khảo sát tính chất nén hillery và chất sub poisson bậc cao của trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (339.11 KB, 57 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HỒ THỊ VY
KHẢO SÁT TÍNH CHẤT NÉN HILLERY
VÀ TÍNH CHẤT SUB-POISSON BẬC CAO
CỦA TRẠNG THÁI KẾT HỢP PHI TUYẾN CHẴN
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. ĐỖ HỮU NHA
Huế, năm 2012
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực,
được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố
trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 09 năm 2012
Tác giả luận văn
Hồ Thị Vy
ii
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS. TS.
Đỗ Hữu Nha và Thầy giáo PGS. TS. Trương Minh Đức đã tận tình giúp đỡ
và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Vật lý, phòng Đào
tạo Sau đại học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập
tại trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế.
Xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên Cao học chuyên ngành Vật lý

lý thuyết và Vật lý toán khóa 19-trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, gia
đình và bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và
thực hiện luận văn.
Huế, tháng 09 năm 2012
Tác giả luận văn
Hồ Thị Vy
iii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
MỞ ĐẦU
NỘI DUNG
Chương 1. KIẾN THỨC TỔNG QUAN
1.1 Trạng thái Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Trạng thái kết hợp phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2. TRẠNG THÁI KẾT HỢP PHI TUYẾN CHẴN
VÀ LẺ
2.1 Trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn và lẻ với hàm phi tuyến
f (ˆn) = 1/(2 + kˆn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Khảo sát tính thống kê sub - Poisson bậc cao của trạng thái
kết hợp phi tuyến chẵn với hàm phi tuyến f (ˆn) = 1/(2 + kˆn) . 25
Chương 3. KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HILLERY BẬC
CAO
1
3.1 Khái niệm nén Hillery bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Tính chất nén Hillery bậc cao của trạng thái kết hợp phi tuyến
chẵn với hàm phi tuyến f (ˆn) = 1/(2 + kˆn) . . . . . . . . . . . 34
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2
DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
2.1 Đồ thị biểu diễn tham số P
k
là hàm của |α| trong trường hợp
k = 2, các đường khác nhau ứng với l = 0 (đường nét liền),
l = 1 (đường gạch gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Đồ thị biểu diễn tham số P
k
là hàm của |α| trong trường hợp
k = 3, các đường khác nhau ứng với l = 0 (đường nét liền),
l = 1 (đường gạch gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Đồ thị biểu diễn tham số P
k
là hàm của |α| trong trường hợp
k = 4, các đường khác nhau ứng với l = 0 (đường nét liền),
l = 1 (đường gạch gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Đồ thị biểu diễn tham số P
k
là hàm của |α| trong trường hợp
k = 5, các đường khác nhau ứng với l = 0 (đường nét liền),
l = 1 (đường gạch gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Đồ thị biểu diễn tham số P
k
là hàm của |α| trong trường hợp
k = 6, các đường khác nhau ứng với l = 0 (đường nét liền),

l = 1 (đường gạch gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Đồ thị biểu diễn tham số P
k
là hàm của |α| trong trường hợp
k = 7, các đường khác nhau ứng với l = 0 (đường nét liền),
l = 1 (đường gạch gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 Đồ thị biểu diễn tham số P
k
là hàm của |α| trong trường hợp
k = 8, các đường khác nhau ứng với l = 0 (đường nét liền),
l = 1 (đường gạch gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3
2.8 Đồ thị biểu diễn tham số P
k
là hàm của |α| trong trường hợp
k = 9, các đường khác nhau ứng với l = 0 (đường nét liền),
l = 1 (đường gạch gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9 Đồ thị biểu diễn tham số P
k
là hàm của |α| trong trường hợp
l = 1, các đường khác nhau ứng với k = 2 (đường nét liền),
k = 3 (đường gạch gạch), k = 4 (đường chấm chấm), k = 5
(đường chấm gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Đồ thị của hàm D
k
(Z
1
) và hàm D
k
(Z

2
) được khảo sát theo k
trong trường hợp l = 0, ϕ = π, các đường khác nhau ứng với
k = 1 (đường nét liền), k = 2 (đường chấm chấm), k = 3
(đường gạch gạch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Đồ thị của hàm D
1
(Z
1
) và hàm D
3
(Z
1
) được khảo sát theo pha
kết hợp ϕ trong trường hợp l = 1, các đường khác nhau ứng với
các giá trị khác nhau của ϕ trong đó ϕ = 0 (đường nét liền)
và ϕ = π (đường gạch gạch). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật đặc biệt là trong
lĩnh vực công nghệ thông tin thì việc nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển
có ý nghĩa hết sức quan trọng. Các tính chất của các trạng thái này là tiền
đề cơ sở cho việc ứng dụng chúng vào trong thực tiễn như các lĩnh vực quang
lượng tử, thông tin lượng tử, máy tính điện tử Các trạng thái phi cổ điển
xuất phát từ trạng thái kết hợp. Trạng thái kết hợp được biết đến lần đầu
tiên vào năm 1928 bởi công trình nghiên cứu của Schrodinger, Kinnard và
Darwin. Nhưng mãi đến năm 1963 Glauber và Sudarshan mới đưa ra khái
niệm trạng thái kết hợp khi nghiên cứu tính chất của chùm sáng laser. Đó là
trạng thái tuân theo phân bố Poisson, là trạng thái có độ bất định tối thiểu,

và là trạng thái cổ điển vì trạng thái này ứng với giá trị giới hạn lượng tử
chuẩn nên có thể xem nó là ranh giới giữa trạng thái cổ điển và trạng thái
phi cổ điển và có thể được xem là khởi điểm cho việc khảo sát các trạng thái
phi cổ điển sau này.
Trạng thái phi cổ điển được đưa ra bởi các công trình nghiên cứu của
Hestrom, Hillery và Mandel vào những năm 80 của thế kỷ 20. Trạng thái
phi cổ điển đầu tiên được biết đến là trạng thái nén. Khái niệm trạng thái
nén được đưa ra bởi Stoler vào năm 1970 và được khẳng định bằng thực
nghiệm vào năm 1987. Trong trạng thái nén, các thăng giáng lượng tử được
giảm xuống dưới mức thăng giáng mà trạng thái kết hợp cho phép. Tiếp theo
trạng thái nén là trạng thái kết hợp chẵn và lẻ được Dodonov, Malkiin và
Man’ko đưa ra bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1973 và chúng được tạo
ra bằng thực nghiệm vào năm 1992. Từ đó một loạt các trạng thái phi cổ điển
khác được ra đời như trạng thái kết hợp thêm photon, trạng thái para-kết
5
hợp, trạng thái kết hợp phụ thuộc tham số biến dạng, trạng thái kết hợp
chẵn và lẻ phụ thuộc tham số biến dạng, trạng thái kết hợp phi tuyến,
Trạng thái kết hợp phi tuyến ra đời dẫn đến sự ra đời của trạng thái
kết hợp phi tuyến chẵn và lẻ, là một trong những trạng thái quan trọng trong
quang lượng tử. Việc tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của
trạng thái kết hợp phi tuyến đóng vai trò quan trọng, góp phần vào giải quyết
các vấn đề mà khoa học đang đặt ra. Vì vậy chúng tôi chọn hướng nghiên
cứu "Khảo sát tính chất nén Hillery và tính chất sub-Poisson bậc cao của
trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của
mình.
2. Lịch sử vấn đề
Năm 2009, tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân [2] với đề tài "Một số tính
chất phi cổ điển của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông
pha" đã tập trung nghiên cứu tính chất nén Hillery bậc cao, tính thống
kê sub-Poisson bậc cao và tính chất anti-bunching bậc cao trong trạng thái

chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha.
Năm 2010, tác giả Phạm Bách Khoa [1] với đề tài "Khảo sát quá trình
nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông
pha" đã khảo sát tính thống kê sub-Poisson bậc cao và quá trình nén Hong-
Mandel một cách chi tiết từ bậc hai đến bậc tám.
Năm 2011, tác giả Nguyễn Thị Thu Thúy [3] với đề tài "Nghiên cứu
các tính chất phi cổ điển bậc cao của trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn và
lẻ" trong đó tập trung vào khảo sát tính chất nén Hillery với trạng thái kết
hợp phi tuyến chẵn và lẻ của Sivakumar [8] với hàm phi tuyến f(ˆn) =
1
1+kˆn
.
6
3. Mục tiêu của đề tài
- Khảo sát quá trình nén Hillery của trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn
với hàm phi tuyến f(ˆn) =
1
2+kˆn
;
- Nghiên cứu tính thống kê sub-Poisson bậc cao của trạng thái kết hợp
phi tuyến chẵn với hàm phi tuyến f(ˆn) =
1
2+kˆn
.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Từ những mục tiêu cần đạt được của luận văn thì nhiệm vụ nghiên cứu
cụ thể như sau:
- Nghiên cứu khái niệm và các tính chất của các trạng thái kết hợp phi
tuyến chẵn và lẻ;
- Khảo sát tính thống kê sub-Poisson bậc cao của trạng thái kết hợp

phi tuyến chẵn với hàm phi tuyến f(ˆn) =
1
2+kˆn
;
- Khảo sát quá trình nén Hillery bậc cao của trạng thái kết hợp phi
tuyến chẵn với hàm phi tuyến f(ˆn) =
1
2+kˆn
.
5. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi tìm hiểu về khái niệm và tính
chất của trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn và lẻ sau đó tiến hành khảo sát
tính thống kê sub-Poisson bậc cao và tính chất nén Hillery bậc cao của trạng
thái kết hợp phi tuyến chẵn với hàm phi tuyến f(ˆn) =
1
2+kˆn
.
6. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này chúng tôi sử dụng một số phương pháp sau:
- Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu.
- Vận dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử để tính toán đưa ra
các biểu thức cụ thể.
7
- Sử dụng các phần mềm có liên quan để vẽ hình và xử lý hình vẽ.
7. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục và tài liệu tham khảo, bố cục luận văn được chia làm 3
phần:
- Phần mở đầu: nêu rõ lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, nhiệm
vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.
- Phần nội dung bao gồm 3 chương:

• Chương 1: Các kiến thức tổng quan;
• Chương 2: Trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn và lẻ;
• Chương 3: Khảo sát quá trình nén Hillery bậc cao của trạng thái kết
hợp phi tuyến chẵn
- Phần kết luận
8
NỘI DUNG
Chương 1
KIẾN THỨC TỔNG QUAN
Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm trạng thái Fock, kí hiệu là |n.
Sau đó để đảm bảo tính logic và dễ hiểu, trước khi trình bày về trạng
thái kết hợp phi tuyến chúng tôi trình bày lại một cách khái quát
trạng thái kết hợp |α được Glauber và Sudarshan đưa ra vào năm
1963 khi khảo sát tính chất của chùm sáng laser - chùm sáng có độ
đơn sắc cao và cường độ lớn.
1.1 Trạng thái Fock
Gọi |n là trạng thái riêng của Hamiltonian trường điện từ ứng với trị
riêng E
n
và ˆa
+
, ˆa tương ứng là toán tử sinh, hủy photon của trường điện từ
đơn mode tuân theo các hệ thức
[ˆa, ˆa
+
] = 1, (1.1)
[ˆa
+
, ˆa
+

] = [ˆa, ˆa] = 0. (1.2)
Ta có
ˆ
H|n = E
n
|n, (1.3)
9
trong đó
ˆ
H = ω(ˆa
+
ˆa +
1
2
) và E
n
= ω(n +
1
2
) nên (1.3) được viết lại
ω(ˆa
+
ˆa +
1
2
)|n = ω(n +
1
2
)|n
⇒ ˆa

+
ˆa|n = n|n. (1.4)
Điều này có nghĩa |n là trạng thái riêng của toán tử số hạt ˆn = ˆa
+
ˆa. Trạng
thái |n được gọi là trạng thái số hạt hay trạng thái Fock, là trạng thái có số
hạt xác định và được khái quát lên từ trạng thái chân không.
Trạng thái Fock được biểu diễn dưới dạng
|n =
(ˆa
+
)
n
√
n!
|0. (1.5)
Các trạng thái Fock trực chuẩn, nghĩa là
n|m = δ
nm
. (1.6)
Các trạng thái Fock tạo nên một hệ cơ sở đủ

n
|nn| = 1. (1.7)
và do đó ta có thể khai triển các trạng thái bất kỳ theo trạng thái Fock.
1.2 Trạng thái kết hợp
1.2.1. Khái niệm
Trạng thái kết hợp |α được định nghĩa là trạng thái riêng của toán tử
hủy boson ˆa, nghĩa là
ˆa|α = α|α, (1.8)

trong đó α là một số phức bất kì trong không gian phức. Khi khai triển thông
qua các trạng thái Fock |n thì trạng thái kết hợp |α được biểu diễn dưới
dạng
|α =
∞

n=0
C
n
|n. (1.9)
10
Thay (1.9) vào (1.8) ta được biểu thức của trạng thái kết hợp biểu diễn theo
hệ cơ sở của các trạng thái Fock
|α = C
0
∞

n=0
α
n
√
n!
|n, (1.10)
với C
0
là hệ số chuẩn hóa.
1.2.2. Tính chất của trạng thái kết hợp
Trạng thái kết hợp có một số tính chất sau:
• Tính chất 1: Các trạng thái kết hợp đã được chuẩn hóa, nghĩa là
α|α = 1. (1.11)

Từ biểu thức (1.11) ta tìm được hệ số chuẩn hóa C
0
của trạng thái kết hợp
|α là
C
0
= exp(−
1
2
|α|
2
). (1.12)
Thay (1.12) vào (1.10) ta được biểu thức của trạng thái kết hợp đã chuẩn
hóa khai triển theo hệ cơ sở của trạng thái Fock |n có dạng như sau
|α = exp(−
1
2
|α|
2
)
∞

n=0
α
n
√
n!
|n. (1.13)
• Tính chất 2: Các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau, nghĩa là với
α = β thì

|α|β| = 0. (1.14)
Thực vậy
α|β = exp(−
1
2
|α|
2
) exp(−
1
2
|β|
2
)
∞

n,m=0
(α
∗
)
n
β
m
√
n!
√
m!
n|m
= exp

−

1
2
(|α|
2
+ |β|
2
)

∞

n=0
(α
∗
β)
n
n!
= exp

−
1
2
(|α|
2
− 2α
∗
β + |β|
2
)

.

11
Suy ra
|α|β|
2
= α|ββ|α
= exp

−
1
2
(|α|
2
− 2α
∗
β + |β|
2
)

exp

−
1
2
(|α|
2
− 2αβ
∗
+ |β|
2
)


= exp(−|α|
2
+ α
∗
β + αβ
∗
− |β|
2
)
= exp(−|α − β|
2
). (1.15)
+ Nếu α = β thì exp(−|α − β|
2
) = 0, nghĩa là các trạng thái kết hợp không
trực giao với nhau,
+ Nếu |α − β|  1 thì exp(−|α − β|
2
) = 0, nghĩa là các trạng thái kết hợp
gần trực giao với nhau.
Vậy các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau, chúng được xem là gần
trực giao khi |α − β|  1.
• Tính chất 3: Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành một hệ quá
đủ, nghĩa là phân giải đơn vị thỏa mãn
1
π

|αα|d
2

α = 1. (1.16)
• Tính chất 4: Phân bố số hạt ở trạng thái kết hợp |α tuân theo phân bố
Poisson - là phân bố mà số hạt trung bình và phương sai của toán tử số hạt
bằng nhau. Ta có
+ Số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |α là
ˆn = α|ˆn|α = α|ˆa
+
ˆa|α = |α|
2
. (1.17)
+ Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |α  là
(∆ˆn)
2
 = α|ˆn
2
|α − α|ˆn|α
2
= α|ˆa
+
ˆaˆa
+
ˆa|α − α|ˆa
+
ˆa|α
2
= |α|
2
(|α|
2
+ 1) − |α|

√
m!
m|n
= exp(−|α|
2
)
|α|
2n
n!
, (1.19)
trong đó p(n) = exp(−|α |
2
)
|α|
2n
n!
là hàm phân bố Poisson. Hàm phân bố
Poisson mô tả rất tốt các tính chất của chùm sáng laser và là hàm phân bố
tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Do đó trạng thái kết hợp là trạng
thái cổ điển.
• Tính chất 5: Trạng thái kết hợp |α là trạng thái có độ bất định cực tiểu,
nghĩa là
(∆ˆx)
2
(∆ˆp)
2
 =
1
4
. (1.20)

Thật vậy, ta định nghĩa hai toán tử tọa độ và xung lượng có dạng như sau
ˆx =
ˆa + ˆa
+
√
2
, ˆp =
ˆa − ˆa
+
i
√
2
.
Ta có
ˆx = α|
ˆa + ˆa
+
√
2
|α
=
1
√
2
α|ˆa|α +
1
√
2
α|ˆa
+

|α
=
1
√
2
α|α|α+
1
√
2
α|α
∗
|α
=
1
√
2
(α + α
∗
). (1.21)
13
ˆp = α|
ˆa − ˆa
+
i
√
2
|α
=
1
i

√
2
α|ˆa|α −
1
i
√
2
α|ˆa
+
|α
=
1
i
√
2
α|α|α−
1
i
√
2
α|α
∗
|α
=
1
i
√
2
(α − α
∗

). (1.22)
ˆx
2
 =
1
2
α|( ˆa + ˆa
+
)(ˆa + ˆa
+
)|α
=
1
2
α|ˆa
2
+ ˆaˆa
+
+ ˆa
+
ˆa + ˆa
+2
|α
=
1
2
α|ˆa
2
|α +
1

2
α|ˆa
+2
|α +
1
2
α|1 + 2ˆa
+
ˆa|α
=
1
2
(α
2
+ α
∗2
+ 1 + 2|α|
2
). (1.23)
ˆp
2
 =

1
i
√
2

2
α|(ˆa − ˆa

+
)(ˆa − ˆa
+
)|α
= −
1
2
α|ˆa
2
− ˆaˆa
+
− ˆa
+
ˆa + ˆa
+2
|α
= −
1
2
α|ˆa
2
|α −
1
2
α|ˆa
+2
|α +
1
2
α|ˆaˆa

+
+ ˆa
+
ˆa|α
=
1
2
(−α
2
− α
∗2
+ 1 + 2|α|
2
). (1.24)
Phương sai của toán tử ˆx trong trạng thái kết hợp |α là
(∆ˆx)
2
 = ˆx
2
 − ˆx
2
=
1
2
(α
2
+ α
∗2
+ 1 + 2|α|
2

) −
1
2
(α + α
∗
)
=
1
2
. (1.25)
Phương sai của toán tử ˆp trong trạng thái kết hợp |α là
(∆ˆp)
2
 = ˆp
2
 − ˆp
2
=
1
2
(−α
2
− α
∗2
+ 1 + 2|α|
2
) +
1
2
(α − α

∗
)
=
1
2
. (1.26)
14
Suy ra
(∆ˆx)
2
(∆ˆp)
2
 =
1
2
.
1
2
=
1
4
.
Đây là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp, nó gợi cho ta
nghĩ đến khả năng tồn tại của trạng thái có độ bất định nhỏ hơn giới hạn
lượng tử chuẩn, những trạng thái này khác hoàn toàn so với trạng thái cổ
điển, vì vậy nếu có chúng có thể sẽ là một lớp các trạng thái phi cổ điển. Vì
lý do này mà có thể xem trạng thái kết hợp là ranh giới giữa hai lớp trạng
thái cổ điển và phi cổ điển.
1.3 Trạng thái kết hợp phi tuyến
1.3.1. Khái niệm

Trạng thái kết hợp phi tuyến kí hiệu là |α, f được định nghĩa là hàm
riêng của toán tử ˆaf(ˆn), nghĩa là thỏa mãn phương trình hàm riêng trị riêng
ˆaf(ˆn)|α, f = α|α, f, (1.27)
trong đó f(ˆn) là hàm phi tuyến phụ thuộc vào toán tử số hạt ˆn và ˆa là toán
tử hủy được đưa ra xuất phát từ việc nghiên cứu một dao động tử phi tuyến
mà tần số phụ thuộc vào năng lượng của nó.
Khai triển trạng thái kết hợp phi tuyến theo trạng thái Fock ta có
|α, f =
∞

n=0
C
n
|n. (1.28)
Tìm hệ số khai triển C
n
bằng cách thay (1.28) vào (1.27) ta có
ˆaf(ˆn)
∞

n=0
C
n
|n = α
∞

n=0
C
n
|n

⇔
∞

n=0
C
n
f(ˆn)ˆa|n = α
∞

n=0
C
n
|n
15
⇔
∞

n=1
C
n
f(ˆn)
√
n|n − 1 = α
∞

n=0
C
n
|n
⇔

∞

n=0
C
n+1
f(n + 1)
√
n + 1|n = α
∞

n=0
C
n
|n
⇒ C
n+1
f(n + 1)
√
n + 1 = αC
n
⇒ C
n
=
C
n+1
f(n + 1)
√
n + 1
α
.

(1.29)
hay ta có thể viết
C
n
f(n)
√
n = αC
n−1
.
Suy ra
C
n
=
αC
n−1
f(n)
√
n
.
Sử dụng công thức truy toán ta tìm được hệ số khai triển trong trạng thái
kết hợp phi tuyến là
C
n
=
α
n
C
α
√
n!f(n)!

, (1.30)
trong đó f(ˆn)! = f(0)f(1)f(2) f(n) và C
α
là hệ số chuẩn hóa của trạng thái
kết hợp phi tuyến |α, f. Thay (1.30) vào (1.28) ta có trạng thái kết hợp phi
tuyến có dạng
|α, f = C
α
∞

n=0
α
n
√
n!f(n)!
|n. (1.31)
1.3.2.Tính chất của trạng thái kết hợp phi tuyến
• Tính chất 1: Trạng thái kết hợp phi tuyến đã được chuẩn hóa, nghĩa là
α, f|α, f = 1. (1.32)
16
Từ điều kiện chuẩn hóa ta tìm được hệ số chuẩn hóa
C
α
=

∞

n=0
|α|
2n

n![f(n)!]
2

−1/2
. (1.33)
Thật vậy
α, f|α, f = 1
⇔|C
α
|
2
∞

n,m=0
(α
∗
)
n
α
m
√
n!f(n)!
√
m!f(m)!
n|m = 1
⇔|C
α
|
2
∞


n=0
|α|
2n
n![f(n)!]
2
= 1
⇔C
α
=

∞

n=0
|α|
2n
n![f(n)!]
2

−1/2
.
Hệ số chuẩn hóa C
α
phải thỏa mãn điều kiện hữu hạn và không âm, nghĩa là
0 < |C
α
| < ∞ nên
|α|
2
≤ lim

n→∞
n[f(n)]
2
. (1.34)
∗ Chứng minh (1.34)
Để C
α
thỏa mãn điều kiện hữu hạn và không âm thì chuỗi

∞

n=0
|α|
2n
n![f(n)!]
2

−1/2
phải hội tụ. Dùng tiêu chuẩn Dalambert cho chuỗi số dương ta có
lim
n→∞
|α|
2n
n![f(n)!]
2
(n − 1)![f(n − 1)!]
2
|α|
2(n−1)
< 1

⇔ lim
n→∞
|α|
2
n[f(n)]
2
< 1
⇔
|α|
2
lim
n→∞
n[f(n)]
2
< 1
⇒|α|
2
< lim
n→∞
n[f(n)]
2
.
Từ đây ta thấy đối với trạng thái kết hợp phi tuyến α không lấy mọi
giá trị tùy ý trong toàn bộ mặt phẳng phức như đối với trạng thái kết hợp
17
thông thường mà nó nằm trong mặt phẳng bị giới hạn nhất định mà phải
thỏa mãn điều kiện (1.34).
Thay biểu thức (1.33) vào (1.31) ta tìm được biểu thức của trạng thái kết
hợp phi tuyến đã được chuẩn hóa có dạng như sau
|α, f =

∗
)
n
√
n!f(n)!
(β)
m
√
m!f(m)!
n|m
= C
α
C
β
∞

n=0
(α
∗
β)
n
n![f(n)!]
2
Mà
C
α
= 0, C
β
= 0,
∞


n=0
(α
∗
β)
n
n![f(n)!]
2
= 0
Nên
α, f|β, f = 0.
• Tính chất 3: Phân giải đơn vị của trạng thái kết hợp phi tuyến thỏa mãn

dµ(α)|α, fα, f| = 1. (1.37)
Khai triển |α, f theo trạng thái Fock thì (1.37) được viết lại như sau

dµ(α)C
2
α
∞

n,m=0
(α
∗
)
n
α
m
√
n!f(n)!

√
m!f(m)!
|mn| = 1, (1.38)
18
Viết α dưới dạng mũ α = |α |e
iϕ
và dµ(α) = µ

(α)dα = µ

(α)|α|d|α|dϕ ta
được

|α
0
|
0
µ

(α)|α|d|α|C
2
α

2π
0
dϕ
∞

n,m=0
α

n+m
e
iϕ(m−n)
√
n!f(n)!
√
m!f(m)!
|mn| = 1
⇔

|α
0
|
0
C
2
α
µ

(α)|α|d|α|
∞

n,m=0
α
n+m
√
n!f(n)!
√
m!f(m)!


2π
0
dϕe
iϕ(m−n)
|mn| = 1
⇔

|α
0
|
0
C
2
α
µ

(α)|α|d|α|
∞

n,m=0
α
n+m
√
n!f(n)!
√
m!f(m)!
2πδ
n,m
|mn| = 1
⇔

∞

n=0
|nn|

|α
0
|
0
2πC
2
α
α
2n+1
n![f(n)!]
2
µ

(α)d|α| = 1
⇔

|α
0
|
0
2πC
2
α
α
2n+1

µ

(α)d|α| = n![f(n)!]
2
. (1.39)
Trong đó |α
0
| = lim
n→∞
n[f(n)]
2
.
Như vậy nếu tồn tại hàm µ(α) thỏa mãn điều kiện (1.39) với mọi giá
trị của n thì ta có thể khai triển một hàm bất kỳ dưới dạng các trạng thái
kết hợp phi tuyến, nghĩa là khi đó tập hợp các trạng thái kết hợp phi tuyến
lập thành một hệ đủ.
• Tính chất 4: Khác với trạng thái kết hợp thông thường, trạng thái kết hợp
phi tuyến là trạng thái phi cổ điển nên nó còn có các tính chất phi cổ điển
như tính chất nén, tính anti-bunching, tính thống kê sub-Poisson phụ thuộc
vào hàm phi tuyến f(ˆn).
1.4 Trạng thái nén
Xuất phát từ hệ thức bất định cho hai đại lượng vật lý A, B không đo
được đồng thời trong trạng thái |ϕ nào đó
V AV B ≥
1
4
|ϕ|[
ˆ
A,
ˆ

B]ϕ|
2
. (1.40)
19
Nếu |ϕ = |α là trạng thái kết hợp của hai đại lượng A, B thì hệ thức bất
định của chúng đạt đến độ bất định tối thiểu
V AV B =
1
4
|ϕ|[
ˆ
A,
ˆ
B]ϕ|
2
, (1.41)
đồng thời có thể chứng minh được rằng phương sai của A cũng bằng phương
sai của B và bằng một giá trị gọi là giới hạn lượng tử chuẩn
V A = V B =
1
4
|ϕ|[
ˆ
A,
ˆ
B]ϕ|, (1.42)
Một trạng thái vật lý |ϕ của trường hạt boson cho hai đại lượng A, B mà
trong đó V A (hoặc V B) bé hơn giá trị giới hạn lượng tử chuẩn sao cho nguyên
lý bất định không bị vi phạm thì trạng thái |ϕ gọi là trạng thái nén đối với
đại lượng A (hoặc B). Trường hợp đặc biệt nếu trạng thái nén của A (hoặc

B) còn thỏa mãn điều kiện (V A)(V B) bằng độ bất định tối thiểu thì nó được
gọi là trạng thái nén lý tưởng.
Như vậy, trong chương này chúng tôi đã trình bày một cách tổng quan về
trạng thái Fock, trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp phi tuyến và trạng
thái nén để làm tiền đề cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
20
Chương 2
TRẠNG THÁI KẾT HỢP PHI TUYẾN CHẴN VÀ
LẺ VỚI HÀM PHI TUYẾN f(ˆn) = 1/(2 + kˆn)
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về trạng
thái kết hợp phi tuyến chẵn và lẻ. Sau đó tiến hành khảo sát tính
thống kê sub-Poisson. Logic trình bày là đưa ra biểu thức tham số
P
k
tổng quát bậc k rồi suy ra biểu thức của P
k
từ bậc một đến bậc
tám để khảo sát.
2.1 Trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn và lẻ với hàm
phi tuyến f (ˆn) = 1/(2 + kˆn)
2.1.1. Định nghĩa
Dựa trên biểu thức của trạng thái kết hợp phi tuyến người ta định nghĩa
trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn - lẻ là tổ hợp tuyến tính của các trạng thái
|α, f, +2 và |α, f, −2 cụ thể như sau:
- Trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn (ENCS), ký hiệu là |α, f, +2 là tổ
hợp tuyến tính đối xứng của |α, f, +2 và |−α, f, +2
|α, f, +2 = C
+2
(|α, f, +2 + | − α, f, +2), (2.1)
- Trạng thái kết hợp phi tuyến lẻ (ONCS), ký hiệu là |α, f, −2 là tổ

hợp tuyến tính phản đối xứng của |α, f, −2 và | − α, f, −2
|α, f, −2 = C
−2
(|α, f, −2|α, f, −2), (2.2)
trong đó C
+2
và C
−2
là hệ số chuẩn hóa tương ứng của trạng thái |α, f, +2
và trạng thái |α, f, −2.
21
Với định nghĩa trên ta thấy rằng trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn và
lẻ là các trạng thái riêng của toán tử hủy hai hạt, nghĩa là
ˆ
A
2
|α, f, +2 = α
2
|α, f, +2, (2.3)
ˆ
A
2
|α, f, −2 = α
2
|α, f, −2. (2.4)
∗ Chứng minh (2.3) và (2.4)
ˆ
A
2
|α, f, +2 =

ˆ
A
2
C
+2
(|α, f, +2 + | − α, f, +2)
= C
+2
ˆ
A(
ˆ
A|α, f, +2 +
ˆ
A| − α, f, +2)
= C
+2
ˆ
A(α|α, f, +2 + α| − α, f, +2)
= C
+2
(α
2
|α, f, +2 + α
2
| − α, f, +2)
= α
2
|α, f, +2.
Tương tự ta cũng chứng minh được
ˆ

A
2
|α, f, −2 = α
2
|α, f, −2.
Khai triển trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn và lẻ trong không gian Fock
|α, f, +2 = |C
+2
|
2
∞

n=0
α
n
+ (−α)
n
√
n!
|n, (2.5)
|α, f, −2 = |C
−2
|
2
∞

n=0
α
n
− (−α)

n
√
n!
|n. (2.6)
∗ Nhận xét:
- Trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn |α, f, +2 triệt tiêu khi nó là trạng
thái của số lẻ hạt (n lẻ).
- Trạng thái kết hợp phi tuyến lẻ |α, f, −2 triệt tiêu khi nó là trạng
thái của số chẵn hạt (n chẵn).
22

khảo sát tính chất nén hillery và chất sub poisson bậc cao của trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về