Toán RR(BT+bài giải)exercise7 probability

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
Bài tập chương 7
Xác suất rời rạc
1 Dẫn nhập
Trong chương bài tập này, chúng ta sẽ luyện tập với bài tập cơ bản về Xác suất rời rạc.
Sinh viên cần ôn lại lý thuyết của chương 7 trước khi làm bài tập bên dưới.
2 Bài tập mẫu
Câu 1.
Xác suất để chúng ta có được 4 mặt số khi thảy đồng xu cân bằng 5 lần là bao nhiêu, nếu
lần thảy đầu tiên cho ra mặt số?
Lời giải.
Đây là một dạng bài toán tìm xác suất có điều kiện.
Gọi F là sự kiện lần thảy đầu tiên xuất hiện mặt số, E là sự kiện có 4 mặt số sau tổng
cộng 5 lần thảy.
Sau khi đã thảy lần đầu tiên được mặt số, 4 lần thảy tiếp theo để thành công phải là một
trong các trường hợp {SSSH, SSHS, SHSS, HSSS}, trong số 2
4
khả năng xảy ra.
Vậy xác suất cần tìm là
4
2
4
=
1
4
. ✷
Câu 2.
Một thùng sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính phẩm và 5 phế phẩm. Trong
quá trình vận chuyển bị mất 2 sản phẩm không rõ chất lượng, ta lấy ngẫu nhiên 2 sản
phẩm trong 18 sản phẩm còn lại.

a) Tìm xác suất 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm
b) Biết 2 sản phẩm lấy ra là chính phẩm, tìm xác suất để 2 sản phẩm bị mất có một chính
phẩm và một phế phẩm
Lời giải.
a) Gọi A
i
là biến cố sản phẩm bị mất có i chính phẩm, i=(0,1,2)
P (A
0
) =
C
2
5
C
2
20
=
10
190
=
1
19
.
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 1/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
P (A
1
) =
C

1
15
× C
1
5
C
2
20
=
75
190
=
15
38
.
P (A
2
) =
C
2
15
C
2
20
=
105
190
=
21
38

.
Gọi A là biến cố 2 sản phẩm lấy ra là chính phẩm, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
P (A) = P (A
0
) × P (A|A
0
) + P (A
1
) × P (A|A
1
) + P (A
2
) × P (A|A
2
)
P (A|A
0
) =
C
2
15
C
2
18
=
105
153
.
P (A|A
1

) =
C
2
14
C
2
18
=
91
153
P (A|A
2
) =
C
2
13
C
2
18
=
78
105
T hus P (A) =
1
19
.
105
153
+
15

38
.
91
153
+
21
38
78
105
b) Áp dụng công thức Bayes ta có:
P (A
1
|A) =
P (A|A
1
) × P (A
1
)
P (A)
=
105
190
=
21
38
✷
Câu 3.
Một cung thủ thi đấu Olympic có xác suất bắn trúng hồng tâm là 80%.Giả sử mỗi lần bắn
là độc lập với nhau. Nếu cung thủ này bắn 6 mũi tên, xác suất trong các trường hợp sau
sẽ như thế nào?

a) Cú trúng hồng tâm đầu tiên là phát bắn thứ 3.
b) Cung thủ bắn hụt hồng tâm ít nhất một lần.
c) Phát trúng hồng tâm đầu tiên là phát thứ 4 hoặc thứ 5.
d) Cung thủ bắn được chính xác 4 phát trúng hồng tâm.
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 2/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
e) Cung thủ bắn được ít nhất 4 phát trúng hồng tâm.
f) Cung thủ bắn được nhiều nhất 4 phát trúng hồng tâm.
Lời giải.
Sự kiện bắn trúng hồng tâm hay không của cung thủ có thể xem là một phép thử
Bernoulli.
a) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình hình học.
p(X = 3) = (1 − 0.8)
3−1
0.8 = 0.032
b) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình nhị thức.
Xác suất để bắn trúng hồng tâm cả 6 phát là:

6
6

0.8
6
0.2
0
= 0.262144
Vậy xác suất để bắn hụt ít nhất một lần là: 1 − 0.262144 = 0.737856
c) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình hình học.
p = p(X = 4) + p(X = 5) = (1 − 0.8)

4−1
0.8 + (1 − 0.8)
5−1
0.8 = 0.00768
d) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình nhị thức.
p =

6
4

0.8
4
0.2
2
= 0.24576
e) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình nhị thức.
p =

6
4

0.8
4
0.2
2
+

6
5


0.8
5
0.2
1
+

6
6

0.8
6
0.2
0
= 0.24576 + 0.393216 + 0.262144 = 0.90112
f) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình nhị thức.
Xác suất để bắn được nhiều nhất 4 phát là bù của bắn trúng 5 hoặc 6 phát.
p = 1 − 0.393216 − 0.262144 = 0.34464
✷
3 Bài tập cần giải
Câu 4.
Một hộp có 6 bi đỏ, 4 bi xanh và 3 bi vàng.
1. Rút ngẫu nhiên ra 1 bi. Tính xác suất nhận được bi xanh.
2. Rút ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất cả 3 bi nhận được cùng màu.
3. Rút ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác xuất có ít nhất 1 bi đỏ
4. Rút ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất 3 bi nhận được có 3 màu khác nhau.
Lời giải.
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 3/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
1. Xác suất bóng nhận được có màu xanh là

P =
#E
#S
=
4
6 + 4 + 3
=
4
13
.
2. • Gọi E là sự kiện "cả 3 bi nhận được cùng màu."
• Gọi E
1
là sự kiện "cả 3 bi nhận được cùng màu đỏ."
• Gọi E
2
là sự kiện "cả 3 bi nhận được cùng màu xanh."
• Gọi E
3
là sự kiện "cả 3 bi nhận được cùng màu vàng."
P (E) = P (E
1
) + P (E
2
) + P (E
3
)
=
#E
1

#S
+
#E
2
#S
+
#E
3
#S
=
C
3
6
C
3
13
+
C
3
4
C
3
13
+
C
3
3
C
3
13

.
3. Gọi E là sự kiện 3 bi lấy ra có ít nhất một bi đỏ
Gọi E
i
là sự kiện 3 bi lấy ra có i bi đỏ (i = 1,2,3), khi đó ta có E = E
1

E
2

E
3
. Các biến
cố E
1
, E
2
, E
3
xung khắc từng đôi nên
P (E) = P (E
1

E
2

E
3
) = P (E
1

) + P (E
2
) + P (E
3
)
Trong đó
P (E
1
) =
C
1
6
× C
2
4
C
3
13
+
C
1
6
× C
2
3
C
3
13
+
C

1
6
× C
1
4
× C
1
3
C
3
13
.
P (E
2
) =
C
2
6
× C
1
4
C
3
13
+
C
2
6
× C
1

3
C
3
13
.
P (E
3
) =
C
3
6
C
3
13
.
P (E) = P (E
1
) + P (E
2
) + P (E
3
)
4. Xác suất 3 bóng nhận được có 3 màu khác nhau là
P (E) =
#E
#S
=
C
1
6

× C
1
4
× C
1
3
C
3
13
.
✷
Câu 5.
Trong một kho chứa tivi có các số liệu:
Hiêu \ Inches 21 35 45
Sony 8 7 5
LG 5 8 9
Samsung 6 7 3
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 4/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
Chọn ngẫu nhiên một tivi (TV) để kiểm tra. Tìm xác suất để TV chọn ra là TV Sony hoặc
TV 45 inches.
Lời giải.
Gọi A là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV Sony
Gọi B là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV 45 inches
Gọi C là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV Sony hoặc TV 45 inches
Khi đó C = A

B, do đó P (C) = P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A.B)
Từ bảng số liệu ta có: P (A) =

20
18
, P (B) =
17
18
, P (A.B) =
5
18
Vậy P (C) =
20
18
+
17
18
−
5
18
=
35
18
✷
Câu 6.
Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, lấy lần lượt từng bi một cho đến khi được 2 bi xanh thì
thôi. Tìm xác suất để lấy đến viên thứ 3 thì thôi.
Lời giải.
Gọi A
i
là biến cố lấy được bi xanh ở lần thứ i (i=1,2,3)
Gọi A
i

là biến cố đối lập với biến cố A
i
(i=1,2,3)
Gọi A là biến cố lấy đến viên thứ 3 thì thôi.
Khi đó A = A
1
A
2
A
3

A
1
A
2
A
3
Hai biến cố A
1
A
2
A
3
và A
1
A
2
A
3
xung khắc nên P (A) = P (A

1
A
2
A
3
) + P (A
1
A
2
A
3
)
P (A
1
A
2
A
3
) = P (A
1
) × P (A
2
|A
1
) × P (A
3
|A
2
A
1

) =
3
5
×
2
4
×
1
3
=
1
10
P (A
1
A
2
A
3
) = P (A
1
) × P (A
2
|A
1
) × P (A
3
|A
2
A
1

) =
2
5
×
3
4
×
1
3
=
1
10
Vậy P (A) =
1
10
+
1
10
= 0.2 ✷
Câu 7.
Giả sử 34% số người trưởng thành hút thuốc lá. Một cuộc điều tra cho thấy 67% người
hút thuốc lá và 17% người không hút thuốc lá bị bệnh phổi trước 60 tuổi.
a) Giải thích tại sao những con số trên cho thấy việc bị bệnh phổi và hút thuốc lá không
độc lập với nhau?
b) Xác suất để lựa chọn ngẫu nhiên một người trưởng thành mắc bệnh phổi là bao nhiêu?
Lời giải.
Gọi E là biến cố hút thuốc lá.
Gọi F là biến cố bị bệnh lao phổi.
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 5/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
Theo đề bài, ta có:
p(E) = 0.34
p(F |E) = 0.67 và
p(F |E) = 0.17
a) Nếu hai sự kiện hút thuốc lá và bị lao phổi là độc lập với nhau thì:
p(F |E) = p(F ) = p(F |E)
Tuy nhiên, sự thật p(F |E) = p(F |E) nên chúng không thể độc lập với nhau được.
b) Ta có xác suất để bị bệnh phổi trong cộng đồng là:
p(F ) = p(F ∩ E) + p(F ∩ E)
= p(F |E) × p(E) + p(F |E) × p(E)
= 0.67 × 0.34 + 0.17 × (1 − 0.34)
= 0.34
✷
Câu 8.
Một sinh viên muốn đến được trường phải đi qua 5 ngã tư có đèn giao thông, và phải dừng
lại nếu có đèn đỏ. Sinh viên này ước lượng mô hình xác suất cho số đèn đỏ mà người này
gặp phải, như sau.
X = số đèn đỏ 0 1 2 3 4 5
P (X = x) 0.03 0.27 0.14 0.36 0.05 0.15
a) Sinh viên này nên kỳ vọng sẽ gặp bao nhiêu đèn đỏ mỗi ngày?
b) Độ lệch chuẩn là bao nhiêu?
Lời giải.
a) E(X) = 0 × 0.03 + 1 × 0.27 + 2 × 0.14 + 3 × 0.36 + 4 × 0.05 + 5 × 0.15 = 2.58
Vậy người này kỳ vọng sẽ gặp 2.25 đèn đỏ mỗi ngày
b) V (X) = (0 − 2.58)
2
× 0.03 + (1 − 2.58)
2
× 0.27 + (2 − 2.58)

2
× 0.36 + (3 − 2.58)
2
× 0.14 +
(4 − 2.58)
2
× 0.05 + (5 − 2.58)
2
× 0.15 =
✷
Câu 9.
Ta có thể sử dụng mô hình xác suất dựa trên phép thử Bernoulli cho các tình huống được
hay không? Giải thích.
a) Thảy 50 con xúc xắc để tìm phân bố số dấu chấm trên mặt
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 6/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
b) Khi kiểm tra 120 người thì khả năng đa số có nhóm máu A là bao nhiêu, nếu ta biết
nhóm máu A chiếm 43% trong dân số?
c) Chia 5 lá từ bộ bài và nhận được toàn bộ là cơ. Khả năng thế nào?
d) Ta muốn dự đoán kết quả bỏ phiếu về chính sách mới của trường, bằng cách chọn 500
trong tổng số 3000 sinh viên để xem có bao nhiêu người ủng hộ.
e) Một công ty nhận thấy có 10% gói hàng không được niêm phong đúng quy chuẩn. Nếu
lấy ra 24 gói hàng, có khả năng có hơn 3 gói chưa được niêm phong không?
Lời giải.
a) Không. Vì việc kết quả của việc thảy xúc xắc có đến 6 khả năng xảy ra, không chỉ là 2
khả năng như phép thử Bernoulli yêu cầu.
b) Không. Vì các lần thử không độc lập với nhau. Nhóm máu có tính di truyền, do đó giả
sử ta kiểm tra người cha có nhóm máu A, người mẹ có nhóm máu A, thì dẫn đến xác
suất có nhóm máu A của con là rất cao.

c) Không. Tuy một lần chia bài có 2 kết quả cơ hoặc không có cơ. Xác suất có cơ qua mỗi
lần chia bài thay đổi và việc chia lá trước có cơ hay không ảnh hưởng đến xác suất lần
chia lá sau đó.
d) Không. Tuy thoạt nhìn ta có thể nghĩ đó là phép thử Bernoulli, trên thực tế có một
nguyên tắc trong thống kê: “Nếu ta lấy mẫu với số lượng dưới 10% quần thể, thì khi đó
mới có thể xem mẫu tuân theo phép thử Bernoulli”. Trong trường hợp này, số lượng mẫu
chiếm đến 1/6 nên mẫu không được xem là thỏa mãn phép thử Bernoulli. (Tham khảo
thêm tại trang số 9 của />10-Bernoulli-Trials-and-the-Binomial)
e) Được. Với hai kết quả của một thí nghiệm, các lần kiểm tra là hoàn toàn độc lập và
có cùng xác suất không đổi, sự kiện mở hộp kiểm tra hoàn toàn phù hợp với phép thử
Bernoulli.
✷
Câu 10.
Một đề thi trắc nghiệm có 20 câu, trong đó mỗi câu có 5 cách trả lời và chỉ có 1 cách đúng.
Sinh viên A không học bài nên làm bài một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất sinh viên A
làm đúng 12 câu.
Lời giải.
Xác suất để sinh viên làm đúng 1 câu là P =
1
5
Bài toán thỏa mãn giả thiết định lý Bernoulli vớn n = 20, P = 0.2. Xác suất để sinh viên
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 7/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
làm đúng 12 câu là:
P
(20)
12
= C
20

12
P
12
(1 − P )
20−12
= C
20
12
0.2
12
0.8
8
= 0.00009
✷
Câu 11.
Một giá súng có 10 cây súng, trong đó có 6 cây loại 1 và 4 cây loại 2. Xạ thủ bắn trúng
đích ở mỗi phát súng loại 1 và loại 2 tương ứng là 0.8 và 0.6. Xạ thủ A chọn ngẫu nhiên 1
cây và bắn 5 phát. Tính xác suất có đúng 3 phát trúng.
Lời giải.
Gọi A
i
là biến cố xạ thủ chọn súng loại i (i=1,2)
P (A
1
) =
6
10
= 0.6; P (A
2
) =

4
10
= 0.4.
Ta có 2 biến cố A
1
, A
2
là một hệ đầy đủ
Gọi A là biến cố xạ thủ bắn năm phát trúng 3 phát. Áp dụng công thức xác suất toàn
phần ta có:
P (A) = P (A
1
)P (A|A
1
) + P (A
2
)P (A|A
2
)
Nếu xạ thủ chọn súng loại 1, ta có lược đồ Bernoulli n=5, p=0.8
P (A|A
1
) = C
3
5
0.8
3
0.2
2
Nếu xạ thủ chọn súng loại 1, ta có lược đồ Bernoulli n=5, p=0.6

P (A|A
2
) = C
3
5
0.6
3
0.4
2
Vậy P (A) = C
3
5
0.8
3
0.2
2
+ C
3
5
0.6
3
0.4
2
✷
Câu 12.
Giả sử rằng A và B là các sự kiện xung khắc với P (A) = 0.4 và P (B) = 0.5. Tính xác
suất của các sự kiện sau
1. Cả A và B xảy ra đồng thời.
2. Ít nhất một trong hai sự kiện xảy ra.
3. A xảy ra nhưng B không xảy ra.

Lời giải.
1. P (A

B) = 0. (vì A và B xung khắc nên A

B = Ø.)
2. P (A

B) = P (A) + P (B) = 0.4 + 0.5 = 0.9. (vì A và B xung khắc)
3. P (A) = P (A

B) + P (A \B ) = P (A \B ) . Vậy P (A \B ) = 0.4.
✷
Câu 13.
Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 6 quả mới và 4 quả đã sử dụng
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 8/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
+ Lần 1 lấy ngẫu nhiên 1 quả thi đấu xong bỏ lại
+ Lần 2 lấy ngẫu nhiên 2 quả thi đấu Tìm xác suất 2 quả lấy ra đều mới
Lời giải.
Gọi A
1
là biến cố quả bóng bàn lấy ra thi đấu là quả mới
A
1
là biến cố quả bóng bàn lấy ra thi đấu là quả đã sử dụng
P (A
1
) =

C
1
6
C
1
10
=
3
5
P (A
1
) =
C
1
4
C
1
10
=
2
5
Gọi A là biến cố 2 quả bóng bàn lấy ra thi đấu lần 2 là quả mới. Áp dụng công thức XS
toàn phần ta có:
P (A) = P (A
1
)P (A|A
1
) + P (A
1
)P (A|A

1
), trong đó
P (A|A
1
) =
C
2
5
C
2
10
=
10
45
=
2
9
P (A|A
1
) =
C
2
6
C
2
10
=
15
45
=

1
3
Vậy P (A) =
3
5
×
2
9
+
2
5
×
1
3
=
4
15
✷
Câu 14.
Hai chiếc hộp hình thức giống nhau
+ Hộp 1 có 7 bi đỏ và 3 bi xanh
+ Hộp 2 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 2 bi.
Tìm xác suất
a) 2 bi lấy ra là 2 bi đỏ
b) Biết 2 bi lầy ra là 2 bi đỏ, tìm xác suất để 2 bi đó thuộc hộp 1
Lời giải.
a) Gọi A
i
là biến cố hộp lấy ra là hộp i (i=1,2)
P (A

1
) =
1
2
= 0.5; P (A
2
) =
1
2
= 0.5.
Ta có 2 biến cố A
1
, A
2
tạo thành hệ đầy đủ
Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra là đỏ. Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
P (A) = P (A
1
)P (A|A
1
) + P (A
2
)P (A|A
2
)
P (A|A
1
) =
C
2

7
C
2
10
=
21
45
=
7
15
P (A|A
2
) =
C
2
6
C
2
10
=
15
45
=
1
3
Vậy P (A) =
1
2
.
7

15
+
1
2
.
1
3
=
12
30
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 9/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
b) Áp dụng công thức Bayes ta có:
P (A
1
|A) =
P (A|A
1
) × P (A
1
)
P (A)
=
1
2
.
7
15
.

30
12
=
7
12
✷
Câu 15.
Một thiết bị có 2 bộ phận hoạt động độc lập. Xác suất hỏng của bộ phận thứ i là 0,i (XS
hỏng 0.1 cho bộ phận 1, 0.2 cho bộ phận 2). Nếu có đúng một bộ phận hỏng thì xác suất
thiết bị đó bị hỏng là 0.6. Nếu cà 2 bộ phận bị hỏng thì thiết bị chắc chắn hỏng.
a) Tìm XS để thiết bị hỏng
b) Tìm XS có ít nhất một bộ phận bị hỏng
Lời giải.
a) Gọi A
i
là biến cố bộ phận thứ i bị hỏng (i=1,2)
A
i
là biến cố đối lập với biến cố A
i
P (A
1
) = 0.1, P (A
2
) = 0.2
P (A
1
) = 0.9, P (A
2
) = 0.8

Gọi B
i
là biến cố trong 2 bộ phận có i bộ phận bị hỏng (i=1,2)
B
0
= A
1
.A
2
, vì A
1
.A
2
là hai biến cố độc lập nên
P (B
0
) = P (A
1
.A
2
) = P (A
1
).P (A
2
) = 0.9 × 0.8 = 0.72
B
1
= A
1
A

2

A
1
A
2
, hai biến cố A
1
A
2
và A
1
A
2
xung khắc nên
P (B
1
) = P (A
1
A
2

A
1
A
2
) = P (A
1
A
2

) + P (A
1
A
2
) Các biến cố A
1
và A
2
độc lập, A
1
và A
2
độc lập nên
P (B
1
) = P (A
1
) × P (A
2
) + P (A
1
) × P (A
2
) = 0.1 × 0.8 + 0.9 × 0.2 = 0.26
B
2
= A
1
.A
2

, vì A
1
.A
2
là hai biến cố độc lập nên
P (B
0
) = P (A
1
.A
2
) = P (A
1
).P (A
2
) = 0.1 × 0.2 = 0.02
Các biến cố B
0
, B
1
, B
2
là một hệ đầy đủ
Gọi A là biến cố thiết bị bị hỏng, áp dụng công thức XS toàn phần ta có:
P (A) = P (B
0
)P (A|B
0
) + P (B
1

)P (A|B
1
) + P (B
2
)P (A|B
2
)
P (A|B
0
) = 0 P (A|B
1
) = 0.6 P (A|B
2
) = 1
Vậy P (A) = 0.72 × 0 + 0.26 × 0.6 + 0.02 × 1 = 0.176
b) Gọi B là biến cố có ít nhất một bộ phận hỏng
B là biến cố đối lập với biến cố B, tức là biến cố 2 bộ phận không hỏng.
B = A
1
.A
2
, vì A
1
.A
2
là hai biến cố độc lập nên
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 10/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
P (B) = P (A

1
.A
2
) = P (A
1
).P (A
2
) = 0.9 × 0.8 = 0.72
P (B) = 1 − P (B) = 1 − 0.72 = 0.28
✷
Câu 16.
Hai quả tên lửa bắn vào một mục tiêu độc lập. XS để quả thứ nhất và quả thứ hai bắn
trúng mục tiêu lần lượt là 0.6 và 0.7. Nếu có một quả bắn trúng mục tiêu thì mục tiêu bị
diệt với XS là 0.8. Nếu cả hai quả trúng mục tiêu thì mục tiêu chắc chắn bị diệt. Tính XS
mục tiêu bị diệt.
a) Tìm XS để thiết bị hỏng
b) Tìm XS có ít nhất một bộ phận bị hỏng
Lời giải.
Gọi A
i
là biến cố quả tên lửa thứ i bắn trúng mục tiêu (i=1,2)
A
i
là biến cố đối lập với biến cố A
i
P (A
1
) = 0.6, P (A
2
) = 0.7

P (A
1
) = 0.4, P (A
2
) = 0.3
Gọi B
i
là biến cố trong 2 quả tên lửa có i quả tên lửa bắn trúng mục tiêu (i=1,2)
B
0
= A
1
.A
2
, vì A
1
.A
2
là hai biến cố độc lập nên
P (B
0
) = P (A
1
.A
2
) = P (A
1
).P (A
2
) = 0.3 × 0.4 = 0.12

B
1
= A
1
A
2

A
1
A
2
, hai biến cố A
1
A
2
và A
1
A
2
xung khắc nên
P (B
1
) = P (A
1
A
2

A
1
A

2
) = P (A
1
A
2
) + P (A
1
A
2
) Các biến cố A
1
và A
2
độc lập, A
1
và
A
2
độc lập nên
P (B
1
) = P (A
1
) × P (A
2
) + P (A
1
) × P (A
2
) = 0.6 × 0.3 + 0.4 × 0.7 = 0.46

B
2
= A
1
.A
2
, vì A
1
.A
2
là hai biến cố độc lập nên
P (B
0
) = P (A
1
.A
2
) = P (A
1
).P (A
2
) = 0.6 × 0.7 = 0.42
Các biến cố B
0
, B
1
, B
2
là một hệ đầy đủ
Gọi A là biến cố thiết bị bị hỏng, áp dụng công thức XS toàn phần ta có:

P (A) = P (B
0
)P (A|B
0
) + P (B
1
)P (A|B
1
) + P (B
2
)P (A|B
2
)
P (A|B
0
) = 0 P (A|B
1
) = 0.8 P (A|B
2
) = 1
Vậy P (A) = 0.12 × 0 + 0.46 × 0.8 + 0.42 × 1 = 0.788
✷
4 Bài tập làm thêm
Câu 17.
Xác suất để chúng ta có được mặt xúc sắc số 5 khi thảy xúc xắc 4 lần là bao nhiêu, nếu
lần thảy đầu tiên cho ra mặt số 5?
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 11/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
Câu 18.

Cho các sự kiện A và B với P (A) = 0.4, P (B) = 0.5 và P (A

B) = 0.2. Xét sự kiện
C = (A

B)
c
. Tính các xác suất
1. P (A

B) .
2. P (A
c

B
c
) .
3. P (B
c

C
c
) .
4. P (B
c

C) .
Câu 19.
Một tổ chức tiêu dùng ước tính rằng qua 1 năm sử dụng 17% số xe máy cần được sửa chữa
một lần, 7% cần sửa chữa hai lần, và 4% cần sửa chữa từ ba lần trở lên.

a) Xác suất để một chiếc xe được chọn ngẫu nhiên sẽ
1. không cần phải sửa?
2. không quá một lần sửa?
3. có bị sửa chữa?
b) Nếu bạn có hai chiếc xe máy, xác suất sẽ thế nào nếu
1. cả hai chiếc đều không cần sửa?
2. cả hai chiếc đều cần phải sửa?
Câu 20.
Hãng sản xuất kẹo Sô-cô-la M&M nói rằng số viên màu vàng trơn chiếm 20% lượng
sản xuất, đỏ chiếm 20%, và cam, xanh dương và xanh lá mỗi màu chiếm 10%. Còn lại là
màu nâu.
a) Nếu bạn lấy ngẫu nhiên một viên kẹo M&M, xác suất sẽ là gì để
1. nó màu nâu?
2. nó màu vàng hoặc màu cam?
3. nó không phải màu xanh lá?
4. nó có sọc?
b) Nếu bạn lấy liên tiếp ba viên kẹo M&M, xác suất là bao nhiêu để
1. chúng đều có màu nâu?
2. viên thứ ba là viên đầu tiên có màu đỏ?
3. không có viên nào màu vàng?
4. có ít nhất một viên màu xanh lá?
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 12/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
Câu 21.
Trong Bài 4 chúng ta đã tính xác suất có được các loại kẹo M&M khác nhau. Trong một
số câu trả lời, chúng ta phải dựa vào giả định rằng các kết quả có được là rời nhau; tức là,
chúng không thể đồng thời xảy ra cùng một lúc. Các câu trả lời khác lại dựa trên sự kiện
là chúng độc lậpl tức là, sự xảy ra một kết quả không ảnh hưởng đến xác suất của các kết
quả khác. Bạn có hiểu được sự khác nhau giữa rời nhau và độc lập?

a) Nếu bạn lấy ra một vien M&M, sự kiện lấy được một viên đỏ và lấy được một viên cam
là rời nhau hay độc lập với nhau hay không phải cả hai?
b) Nếu bạn lấy ra lần lượt 2 viên M&M, sự kiện đầu tiên lấy ra viên đỏ rồi tiếp đến là
viên đỏ nữa là rời nhau hay độc lập với nhau?
c) Các sự kiện rời nhau có thể độc lập được với nhau hay không? Giải thích.
Câu 22.
Công an vừa thiết lập một trạm kiểm tra–trong đó người lái xe sẽ được yêu cầu dừng lại
để trả lời một vài câu hỏi ngắn để công an quyết định người này có say rượu hay không.
Nếu viên công anh không cảm thấy có vấn đề, người lái xe sẽ được tiếp tục cho đi. Ngược
lại, người lái xe sẽ được yêu cầu thổi vào ống kiểm tra để quyết định xem họ có bị bắt giữ
hay không. Công an cho rằng dựa trên việc hỏi đáp, một công an viên có thể quyết định
đúng 80%. Tại thời điểm 9 giờ tối thứ 7, các chuyên gia cho rằng có khoảng 12% người lái
xe có uống bia rượu.
a) Bạn bị chặn xe ở trạm, và tất nhiên, bạn không uống bia rượu. Xác suất bạn bị yêu
cầu thổi vào ống kiểm tra là bao nhiêu?
b) Xác suất một người bị yêu cầu thổi vào ống là bao nhiêu?
c) Xác suất để một lái xe bị yêu cầu thổi vào ống thực sự đang say rượu?
d) Xác suất để một láu xe được thả thực ra đang say rượu?
Câu 23.
Một công ty bán túi hạt giống, mỗi túi có 20 hạt. Số hạt trung bình sẽ mọc thành cây là
18, với độ lệnh chuẩn là 1.2. Bạn mua năm túi hạt giống khác nhau.
a) Bạn kỳ vọng sẽ có bao nhiêu hạt bị hỏng?
b) Độ lệch chuẩn là gì?
Câu 24.
Bạn sẽ chơi hai lượt của một trò chơi với cùng một đối thủ. Xác suất để bạn thắng lượt
đầu tiên là 0.4. Nếu bạn thắng trận đầu, xác suất để bạn thắng trận thứ hai là 0.2. Nếu
bạn thua trận đầu, xác suất để bạn thắng trận thứ hai là 0.3.
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 13/14
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính

a) Hai lượt chơi có độc lập với nhau hay không? Giải thích.
b) Xác suất để bạn thua cả hai lượt chơi là gì?
c) Xác suất để bạn thắng cả hai lượt chơi là gì?
d) Gọi biến ngẫu nhiên X là số lượt chơi mà bạn thắng. Tìm mô hình xác suất cho X.
e) Giá trị kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X là bao nhiêu?
Câu 25.
Một cầu thủ bóng rổ ném thành công 80% số quả ném phạt mà anh ta được ném. Giả sử
các lần ném là độc lập với nhau, tìm xác suất trong trận đấu tối nay mà anh ta
a) ném hụt lần đầu tiên trong lần ném thứ năm
b) ném thành công lần đầu tiên trong lần ném thứ tư
c) ném thành công lần đầu tiên trong ba lần ném đầu tiên.
d) Số lần ném kỳ vọng của cầu thủ này cho đến khi anh ta ném hụt là bao nhiêu?
Câu 26.
Giả sử vận động viên bắn cung trong Bài ?? bắn 10 mũi tên.
a) Tìm giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số lần bắn trúng hồng tâm của người này
b) Xác suất để cô ta không bắt trượt phát nào là bao nhiêu?
c) Xác suất để có không quá 8 lần bắn trúng hồng tâm là bao nhiêu?
d) Xác suất để có chính xác 8 lần bắn trúng hồng tâm là bao nhiêu?
e) Xác suất để số lần cô ta bắn trúng hồng tâm nhiều hơn số lần bắn hụt là bao nhiêu?
Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 14/14