Nghiên cứu tính chất nén, tính chất phản chùm và tính chất đan rối của trạng thái kết hợp hai mode thêm photon

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN, TÍNH CHẤT PHẢN
CHÙM VÀ TÍNH CHẤT ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI
KẾT HỢP HAI MODE THÊM PHOTON

TRẦN THỊ THU SƯƠNG
NGUYỄN THỊ THU SANG, NGUYỄN THỊ NINH
Khoa Vật lý

1

GIỚI THIỆU

Vào những năm 60 của thế kỷ XX, Glauber(1963) [6] đã đưa ra khái niệm về trạng thái kết
hợp [1]. Sau đó, khái niệm về trạng thái nén được đưa ra bởi Stoler(1970) [8] và đã được
Hollenhorst đặt tên, trạng thái nén đã được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987. Trạng
thái nén là một trạng thái phi cổ điển đầu tiên. Sau đó, các trạng thái phi cổ điển khác
lần lượt được đề xuất, nghiên cứu trong đó có trạng thái kết hợp hai mode thêm photon.
Trạng thái kết hợp thêm photon được Hillery đưa ra vào năm 2006 [6] và được định nghĩa
như sau
| Ψ ab = Nα,β (ˆ
a† + ˆb† ) | α a | β b ,
trong đó a† là tốn tử sinh đối với mode a, b† là toán tử sinh đối với mode b, và
1
Nα,β =
là hệ số chuẩn hóa. Có thể viết trạng thái | Ψ ab dưới dạng
2 + |α + β|2
|Ψ

ab

= Nα,β exp

1+ | α |2 | α, 1

a

|β

b

+

1+ | β |2 | α

a

| β, 1

b

hoặc biểu diễn dưới trạng thái Fock
|Ψ

ab

| α |2 + | β |2
αn β m
∞
√
n,m=0
2

n!m!
√
√
× n + 1 | n + 1, m ab + m + 1 | n, m + 1 ab

= Nα,β exp −

Trong bài báo này, để nghiên cứu tính chất phi cổ điển chúng tơi nghiên cứu ba tính chất
là tính chất nén, tính chất phản chùm và tính chất đan rối.

Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2013, tr: 75-82


76
2

TRẦN THỊ THU SƯƠNG VÀ CS.
TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI KẾT HỢP HAI MODE THÊM PHOTON

Quá trình nén bậc cao kiểu Hillery [3], toán tử biên độ k của trường hai mode được đưa
ra dưới dạng
k
k
1
a
ˆ + ˆb e−iϕ + a
ˆ+ + ˆb+ eiϕ , k ∈ Z
dˆk,ϕ = √
2 2

Điều kiện để có nén vng bậc k kiểu Hillerry [3] dọc theo hướng ϕ là
1 ˆ
Lk
Vdk,ϕ <
8
1 ˆ
Lk < 0,
Tham số nén được định nghĩa là: Hk,ϕ = Vdk,ϕ −
8
trong đó:
a
ˆ + ˆb

ˆ k |=
| L
=

k
q=1

=

k
q=1

2q
q!
2q
q!

k

, a
ˆ+ + ˆb+

k!
(k − q)!
k!
(k − q)!

k

2

a
ˆ+ + ˆb+
2

k−q

(k − q)!
(k − q − n)!n!

a
ˆ + ˆb

k−q

2

a
ˆ+n a
ˆnˆb+(k−q−n)ˆbk−q−n

Để đơn giản ta xét k = 1 và trung bình trong trạng thái kết hợp hai mode thêm photon,
ta có:
1
1
H1,ϕ = cos(2ϕ)
6x2 + 6y 2 + x4 + y 4 + 6x2 y 2 + 12xy + 4x3 y + 4xy3
8
2 + (x + y)2
1
1
12 + 14x2 + 14y 2 + 2x4 + 2y 4 + 12x2 y 2 + 28xy + 8x3 y + 8xy3
+
8 2 + (x + y)2
2
1
1
1
−
1 + cos2ϕ 16x2 + 16y 2 + 48x2 y 2 + 8x4 + 8 + 15x4 y 2
4 2 + (x + y)2
2
+15x2 y 4 + x6 + y 6 + 32xy + 32x3 y + 32xy3 + 20x3 y 3 + 6x5 y + 6xy5 −

1
8

(1)

trong đó α = α∗ = x và β = β ∗ = y.
Dựa vào phương trình (1) ta khảo sát tính chất nén trong trường hợp ϕ = kπ và được đồ
thị dưới đây.


NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN, TÍNH CHẤT PHẢN CHÙM...

77

Hình 1: Đồ thị của Hk,ϕ trong trường hợp ϕ = kπ
Qua việc khảo sát biểu thức tham số nén tiêu biểu trong trường hợp k = 1, chúng tôi nhận
thấy rằng đồ thị của nó ln nằm dưới mặt phẳng xOy. Từ đồ thị chúng tôi nhận thấy
khi giá trị x càng tăng thì tham số nén càng mang giá trị âm, nghĩa là tính chất nén càng
mạnh.
3

TÍNH CHẤT PHẢN CHÙM CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE THÊM PHOTON:

Tiêu chuẩn cho sự tồn tại của tính phản chùm cho trạng thái hai mode trong trường bức
xạ [1] là
Rab (l, p) =

(l+1) (p−1)
nb
(l) (p)
na nb

na

(p−1) (l+1)
nb
(p) (l)
na nb

+ na
+

−1<0

(2)

Trường hợp 1.
Xét l = p = 1 biểu thức (2) trở thành
(2)
(2)
n
ˆa + n
ˆb
−1
Rab (1, 1) =
n
ˆan
ˆb + n
ˆan
ˆb
= [(|α|6 + |β|6 + 6|α|4 + 6|β|4 + 4|α|2 + 4|β|2 + αβ ∗ |α|4 + αβ ∗ |β|4 + α∗ β|α|4 + α∗ β|β|4
+2α∗ β|β|2 + 2αβ ∗ |α|2 + 2α∗ β|α|2 + 2αβ ∗ |β|2 + |α|4 |β|2 + |α|2 |β|4 )/(2|α|4 |β|2
+2|α|2 |β|4 + 12|α|2 |β|2 + 2|α|2 + 2|β|2 + 2αβ ∗ |α|2 |β|2 + 2α∗ β|α|2 |β|2 + 2αβ ∗ |α|2

+2αβ ∗ |β|2 + 2α∗ β|α|2 + 2α∗ β|β|2 + 2αβ ∗ + 2α∗ β)] − 1
Để đơn giản, xét α = α∗ = x và β = β ∗ = y ta được
Rab (1, 1) = [(x6 + y 6 + 6x4 + 6y 4 + 4x2 + 4y 2 + 2x5 y + 2xy 5 + 4x3 y + 4xy 3 + x4 y 2
+x2 y 4 )/(2x4 y 2 + 2x2 y 4 + 12x2 y 2 + 2x2 + 2y 2 + 4x3 y 3 + 4x3 y + 4yx3 + 4xy)] − 1
Từ biểu thức (3), chúng tôi được đồ thị dưới đây

(3)


78

TRẦN THỊ THU SƯƠNG VÀ CS.

Hình 2: Đồ thị của Rab (l, p) trong trường hợp l = p = 1
Trường hợp 2.
Xét l = 2, p = 1 biểu thức (2) trở thành
(3)
(3)
na + nb
Rab (2, 1) = (2)
−1
(2)
na nb + na nb
= [(|α|8 + |β|8 + 8|α|6 + 8|β|6 + 9|α|4 + 9|β|4 + αβ ∗ |α|6 + αβ ∗ |β|6 + 3αβ ∗ |α|4
+3αβ ∗ |β|4 + α∗ β|α|6 + α∗ β|β|6 + 3α∗ β|α|4 + 3α∗ β|β|4 + |α|6 |β|2 + |α|2 |β|6 )/(|α|6 |β|2
+|α|2 |β|6 + 8|α|4 |β|2 + 8|α|2 |β|4 + 2|α|4 |β|4 + 8|α|2 |β|2 + |α|4 + |β|4 + αβ ∗ |α|4 |β|2
+αβ ∗ |α|2 |β|4 + α∗ β|α|4 |β|2 + α∗ β|α|2 |β|4 + 4αβ ∗ |α|2 |β|2 + 4α∗ β|α|2 |β|2 + 2αβ ∗ |α|2
+2αβ ∗ |β|2 + 2α∗ β|α|2 + 2α∗ β|β|2 + α∗ β|α|4 + α∗ β|β|4 + αβ ∗ |α|4 + αβ ∗ |β|4 )] − 1
Cho α = α∗ = x và β = β ∗ = y ta được
Rab (2, 1) = [(x8 + y 8 + 8x6 + 8y 6 + 9x4 + 9y 4 + 2x7 y + 2xy 7 + 6x5 y + 6xy 5 + x6 y 2

+x2 y 6 )/(x6 y 2 + x2 y 6 + 8x4 y 2 + 8x2 y 4 + 2x4 y 4 + 8x2 y 2 + x4 + y 4 + 2x5 y 3
+2x3 y 5 + 8x3 y 3 + 4x3 y + 4xy 3 + 2x5 y + 2xy 5 )] − 1
Từ biểu thức (4), chúng tôi được đồ thị dưới đây
Trường hợp 3.
Xét l = p = 2 biểu thức (2) trở thành
(3)
(3)
n
ˆa n
ˆb + n
ˆan
ˆb
Rab (2, 2) = (2) (2)
−1
(2) (2)
n
ˆa n
ˆb + n
ˆa n
ˆb
= [(|α|8 |β|2 + |α|2 |β|8 + |α|6 |β|4 + |α|4 |β|6 + 10|α|6 |β|2 + 10|α|2 |β|6 + 9|α|4 |β|2
+9|α|2 |β|4 + |α|6 + |β|6 + αβ ∗ |α|6 |β|2 + αβ ∗ |α|2 |β|6 + 3αβ ∗ |α|4 |β|2 + 3αβ ∗ |α|2 |β|4
+3αβ ∗ |α|4 + 3αβ ∗ |β|4 + βα∗ |α|6 |β|2 + βα∗ |α|2 |β|6 + 3βα∗ |α|4 |β|2 + 3βα∗ |α|2 |β|4
+αβ ∗ |α|6 + αβ ∗ |β|6 + βα∗ |α|6 + βα∗ |β|6 + 3βα∗ |α|4 + 3βα∗ |β|4 )/(2|α|6 |β|4

(4)


NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN, TÍNH CHẤT PHẢN CHÙM...

79

Hình 3: Đồ thị của Rab (l, p) trong trường hợp l = 2, p = 1
+2|α|4 |β|6 + 20|α|2 |β|2 + 8|α|4 |β|2 + 8|α|2 |β|4 + 2αβ ∗ |α|4 |β|4 + 4αβ ∗ |α|4 |β|2
+4αβ ∗ |α|2 |β|4 + 8αβ ∗ |α|2 |β|2 + 2α∗ β|α|4 |β|4 + 4α∗ β|α|4 |β|2 + 4α∗ β|α|2 |β|4
+8α∗ β|α|2 |β|2 )] − 1
Cho α = α∗ = x, β = β ∗ = y, ta được:
Rab (2, 2) = [(x8 y 2 + x2 y 8 + x6 y 4 + x4 y 6 + 10x6 y 2 + 10x2 y 6 + 9x4 y 2 + 9x2 y 4 + x6 + y 6
+2x7 y 3 + 2x3 y 7 + 6x5 y 3 + 6x3 y 5 + 6x5 y + 6xy 5 + 2x7 y + 2xy 7 )/(2x6 y 4
+2x4 y 6 + 20x2 y 2 + 8x4 y 2 + 8x2 y 4 + 4x5 y 5 + 8x5 y 3 + 8x3 y 5 + 16x3 y 3 )] − 1

(5)

Từ biểu thức (5), chúng tôi được đồ thị dưới đây

Hình 4: Đồ thị của Rab (l, p) trong trường hợp l = p = 2
Qua việc khảo sát biểu thức phản chùm tiêu biểu với các giá trị khác nhau của l và p. Từ


80

TRẦN THỊ THU SƯƠNG VÀ CS.

đồ thị chúng tôi nhận thấy khi giá trị x càng tăng thì tính chất phản chùm càng mạnh.

4

TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI KẾT HỢP HAI MODE THÊM PHOTON

Ở phần này chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn đan rối để kiểm tra tính đan rối của trạng

thái kết hợp hai mode thêm photon. Điều kiện đan rối của Hillery [4] được cho bởi biểu
thức:
| a
ˆˆb | [ Na Nb ] 1/2
(6)
Sử dụng điều kiện đan rối(3.2), nghĩa là nếu một trạng thái hai mode thoả mãn điều kiện
R =| a
ˆˆb |2 − [ Na Nb ]

0

(7)

Ta kết luận trạng thái này bị đan rối
Qua q trình tính tốn chúng tơi có được kết quả như sau
|a
ˆˆb |2 − [ Na Nb ] =| Nαβ |2 [α2 β 2 α|4 + β|4 + 10 α|2 + 10|β|2 + 4|α|2 |β|2 + 18
+αβ 3 2 α|4 + 10 α|2 + 2|β|2 + 2|α|2 |β|2 + 8
+α3 β 2 β|4 + 10 β|2 + 2|α|2 + 2|α|2 |β |2 +8
+α4

β|4 + 2 β|2 + β 4

α|4 + 2 α|2 −1 − 4|α|2 − 4|β|2

− α|2 β|2 (18 + 8 α|2 + 8 β|2 +

α|2 + β|2

2

− (αβ ∗ + α∗ β) (2 + |α|2 5 + |α|2 )+ β|2 5 + β|2 + |α|2 |β|2 10 + 2 α|2 + 2 β|2 )
+ (αβ ∗ + α∗ β)2 1 + α|2 1 + β|2 ]
Đặt α∗ = α = x, β ∗ = β = y ta được
|a
ˆˆb |2 − [ Na Nb ] =

−1
(2 +

x2

+ 2xy + y 2 )2

4x2 y 2 + 4xy + 2x3 y + 2xy3 + 1 + 4x2 + 4y 2
(8)

Dựa vào biểu thức (8) chúng tơi có được đồ thị như sau
Qua việc khảo sát biểu thức đan rối của Hillery, chúng tôi nhận thấy rằng đồ thị của nó
nằm dưới mặt phẳng xOy. Từ đồ thị chúng tơi nhận thấy khi giá trị x càng tăng thì tính
chất đan rối càng mạnh.


NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN, TÍNH CHẤT PHẢN CHÙM...

81

Hình 5: Đồ thị khảo sát tính đan rối
5

KẾT LUẬN

Trong bài báo này, chúng tơi trình bày kết quả nghiên cứu vế trạng thái kết hợp hai mode
thêm photon. Chúng tôi thấy rằng trạng thái này mang tính chất phi cổ điển, tiêu biểu là
tính chất nén, tính chất phản chùm và tính chất đan rối. Chúng tơi khảo sát ba tính chất
trên cũng như điều kiện để một trạng thái có tính chất nén, tính phản chùm và tính đan
rối. Đối với tính chất nén, chúng tơi đã sử dụng tốn tử nén biên đọ vuông bậc k và đã
đưa ra biểu thức tổng quát của tham số nén để khảo sát tính chất nén bậc thấp, đưa ra
kết quả và nhận xét. Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu tính phản chùm và điều kiện để có
tính phản chùm của trạng thái và khảo sát nó trong các trường hợp cụ thể. Sau đó, tính
đan rối của trạng thái được thể hiện rõ khi khảo sát điều kiện rối của Hillery. Kết quả q
trình tính tốn và vẽ đồ thị cho các tham số tương ứng cho thấy trạng thái kết hợp hai
mode thêm photon thể hiện rõ tính chất nén, tính phản chùm và tính đan rối và thỏa mãn
điều kiện của Hillery – Zuibairy đưa ra. Do đó, trạng thái này hồn tồn có thể chọn để
làm nguồn trong quá trình chuyển vị lượng tử.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Lê Thị Thu (2009), Nghiên cứu một số tính chất của trạng thái kết hơp hai mode thêm
photon, Khóa luận tốt nghiệp, Đại học Sư phạm, Đại học Huế.
[2] Hoàng Toản (2008), Về các điều kiện đan rối cho hệ hai mode, Luận văn Thạc sĩ Vật
lý, Đại học Sư phạm, Đại học Huế


82

TRẦN THỊ THU SƯƠNG VÀ CS.

[3] Trương Minh Đức (1999), Q trình nén photon bậc hai thơng qua exciton trong bán
dẫn, Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán Lý , Hà Nội.
Tiếng Anh

[4] Hillery M. (1987), "Amplitude-squared squeezing of the electromagnetic field", Physical Review A, (36), pp.3796.
[5] Hillery M. and Zubairy M. S.(2006), "Entanglement conditions for two- mode states:
Applications" ,Phys. Rev. A, 74(3), 032333.
[6] Hillery M.(1989), "Sum and difference squeezing of the electromagnetic field ", Physical Review A, (45), pp. 3147-3155.
[7] R. Glauber, Phys. Rev. 131, 2766 (1963).
[8] D. Stoler, Phys. Rev. D 1, 3217 (1970) .

TRẦN THỊ THU SƯƠNG
NGUYỄN THỊ THU SANG
NGUYỄN THỊ NINH

SV lớp VLTT 4, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế