other face we have:
= =
Replace m with m - 1 we have
=
=
=
From (1) we get:
+ = ( ) + ( . ((m - 1)(m - 2) . . . (m - n +1)) )
= . ((m - 1)(m - 2) . . . (m - n + 1))
=
=

=
+Absorption Identity : For any positive integer n , k such that 0 . This property is
called the "absorption" rule - Absorption.
+ Nhận dạng hấp thụ: Với bất kỳ số nguyên dương n, k sao cho 0 Tính chất này
được gọi là quy luật “hấp thụ” - Absorb.
Proof. The proof of this property is very simple, we just need to apply the factorial
formula. We have:
Bằng chứng. Việc chứng minh tính chất này rất đơn giản, chúng ta chỉ cần áp
dụng công thức giai thừa. Chúng ta có:

+Trinomial Revision :For numbers m N and N satisfying we have = . This
property is called a subset of a subset.

+ Sửa lại tam thức: Với các số m∈Q, a∈ N và i∈ N thỏa mãn i ≥a ta có= . Thuộc
tính này được gọi là một tập hợp con của một tập hợp con.
Proof : Similar to the above property, we also use the transformations from the
factorial formula. We have
25