Nghiên cứu nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình Navier – Stokes

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8

NGHIÊN CỨU NGHIỆM XẤP XỈ
CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES
Nguyễn Thị Lý
Trường Đại học Thủy lợi, email:

1. GIỚI THIỆU CHUNG

Phương pháp POD là một phương pháp
tuyến tính trong đó ta sẽ xác định một hệ cơ
sở trực chuẩn. Hệ cơ sở này sẽ xác định một
không gian cỡ nhỏ hơn để xây dựng một mơ
hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin ([1]).
Phép chiếu Galerkin trên hệ các véc tơ cơ sở
POD đưa vào trong hệ Navier-Stokes sẽ dẫn
đến một hệ các phương trình vi phân bậc hai.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Cho    2 là miền liên thơng, bị chặn.
Xét hệ phương trình khơng dừng Navier Stokes.
Bài tốn I.
Tìm u  (u1 , u2 ) , p sao cho với T  0
u t  u  (u  )u  p  f trong   (0, T )

trong   (0, T )
divu  0

trên   (0, T )
u( x, y, t )  φ( x, y, t )
u( x, y, 0)  φ( x, y, 0)

trong 
Trong đó u biểu diễn véc tơ vận tốc, p là
áp suất,  là hằng số (nghịch đảo của số
Reynolds), f  ( f1 , f 2 ) là trọng lượng,
φ( x, y, t ) là hàm véc tơ.
Ta viết lại Bài toán I dưới dạng bài tốn
khác như sau:
Bài tốn II.
Tìm (u, p)  H 1 (0, T ; X )  L2 (0, T ; M ) sao
cho với mọi t  (0, T ) ,
(ut , v )  a (u, v )  a1 (u, u, v )  b( p, v )  (f , v )

v  X

q  M
b(q, u)  0
u ( x, 0)  0
trong 

Trong đó X  H 01 () 2 , M  L20 () .
a(u, v )    u.vdxdy ,


a1  u, v, w  

w v 
1 2  v j
 ui w j  ui xj j v j dxdy
2  i , j 1  xi
i



với u, v, w  X , và
b(q, v )   qdiv vdxdy .


Để tìm nghiệm phương pháp số cho Bài
tốn II, ta sẽ rời rạc hóa Bài tốn II. Chúng ta
sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho
biến không gian và dùng sơ đồ sai phân hữu
hạn đối với đạo hàm theo thời gian. Cho L
là số nguyên dương, kí hiệu bước thời gian
bởi k  T / L ( T là toàn bộ thời gian):

t ( n )  nk ; 0  n  L ;
(u nh , phn )  X h  M h có xấp xỉ tương ứng
theo phương pháp phần tử hữu hạn là
(u (t ( n ) ), p (t ( n ) )  (u n , p n ) . Do đó dùng sơ đồ
nửa ẩn Euler cho thời gian và phương pháp
phần tử hữu hạn để đưa bài toán I trở thành
bài tốn sau đây:
Bài tốn III
Tìm (u nh , phn )  X h  M h sao cho
(u nh , v h )  ka (u nh , v h )

n 1
n
n
 ka1 (u h , u h , v h )  kb( ph , v h )


n
n 1
 k ( f , v h )  (u h , v h ) v h  X h

n
b(qh , u h )  0 qh  M h
u 0  0
trong 
 h
ở đó 1  n  L .

75


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8

3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Xét ma trận K  ( K ij )  R  tương ứng
với snapshots U i i 1 xác định bởi

Gọi 
X h  X h  M h.
Cho:
Ui ( x, y )  (u1nhi , u2nih , phni )T (i  1,2,..., ),
đặt: V  span U1 , U 2 ,..., U 



là không gian sinh bởi các snapshots U i i1 ,



trong đó giả sử ít nhất có một véc tơ khác

 

không. Gọi ψ j

l

là một cơ sở trực giao

i1

của V , với l  dimV . Khi đó mỗi véc tơ
trong không gian được biểu diễn dưới dạng
l

U i   ( U i , ψ j ) Xˆ ψ j với i  1,2,...,  .
j1

1
Kij  (Ui , U j ) Xˆ .

Ma trận K là nửa xác định dương và có
hạng là l .
Mệnh đề 2: Cho 1  2  ...  l  0 là
các giá trị riêng không âm của K và
v1 , v 2 ,..., v l là các véc tơ riêng trực giao
tương ứng. Khi đó cơ sở POD bậc d  l

được xác định bởi
1 
ψi 
 ( vi ) j U j

i

ở đó:

Trong đó ( vi ) j là tọa độ thứ j của véc tơ

( U i , ψ j ) Xˆ ψ j

riêng v i . Hơn nữa, công thức sai số được xác
định

 ((uhni , ψ u j )0 ψ u j ,( phni , p j )0 p j )
(.,.)0 là L2 - tích bên trong, và ψ u j và  p j

d
1 
U i   (U i , ψ j ) Xˆ ψ j

 i 1
j 1

là các cơ sở trực giao tương ứng của u và p .
Ta có:
V  span U1 , U 2 ,..., U 

X d  M d  V d với
M d  Mh  M .

nj
h

b( p , u )  0 (1  i , j   )
tức là b( p j , ψ u j )  0(1  i, j  l ).

d

1
(Ui , ψ j ) Xˆ ψ j
 Ui  
ψ j  j 1  i 1
j 1
min
d

sao cho:
(ψ i , ψ j ) Xˆ   ij

2

Xˆ

  u1nhi


 

Một nghiệm ψ j

0

 u2nih

d
j1

j  d 1

j

và

X d  Xh  X

và

Xh

 Pd : X h  X d

và:

Ph : X \ X h  X h \ X d
và L2 - phép chiếu là  d : M  M d được
định nghĩa tương ứng là
và:

(  d p, qd )0  ( p, qd )0 q  M d .
d
ở đó u  X và p  M . Tốn tử tuyến tính
P h và  d là xác định và bị chặn:

1

2 2
 phni  .

0
0
2

Xˆ

l



a( P hu, v h )  a(u, v h ) v h  X h

với 1  i  d ,1  j  i
2

Ph

Xˆ

ở đó:

Ui



Xét phép chiếu Ritz P h : X  X h sao cho:

Định nghĩa 1. Phương pháp POD xây
dựng một cơ sở trực chuẩn sao cho với mọi
d (1  d  l ) thì trung bình bình phương sai
số giữa các thành phần U i và d - tổng riêng
tương ứng là nhỏ nhất


2

V d  span ψ1 , ψ 2 ,..., ψ d 

Cho

 span ψ1 , ψ 2 ,..., ψ l 
ni
h

j 1

được gọi là một cơ sở

( P d u)  u 0 ,  d p)  p)

0

u  X và p  M .

POD bậc d.
76

0

0


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8

Bổ đề 3
Với mọi d (1  d  l ) toán tử chiếu P d và

 thỏa mãn
d

1 
 (u nhi  P d u nhi
 i 1
1  ni
 u h  P d u nhi
 i 1

2
0

2
0



l



j  d 1

 Ch 2

j

l



j  d 1

1
 ( phni   d phni
 i 1

2
0



[1] P. Holmes, J.L. Lumley, and G. Berkooz.
Turbulence,
Coherent
Structures,
Dynamical
Systems
and
Symmetry.
Cambridge Monographs on Mechanics,
Cambridge University Press, 1996.

l



j  d 1

Trong bài báo này, tác giả sẽ xây dựng một
cơ sở trực chuẩn bằng phương pháp POD.
Sau đó sử dụng phép chiếu để xây dựng một
mơ hình rút gọn và xấp xỉ nghiệm của hệ
phương trình Navier – Stokes.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO

j

và:


4. KẾT LUẬN

j

ở đó u nhi  (u1nhi , u2nih ) và (u1nhi , u2nih , phni )T V .
Do đó, sử dụng V d  X d  M d , chúng ta
có thể thu được cơng thức rút gọn cho Bài
tốn III.
Bài tốn IV: Tìm (u nd , pdn ) V d sao cho
(u nd , v d )  ka (u nd , v d )  ka1 (u nd1 , u nd , v d )

n
n
n 1
d
kb( pd , v d )  k ( f , v d )  (u d , v d ) v d  X

n
qd  M d
b(qd , u d )  0
u 0  0
 d

ở đó 1  n  L.
Chú ý: Bài tốn IV là mơ hình rút gọn
MFE dựa trên phương pháp POD của Bài
toán III.

77