Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier Stokes và hệ phương trình g Navier Stokes

Mục lục
Mở đầu 3
1 Kiến thức cơ sở 6
1.1 Thiết lập hệ phương trình Navier-Stokes . . . . . . . . . . . 6
1.2 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . 10
1.3.2 Không gian L
2
(Ω), H
1
0
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Không gian H, V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Toán tử Stokes A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Toán tử B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier-
Stokes 19
2.1 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Tính duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm mạnh . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm . . . . . . . . . . 29
1
3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình g-
Navier-Stokes 33
3.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.2 Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.3 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận 46
Tài liệu tham khảo 47
2
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài khóa luận
Viện toán học Clay (tiếng Anh: Clay Mathematics Institute, viết tắt
là CMI) là một tổ chức do Quỹ tư nhân lập ra năm 1998 ở Cambridge,
Massachusetts, Hoa Kỳ với mục đích cống hiến cho việc mở mang và phổ
biến kiến thức toán học. Viện trao nhiều giải thưởng và tiền bảo trợ khác
nhau cho các nhà toán học có triển vọng. Ngày 24.05.2000, Viện Clay đã
đưa ra "Các bài toán của Giải Thiên niên kỉ "gồm bảy bài toán bao gồm
toàn bộ các lĩnh vực của toán học. Các bài toán này được Viện coi là "các
vấn đề cổ điển quan trọng chưa có giải đáp trong nhiều năm ". Người đầu
tiên giải được một trong các bài toán này sẽ được Viện thưởng 1 triệu
đôla. Đó là phần thưởng nhằm đưa toán học trở lại vị trí xứng đáng của
nó.
Một trong bảy bài toán đó là bài toán về hệ phương trình Navier-Stokes
được đưa ra từ năm 1882. Có thể là chúng ta chưa từng nghe đến phương
trình này, nhưng chắc hẳn đã gặp chúng ở đâu đó mỗi ngày. Chúng mô
tả hình dạng của sóng, sự hình thành của bão, sự chuyển động của không
khí, sự chuyển động của đại dương, hiện tượng sóng dập sau đuôi con tàu
chạy trên mặt nước, sự hỗn loạn của không khí sau đuôi máy bay khi bay
trên bầu trời và cả hình thái của các thiên hà trong thời điểm nguyên thủy
của vũ trụ,
Hệ phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ các định luật bảo toàn
khối lượng và động lượng và có dạng:




∂u
∂t
− ν  u + (u.)u + p = f(x, t),
.u = 0.
ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp
suất cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực.
3
Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, trong những năm gần đây
nhiều lớp phương trình và hệ phương trình khác trong cơ học chất lỏng
cũng thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán
học bởi ý nghĩa về mặt toán học và tầm quan trọng của chúng, cũng như
những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu. Những
hệ phương trình này bao gồm một số mở rộng hoặc biến dạng của hệ
Navier-Stokes: α-mô hình, hệ Navier-Stokes-Voigt, hệ mô tả chuyển động
của chất lỏng không Newton, Một trong những lớp hệ phương trình
trong cơ học chất lỏng được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây
là lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes, được đưa ra lần đầu tiên bởi J.
Roh năm 2001. Hệ phương trình g-Navier-Stokes có dạng:



∂u
∂t
− ν  u + (u.)u + p = f(x, t),
.(gu) = 0.
ở đó g = g(x) là một hàm số dương cho trước.
Về mặt toán học, hệ phương trình g-Navier-Stokes là một dạng tổng

quát của hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển, cụ thể khi g = const,
ta thu lại được hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển. Vì vậy, nếu ta có
một kết quả đối với lớp hệ phương trình này, thì chỉ cần cho g = 1, ta
sẽ nhận được kết quả tương ứng đối với hệ phương trình Navier-Stokes.
Ngược lại, việc chuyển những kết quả đã biết đối với hệ phương trình
Navier-Stokes cho hệ phương trình g-Navier-Stokes đặt ra những vấn đề
toán học lí thú. Xuất phát từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài nghiên
cứu cho khóa luận: " Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương
trình Navier-Stokes và hệ phương trình g-Navier-Stokes ".
2. Mục tiêu khóa luận
Khóa luận cần đạt được những mục tiêu sau:
• Chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ phương
trình Navier-Stokes.
• Xây dựng các không gian hàm, các toán tử cho hệ phương trình g-
Navier-Stokes. Từ đó chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
hệ phương trình g-Navier-Stokes.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier-
Stokes và hệ phương trình g-Navier-Stokes.
4. Phương pháp nghiên cứu
4
Để nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ phương trình
Navier-Stokes và hệ phương trình g-Navier-Stokes, tôi sử dụng các phương
pháp và công cụ của giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ Galerkin,
các bổ đề compact, các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến,
Ngoài ra, để có được phép nhúng giữa các không gian Sobolev và các
bất đẳng thức toán tử cần thiết, tôi phải sử dụng các công cụ và phương
pháp tính toán khoa học.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu:

Khóa luận nghiên cứu về hệ phương trình Navier-Stokes và hệ phương
trình g-Navier-Stokes.
• Phạm vi nghiên cứu:
Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ phương trình
Navier-Stokes và hệ phương trình g-Navier-Stokes.
6. Ý nghĩa khoa học
Các kết quả nghiên cứu trong khóa luận góp phần vào việc hoàn thiện
nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes và hệ phương trình g-Navier-
Stokes. Như chúng ta đã biết, các hệ phương trình này có nguồn gốc từ
các bài toán thực tiễn khi nghiên cứu chuyển động của chất lưu, do đó các
kết quả đạt được trong khóa luận cũng góp phần tăng khả năng ứng dụng
trong thực tiễn.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành các chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương 2: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier-
Stokes
Chương 3: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình g-Navier-
Stokes
5
Chương 1
Kiến thức cơ sở
Trong chương này, khóa luận trình bày các kiến thức cơ sở về hệ phương
trình Navier - Stokes như: thiết lập hệ phương trình Navier-Stokes, các bất
đẳng thức cơ bản, các không gian hàm và các toán tử đặc trưng cho hệ
( xem [1], [9])
1.1 Thiết lập hệ phương trình Navier-Stokes
Khi mô tả chuyển động của chất lưu, người ta thường dùng biểu diễn
Lagrange để biểu diễn quỹ đạo X = X(x, t), x ∈ R

n
, t > 0 và biểu diễn
Euler để biểu diễn vận tốc u = u(x, t).
Nếu hàm ρ = ρ(x, t) biểu diễn mật độ khối lượng và O là phần tử chất
lưu thì ta có:

O
∂ρ
∂t
dx = −

∂O
ρu.nds. (1.1)
Áp dụng công thức Stokes, với mọi O ta có:

O

∂ρ
∂t
+ div(ρu)

dx = 0.
Do đó:
∂ρ
∂t
+ div(ρu) = 0. (1.2)
Phương trình (1.2) là phương trình bảo toàn khối lượng.
Hơn nữa, ta cũng có ρu là động lượng. Nếu f là lực tác động thì áp dụng
6
định luật bảo toàn động lượng, ta có:


O
∂
∂t
(ρu)dx = −

O
ρu(u.n)ds +

O
ρfdx +

O
F.nds (1.3)
trong đó: F = σ, σ là tenxơ ứng suất, σ = p.1 + τ với p là hàm áp suất, 1
là ma trận đơn vị, τ là tenxơ ứng suất lớn nhất.
Áp dụng công thức Stokes và kết hợp (1.3) ta được:
∂
∂t
(ρu) + div(u ⊗ u) − divτ + p = ρf. (1.4)
Gia tốc của chất lưu tại thời điểm (x, t) là:
d
dτ

U

X(τ), τ

t=τ
=


∂u
∂t
+ (u.)u

(x, t)
trong đó:
(u.)u =
N

i=1
u
i
∂u
∂x
i
.
Từ đó ta có:
ρ
∂u
∂t
+ ρ(u.)u − divτ + p = ρf. (1.5)
Trong trường hợp tổng quát thì τ phụ thuộc vào ρ, T, Du.
Nếu τ là hàm tuyến tính đối với Du thì
τ = λ.divu.1 + 2µd
với
d =
1
2
[(Du + (Du)

T
], λ = λ(ρ, T ), µ = µ(ρ, T ).
Trong thực tế, thường gặp τ không phụ thuộc vào ρ và T, tức là λ = const,
µ = const.
Trường hợp λ = µ = 0 thì τ = 0, do đó chất lưu không có nhớt.
Trường hợp µ > 0, λ + µ > 0 thì chất lưu có nhớt.
Nếu chất lỏng không nén được thì divu = 0.
Nếu chất lỏng là thuần nhất thì ρ = ρ = const.
Khi đó:
σ = 2µd − p.1
d =
1
2
(Du + (Du)
T
) → divd =
N

i,j=1
1
2
∂
j
(∂
i
u
j
+ ∂
j
u

i
).
7
Do divu = 0 nên divd =
N

i=1
1
2
 u
i
.
Nếu µ = const > 0 thì ta có hệ:



∂
∂t
(ρu
i
) + div(ρuu
i
) − µ.  u
i
+ ∂
i
p = ρf
i
, 1 ≤ i ≤ N
divu = 0.

Đây chính là hệ Navier-Stokes trong trường hợp chất lưu không nén được
và không thuần nhất.
Nếu chất lưu thuần nhất thì ta được hệ Navier-Stokes không nén được và
thuần nhất như sau:



∂u
i
∂t
− u
i
+ (u.)u
i
+ p
i
= f , 1 ≤ i ≤ N
divu = 0.
Trong vật lí, người ta thường quan tâm đến trường hợp N = 2 hoặc N = 3.
1.2 Các bất đẳng thức cơ bản
Dưới đây là một số bất đẳng thức sơ cấp nhưng rất quan trọng và thường
xuyên được sử dụng:
• Bất đẳng thức Cauchy:
ab ≤
a
2
2
+
b
2

2
.
• Bất đẳng thức Cauchy với ε:
ab ≤ εa
2
+
b
2
4ε
, (ε > 0).
• Bất đẳng thức Young:
Cho 1 < p, q < ∞,
1
p
+
1
q
= 1 . Khi đó:
ab ≤
a
p
p
+
b
q
q
, (a, b > 0).
8
• Bất đẳng thức Young với ε:
ab ≤ εa

p
+ C(ε)b
q
, (a, b, ε > 0),
với C(ε) = (εp)
−q/p
q
−1
.
• Bất đẳng thức Holder:
Giả thiết 1 ≤ p, q ≤ ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó nếu u ∈ L
p
(Ω), v ∈ L
q
(Ω)
thì ta có:

Ω
|uv|dx ≤ u
L
p
(Ω)
.v
L

q
(Ω)
.
• Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn L
p
:
Giả thiết 1 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞ và
1
r
=
η
s
+
1 − η
t
.
Giả sử u ∈ L
s
(Ω) ∩ L
t
(Ω).
Khi đó u ∈ L
r
(Ω) và
u
L
r
(Ω)
≤ u
t

L
s
(Ω)
u
1−η
L
t
(Ω)
.
• Bất đẳng thức Gronwall:[1]
Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0, T ] và thỏa mãn
dx
dt
≤ g(t)x + h(t), với hầu khắp t,
trong đó g(t), h(t) là các hàm khả tích trên [0, T ]. Khi đó
x(t) ≤ x(0)e
G(t)
+
t

0
e
G(t)−G(s)
h(s)ds,
với 0 ≤ t ≤ T, ở đó
G(t) =
t

0
g(r)dr.

Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và
dx
dt
≤ ax + b,
thì
x(t) ≤

x(0) +
a
b

e
at
−
a
b
.
9
• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân:[1]
Cho ξ(t) là một hàm khả tích, không âm trên [0, T ] và thỏa mãn hầu
khắp t bất đẳng thức tích phân
ξ(t) ≤ C
1
t

0
ξ(s)ds + C
2
,
với C

1
, C
2
là các hằng số không âm. Khi đó:
ξ(t) ≤ C
2
(1 + C
1
te
C
1
t
) với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T.
• Bất đẳng thức Gronwall đều:
Giả sử x, a, b là các hàm dương thỏa mãn
dx
dt
≤ ax + b
với
t+r

t
x(s)ds ≤ X,
t+r

t
a(s)ds ≤ A và
t+r

t

b(s)ds ≤ B
với r > 0 nào đó và với mọi t ≥ t
0
.
Khi đó
x(t) ≤

X
r
+ B

e
A
với mọi t ≥ t
0
+ r.
1.3 Các không gian hàm
1.3.1 Không gian Banach và không gian Hilbert
a) Không gian các hàm liên tục
Cho Ω là một miền trong không gian R
n
và cho 0 < k < +∞.
Tập hợp tất cả các hàm liên tục và khả vi đến cấp k trong miền Ω kí
hiệu là C
k
(Ω).
Không gian C(Ω) là tập hợp các hàm liên tục trên Ω.
Không gian C
∞
(Ω) là tập hợp các hàm u khả vi vô hạn lần trên Ω .

C
∞
(Ω) =
∞

k=0
C
k
(Ω)
10
Không gian C
k
0
(Ω), (0 ≤ k ≤ ∞) là tập hợp các hàm trong C
k
(Ω) và có
giá compact trong Ω.
b) Không gian các hàm khả tích Lebesgue
Cho Ω là một miền trong không gian R
n
và cho 0 ≤ p < +∞.
Khi đó L
p
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) khả tổng cấp
p theo Lebesgue trong Ω, tức là

Ω
|u|
p
dx < +∞.

Không gian L
p
(Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn
u(x)
p
= u(x)
L
p
(Ω)
=


Ω
|u|
p
dx

1/p
.
Hơn nữa, L
p
(Ω) là một không gian đầy đủ nên L
p
(Ω) là không gian Banach.
Đặc biệt, với p = 2, không gian L
2
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô
hướng
(f, g) =


Ω
f(x)g(x)dx.
Cho Ω là một miền trong không gian R
n
.
Khi đó L
∞
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) đo được theo
Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω.
Ta kí hiệu ess sup
x∈Ω
|u(x)| là cận dưới lớn nhất các hằng số k sao cho
|u(x)| ≤ k hầu khắp nơi trên Ω.
Khi đó L
∞
(Ω) cũng là không gian Banach với chuẩn
u(x)
∞
= u(x)
L
∞
(Ω)
= ess sup
x∈Ω
|u(x)|.
Cho Ω là một miền trong R
n
và cho 1 ≤ p < +∞.
Khi đó
L

p
loc
(Ω) = {u : Ω → R | u ∈ L
p
(U) với mọi U ⊂⊂ Ω}
c) Không gian Sobolev
Giả sử Ω là một miền trong R
n
.
11
W
k,p
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u sao cho tồn tại các
đạo hàm suy rộng theo x đến cấp k và tất cả các đạo hàm đó thuộc không
gian L
p
(Ω). Không gian W
k,p
(Ω) được gọi là không gian Sobolev với chuẩn
sau:
u
W
k,p
(Ω
=

k

α=0
D

α
u
p
L
p

1
p
.
Không gian Sobolev là một không gian Banach tách được.
Trong trường hợp p = 2, không gian Sobolev W
k,2
(Ω) thường được kí
hiệu là H
k
(Ω).
H
k
(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được sinh ra từ chuẩn
((u, v))
H
k
=
k

α=0
(D
α
u, D
α

v).
Không gian H
k
0
(Ω) là bổ sung đủ của không gian C
∞
c
(Ω) trong không
gian H
k
(Ω). Đặc biệt, H
1
0
(Ω) là tập hợp các hàm trong không gian H
1
(Ω)
và bằng 0 trên biên ∂Ω.
Không gian H
1
0
(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng xác
định bởi:
((u, v))
H
1
0
=

α=1
(D

α
u, D
α
v),
và chuẩn tương ứng là:
u, v
2
H
1
0
=

α=1
|D
α
u|
2
.
d) Không gian đối ngẫu
Không gian đối ngẫu của không gian L
p
(Ω) là không gian L
q
(Ω), với
1
p
+
1
q
= 1, 1 < p, q ≤ +∞.

Không gian đối ngẫu của không gian H
s
0
(Ω) kí hiệu là không gian
H
−s
(Ω).
Bổ đề 1.3.1. Nếu u ∈ H
k
(Ω), với k ∈ Z thì D
α
u ∈ H
k−|α|
(Ω).
1.3.2 Không gian L
2
(Ω), H
1
0
(Ω)
Đặt L
2
(Ω) = L
2
(Ω)
d
, với d = 2 hoặc d = 3.
Do L
2
(Ω) là không gian Hilbert nên L

2
(Ω) cũng là một không gian Hilbert
12
với tích vô hướng:
(u, v) =

Ω
u.vdx =

Ω
d

i=1
u
i
v
i
,
với:
u = (u
1
, u
2
, . . . , u
d
) ∈ L
2
(Ω),
v = (v
1

, v
2
, . . . , v
d
) ∈ L
2
(Ω).
Chuẩn trong L
2
(Ω): Cho u ∈ L
2
(Ω) thì
|u| := u
L
2
(Ω)
=


Ω
d

i=1
u
2
i
dx

1
2

.
Đặt H
1
0
(Ω) = H
1
0
(Ω)
d
là tập hợp các hàm u thỏa mãn u và đạo hàm
yếu của u thuộc L
2
(Ω) và u = 0 trên biên ∂Ω.
Tương tự, H
1
0
cũng là một không gian Hilbert với tích vô hướng:
((u, v)) =
d

i=1

Ω
u
i
.  v
i
dx
Chuẩn trong H
1

0
(Ω): Cho u ∈ H
1
0
(Ω) thì
u := u
H
1
0
(Ω)
=


Ω
|  u|
2
dx

1
2
.
1.3.3 Không gian H, V
Kí hiệu:
V = {u ∈ (C
∞
0
(Ω))
d
: .u = 0}.
Để nghiên cứu hệ phương trình Navier - Stokes, ta xây dựng các không

gian hàm sau:
V = V
(H
1
0
(Ω)
d
là bao đóng của V trong H
1
0
(Ω))
d
(hay V = {u ∈ H
1
0
(Ω))
d
: .u = 0}).
H =
V
(L
2
(Ω)
d
là bao đóng của V trong L
2
(Ω))
d
.
13

Khi đó, H và V là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt
là:
(u, v) = (u, v)
H
=

Ω
u.vdx =

Ω
d

i=1
u
i
v
i
dx,
((u, v)) = (u, v)
V
=

Ω
d

i=1
u
i
 v
i

dx =

Ω
d

i=1
∂u
i
∂x
j
∂v
i
∂x
j
dx.
Xét hệ phương trình



∂u
∂t
− v  u + (u.)u + p = f, x ∈ Ω, t > 0,
divu = 0, x ∈ Ω, t > 0.
trong đó Ω là miền bị chặn trong R
d
, (d = 2, d = 3), biên Lipschitz.
Điều kiện biên: u = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0
Điều kiện ban đầu: u|
t=0
= u

0
, x ∈ Ω.
u =


u
1
.
.
.
u
d


là vectơ vận tốc .
p : Ω × [0, T ) −→ R là hàm áp suất.
(u.)u =
d

i=1
u
i
∂u
∂x
i
.
p =







∂p
∂x
1
.
.
.
∂p
∂x
d






.
divu =
∂u
1
∂x
1
+ · · · +
∂u
d
∂x
d
.

Gọi H
⊥
là phần bù trực giao của H trong L
2
(Ω).
Khi đó
H
⊥
=

u ∈ L
2
(Ω) : ∃p ∈ H
1
(Ω), u = p

, p ∈ H
1
(Ω)
và
L
2
(Ω)
d
= H ⊕ H
⊥
.
Nếu F ∈ H
⊥
thì phương trình :p = F có nghiệm.

14
1.4 Các toán tử
1.4.1 Toán tử Stokes A
Gọi H

, L

là không gian đối ngẫu của H và L. Khi đó: V ⊂ H ≡ H

⊂ V

.
Kí hiệu:
·, · là cặp đối ngẫu giữa V và V

 · 
∗
là chuẩn trong V

 ·  là chuẩn trong V
| · | là chuẩn trong H.
Ta định nghĩa toán tử:
A : V −→ V

u → Au
với Au, v = ((u, v)), ∀u, v ∈ V .
Kí hiệu D(A) là miền xác định của toán tử A thì:
D(A) = {u ∈ V : Au ∈ H} .
Đặc biệt, nếu Ω là miền đủ trơn thì
D(A) = H

2
(Ω)
d
∩ V.
Khi đó A là một toán tử tuyến tính, không bị chặn, tự liên hợp, xác định
dương và có nghịch đảo A
−1
: H → D(A) compact.
Vì phép nhúng H
1
0
(Ω) → L
2
(Ω) là compact nên A có các giá trị riêng
0 ≤ λ
1
≤ λ
2
≤ · · · ≤ λ
k
−→ +∞ và các vectơ riêng lập thành một cơ sở
trực chuẩn của H.
1.4.2 Toán tử B
Đặt b(u, v, w) =
d

i,j=1

Ω
u

i
.D
i
v
j
.w
j
dx.
Do H
1
→ L
2d
d−2
nên nếu v ∈ H
1
⇒ D
i
v
j
∈ L
2
⇒ w ∈ L
2
b(u, v, w) là dạng 3 - tuyến tính liên tục trên V × V × V .
Do phép nhúng H
1
(Ω) → L
4
(Ω) nên ta có:
|b(u, v, w)| =







Ω
2

i,j=1
u
i
.D
i
v
j
.w
j
dx





15
≤
2

i,j=1



Ω
|u
i
|
4
dx

1
4


Ω
|D
i
v
j
|
2
dx

1
2


Ω
|w
j
|
4

dx

1
4
≤ Cu
L
4
v
H
1
0
w
L
4
≤ Cu
H
1
0
v
H
1
0
w
H
1
0
Hơn nữa,
b(u, v, w) = −b(u, w, v) ∀u, v, w ∈ V .
⇒ b(u, v, v) = 0 ∀u, v ∈ V .
Để thiết lập đánh giá với b(u, v, w), ta cần các bổ đề sau:

Bổ đề 1.4.1. (Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi n = 2 )[1]
Với bất kì tập mở Ω ⊂ R
2
, ta có:
v
L
4
(Ω)
≤ 2
1
4
v
1
2
L
2
(Ω)
  v
1
2
L
2
(Ω)
,
với mọi v ∈ H
1
0
(Ω).
Bổ đề 1.4.2. (Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi n = 3)[1] Với bất kì tập
mở Ω ⊂ R

3
, ta có:
v
L
3
(Ω)
≤ Cv
1
2
L
2
(Ω)
  v
1
2
L
2
(Ω)
,
v
L
4
(Ω)
≤ Cv
1
4
L
2
(Ω)
  v

3
4
L
2
(Ω)
,
với mọi v ∈ H
1
0
(Ω).
Xét toán tử B : V × V −→ V

xác định bởi :
B(u, v), w = b(u, v, w), ∀w ∈ V
Đặt Bu : V −→ V

xác định bởi: Bu = B(u, u).
Bổ đề 1.4.3. 1. Nếu d = 2 hoặc d = 3 thì
|b(u, v, w)| ≤ ku
L
∞
.v.w, ∀u ∈ L
∞
, v ∈ V, w ∈ H.
16
2. Nếu u, v, w ∈ V thì
|b(u, v, w)| ≤ k.






|u|
1
2
.u
1
2
.v.|w|
1
2
.w
1
2
, nếu d=2
|u|
1
4
.u
3
4
.v.|w|
1
4
.w
3
4
, nếu d=3.
3. Nếu u ∈ V, v ∈ D(A), w ∈ H thì:
|b(u, v, w)| ≤ k.






|u|
1
2
.u
1
2
.v
1
2
.|Av|
1
2
.|w|, nếu d=2
u.v
1
2
.|Av|
1
2
.|w|, nếu d=3.
Chú ý : Do |u| ≤ C.u nên đánh giá trong trường hợp d = 2 mạnh
hơn trong trường hợp d = 3.
Chứng minh:
Sử dụng bất đẳng thức Holder:
Nếu u ∈ L

p
, v ∈ L
d
, w ∈ L
r
và

1
p
+
1
q
+
1
r
= 1

thì:
uvw
L
1
≤ u
L
p
.v
L
q
.w
L
r

.
1. Chọn (p, q, r) = (∞, 2, 2) ta có:
|b(u, v, w)| = |

Ω
2

i,j=1
u
i
.D
i
v
j
.w
j
dx|
≤
2

i,j=1


Ω
|u
i
|
∞
dx


1/∞


Ω
|D
i
v
j
|
2
dx

1/2


Ω
|w
j
|
2
dx

1/2
≤ k.u
L
∞
.v
H
1
0

.w
L
2
≤ k.u
L
∞
.v.w.
2. Chọn (p, q, r) = (4, 2, 4) và sử dụng bất đẳng thức Ladyzhenskaya:
u
L
4
≤ C.







u
1
2
L
2
.  u
1
2
L
2
nếu d = 2.

u
1
4
L
2
.  u
3
4
L
2
nếu d = 3.
Chọn (p, q, r) = (4, 2, 4) ta có:
|b(u, v, w)| = |

Ω
2

i,j=1
u
i
.D
i
v
j
.w
j
dx|
17
≤
2


i,j=1


Ω
|u
i
|
4
dx

1
4


Ω
|D
i
v
j
|
2
dx

1
2


Ω
|w

j
|
4
dx

1
4
≤ k.u
L
4
.v
H
1
0
.w
L
4
.
• Nếu d = 2 .
Áp dụng bất đẳng thức Ladyzhenskaya, ta có:
u
L
4
≤ C.u
1
2
L
2
.  u
1

2
L
2
.
w
L
4
≤ C.w
1
2
L
2
.  w
1
2
L
2
.
Suy ra
|b(u, v, w)| ≤ k.u
1
2
L
2
.  u
1
2
L
2
.v

H
1
0
.w
1
2
L
2
.  w
1
2
L
2
≤ k.|u|
1
2
.u
1
2
.v.|w|
1
2
.w
1
2
.
• Nếu d = 3 .
Áp dụng bất đẳng thức Ladyzhenskaya, ta có:
u
L

4
≤ C.u
1
4
L
2
.  u
3
4
L
2
.
w
L
4
≤ C.w
1
4
L
2
.  w
3
4
L
2
.
Suy ra
|b(u, v, w)| ≤ k.u
1
4

L
2
.  u
3
4
L
2
.v
H
1
0
.w
1
4
L
2
.  w
3
4
L
2
≤ k.|u|
1
4
.u
3
2
.v.|w|
1
4

.w
3
4
.
3. • Nếu d = 2.
Chọn (p, q, r) = (4, 4, 2) và áp dụng bất đẳng thức Ladyzhen-
skaya trong trường hợp 2 chiều.
• Nếu d = 3.
Chọn (p, q, r) = (6, 3, 2) và sử dụng bất đẳng thức :
u
L
3
≤ C.u
1
2
.|u|
1
2
kết hợp với phép nhúng : H
1
(Ω) → L
6
(Ω) và đánh giá u
D(A)
∼
u
H
2
.
18

Chương 2
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
hệ phương trình Navier-Stokes
Nội dung chính của chương 2 là chứng minh tính đặt đúng của hệ phương
trình Navier-Stokes. Cụ thể là: phát biểu bài toán, chứng minh sự tồn tại
và duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh.
2.1 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu
2.1.1 Phát biểu bài toán
⊕ Bài toán 1:
Cho u
0
∈ H, f ∈ L
2
(0, T, V ). Tìm hàm u ∈ L
2
(0, T, V ) thỏa mãn :



d
dt
(u, v) + ν((u, v)) + b(u, u, v) = f, v, ∀v ∈ V, với hầu khắp t ∈ (0, T )
u(0) = u
0
.
(2.1)
Để viết lại bài toán 1 dưới dạng toán tử, ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.1. [1]
Giả sử u ∈ L
2

(0, T ; V ) khi đó hàm Bu xác định bởi:
Bu(t), v = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ V sẽ thuộc không gian L
1
(0, T ; V

).
19
Chứng minh:
Ta có:
|Bu(t), v| = |b(u(t), u(t), v)| ≤ C.u(t)
2
.v, ∀v ∈ V.
( do b(u, v, w) là dạng 3-tuyến tính liên tục).
⇒ Bu(t)
V

≤ C.u(t)
2
V
⇒
T

0
Bu(t)
V

dt ≤
T

0

C.u(t)
2
V
< +∞ (do u ∈ L
2
(0, T, V ))
⇒ Bu(t) ∈ L
1
(0, T, V ).
Chú ý : Nếu u ∈ L
2
(0, T, V ) thì Au ∈ L
2
(0, T, V ).
Thật vậy: ∀ϕ ∈ L
2
(0, T, V ), áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có:
|Au, ϕ| =


T

0

Ω
u.  ϕdxdt


= ϕ
L

2
(0,T,V )
.u
L
2
(0,T,V )
⇒
T

0
Au
2
V

dt ≤ u
L
2
(0,T,V )
⇒ Au ∈ L
2
(0, T ; V

).
Từ đó ta có bài toán sau đây:
⊕ Bài toán 2:
Cho u
0
∈ H và f ∈ L
2
(0, T ; V


). Tìm hàm u thỏa mãn:









u ∈ L
2
(0, T ; V )
u

∈ L
1
(0, T ; V

)
u

+ νAu + Bu = f trong V

với hầu khắp t ∈ (0, T )
u(0) = u
0
.
Để thỏa mãn điều kiện u(0) = u

0
ta cần bổ sung điều kiện:
- Nếu d = 2 ⇒ u ∈ C([0, T ], H) là hàm liên tục theo t ∈ [0, T ] nhận
giá trị trong H.
- Nếu d = 3 ⇒ u ∈ C
ω
([0, T ], H) là hàm liên tục yếu theo t ∈ [0, T ]
nhận giá trị trong H.
2.1.2 Sự tồn tại nghiệm
Định lí 2.1.2. [1]
20
Cho u
0
∈ H và f ∈ L
2
(0, T, V

). Khi đó tồn tại một nghiệm u của bài
toán

2.1

thỏa mãn :
u ∈ L
2
(0, T, V ) ∩ L
∞
(0, T, H)
Hơn nữa, nếu d = 2 thì u là duy nhất và u ∈ C([0, T ], H), u


∈ L
2
(0, T, V

).
Và nếu d = 3 thì u ∈ C
W
([0, T ], H); u

∈ L
4
3
(0, T, V

).

u ∈ C
W
([0, T ], H) tức là t ∈ [0, T ] −→ u(t), v liên tục ∀v ∈ H

.
Chứng minh:
Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin (phương pháp compact).
Bước 1: Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ {u
m
}.
Giả sử {w
k
} là cơ sở của H và V gồm các vectơ riêng của toán tử A.
Xét phép chiếu

P
n
:V −→ span{w
1
, · · · , w
n
}
u =
∞

k=1
c
k
.w
k
→ P
n
(u) =
n

k=1
c
k
.w
k
⇒ P
n
là tuyến tính, liên tục và |P
n
(u)| ≤ |u|.

Tìm nghiệm xấp xỉ u
m
(t) dưới dạng :
u
m
(t) =
m

k=1
γ
m
k
(t).w
k
sao cho ∀k = 1, · · · , m ta có:



du
m
dt
+ νAu
m
+ B(u
m
, u
m
) = P
m
f (∗)

u
m
(0) = P
m
u
0
.
⇔



d
dt
(u
m
(t), w
k
) + ν((u
m
(t), w
k
)) + b(u
m
(t), u
m
(t), w
k
) = f (t), w
k


(u
m
(0), w(k)) = (u
0
, w
k
)
Ta đi tìm nghiệm xấp xỉ u
m
(t) dưới dạng u
m
(t) =
m

k=1
γ
m
k
(t)w
k
.
Theo định lí Peano thì tồn tại nghiệm u
m
(t) trên [0, T
m
).
Ta cần chỉ ra T
m
= T .
21

Bước 2: Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với u
m
Nhân cả 2 vế của (*) với u
m
và vì
P
m
f, u
m
 = f, P
m
u
m
 = f, u
m

ta được
1
2
d
dt
|u
m
|
2
+ ν.u
m

2
= f, u

m

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
f, u
m
 ≤
1
2ν
f
2
V

+
ν
2
.u
m

2
⇒
d
dt
|u
m
|
2
+ ν.u
m

2

≤
1
ν
f
2
V

Lấy tích phân từ 0 → t với 0 ≤ t ≤ T , ta có:
|u
m
(t)|
2
+ ν
t

0
u
m
(s)|
2
ds ≤ |u
m
(0)|
2
+
1
ν
t

0

f(s)
2
V

ds
≤ |u
0
|
2
+
1
ν
T

0
f(s)
2
V

ds.
Suy ra:

{u
m
}bị chặn trong L
∞
(0, T ; H)
{u
m
}bị chặn trong L

2
(0, T ; V ).
Do đó: {Au
m
} bị chặn trong L
2
(0, T ; V

).
Đánh giá Bu
m
• Nếu d = 2
Ta có:
Bu
m
 ≤ C.u
m
|u
m
| (nếu w = u theo bổ đề).
⇒
T

0
Bu
m
(t)
2
V


dt ≤ C.
T

0
|u
m
(t)|
2
.u
m
(t)
2
dt
≤ C.u
m

L
∞
(0,T ;H)
.
T

0
u
m

2
dt < ∞.
⇒ {Bu
m

} bị chặn trong L
2
(0, T, V

).
22
• Nếu d = 3
Ta có :
Bu
m

V

≤ C.|u
m
(t)|
1
2
.u
m
(t)
3
2
Mà u
m
∈ L
∞
(0, T ; H)
⇒
T


0
Bu
m
(t)
4
3
V

dt ≤ C.
T

0
|u
m
(t)|
2
3
.u
m
(t)
2
dt
≤ C.u
m

L
∞
(0,T ;H)
.

T

0
u
m
(t)
2
dt.
⇒ {Bu
m
} bị chặn trong L
4
3
(0, T ; V

).
Ta có:
du
m
dt
= −ν.Au
m
+ Bu
m
+ P
m
f.
• Nếu d = 2 ⇒ {
du
m

(t)
dt
} bị chặn trong L
2
(0, T ; V

).
• Nếu d = 3 ⇒ {
du
m
(t)
dt
} bị chặn trong L
4
3
(0, T ; V

).
Bước 3: Chuyển qua giới hạn
Do u
m
bị chặn trong L
2
(0, T ; V ) nên u
m
 u trong L
2
(0, T ; V )
và Au
m

bị chặn trong L
2
(0, T ; V

) nên :
• Au
m
 Au trong L
2
(0, T ; V

) .
•
du
m
dt

du
dt
trong L
p
(0, T ; V

)
với p = 2 nếu d = 2, và p =
4
3
nếu d = 3.
Phần phi tuyến : Ta có Bu
m

 χ trong L
p
(0, T ; V

).
Do số hạng phi tuyến không liên tục đối với hội tụ yếu nên ta cần chứng
minh: χ = Bu.
Để chứng minh χ = Bu, ta áp dụng bổ đề compact (Aubin- Lions) sau:
23
Bổ đề 2.1.3. Giả sử X
0
→→ X → X
1
là 3 không gian Banach.
Kí hiệu:
E = {u|u ∈ L
p
0
(0, T ; X
0
), u

∈ L
q
0
(0, T ; X
1
)}, 1 < p
0
, q

0
< +∞.
Khi đó
E →→ L
p
0
(0, T ; X).
Ta cũng có thể hiểu như sau: từ một dãy bị chặn trong E trích ra được
một dãy con hội tụ mạnh trongL
p
0
(0, T ; X).
Chọn X
0
= V →→ X = H → X
1
= V

. (Ω bị chặn)
Khi đó u
m
→ u trong L
p
(0, T ; H).
Ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.4. [3]
Giả sử u
m
 u trong L
2

(0, T ; V ) và u
m
→ u trong L
2
(0, T ; H)
Khi đó
T

0
b(u
m
(t), u
m
(t), w(t))dt −→
T

0
b(u(t), u(t), w(t))dt, ∀w ∈ C
1
(Q
T
).
Chứng minh:
Ta có:
b(u
m
, u
m
, w) = −b(u
m

, w, u
m
) = −
d

i,j=1

Ω
(u
m
)
i
∂w
j
∂x
i
(u
m
)
j
dx.
Do đó
T

0
b(u
m
, u
m
, w) −

T

0
b(u, u, w)
=
d

i,j=1
T

0

Ω


(u
m
)
i
− u
i

∂w
j
∂x
i
(u
m
)
j

+ (u
m
)
i
∂w
j
∂x
i

(u
m
)
j
− u
j


dxdt.
Do đó, ta chỉ cần xét số hạng dạng: I
m
=
T

0

Ω
(v
m
− v)w.v
m

dxdt
trong đó v
m
→ v trong L
2
(0, T ; H), w ∈ L
2
(0, T ; H), v
m
bị chặn trong L
∞
(0, T ; H).
24
Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có:
|I
m
| ≤ v
m
− v
L
2
(0,T ;H)
.||wv
m
||
L
2
(0,T ;H)
≤ v
m

− v
L
2
(0,T ;H)
.v
m

L
∞
(0,T ;H)
.w
L
2
(0,T ;H)
nên I
m
→ 0 hay Bu
m
→ Bu trong L
2
(0, T ; V

).
Bổ đề được chứng minh.
Vậy, tồn tại hàm u ∈ L
2
(0, T ; V ) ∩ L
∞
(0, T ; H) thỏa mãn:
du

dt
+ νAu + Bu = f trong L
2
(0, T ; V

),
hay
du
dt
(t) + νAu(t) + Bu(t) = f(t) trong V’ với hầu khắp t ∈ [0, T ].
Để chứng minh u là nghiệm, ta cần chứng minh u(0) = u
0
.
Thật vậy, chọn hàm thử ϕ ∈ C
1
([0, T ]; V ) với ϕ(T ) = 0.
Lấy tích vô hướng của phương trình trên với ϕ, sau đó lấy tích phân từng
phần, ta được:
T

0

Ω
∂u
∂t
ϕ = −
T

0


Ω
u
∂ϕ
∂t
+

Ω
u(T )ϕ(T ) −

Ω
u(0).ϕ(0)
= −
T

0

Ω
u
∂ϕ
∂t
−

Ω
u(0).ϕ(0).
suy ra
−
T

0


Ω
u.
∂ϕ
∂t
+ v
T

0
((u, ϕ)) +
T

0
b(u, u, ϕ) =
T

0
f(t), ϕ(t) + (u(0), ϕ(0)).
Làm tương tự với u
m
ta cũng có:
−
T

0

Ω
u
m
.
∂ϕ

∂t
+v
T

0
((u
m
, ϕ))+
T

0
b(u
m
, u
m
, ϕ) =
T

0
f(t), ϕ(t)+(u
m
(0), ϕ(0)).
Cho m → ∞, ta được :
−
T

0

Ω
u.

∂ϕ
∂t
+ v
T

0
((u, ϕ)) +
T

0
b(u, u, ϕ) =
T

0
f(t), ϕ(t) + (u
0
, ϕ
0
).
25