(SKKN mới NHẤT) rèn luyện kỹ năng sử dụng khoảng cách để tính góc trong không gian cho học sinh lớp 11 ở trường THPT triệu sơn 3

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình tốn học lớp 11, bài tốn về góc trong khơng gian giữ
một vai trị quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi THPT Quốc gia; đề thi
học sinh giỏi trong những năm gần đây. Mặc dù vậy đây là phần kiến thức địi
hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong
phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất
điểm trong các kì thi nói trên. Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần
này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá
nhiều thời gian.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập
này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập là chủ yếu, chưa có tài liệu
nào hướng dẫn sử dụng khoảng cách để tính góc trong khơng gian.
Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các
phần mềm vẽ hình khơng gian cịn hạn chế nên việc biên soạn bài tốn với cách
giải mới về phần này cịn gặp nhiều khó khăn.
Từ những lý do trên cùng với ý tưởng, giải pháp mà bản thân đã rất tâm
đắc tự rút ra trong q trình thực tế giảng dạy ơn thi học sinh giỏi và ôn thi
THPT Quốc gia (nay là TN THPT), tôi đã quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ
năng sử dụng khoảng cách để tính góc trong không gian cho học sinh lớp 11
ở trường THPT Triệu Sơn 3’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân
trong năm học 2019 – 2020 và hy vọng thông qua đề tài này cung cấp cho học
sinh cái nhìn tổng quan hơn về phương pháp giải để từ đó có định hướng tốt tìm
ra lời giải các bài tốn về góc. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận
xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hồn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cách tính nhanh, chính xác
việc sử dụng khoảng cách để tính góc - Hình học 11 nhằm rèn luyện các kỹ năng
toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính tốn, năng lực giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio).

- Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học.
- Kỹ năng vận dụng các kiến thức về Hệ thức lượng giác trong tam giác
vuông, hệ thức lượng trong tam giác thường, cơng thức tính diện tích tam giác…
- Phát triển trí tưởng tượng và kỹ năng biểu diễn hình khơng gian.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là phương pháp sử dụng khoảng cách để
tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng - Chương III Hình học 11 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của
học sinh, qua đó khẳng định sự cần thiết phải xây dựng “phương pháp sử dụng
khoảng cách để tính góc” trong chương trình giảng dạy Hình học khơng gian lớp
11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo
1

TIEU LUAN MOI download :


sát thực tế dạy học phần tính góc ở trường THPT Triệu Sơn 3 để từ đó thấy được
tầm quan trọng của việc áp dụng cách tính góc - Hình học không gian lớp 11
trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo
khoa Hình học 11 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Hình học 11 - Nâng cao và
Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình và tài liệu về dạy học theo định hướng
phát triển năng lực học sinh.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải

quyết một vấn đề là vơ cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm
được lời giải của một lớp các bài tốn. Trong dạy học giáo viên là người có vai
trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động
tương thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy
cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một
nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.
Trong bài “Góc” sách giáo khoa Hình học lớp 11 đưa ra 3 khái niệm về
góc như sau: “Góc giữa hai đường thẳng”; “Góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng”; “Góc giữa 2 mặt phẳng”. Với 3 khái niệm này chúng ta đưa về 3 dạng
tốn tính góc như sau:
Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.
Dạng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Dạng 3: Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Trong 3 dạng tốn trên thì dạng tốn 2 và dạng tốn 3 ta đều sử dụng
khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng để tính góc được. Đặc biệt bài tốn tính góc dạng 2 và 3 là bài
tốn tương đối khó và thường nằm ở mức vận dụng nên trong sáng kiến này tơi
chỉ nghiên cứu cách tính góc của 2 dạng này bằng việc sử dụng khoảng cách.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có
nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134; có nhiều học sinh
là con em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh chậm,
điều kiện kinh tế cịn khó khăn, đường đi học cịn xa và khó đi nên ảnh hưởng
rất nhiều đến kết quả học tập của các em.
Trong q trình dạy học tơi nhận thấy một điều đó là để học tốt mơn
HHKG thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả năng đốn
nhận, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng vẽ hình tốt, kỹ năng trình bày chặt
chẽ và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối
tượng trong hình khơng gian. Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của
khơng ít học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại và sợ

học môn HHKG.
Hơn nữa việc áp dụng kiến thức về góc của học sinh đa số mới chỉ dừng lại
ở mức độ nhận biết, rất ít học sinh thuần thục các kỹ năng và sáng tạo khi vận
2

TIEU LUAN MOI download :


dụng kiến thức về góc vào giải tốn mà đa phần học sinh tỏ ra lúng túng khơng
định hình được cách giải.
Phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm
vụ cho học sinh một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài tốn ở những cách
giải mới khơng có trong sách giáo khoa. Ngoài ra số tiết theo phân phối chương
trình dành cho phần này rất ít nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống kiến thức đã học cho học sinh trước khi tiếp nhận kiến
thức mới
- Hệ thống kiến thức hình học không gian gồm: “ Quan hệ song song” ,
“Quan hệ vng góc” của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng, của
hai mặt phẳng.
- Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho điểm
và đường thẳng . Gọi
là hình chiếu của
trên . Khi
đó

chính là khoảng cách từ điểm
Nhận xét:

đến đường thẳng

. Kí hiệu

M

*

d

* Để tính
ta làm như sau:
+ Xác định hình chiếu
của
trên
+ Tính
.

H

M'

- Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm
đó

và mặt phẳng

. Gọi hình chiếu

chính là khoảng cách từ điểm

của

đến mặt phẳng

trên

. Khi

. Kí hiệu

M

P

M'

H

Nhận xét:
*
* Để tính khoảng cách từ điểm
trong các cách sau:

đến mặt phẳng

Cách 1. Tính trực tiếp: Xác định hình chiếu

của

ta sử dụng một
trên

và tính

3

TIEU LUAN MOI download :


Phương pháp chung:
Bước 1: Dựng mặt phẳng
chứa
và vng góc với
Bước 2: Tìm giao tuyến

của

và
Bước 3: Kẻ

).



(

Khi đó

Q
M

.

d
H

P

Cách 2. Sử dụng phép trượt đỉnh
Trượt đỉnh
trên một đường thẳng đến một vị trí thuận lợi
việc tính
về việc tính
sau:
Kết quả 1: Nếu đường thẳng
song song với mặt phẳng

. Ta thường sử dụng những kết quả

d
và

M

thì
Kết quả 2: Nếu đường thẳng

N

cắt mặt phẳng
tại điểm
và
(
khơng trùng với )
thì:

Đặc biệt, nếu

, ta quy

P

là trung điểm của

I

thì

nếu

là trung điểm của
thì
- Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó
Cho điểm đường thẳng
giữa đường thẳng

song song với mặt phẳng

và mặt phẳng

. Khoảng cách

là khoảng cách từ một điểm bất kì của

đến mặt phẳng
. Kí hiệu
Nhận xét:
+
+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng
được quy
về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai
mặt phẳng thường dùng:
Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

+ Tìm
4

TIEU LUAN MOI download :


+ Tìm

kẻ

tại

+
Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

và

+ Tìm giao tuyến
+ Trong
, cắt nhau tại

tìm

vng góc với

, trong

tìm

vng góc với

và

+
Chú ý: Trong một số trường hợp nếu chỉ u cầu tính góc giữa hai mặt
phẳng thì chúng ta có thể áp dụng cơng thức hình chiếu để tính
2.3.2. Hướng dẫn và rèn luyện kĩ năng sử dụng khoảng cách để tính
góc cho học sinh.
2.3.2.1. Sử dụng khoảng cách để tính góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng
Cho mặt phẳng

và đường thẳng
một điểm).
Phương pháp :
Bước 1: Tìm giao điểm của

(chỉ xét trường hợp

trên

A

là hình chiếu của

.
Bước 3: Tính

tại

d

mặt phẳng
và đường thẳng
Bước 2: Từ điểm
dựng
tại
Khi đó

cắt

I

P

H

Chú ý:
+ Khơng cần dựng
dài

(là hình chiếu của

trên

) mà chỉ cần biết độ

. Khi đó:
+ Vấn đề là chọn điểm

sao cho việc tính

đơn giản

nhất .
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp có cạnh
bên vng góc với đáy.
Ví dụ 1: Cho hình chóp
có đáy
hình thang vng tại
và
điểm

Gọi
Sin góc giữa

và

lần lượt là trung

bằng ?
5

TIEU LUAN MOI download :


B.

A.

C.

D.

Trích câu 42- đề thi thử lần 1 của trường THPT Quảng Xương 2 -Thanh Hóa
năm học 2019 – 2020, Đề thi thử lần 1 của trường THPT Chuyên Bắc Ninh
năm học 2019-2020.
Phân tích:
+ Bước 1: Tìm giao điểm
của

và
+ Bước 2: Chọn trên

một điểm thích hợp cụ thể trong
bài này là chọn vì việc tính
khoảng cách từ điểm đó đến
rất đơn giản .
là góc

N

I

C

SAC

+ Bước 3: Gọi
giữa

và

Suy ra:

Bài giải

S

Kẻ
Gọi

cắt

tại

M

+
+
( Ở đây khoảng cách tính theo
cách 1 – trực tiếp)
Dễ dàng tính được:

A
P
B

I
D
N

O
C

6

TIEU LUAN MOI download :


Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp có mặt bên
vng góc với đáy
có đáy
là hình chữ nhật

Ví dụ 2: Cho hình chóp
. Tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với

mặt phẳng đáy. Tính cơsin của góc giữa
A.

và

.

B.
C.
Trích đề HSG Bắc Ninh năm học 2018-2019
Phân tích
+ Bước 1: Tìm giao điểm của

D.

và
+ Bước 2: Chọn trên
một
điểm thích hợp cụ thể trong bài này là
chọn vì việc tính khoảng cách từ
điểm đó đến
rất đơn giản .
+ Bước 3: Gọi là góc giữa
và

. Suy ra:

D

S
SBC

Bài giải:
+

S

Kẻ

K
(Ở đây ta dùng phép trượt đỉnh để
tính khoảng cách)
+ Gọi là góc giữa
và

A

D

H
B

C

. Suy ra:

7

TIEU LUAN MOI download :


Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp đều.
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều
, cạnh
. Gọi
Tính sin góc giữa

và

.

.
B.

C.

D.

A.
Phân tích:
+ Bước 1: Tìm giao điểm

của

và

+ Bước 2: Chọn trên
một
điểm thích hợp cụ thể trong bài này là
chọn
vì việc tính khoảng cách từ

O

S

điểm đó đến
rất đơn giản .
+ Bước 3: Gọi là góc giữa

H

SBC

và
Bài giải:
+ Ta có:

S

Trong đó
là trung điểm
và
tại
(Ở đây khoảng cách tính theo
cách 1- trực tiếp).

Ta có:

+ Gọi
Suy ra:

H

A
là góc giữa

M

O

và

B

C

D

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình lăng trụ.
Ví dụ 4: Cho lăng trụ
có đáy là tam giác cân tại
. Hình chiếu vng góc của

lên

là trung điểm

,
của
8

TIEU LUAN MOI download :


. Góc giữa

và

bằng

. Tính góc giữa đường thẳng

và

Trích đề HSG 11 của trường THPT Lê Hồn - Thanh Hóa
năm học 2019-2020
Phân tích
+ Bước 1: Tìm giao điểm của
và
+ Bước 2: Chọn trên
và tính
+ Bước 3: Gọi

C

điểm

.
là góc giữa

và

B'
ABB'

Bài giải
Ta có

B'

A'

Dễ dàng tính được

C'

A

B
Ta có:

H

C

+

+

B'

Kẻ

J

Tính được:

K

B

A

H
C

Trong đó:
là góc giữa

và
9

TIEU LUAN MOI download :


Nhận xét: Đây là một ví dụ về tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
tương đối khó, học sinh sẽ gặp khó khăn khi xác định hình chiếu vng góc của

lên mặt phẳng
nhưng khi sử dụng khoảng cách để tính góc thì bài
tốn đơn giản hơn. Mặt khác hình vẽ thống, rõ ràng giúp học sinh dễ hình
dung và làm nhanh hơn.
2.3.2.2. Sử dụng khoảng cách để tính góc giữa hai mặt phẳng.
Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng
dụng khoảng cách được thực hiện qua các bước sau:
: Xác định giao tuyến
Bước 1
của hai mặt phẳng
Bước 2:

Từ

và

bằng cách sử

và

Q

, dựng

H

.
Bước 3: Gọi góc giữa
là

thì

d
.

Trong đó:

,

K

A

P

. Vậy
Chú ý:
+ Việc sử dụng khoảng cách để tính góc rất hữu ích vì khi tính khoảng
cách ta sử dụng được kỹ thuật rời điểm (chuyển từ điểm khó tính khoảng cách về
điểm dễ hơn)
+ Vấn đề mấu chốt là chọn điểm trên mặt nào để tính khoảng cách đến
mặt cịn lại đơn giản nhất.
Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp có cạnh bên vng góc
với đáy.
Ví dụ 1: Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
. Cosin góc giữa hai mặt phẳng

A.

B.

C.

và

là?
D.

Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa

10

TIEU LUAN MOI download :


Phân tích:
Bước 1 : Xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng

và

Bước 2: Chọn
tính

H

và

.
Bước 3: Gọi góc giữa
là

SBC

khi đó:

S
SAB

A

K
B

Bài giải:

S

+
+ Chọn

, kẻ
và

H
Ở đây khoảng cách
được tính theo cách 1- trực tiếp
+ Gọi là góc giữa hai mặt

phẳng

và

K

C

A

.

I
B

Suy ra:

Ví dụ 2: Cho hình chóp

có đáy

là tam giác vng cân tại

. Tính góc giữa hai mặt phẳng
A.

B.

C.

và

biết

D.

Phát triển câu 49 đề minh họa của Bộ Giáo Dục năm 2020
Phân tích:

11

TIEU LUAN MOI download :


Bước 1

: Xác định giao tuyến

của hai mặt phẳng
Bước 2:

và

Chọn

SAC

và tính

.

Bước 3: Gọi góc giữa
và

là

S
khi đó:

B

SAB

K
A

Bài giải
Vẽ hình bình hành

. Dễ dàng chứng minh được

là hình

vng và
Gọi

S

+ Ta có:
+ Tìm được điểm
mà việc tính khoảng cách từ

và

đến

I

rất đơn giản.

H

K

C

Ở đây ta dùng phép trượt đỉnh
để tính khoảng cách từ

đến

A

B

Nhận xét: bằng cách vẽ hình thích hợp ta chuyển ví dụ 2 về bài tốn xác
định góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy –
bài tốn quen thuộc tương tự ví dụ 1. Ví dụ 2 lúc này trở nên dễ dàng hơn đối
với đa số các em học sinh. Mặt khác, ví dụ 2 phát triển tư duy hình học khơng
gian tạo góc nhìn đơn giản hơn cho học sinh.
Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp đều.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng . Tính

cosin góc giữa một mặt bên và mặt đáy.

A.

B.

C.

D.
12

TIEU LUAN MOI download :


Phân tích:
Giả sử cần tính góc giữa
Bước1: Xác định giao
tuyến của hai mặt phẳng

và

và
Bước 2: Chọn

ABC O

và

tính

.
ước 3: Gọi góc giữa
B
và

là

A

khi đó:

H

S
SAB

B

Bài giải:

+

Ta có :

S

+ Chọn
Trong đó

H

A

là trung điểm

B

O
D

C

Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp có mặt bên vng góc
với đáy.
có đáy
là hình vng cạnh ,
Ví dụ 5: Cho hình chóp
mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
. Tính

biết

là góc giữa hai mặt phẳng

và

A.
B.
C.

D.
Trích câu 46 –mã 111 đề thi thử lần 2 THPT Triệu Sơn 2 năm học 2019-2020
13

TIEU LUAN MOI download :


Phân tích
Bước 1: Xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng
Bước 2:

và

Chọn

SCD

và tính

.
Bước 3: Gọi góc giữa
và

là

S

khi đó:

SAC

K

A
C

Bài giải:
+

Gọi

là trung điểm

ta có:

việc tính

+ Chọn

đơn giản nhất (ở đây khoảng cách
được tính theo cách 1- trực tiếp)

S
Trong đó:

K
A

D

H

I

+

B

C

S
J

H

I

14

TIEU LUAN MOI download :


Nhận xét: ở ví dụ này nếu tính góc theo cách thơng thường ( khơng sử
dụng khoảng cách) thì bài toán sẽ khá phức tạp và học sinh rất lúng túng thậm
chí là khơng tính được góc. Nhưng khi sử dụng khoảng cách để tính góc kết hợp
vẽ hình tốt thì ví dụ trên trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.
Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình lăng trụ
6: Cho lăng trụ đứng
có đáy là tam giác vng tại

Ví dụ
. Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng

B.

A.

C.

và

D.

Phân tích:
+ Bước 1: Xác định giao tuyến
với
phẳng

giữa hai mặt

ABC'

và
+ Bước 2: Tính khoảng cách từ

O

đến mặt phẳng
.
+ Bước 3: Gọi góc giữa

và

là

khi đó:

AB'C

C
A

Bài giải:

C

A
B

+
K
hoảng cách trên được tính như sau:

O
C'

A'
B'

15

TIEU LUAN MOI download :


+ Gọi

Ví dụ 7

: Cho hình hộp

đều,
A.

có đáy

là hình vng,

. Tính góc giữa hai mặt phẳng
B.
C.

và
D.

Trích đề số 7 – Tốn học tuổi trẻ 2019
Phân tích:
+ Bước 1: Xác định giao tuyến
và
+ Bước 2: Chọn
sao cho việc tính

BCC'

và

đơn giản nhất.
+ Bước 3: Gọi

C
B'CD

D
B'

Bài giải:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng

và

+ Ta có:
+ Chọn
và
Gọi

đơn giản nhất.
là trung điểm của

C

B

: Tính

A

D

.

H

Dễ dàng chứng minh được
. Thật vậy

Ta có:

C'

B'
A'

D'

16

TIEU LUAN MOI download :


Vì tam giác

vng tại

Gọi
+ Tính
Nhận xét:
- Ở các ví dụ trên, việc tính góc giữa hai mặt phẳng là một bài tốn khó,
gây trở ngại và khó khăn đối với học sinh có học lực trung bình. Nhưng trên
thực tế sau khi áp dụng phương pháp sử dụng khoảng cách để tính góc tơi nhận
thấy khả năng tính góc của các em tốt hơn rất nhiều, quan sát hình vẽ và sử
dụng khoảng cách linh hoạt để tính góc nhanh, chính xác. Đặc biệt là rất sơi nổi
trong tiết hình học. Qua tiết học thì học sinh khơng những có cơ hội được phát
triển năng lực tính tốn mà cịn có cơ hội ơn tập các cơng thức, kiến thức đã
học.
- Ngồi ra, trong q trình dạy học mơn hình học khơng gian, việc hình
thành cho học sinh kỹ năng vẽ hình (biểu diễn hình khơng gian) là rất cần thiết
và quan trọng. Để làm tốt điều này, người giáo viên cần định hướng cho học
sinh biểu diễn các hình khơng gian dưới nhiều góc độ khác nhau để từ đó đưa
ra góc nhìn tốt nhất để vẽ hình. Từ việc biểu diễn hình ở góc độ tốt sẽ hình
thành cho các em tư duy trừu tượng, khả năng tưởng tượng cao trong khi làm
bài.
- Qua các ví dụ trên có thể thấy, việc sử dụng khoảng cách để tính góc
cùng một lúc khắc sâu được 2 dạng tốn đó là tính khoảng cách và góc.
2.3.3. Hệ thống bài tập sử dụng khoảng cách để tính góc giúp học sinh
rèn luyện.
Bài tập 1:

Cho lăng trụ đứng
. Gọi

trung điểm cạnh

đáy

là tam giác vng tại

là trọng tâm của tam giác

. Tính sin góc giữa

và

và

là

ĐS

17

TIEU LUAN MOI download :


Bài tập 2: Cho hình chóp
góc

có đáy

cạnh bên

và

vng góc mặt phẳng

Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng
Bài tập 3: Cho hình chóp
bên

vng góc mặt phẳng

hai mặt phẳng

là hình thoi cạnh

và
có đáy
,

,
.

ĐS
là hình vng Cạnh
. Tìm cosin của góc giữa

và

.
A

B.

C.

D.

Trích đề thi thử của Sở giáo dục Hà Tĩnh 2019
Bài tập 4: Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh
. Gọi
. Giá trị

là góc tạo bởi

,

và mặt phẳng

của bằng

A.

B.

C.

D.

Trích câu 35 đề thi thử của trường chuyên Phan Bội Châu lần 1 năm 2020
Bài tập 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều
. Gọi

có

lần lượt là trung điểm các cạnh

của góc tạo bởi hai mặt phẳng

và mặt phẳng

B.

A.

. Cosin
bằng

C.

D.

Trích câu 48 đề thi thử của trường chuyên Phan Bội Châu lần 1 năm 2020
Bài tập 6: Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật
và

. Cạnh bên

. Gọi

và

vng góc với mặt đáy

lần lượt là hình chiếu vng góc của đỉnh

lên các cạnh

và
. Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
ĐS:
Trích đề HSG 11 trường THPT Nguyễn Quán Nho- Thanh Hóa năm 2019-2020
Bài tập 7: Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh
và
Tính

,

. Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng

và

.

18

TIEU LUAN MOI download :


.
A

B.

C.

Bài tập 8: Cho hình chóp

D.

có đáy

là hình thang cân có

và
hai mặt phẳng

và

. Gọi

. Tính
B.

A.

C.

Bài tập 9: Cho hình chóp
tại
và
trung điểm
cạnh

có
,

là góc giữa

có đáy

là điểm thuộc cạnh

sao cho tam giác

D.
là hình thang vng

và
sao cho

có diện tích bằng

. Gọi
là

. Điểm thuộc
. Tính góc giữa mặt phẳng

và
B.

A.

C.

Bài tập 10: Cho hình lăng trụ
giác đều cạnh
phẳng

D.
có

là hình chóp tam

. Góc giữa hai mặt phẳng

và mặt

bằng
B.

A.

C.

D.

Trích câu 41 đề thi thử TN của trường THPT Kinh Môn- Hải Dương lần 2
năm 2020
Bài tập 11: Cho hình lăng trụ
. Hình chiếu vng góc của
của tam giác
bởi

lên mặt phẳng

. Cạnh bên hợp với

và mặt phẳng

.
A

có đáy là tam giác đều cạnh
trùng với trọng tâm
một góc

bằng
B.

C.

Bài tập 12: Cho hình hộp
. Hình chiếu vng góc của
điểm của

mặt phẳng

D.
có đáy là hình thoi cạnh

lên mặt phẳng

. Khoảng cách giữa hai đáy bằng
và

. Sin của góc tạo

trùng với trung
. Cosin của góc tạo bởi hai

bằng ?
19

TIEU LUAN MOI download :


B.

A.

C.

D.

Phát triển câu 49 đề Minh họa lần 2 của Bộ Giáo Dục năm 2020

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
Thông qua việc đưa ra các bước giải cụ thể cho từng dạng tốn tính góc
đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng từng dạng tốn tơi thấy học sinh
thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh và đạt độ chính xác cao hơn. Từ đó kết quả
kiểm tra tiến bộ rõ rệt.
Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 11E2 và
11E5 mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn và trong thời gian làm bài
ngắn hơn nhưng kết quả tốt hơn nhiều. Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể
như sau:
Kết quả kiểm tra lần 1
Điểm dưới 5 Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
Số HS
Lớp
thực
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
nghiệm
11E2 43

6

13,95% 20

46,51
%
56,1%

15

34,88% 2

4,66%

11E5 41
9
21,95% 23
9
21,95% 0
0%
Kết quả kiểm tra lần 2
Số HS Điểm dưới 5 Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
thực
Lớp
nghiệ SL
%
SL
%
SL

%
SL
%
m
11E2 43
0
0
8
18,6% 23
53,48% 12
27,92%
11E5 41
0
0
11
26,8% 22
53,65% 8
19,55%
Kết quả thu được:
Qua quan sát thực tế và các bài kiểm tra về dạng tốn này, tơi thấy
- Học sinh đã định hướng và giải khá nhanh các bài tốn tính góc được tơi
sưu tầm từ các đề thi HSG, đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT của các trường
THPT trong cả nước.
- Học sinh đã rèn luyện thành thục kỹ năng sử dụng khoảng cách để tính
góc, kỹ năng tính tốn và phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho một bài toán,
một dạng toán.
- Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức,
100% học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có
kết quả tốt hơn khi chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy trên.
Từ những kết quả trên tôi khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là

hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học.
2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng
20

TIEU LUAN MOI download :


nghiệp và nhà trường
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao
chất lượng giảng dạy mơn Hình học khơng gian của bản thân, góp phần vào việc
nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Toán của nhà trường.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Từ việc sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc trên cộng với sự định hướng
của giáo viên sẽ giúp học sinh giải quyết dạng bài tập về góc. Với cách tiếp cận
đó sẽ hình thành ở học sinh kỹ năng giải tốn hình học nói chung, phát huy tính
sáng tạo tìm tịi lời giải cho một bài tốn, một dạng tốn.
Tóm lại, để phát triển năng lực tốn học trong q trình dạy học bộ mơn
Tốn chúng ta đi tìm cách nâng cao các yếu tố “Tri thức chun mơn Tốn, kỹ
năng làm tốn và thái độ tình cảm đối với mơn Tốn”. Làm được điều này trước
hết giáo viên phải cần có năng lực nghiên cứu sáng tạo cái mới (phương pháp
mới, kiến thức mới, bài tốn mới...) để nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ
của mình ln giữ vững vai trị là người điều khiển của quá trình dạy học. Đối
với mỗi dạng tốn người thầy nên hình thành và chú ý rèn luyện, phát triển các
năng lực Toán học cho các em. Tính góc bằng phương pháp và kỹ thuật ở trên sẽ
giúp học sinh chủ động trong việc phát hiện ra tri thức và nắm bắt được tri thức
để từ đó kích thích sự đam mê, sáng tạo trong học tập bộ mơn Tốn của học
sinh.
3.2. Kiến nghị

Trên đây là một số sáng kiến và kinh ngiệm của tôi đã thực hiện tại đơn vị
trong các năm học vừa qua. Rất mong đề tài này được xem xét, mở rộng hơn
nữa để áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, giúp học sinh u thích và say mê
học Tốn hơn.
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 6 năm 2020
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Người viết
Nguyễn Thị Lan Hương

21

TIEU LUAN MOI download :