PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————

NGUYỄN VĂN VĨNH

PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM
VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————

NGUYỄN VĂN VĨNH

PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM
VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES
Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng
Mã số: 60440108

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
T.S Bùi Thanh Tú

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tời thầy giáo hướng dẫn TS. Bùi
Thanh Tú, người đã giao đề tài và quan tâm, tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực
hiện luận văn này.
Em cũng cũng xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn chân tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN đã dạy bảo, cung
cấp kiến thức bổ ích cho em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa.
Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Phòng Công tác và chính trị
sinh viên, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong
quá trình thực hiện luận văn.
Nhân dịp này, em xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, tạo điều kiện cho em trong
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

1


Mục lục
1 Giới thiệu tổng quan

3

2 Phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes

5

2.1

Phương trình tích phân biên và phương pháp đối ngẫu tương hỗ . . . . . . .

5

2.2

Nội suy hàm giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3

Phương pháp không lưới RBIEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4

Số hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3 Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes

20

4 Kết quả số

26

2


Chương 1
Giới thiệu tổng quan
Phương pháp phần tử biên (BEM) để giải phương trình Navier-Stokes là một trong những
bài toán được các nhà khoa học quan tâm. Khi dùng phương trình tích phân biên, số hạng
phi tuyến xuất hiện trong tích phân miền. Có nhiều phương pháp khác nhau để giải số hạng
phi tuyến đó như Zheng et al. [11] dùng phương pháp nghiệm riêng, Power và Partridge [7]
sử dụng phương pháp đối ngẫu tương hỗ (DRM). Nhưng kết hợp giữa BEM và DRM chỉ giải
được các bài toán dòng chảy phức tạp với số Reynolds nhỏ bằng 40 hay 100. Bằng phương
pháp phân chia miền con [4, 8] Power và Mingo đã giải bài toán cho số Reynolds cao hơn
với độ chính xác cao hơn. Tuy nhiên phương pháp BEM-DRM đã xấp xỉ đạo hàm của vận
tốc trong số hạng phi tuyến thông qua hàm bán kính cơ sở và tạo ra phương trình đại số tuyến
tính với số phương trình lơn hơn số ẩn làm tăng độ phức tạp của bài toán.

Bên cạnh đó, phương pháp không lưới kết hợp với phương trình tích phân biên đang
được quan tâm rộng rãi bởi tính chính xác mà phương trình tích phân biên mang lại. Trong
đó phương pháp không lưới tích phân miền địa phương (LBIE) đưa ra bởi Zhu et al. [12,
13] giải bài toán Poison và bài toán phi tuyến dựa trên xấp xỉ dịch chuyển bình phương tối
thiểu với ý tưởng tạo ra biên địa phương trên mỗi nút. Sau đó Sellountos và Sequeira [10]
dùng LBIE để giải phương trình Navier-Stokes với cách tiếp cận dùng phương pháp nghiệm
đi kèm để xấp xỉ số hạng phi tuyến. Gần đây, Popov và Bui [5] đưa ra phương pháp không
lưới dựa trên phương trình tích phân biên và hàm bán kính cơ sở (RBIEM) để giải bài toán
khuếch tán nhiễu, trong đó phương trình tích phân biên được áp dụng trên mỗi miền con địa

3

phương tương ứng với mỗi nút. Khi đó RBIEM tạo ra hệ phương trình đại số tuyến tính với
số phương trình bằng số ẩn để giải, ma trận hệ số là ma trận thưa. RBIEM được áp dụng để
giải hệ phương trình Navier-Stokes, trong đó với mỗi nút trong miền tính toán, có bảy ẩn số
tương ứng với bảy phương trình tích phân biên. Thay vì phải xấp xỉ biến đạo hàm riêng của
∂ ui
vận tốc
hàm bán kính cơ sở.
∂ xh
Ý tưởng của phương pháp RBIEM là xây dựng một miền con địa phương ứng với mỗi
nút bên trong và trên biên miền tính toán. Về lý thuyết, những miền con địa phương này có
thể có hình dạng bất kỳ. Khi đó để tích phân trên biên của miền bất kỳ, RBIEM phân rã biên
thành những phần tử, tích phân trên biên địa phương sẽ được tính trên từng phần tử và sau đó
được ghép lại. Trên thực tế, để thuận tiện trong quá trình tính toán, miền con được RBIEM
tạo ra là những miền tròn. Nhưng khi đó, để tính tích phân biên có thể dùng phương pháp
khác đơn giản hiệu quả hơn việc phân rã biên.

Trong luận văn này, phương pháp không lưới RBIEM cải tiến được đề xuất. Để thuận
tiện, ta gọi phương pháp RBIEM cải tiến là m-RBIEM (modified RBIEM). Để tính tích phân
trên biên của miền con, thay việc rời rạc biên thành các phần tử bằng cách thêm vào các nút
trên biên, phương pháp không lưới m-RBIEM sẽ sử dụng hệ tọa độ cực để tính trực tiếp các
tích phân khi miền con có dạng hình tròn. Phương pháp m-RBIEM đưa ra lời giải số chính
xác hơn, tiết kiệm thời gian tính toán hơn và dễ dàng hơn trong việc lập trình giải các bài
toán thực tế.

Cấu trúc luận văn được trình bày như sau:
- Chương 1: Giới thiệu tổng quan về phương pháp không lưới dùng phương trình tích phân
biên.
- Chương 2: Đề cập phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes.
- Chương 3: Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes.
- Chương 4: Kết quả số.

4


Chương 2
Phương pháp không lưới RBIEM giải
phương trình Navier-Stokes
2.1

Phương trình tích phân biên và phương pháp đối ngẫu
tương hỗ

Phương pháp đối ngẫu tương hỗ DRM (Dual Reciprocity Method) được kết hợp với
phương pháp phương trình tích phân biên BEM (Boundary Element Method) dùng để chuyển
số hạng tích phân miền thành tích phân trên biên khi giải phương trình Navier-Stokes.
Xét phương trình Navier-Stokes cho chất lỏng không nén được:

ρ

∂ ui
∂ ui ∂ σ i j
+ ρu j
=
+ ρ Fi ;
∂t
∂xj
∂xj
(2.1)

∂ ui

= 0,
∂ xi
trong đó:
ui : là thành phần vectơ vận tốc theo hướng i;

ρ : là mật độ;
Fi : là lực tác động theo hướng i;

σi j : là tensơ ứng suất tương ứng trường vận tốc và áp suất (ui , p).

5


2.1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ
Với chất lỏng Newton ta có:
(

σi j = −pδi j + µ

)
∂ ui ∂ u j
+
,
∂ x j ∂ xi

(2.2)

trong đó:
p: là áp suất chất lỏng;

δi j : là ký hiệu Kronecker;
µ : là hệ số nhớt.
Phương trình Navier-Stokes cho một điểm x trong miền Ω đóng bởi biên S dưới dạng tích
phân được đưa ra bởi Ladyzhenskaya (1963):
∫

uk (x) =

tki∗ (x, y) ui (y) dSy −

S

∫

u∗ki (x, y)ti (y) dSy +

∫

u∗ki (x, y) gi dΩ,

(2.3)

Ω

S

trong đó:
gi = ρ u j ui, j : là số hạng phi tuyến;
ti = σi j n j , n j : là vectơ pháp tuyến hướng ra ngoại miền S;
uki : là trường nghiệm vectơ vận tốc của phương trình Stokes.

Trong trường hợp hai chiều nghiệm u∗ki và qk có dạng:
u∗ki (x, y) = −

[ ( )
]
1
1
(xi − yi ) (xk − yk )
ln
δik +
;
4π µ
r
r2
(2.4)

qk (x, y) = −

1 (xk − yk )
,
2π
r2

trong đó r = |x − y|. Nghiệm cơ bản tki∗ có dạng:
tki∗

(
)
1 (xi − yi ) (xk − yk ) x j − y j
=−

n j.
πr
r3

(2.5)

Khai triển số hạng gi (x) để xấp xỉ tích phân miền trong phương trình (2.3) thành tích phân
biên dạng:
ND

gi (x) =

∑

f m (x) αlm δil ,

m=1

6

(2.6)


2.1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ
trong đó f m (x) là hàm bán kính cơ sở phụ thuộc vào bán kính điểm cần xấp xỉ x và điểm
lân cận ym , m = 1, ..., N. Hàm f m (x) chỉ phụ thuộc vào giá trị R = |x − ym | là khoảng cách
từ điểm x đến điểm lân cận ym . Trong trường hợp 2 chiều, khoảng cách R được xác định như
sau:

√

R=

2
m 2
(x1 − ym
1 ) + (x2 − y2 )

)
(
m
m
trong đó: (x1 , x2 ) là tọa độ của x, ym
1 , y2 là tọa độ của y .
Hàm f (x, ym ) với m = N + 1, N + 2, ..., N + A là hàm toàn cục mở rộng nội suy trên các điểm
lân cận ym và chỉ phụ thuộc vào tọa độ của điểm x (x1 , x2 ). Trường hợp A=3, ta có:
N+3

∑

f (x, ym )αlm = αlN+1 + αlN+2 x1 + αlN+3 x2

m=N+1

Áp dụng (2.6) cho N nút lân cận, ta có 2N phương trình. 2N+6 ẩn. Vì vậy, 6 phương trình bổ
sung có dạng:
N

∑

αlm δil =

N

∑

x1 αlm δil =

m=1

m=1

N

∑ x2αlmδil

m=1

=0
Hệ số αlm chưa biết được xác định bằng cách áp dụng phương trình (2.6) cho ND nút lân cận
ym , m = 1, ND . Khi đó:
∫

u∗ki (x, y) gi (y) dΩ =

ND

∑

αlm

m=1

Ω

∫

u∗ki (x, y) f m (x) δil dΩ.

(2.7)

Ω

(
)
lm
Trường vận tốc và áp suất bổ sung uˆlm
i (x) , pˆ (x) được cho bởi phương trình:

∂ 2 uˆlm
∂ pˆlm (x)
i (x)
−
= f m (x) δil ;
µ
∂ x j∂ x j
∂ xi
(2.8)

∂ uˆlm
i

∂ xi

= 0.

(
)
lm
Trong đó biểu thức giải tích cho trường Stokes uˆlm
i (y) , pˆ (y) tương ứng với các hàm xấp
xỉ được có thể được đưa ra bằng phương pháp tiếp cận đề xuất bởi Power và Wrobel.

7


2.1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ
Khi đó trường vận tốc và lực kéo bổ trợ có thể được tìm như sau:
uˆlm
i (x) =

1
96

[(
)]
)
(
7 4
5 2
2
4

δil − xˆi xˆl 4R log R − R ,
5R log R − R
3
3

(2.9)

trong trường hợp f m (x) = r2 log r, với xˆ = x − ym và R = ∥x − ym ∥. Biểu thức lực kéo bổ trợ
tương ứng là:
tˆilm (x) = σilj (x) n j (x)
(
[
)]
(
)
1
1
2
8r xˆi nl + xˆ j n j δil + xˆl ni × 2 log R −
=
96[
3
(
)]
1
1
−
4xˆi xˆl xˆ j n j 4 log R +
.
96

3

(2.10)

Trong các trường hợp đặc biệt của hàm f m (x), lực kéo bổ trợ sẽ có dạng sau:
. Trường hợp 1:
fˆm (x) = 1,

uˆlm
i =

)
1 (
3|x|2 δil − 2xi xl ,
16

tˆilm =

)
1(
xi nl + x j n j δil + xl ni .
4

. Trường hợp 2:
fˆm (x) = x1 ,
uˆlm
i =

1 [ 3
x (3δil − 2δ1i δ1l − δ2i δ2l ) + 3x22 x1 (δil − δ1i δ1l )

24 1
]
−3x12 x2 (δ1i δ2l + δ2i δ1l ) ,

tˆilm (x) =

1{ 2
x [3 (n1 δil + nl δ1i + ni δ1l )
8 1

−2 (2n1 δ1i δ1l + n1 δ2i δ2l + n2 δ1i δ2l + n2 δ2i δ1l )]

8

(2.11)


2.1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ
+2x1 x2 [n2 δil + nl δ2i + ni δ2l − 2 (n2 δ1i δ1l + n1 δ1i δ2l + n1 δ2i δ1l )]
(2.12)

}
+ x22 [n1 δil + nl δ1i + ni δ1l − 2n1 δ1i δ1l ] .
. Trường hợp 3:
fˆm (x) = x2 ,
uˆlm
i =

1
24

[ 3
x2 (3δil − 2δ2i δ2l − δ1i δ1l ) + 3x12 x2 (δil − δ2i δ2l )

−3x22 x1 (δ2i δ1l + δ1i δ2l ) ,
tˆilm (x) =

1{ 2
x [3 (n2 δil + nl δ2i + ni δ2l )
8 2

(2.13)

−2 (2n2 δ2i δ2l + n2 δ1i δ1l + n1 δ2i δ1l + n1 δ2l δ1i )]
+2x2 x1 [n1 δil + nl δ1i + ni δ1l − 2 (n1 δ2i δ2l + n2 δ2i δ1l + n2 δ1i δ2l )]
}
+x12 [n2 δil + nl δ2i + ni δ1l − 2n2 δ2i δ2l ] .
(
)
lm
Áp dụng định lý Green cho trường vận tốc mới uˆlm
i (x) , pˆ (x) ta có:
∫

uˆlm
i (x) =

tki∗ (x, y) uˆlm
i (y)dSy −
∫

S

+

∫

u∗ki (x, y)tˆilm (y) dSy

S
∗
m
uki (x, y) f (y) δil dΩ.

(2.14)

Ω

(
)
Trong đó tˆilm được cho bởi tˆilm (y) = σi j u∗ki (y) , pˆlm (y) n j (y).
Tích phân miền trong (2.3) được viết dưới dạng:
∫

u∗ki (x, y) f m (y) δil dΩ = −
∫

Ω

+

∫

tki∗ (x, y) uˆlm
i (y) dSy

S
∗
uki (x, y) tˆilm (y) dSy + uˆlm
i (x) .

S

9

(2.15)


2.1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ
Thay (2.15) và (2.7) vào (2.3) với ti = −pni + µ n j

(

∂ ui
∂xj

+

∂uj
∂ xi

)
dẫn đến phương trình cho vận

tốc ui tại điểm x chỉ gồm các tích phân biên liên hệ giữa trường vận tốc, áp suất và các đạo
hàm riêng của vận tốc:
uk (x) −

∫

tki∗ (x, y) ui (y) dSy

S

∫

+

u∗ki (x, y)

S

[
(
)]
∂ ui (y) ∂ u j (y)
−p (y) ni + µ n j
+
dSy
∂xj

∂ xi

(2.16)



∫
 ∫

m
∗
lm
∗
lm
lm
= ∑ αl − tki (x, y) uˆi (y) dSy + uki (x, y) tˆi (y) dSy + uˆi (x) .


m=1
ND

S

S

Đạo hàm phương trình (2.16) theo biến xh (h=1,2) ta được:

∂ uk (x)
=
∂ xh

−

∫
S

∫
S

∂ tki∗ (x, y)
ui (y) dSy
∂ xh

(
[
)]
∂ u∗ki (x, y)
∂ ui (y) ∂ u j (y)
−p (y) ni + µ n j
+
dSy
∂ xh
∂xj
∂ xi

(2.17)



∫

 ∫ ∂ t ∗ (x, y)
lm
∗
∂ uˆk (x) 
∂ uki (x, y) lm
m
lm
ki
uˆi (y) dSy +
tˆi (y) dSy +
.
+ ∑ αl −

∂ xh
∂ xh
∂ xh 
m=1
ND

S

S

Rời rạc hóa biên S, phương trình (2.16), (2.17) cho ta công thức tính giá trị vận tốc và các
đạo hàm riêng của thành phần vận tốc theo các biến x1 , x2 tại nút n:
unk −

Na

∑

a=1

ND

=

∑

m=1

Na

Hkia uai +

∑

[
Gaki

(

−p ni + µ n j
a

a=1

{

Na

Na

a=1

a=1

∂ uai ∂ u j
+
∂ x j ∂ xi

a

}

αlm − ∑ Hkia uˆlma
+ ∑ Gakitˆilms + uˆlmn
.
i
k

10

)]

(2.18)


2.2. NỘI SUY HÀM GIÁ TRỊ

Na

Na

a=1

a=1

[

(

a
uai + ∑ Gaki,h −pa ni + µ n j
unk,h − ∑ Hki,h

ND

=

∑

m=1

{

Na

Na

a=1

a=1

∂ uai ∂ u j
+
∂ x j ∂ xi

a

}

)]

(2.19)

a
αlm − ∑ Hki,h
uˆlma
+ ∑ Gaki,htˆilma + uˆlmn
i
k,h .

a , Ga là các hệ số đi kèm với vận tốc và đạo hàm của thành phần vận
Trong đó Hkia , Gaki , Hkih
kih
a , Ga thu được từ tích phân trên các phần tử biên
tốc theo biến x1 , x2 . Các hệ số Hkia , Gaki , Hki,h
ki,h

được phân rã trong các phương trình (2.16), (2.17). Giá trị unk , unk,h trong công thức (2.16),
(2.17) là giá trị của vận tốc và đạo hàm thành phần vận tốc theo biến x1 , x2 tại các nút a,
(a=1,..., Na ) trên biên tròn địa phương. Các biến này thu được nhở phép xấp xỉ nội suy dùng
hàm bán kính cơ sở RBF sẽ được trình bày ở mục tiếp theo.

2.2 Nội suy hàm giá trị
∂ ui (y) ∂ u j (y)
,
, p(y) được xác
∂xj
∂ xi
định bằng hàm bán kính cơ sở f (y, zs ) để nội suy giá trị xung quanh các nút zs , s = 1, ..., NA :
Những giá trị hàm chưa biết trên biên tròn miền con ui (y),

NA

ui (y) =

∑ f (y, zs)βis,

s=1

∂ ui (y) NA
= ∑ f (y, zs )γis ,
∂xj
s=1
(2.20)

∂ u j (y)
= ∑ f (y, zs )ζis ,

∂ xi
s=1
NA

NA

p (y) =

∑ f (y, zs)εs,

s=1

11


2.2. NỘI SUY HÀM GIÁ TRỊ
trong đó: βis , γis , ζis , εs xác định cho các nút y = zt , t = 1, ..., NA .
Suy ra:
NA

∑ Ftsβis,

uti =

t=1

NA
∂ uti
= ∑ Fts γis ,
∂ x j t=1

(2.21)

∂ utj
∂ xi

NA

∑ Ftsζis,

=

t=1
NA

∑ Ftsεs.

pt =

t=1

Với:

uti

t
∂ uti ∂ ui (zt ) ∂ u j ∂ u j (zt ) t
= ui (zt ) ,
=
,

=
, p = p (zt ).
∂xj
∂xj
∂ xi
∂ xi

Suy ra:

βis =

NA

∑ Rtsuti ,

t=1
NA

∑ Rts

γis =

t=1

∂ uti
,
∂xj
(2.22)

ζis =

NA

∑ Rts

t=1

εs =

∂ utj
∂ xi

,

NA

∑ Rts pt ,

t=1

trong đó: Rts = [Fts ]−1 .
Suy ra:
NA NA

ui (y) =

∑ ∑ f (y, zs)Rtsuti ,

(2.23)

s=1 t=1

NA NA
∂ uai
∂ ut
= ∑ ∑ Fsa Rts i ,
∂ x j s=1 t=1
∂xj

12

(2.24)


2.3. PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM

∂ uaj
∂ xi

NA NA

∂ utj

∑ ∑ FsaRts ∂ xi ,

=

(2.25)

s=1 t=1

NA NA

p (y) =

∑ ∑ f (y, zs)Rts pt .

(2.26)

s=1 t=1

2.3

Phương pháp không lưới RBIEM

Phương pháp không lưới RBIEM sẽ tạo ra mỗi miền con địa phương ứng với mỗi nút
trong miền tính toán. Các phương trình tích phân biên sẽ được tạo ra để giải các ẩn tại mỗi
nút. Để tính toán các tích phân trong phương trình (11), biên địa phương sẽ được phân rã
thành các phần tử bởi các nút trên biên. Giá trị của tích phân biên sẽ được tính toán dựa trên
thông tin của trường vận tốc, áp suất, đạo hàm vận tốc tại các điểm trên biên.

Si
Sk
rk
xk

xi

ri

Ωj

Ωi

xj

rj

Ωk
Sj

Hình 2.1: Miền con hình tròn phân bố bài toán
Phương pháp RBIEM đưa vào 7 ẩn tại mỗi nút gồm thành phần vectơ vận tốc u1 , u2 , các đạo
hàm riêng của thành phần vectơ theo biến x1 , x2 :

∂ u1 ∂ u1 ∂ u2 ∂ u2
∂ x1 , ∂ x2 , ∂ x1 , ∂ x2

và áp suất p. Tại mỗi nút

7 phương trình tương ứng với 7 ẩn được tạo ra. Khi đó RBIEM sẽ tạo ra một hệ phương trình
đại số tuyến tính với số phương trình bằng số ẩn. Giá trị unk , unk,h tại nút n trên biên địa phương
trong công thức (2.18), (2.19) thu được bằng cách áp dụng công thức (2.23), (2.24), (2.25)
tương ứng với nút y là nút a trên biên địa phương, khi đó ta có:
uai =

NA NA

∑ ∑ FsaRst uti ,

s=1 t=1

13

(2.27)


2.3. PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM

zNa−1
Si
ξNb

zN a

ξ1
ξ2

z8
z5

z9
z7
ξNb −1

x

ξ3
z1

z4

z2

z6
z3

Hình 2.2: Một biên tròn địa phương được rời rạc hóa thành các phần tử

NA NA
∂ uai
= ∑ ∑ Fsa Rts uti ,
∂ x j s=1 t=1

∂ uaj
∂ xi

(2.28)

NA NA

=

pa =

∑ ∑ FsaRtsutj ,

(2.29)

s=1 t=1
NA NA

∑ ∑ FsaRts pt .

(2.30)

s=1 t=1

Thay công thức (2.27), (2.28), (2.29), (2.30) vào (2.18), (2.19) ta có giá trị vận tốc và đạo
hàm thành phần vận tốc theo các biến x1 , x2 tại những nút cho trước trên miền tính toán như
sau:
unk =

Na NA NA

∑ ∑ ∑ Hkia FsaRtsuti

a=1 s=1 t=1

−∑

(

[

Na NA NA

∑ ∑ GakiFsaRts

−pt ni + µ n j

a=1 s=1 t=1

ND

+

∑ αlm

m=1

{

Na

Na

a=1

a=1

∂ uti ∂ u j
+
∂ x j ∂ xi
t

}

− ∑ Hkia uˆlma
+ ∑ Gakitˆilms + uˆlmn
,

i
k

14

)]
(2.31)


2.3. PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM

unk,h =

Na NA NA

a
Fsa Rts uti
∑ ∑ ∑ Hki,h

a=1 s=1 t=1

[

Na NA NA

−∑

∑ ∑ Gaki,hFsaRts

(

−pt ni + µ n j

a=1 s=1 t=1

ND

{

∑ αlm

+

m=1

Na

Na

a=1

a=1

∂ uti ∂ u j
+
∂ x j ∂ xi
t

)]
(2.32)

}

a
− ∑ Hki,h
uˆlma
+ ∑ Gaki,htˆilms + uˆlmn
.
i
k

Đặt:
NA

NA

s=1

s=1

s lms
lmn
Tklmn = − ∑ Hkis uˆlms
i + ∑ Gkitˆi + uˆk ,
NA

NA

s=1

s=1

(2.33)

lmn
s
s
lms
lmn
Tk,h
= − ∑ Hki,h
uˆlms
i + ∑ Gki,htˆi + uˆk,h .

(2.34)

Từ phương trình (2.31), (2.33) ta có phương trình cho vận tốc theo phương i tại nút n biểu
diễn qua vận tốc, áp suất và đạo hàm vận tốc nút a trên biên S.
unk

Na NA NA

=

∑ ∑ ∑ Hkia FsaRtsuti

a=1 s=1 t=1

Na NA NA

−∑

∑∑

(

[
Gaki Fsa Rts

−p ni + µ n j
t

a=1 s=1 t=1

∂ uti ∂ u j
+
∂ x j ∂ xi
t

)]

ND

+

∑

(2.35)

αlm Tklmn .

m=1

Từ phương trình (2.32), (2.43) ta có phương trình cho đạo hàm riêng thành phần thứ i của
vectơ vận tốc theo biến xh tại nút n biểu diễn qua vận tốc, áp suất, đạo hàm vận tốc tại nút a
trên biên S.
unk,h =

Na NA NA

a
Fsa Rts uti
∑ ∑ ∑ Hki,h

a=1 s=1 t=1

Na NA NA

−∑

∑∑

(

[
Gaki,h Fsa Rts

−p ni + µ n j
t

a=1 s=1 t=1

15

∂ uti ∂ u j
+
∂ x j ∂ xi
t

)]

ND

+

∑

m=1

(2.36)
lmn
αlm Tk,h
.


2.3. PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM
Sử dụng phép xấp xỉ DRM kết hợp với phương trình tích phân biên cho áp suất, ta có phương
trình tích phân biên cho áp suất:
∫

p (x) =
−2µ

[
(
)]
∂ uk (y) ∂ u j (y)
q (x, y) −p (y) nk + µ n j
+
dSy
∂xj
∂ xk
k

∫ S k
∂ q (x, y)

uk (y) n j (y) dSy
∂xj
S


∫
∫


ND
k
∂ q (x, y) lm
uˆk (y) n j (y) dSy .

+ ∑ αlm pˆlm (x) + qk (x, y)tˆklm (y) dSy + 2


∂xj
m=1
S

(2.37)

S

Rời rạc hóa biên S, áp suất tại điểm n được tính bởi công thức sau:
[

Na

(

pn = − ∑ Qka −pa nk + µ n j
a=1 (
ND

+

∑

αlm

m=1

Na

pˆ (x) + ∑
lm

)]

∂ uak ∂ uaj
+
∂ x j ∂ xk

Qkatˆklma + 2µ

Na

∑

− 2µ Pjka uak naj
)
a
Pjka uˆlma
k nj

(2.38)

.

a=1

a=1

Kết hợp với các phương trình (2.27), (2.28) (2.29) (2,30) ta được:
pn = − ∑

(

[

Na NA NA

∑ ∑ QkaFsaRts

−pt nk + µ n j

a=1 a=1 t=1
Na NA NA

−2µ

ND

+

∂ utk ∂ utj
+
∂ x j ∂ xk

∑ ∑ ∑ PjkaFsaRtsutk naj

a=1 s=1

( t=1

(2.39)

∑

lmn

= pˆ (x) + ∑

pˆlm (x) + ∑ Qkatˆklma + 2µ

m=1

a=1

)

Na

Na

αlm

)]

a
∑ Pjkauˆlma
k n

.

a=1

Đặt:
S

Na

lm

Na

Qkatˆklma + 2µ

a
∑ Pjkauˆlma
k n .

(2.40)

a=1

a=1

Từ phương trình (2.39), (2.40) ta có áp suất tại điểm n được tính qua các nút xung quanh:
Na NA NA

pn = − ∑

∑ ∑ QkaFsaRts

(

[
−pt nk + µ n j

a=1 s=1 t=1

∂ utk ∂ utj
+
∂ x j ∂ xk

)]

(2.41)
−2µ

Na NA NA

∑∑

∑ PjkaFsaRtsutk naj +

a=1 s=1 t=1

16

ND

∑ αlmSlmn.

m=1


2.4. SỐ HẠNG PHI TUYẾN

Hệ số chưa biết αlm trong phương trình (2.35), (2.36), (2.41) được xác định bằng cách
xây dựng hệ phương trình từ phương trình (6) cho nút yk , k = 1, n:
( )
gi yk =

ND

∑

)
(
k m
f y , y αlm δil , l = 1, 2; i = 1, 2

(2.42)

m=1

Kí hiệu F là ma trận mà các thành phần được cho bởi Fil (yk , ym ) = f (yk , ym )αlm δil , khi đó
[
]−1
αlm = Fil (yk , ym ) gi (yk ). Kết hợp với gi = u j ∂∂ xuij , ta có:

αlm

[

]−1 ∂ u
i
= Fil (y , y ) u j
∂xj
k

m

(2.43)

Khi đó phương trình (2.35), (2.36), (2.41) xuất hiện các số hạng phi tuyến khi thay giá trị αlm
trong biểu thức (2.43).

2.4

Số hạng phi tuyến

Việc xác định các hệ số chưa biết αlm được thực hiện bằng cách xây dựng các phương
trình thu được khi áp dụng phương trình (2.6) trên các điểm yk :
( ) N+A (
)
gi yk = ∑ f yk , ym αlm δil ,

(2.44)

m=1

trong đó: k = 1, ..., N, l = 1, 2 và i = 1, 2
Kí hiệu:
Fil (yk , ym ) = f (yk , ym )δil

(2.45)

Phương trình (2.44) có thể được viết như sau:
k

gi (y ) =

N+A

∑ Fil (yk , ym)αlm

m=1

17

(2.46)


2.4. SỐ HẠNG PHI TUYẾN
Khi đó hệ số chưa biết αlm được xác định bằng cách nghịch đảo (2.46)

αlm

[

(

k

= Fil y , y

m

)]−1

gi (yk )

(2.47)

Thuật toán thiết lập phải liên quan đến giá trị của gi (yk ) với các giá trị của vectơ vận tốc. Số
hạng gi (yk ) có dạng:
gi (x) = u j (x)

∂ ui (x)
.
∂xj

(2.48)

Vận tốc ui (x) có thể được xấp xỉ như sau:
ui (x) = Fip (x, yn )β pn , n = 1, ..., N + A

(2.49)

Hệ số β pn được cho nghiệm duy nhất của hệ phương trình đại số tuyến tính thu được từ phương

trình trên tại các điểm nút x = ys , s = 1, 2, ..., N

β pn = [Ft p (ys , yn )]−1 ut (ys ).

(2.50)

Lấy vi phân hai vế phương trình cho ta:
[
]
∂ Fip (x, yn ) n
∂ ui (x)
=
βp
∂xj
∂xj

(2.51)

Thay phương trình (2.50) vào phương trình trên:

∂ ui (x) ∂ Fip (x, yn )
=
[Ft p (ys , yn )]−1 ut (ys )
∂xj
∂xj

(2.52)

Các đạo hàm của trường vận tốc có thể được xấp xỉ bởi tích phân có dạng như phương trình
(2.17) Để xấp xỉ số hạng phi tuyến gi (x), phương trình (2.52) được sử dụng thay cho phương

trình (2.17). Đó là bởi vì có tồn tại một số hạng phi tuyến trong phương trình (2.17)
Thay phương trình (2.52) và phương trình (2.46), số hạng phi tuyến gi (x) có thể được xấp xỉ
như sau:

∂ ui (x) ∂ Fip (x, yn )
gi (x) = u j (x)
=
[Ft p (ys , yn )]−1 ut (ys )u j (x)
∂xj
∂xj

18

(2.53)


2.4. SỐ HẠNG PHI TUYẾN
Cuối cùng thay phương trình (2.53) và phương trình (2.47) cho ta biểu thức của các hệ số αlm

αlm

s

n −1

= [Fil (y , y )]

[

]

∂ Fip (x, yn )
[Ft p (ys , yn )]−1 ut (ys )u j (yk )
∂xj

19

(2.54)


Chương 3
Phương pháp RBIEM với miền địa
phương tròn giải hệ phương trình
Navier-Stokes
Để tính các tích phân biên trên miền địa phương tròn trong các phương trình (2.16),
(2.17), (2.37), thay cho việc rời rạc biên thành các phần tử bằng cách thêm vào các nút trên
biên, phương pháp m-RBIEM sẽ tính toán trực tiếp các tích phân biên đó bằng cách tham số
hóa các biến trong hệ tọa độ cực. Thay vào công thức (2.23), (2.24), (2.25), (2.26) vào các
công thức (2.16), (2.17), (2.37) ta được:
Ns +3 Ns

uk (x) =

∑∑

∫

tki∗ (x, y) f (y, zs ) Rts uti dSy

s=1 t=1
S

Ns +3 Ns ∫

∑∑

+
−

u∗ki (x, y) f (y, zs ) Rts pt ni dSy

s=1 t=1
S
Ns +3 Ns

∫

s=1 t=1
Ns +3 Ns

S

−

∑

∑µ

∑ ∑µ

∫

u∗ki (x, y) f (y, zs ) Rts n j
u∗ki (x, y)

∂ uti
dSy
∂xj

f (y, zs ) Rts n j

s=1 t=1

∂ utj
∂ xi

dSy

S


∫
 ∫

∗
lm
lm
ˆ
+ ∑ αlm − tki∗ (x, y) uˆlm
(y)
dS
+

u
(x,
y)
t
(y)
dS
+
u
ˆ
(x)
y
y
i
i
i
ki


m=1
Ns +3

S

S

20

(3.1)

∂ uk (x) Ns +3 Ns
= ∑ ∑
∂ xh
s=1 t=1
Ns +3 Ns

∑∑

+

s=1 t=1

−

∫
S

∫

∂ u∗ki (x, y)
f (y, zs ) Rts pt ni dSy
∂ xh

S

Ns +3 Ns

∑ ∑µ

s=1 t=1

−

∂ tki∗ (x, y)
f (y, zs ) Rts uit dSy
∂ xh

∫

∂ u∗ki (x, y)
∂ ut
f (y, zs ) Rts n j i dSy
∂ xh
∂xj

S

∫

Ns +3 Ns

∑ ∑µ

s=1 t=1

S

(3.2)

∂ utj

∂ u∗ki (x, y)
f (y, zs ) Rts n j
dSy
∂ xh
∂ xi



∫
 ∫ ∂ t ∗ (x, y)
lm
∗
∂ uˆk (x) 
∂ uki (x, y) lm
ki
ˆ
uˆlm
(y)
dS
+
t
(y)
dS
+
+ ∑ αlm −
y
y
i
i


∂ xh
∂ xh
∂ xh 
m=1
Ns +3

S

S

Ns +3 Ns

p (x) =

∑∑

s=1 t=1

−

Ns +3 Ns

∑∑

s=1 t=1

−

Ns +3 Ns

∑∑

s=1 t=1

−

Ns +3 Ns

Ns +3

+

∑

m=1

αlm  pˆlm (x) +

∫

qk (x, y) f (y, zs ) Rts pt nk dSy
S

µ qk (x, y) n j f (y, zs ) Rts

S

µ qk (x, y) n j f (y, zs ) Rts

S

∑ ∑ 2µ

s=1 t=1



∫

∫

∫

∫
S

∂ utk (y)
dSy
∂xj

∂ utj (y)
∂ xk

dSy

∂ qk (x, y)
f (y, zs ) Rts utk n j dSy
∂xj

qk (x, y) tˆklm (y) dSy + 2µ

S

∫
S

21



∂ qk (x, y)
∂xj


uˆlm
k (y) n j (y) dSy

(3.3)


Đặt:

∫

Hkis

tki∗ f (y, zs ) dSy

(3.4)

∂ tki∗
f (y, zs ) dSy
∂ xh

(3.5)

u∗ki f (y, zs ) ni dSy

(3.6)

∂ u∗ki
f (y, zs ) ni dSy
∂ xh

(3.7)

u∗ki f (y, zs ) n j dSy

(3.8)

∂ u∗ki
f (y, zs ) n j dSy
∂ xh

(3.9)

=
S

∫

s
Hki,h
=

∫

S

Gsk =
S

∫

Gsk,h =
S

∫

G¯ ski j =
S

∫

G¯ ski j,h =
Tklm

=−

S

∫

tki∗ uˆlm
i dSy +

∫

S
lm
Tk,h

=−

∫
S

u∗kitˆilm dSy + uˆlm
k

(3.10)

S

∂ tki∗ lm
uˆ dSy +
∂ xh i
∫

Qs =

∫
S

∂ uˆlm
∂ u∗ki lm
ˆti dSy + k
∂ xh
∂ xh

(3.11)

qk (x, y) f (y, zs ) nk dSy

(3.12)

qk (x, y) f (y, zs ) n j dSy

(3.13)

∂ qk (x, y)
f (y, zs ) n j dSy
∂xj

(3.14)

S

∫

Q¯ ks

j =
S

∫

Pks =
S

∫

Slm = pˆlm (x) +

qk (x, y) tˆklm (y) dSy + 2µ

∫
S

S

22

∂ qk (x, y) lm
uˆk (y) n j (y) dSy
∂xj

(3.15)


Từ đó suy ra:
Ns +3 Ns

∑

uk (x) =

∑ Hkis Rtsuti +

Ns +3 Ns

∑

s=1 t=1

∑ Gsk Rts pt −

Ns +3 Ns

s=1 t=1

∑

∑ µ G¯ ski j Rts

s=1 t=1

∂ uti
∂xj
(3.16)

−

Ns +3 Ns

∑ µ G¯ ski j Rts

∑

∂ utj
∂ xi

s=1 t=1

⇔ uk (x) =

Ns +3 Ns

∑

αlm Tklm

m=1

∑

∑ Gsk Rts pt −

Ns +3 Ns

s=1 t=1

∑ µ G¯ ski j Rts

∑

s=1 t=1

∂ uti
∂xj

∂ utj

Ns +3 Ns

∑

∑

Ns +3 Ns

∑ Hkis Rtsuti +

s=1 t=1

−

Ns +3

+

∑ µ G¯ ski j Rts

∂ xi

s=1 t=1

(3.17)
N+ 3 {

+

∑

[

Rsm Tk1m

m=1

+ Rsm Tk2m

Ns +3 Ns

uk,h (x) =

∑∑

∂ u1 (ys )
∂ u1 (ys )
+ u2 (ys )
u1 (y )

∂ x1
∂ x2

]

s

[
s
s ]}
s ∂ u2 (y )
s ∂ u2 (y )
u1 (y )
+ u2 (y )
∂ x1
∂ x2

s
Hki,h
Rts uti +

Ns +3 Ns

s=1 t=1

∑∑

Gsk,h Rts pt −

s=1 t=1

∂u
∑ µ G¯ ski j,hRts ∂ x ij
t=1

Ns +3 Ns

∑

s=1

t

(3.18)
−

Ns +3 Ns

∑

∑ µ G¯ ski j,hRts

s=1 t=1

⇔ uk,h (x) =

∂ utj
∂ xi

Ns +3

+

∑

lm
αlm Tk,h

m=1

Ns +3 Ns

∑

s
Rts uti +
∑ Hki,h

s=1 t=1

−

Ns +3 Ns

∑

∑ µ G¯ ski j,hRts

s=1 t=1

Ns +3 Ns

∑ ∑ Gsk,hRts pt

s=1 t=1

∂ utj
∂ uti Ns +3 Ns ¯ s
− ∑ ∑ µ Gki j,h Rts
∂ x j s=1 t=1
∂ xi

23