Rèn luyện kỹ năng sử dụng khoảng cách để tính góc trong không gian cho học sinh lớp 11 ở trường THPT triệu sơn 3

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán học lớp 11, bài toán về góc trong không gian giữ
một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi THPT Quốc gia; đề thi
học sinh giỏi trong những năm gần đây. Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi
hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong
phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất
điểm trong các kì thi nói trên. Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần
này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá
nhiều thời gian.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập
này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập là chủ yếu, chưa có tài liệu
nào hướng dẫn sử dụng khoảng cách để tính góc trong không gian.
Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các
phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn bài toán với cách
giải mới về phần này còn gặp nhiều khó khăn.
Từ những lý do trên cùng với ý tưởng, giải pháp mà bản thân đã rất tâm
đắc tự rút ra trong quá trình thực tế giảng dạy ôn thi học sinh giỏi và ôn thi
THPT Quốc gia (nay là TN THPT), tôi đã quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ
năng sử dụng khoảng cách để tính góc trong không gian cho học sinh lớp 11
ở trường THPT Triệu Sơn 3’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân
trong năm học 2019 – 2020 và hy vọng thông qua đề tài này cung cấp cho học
sinh cái nhìn tổng quan hơn về phương pháp giải để từ đó có định hướng tốt tìm
ra lời giải các bài toán về góc. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận
xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cách tính nhanh, chính xác
việc sử dụng khoảng cách để tính góc - Hình học 11 nhằm rèn luyện các kỹ năng
toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio).

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Kỹ năng vận dụng các kiến thức về Hệ thức lượng giác trong tam giác
vuông, hệ thức lượng trong tam giác thường, công thức tính diện tích tam giác…
- Phát triển trí tưởng tượng và kỹ năng biểu diễn hình không gian.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là phương pháp sử dụng khoảng cách để
tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng - Chương III Hình học 11 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của
học sinh, qua đó khẳng định sự cần thiết phải xây dựng “phương pháp sử dụng
khoảng cách để tính góc” trong chương trình giảng dạy Hình học không gian lớp
11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo
1


sát thực tế dạy học phần tính góc ở trường THPT Triệu Sơn 3 để từ đó thấy được
tầm quan trọng của việc áp dụng cách tính góc - Hình học không gian lớp 11
trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo
khoa Hình học 11 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Hình học 11 - Nâng cao và
Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình và tài liệu về dạy học theo định hướng
phát triển năng lực học sinh.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải
quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm
được lời giải của một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là người có vai

trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động
tương thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy
cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một
nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.
Trong bài “Góc” sách giáo khoa Hình học lớp 11 đưa ra 3 khái niệm về
góc như sau: “Góc giữa hai đường thẳng”; “Góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng”; “Góc giữa 2 mặt phẳng”. Với 3 khái niệm này chúng ta đưa về 3 dạng
toán tính góc như sau:
Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.
Dạng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Dạng 3: Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Trong 3 dạng toán trên thì dạng toán 2 và dạng toán 3 ta đều sử dụng
khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng để tính góc được. Đặc biệt bài toán tính góc dạng 2 và 3 là bài
toán tương đối khó và thường nằm ở mức vận dụng nên trong sáng kiến này tôi
chỉ nghiên cứu cách tính góc của 2 dạng này bằng việc sử dụng khoảng cách.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có
nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134; có nhiều học sinh
là con em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh chậm,
điều kiện kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng
rất nhiều đến kết quả học tập của các em.
Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để học tốt môn
HHKG thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả năng đoán
nhận, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng vẽ hình tốt, kỹ năng trình bày chặt
chẽ và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối
tượng trong hình không gian. Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của
không ít học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại và
sợ học môn HHKG.
Hơn nữa việc áp dụng kiến thức về góc của học sinh đa số mới chỉ dừng lại

ở mức độ nhận biết, rất ít học sinh thuần thục các kỹ năng và sáng tạo khi vận
2


dụng kiến thức về góc vào giải toán mà đa phần học sinh tỏ ra lúng túng không
định hình được cách giải.
Phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm
vụ cho học sinh một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán ở những cách
giải mới không có trong sách giáo khoa. Ngoài ra số tiết theo phân phối chương
trình dành cho phần này rất ít nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống kiến thức đã học cho học sinh trước khi tiếp nhận kiến
thức mới
- Hệ thống kiến thức hình học không gian gồm: “ Quan hệ song song” ,
“Quan hệ vuông góc” của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng, của
hai mặt phẳng.
- Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
d
d
M
H
M
Cho điểm
và đường thẳng . Gọi
là hình chiếu của
trên . Khi
d (M , d )
d
MH
M

đó
chính là khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng . Kí hiệu
Nhận xét:
*

∀M ' ∈ ∆, MM ' ≥ d ( M , d )
d (M , d )

* Để tính

ta làm như sau:
d
H
M
+ Xác định hình chiếu
của
trên
MH
+ Tính
.
- Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
( P)
( P)
M
H
M
Cho điểm và mặt phẳng
. Gọi hình chiếu
của

trên
. Khi
d ( M ,( P))
( P)
MH
M
đó
chính là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
. Kí hiệu

Nhận xét:
*

∀M ' ∈ ( P), MM ' ≥ d ( M ,( P))

3


* Để tính khoảng cách từ điểm
trong các cách sau:

MH

M

đến mặt phẳng

Cách 1. Tính trực tiếp: Xác định hình chiếu
Phương pháp chung:

Bước 1: Dựng mặt phẳng
chứa

M

H

của

( P)
M

ta sử dụng một
trên

( P)

và tính

( Q)
( P)

và vuông góc với
d
Bước 2: Tìm giao tuyến
của
( P) ( Q)
và
MH d H ∈ d
Bước 3: Kẻ

⊥ (
).

d ( M ,( P )) = MH

Khi đó
.
Cách 2. Sử dụng phép trượt đỉnh
M
M'
Trượt đỉnh
trên một đường thẳng đến một vị trí thuận lợi
, ta quy

d ( M ,( P))

việc tính
sau:

d ( M ',( P))

về việc tính

. Ta thường sử dụng những kết quả

d

Kết quả 1: Nếu đường thẳng
( P)
song song với mặt phẳng

và
d ( M ;( P)) = d ( N ;( P))
M,N ∈d
thì
d
Kết quả 2: Nếu đường thẳng
( P)
I
cắt mặt phẳng
tại điểm
và
M,N ∈d M,N
I
(
không trùng với )
thì:
d ( M ;( P)) MI
=
d ( N ;( P )) NI

4


1
d ( M ;( P )) = d ( N ;( P ))
2

NI
M
I

Đặc biệt, nếu
là trung điểm của
thì
nếu
d ( M ;( P)) = d ( N ;( P))
MN
là trung điểm của
thì
- Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó
( P)
d
Cho điểm đường thẳng
song song với mặt phẳng
. Khoảng cách
( P)
d
d
giữa đường thẳng và mặt phẳng
là khoảng cách từ một điểm bất kì của
d (d ,( P))
( P)
đến mặt phẳng
. Kí hiệu
Nhận xét:
∀M ∈ d , N ∈ ( P), MN ≥ d (d ,( P))
+
( P)
d
+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng
được quy

về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai
mặt phẳng thường dùng:
Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng
+ Tìm

I = d ∩ ( P)
A∈d,

+ Tìm
kẻ
(d ,( P )) = ·AIH
+

AH ⊥ ( P )

tại

d

( P)

và mặt phẳng

H

Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

( P ) ∩ (Q) = d

( P)

và

( Q)

+ Tìm giao tuyến
( P)
( Q)
a
d
b
d
+ Trong
tìm vuông góc với , trong
tìm vuông góc với và
a b
I
, cắt nhau tại
( ( P),(Q) ) = ( a, b )
+
Chú ý: Trong một số trường hợp nếu chỉ yêu cầu tính góc giữa hai mặt
phẳng thì chúng ta có thể áp dụng công thức hình chiếu để tính
2.3.2. Hướng dẫn và rèn luyện kĩ năng sử dụng khoảng cách để tính
góc cho học sinh.
2.3.2.1. Sử dụng khoảng cách để tính góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng
5

Cho mặt phẳng
một điểm).
Phương pháp :

( P)

và đường thẳng

d

(chỉ xét trường hợp

d

cắt

( P)

tại

I
Bước 1: Tìm giao điểm của
( P)
d
mặt phẳng
và đường thẳng
A∈ d
Bước 2: Từ điểm
dựng
AH ⊥ ( P )

H
tại
HI
Khi đó
là hình chiếu của
( P)
d
trên
.
Bước 3: Tính
AH
sin ( d , ( P ) ) = sin ·AIH =
AI
Chú ý:
+ Không cần dựng
dài

AH = d ( A, ( P ) )

H

. Khi đó:

+ Vấn đề là chọn điểm

A

(là hình chiếu của trên
d ( A, ( P ) )
sin ( d , ( P ) ) =

AI

A∈ d

sao cho việc tính

( P)

) mà chỉ cần biết độ

AH = d ( A, ( P ) )

đơn giản

nhất .
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp có cạnh
bên vuông góc với đáy.
S . ABCD
ABCD
A
Ví dụ 1: Cho hình chóp
có đáy
hình thang vuông tại
B, SA ⊥ ( ABCD), SA = a , AB = BC = a , AD = 2a.
M,N
và
Gọi
lần lượt là trung
SB , CD.
MN ( SAC )

điểm
Sin góc giữa
và
bằng ?
5
2 5
55
3 5
5
5
10
10
B.
C.
D.
A.

6


Trích câu 42- đề thi thử lần 1 của trường THPT Quảng Xương 2 -Thanh Hóa
năm học 2019 – 2020, Đề thi thử lần 1 của trường THPT Chuyên Bắc Ninh
năm học 2019-2020.
Phân tích:
+ Bước 1: Tìm giao điểm
MN ( SAC )
I
của
và
MN

+ Bước 2: Chọn trên
một điểm thích hợp cụ thể trong
N
bài này là chọn vì việc tính
khoảng cách từ điểm đó đến

( SAC )

rất đơn giản .

α

là góc

+ Bước 3: Gọi
( SAC ).
MN
giữa
và
Suy ra:
d ( N , ( SAC ) )
sin α =
NI

Bài giải
Kẻ

MP / / SA , P ∈ AB

Gọi

MN

tại
+
+

O = PN ∩ AC , OI / / SA

cắt
I ⇒ ( MNP ) ∩ ( SAC ) = OI

I = MN ∩ ( SAC )

d ( N , ( SAC ) ) = NC

( NC ⊥ ( SAC ) )

( Ở đây khoảng cách tính theo
cách 1 – trực tiếp)
Dễ dàng tính được:
7


3
a 10
ON = a , NP = a , MN =
,
2
2

a 10
a 2
NI =
, NC =
3
2

+ sin ( MN , ( SAC ) ) =

d ( N , ( SAC ) )
NI

=

NC 3 5
=
NI
10

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp có mặt bên
vuông góc với đáy
S . ABCD
ABCD
2:
Cho
hình
chóp
có
đáy
là hình chữ nhật

Ví dụ
AB = a , AD = a 3
SAB
. Tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
( SBC )
SD
mặt phẳng đáy. Tính côsin của góc giữa
và
.
13
3
2 5
1
.
.
.
.
4
4
5
4
A.
B.
C.
D.
Trích đề HSG Bắc Ninh năm học 2018-2019
Phân tích
S
+ Bước 1: Tìm giao điểm của

( SBC )
SD
và
SD
+ Bước 2: Chọn trên
một
điểm thích hợp cụ thể trong bài này là
chọn

D

vì việc tính khoảng cách từ
( SBC )
điểm đó đến
rất đơn giản .
8


α

+ Bước 3: Gọi

SD

và

là góc giữa

( SBC )

. Suy ra:
d ( D, ( SBC ) )
sin α =
SD
Bài giải:
+

SD ∩ ( SBC ) = S

+ d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )
AK ⊥ SB ⇒ AK ⊥ ( SBC )
Kẻ

d ( A, ( SBC ) ) = AK =

a 3
( AK ⊥ SB )
2

SD = SH 2 + HD 2 = 2a
(Ở đây ta dùng phép trượt đỉnh để
tính khoảng cách)
α
SD
+ Gọi là góc giữa
và
( SBC )
. Suy ra:
a 3
AK

3
13
sin α =
= 2 =
⇒ cos α =
SD
2a
4
4
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp đều.
O = AC ∩ BD
S . ABCD
2a
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều
, cạnh
. Gọi
.
( SBC )
SO
Tính sin góc giữa
và
.

1
2

B.

1

C.

1
3

D.

1
3

A.
Phân tích:

9


S
+ Bước 1: Tìm giao điểm của
( SBC )
SO
và
SO
+ Bước 2: Chọn trên
một
điểm thích hợp cụ thể trong bài này là
O
chọn
vì việc tính khoảng cách từ
( SBC )
điểm đó đến

rất đơn giản .
+ Bước 3: Gọi

SO

α

( SBC ) ⇒ sin α =

là góc giữa
d ( O, ( SBC ) )

SO
và
Bài giải:
SO ∩ ( SBC ) = S
+ Ta có:
+ d ( O, ( SBC ) ) = OH

M
Trong đó
là trung điểm
BC
OH ⊥ SM
H
và
tại
(Ở đây khoảng cách tính theo
cách 1- trực tiếp).
OM = a , SO = a 2

Ta có:
1
1
1
a 6
=
+
⇒ OH =
2
2
2
OH OS OM
3
+ Gọi

( SBC ) .

α

là góc giữa

SO

và

Suy ra:
d ( O, ( SBC ) ) OH
1
sin α =
=

=
SO
SO
3
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình lăng trụ.
A, AB = a
ABC. A ' B ' C '
Ví dụ 4: Cho lăng trụ
có đáy là tam giác cân tại
,
·
( ABC )
BAC
= 1200
H
B'
. Hình chiếu vuông góc của
lên
là trung điểm
của

10


BC

. Góc giữa

AB '

( ABB ' A ').

( A ' B ' C ')
và

bằng

600

. Tính góc giữa đường thẳng

B 'C

và

Trích đề HSG 11 của trường THPT Lê Hoàn - Thanh Hóa
năm học 2019-2020
Phân tích
+ Bước 1: Tìm giao điểm của
( ABB ' A ')
B 'C
và
B 'C
+ Bước 2: Chọn trên
điểm
d ( C , ( ABB ') )
C
và tính
.

α

+ Bước 3: Gọi là góc giữa
( ABB ' A ')
B 'C
và
d ( C , ( ABB ' ) )
⇒ sin α =
B 'C
Bài giải
Ta có
( AB ', ( A ' B 'C ') ) = ( AB ', ( ABC ) )
= B ' AH = 600
Dễ dàng tính được
a
a 3
AH = , BH = CH =
,
2
2
a 3
a 6
B'H =
, B 'C =
2
2
Ta có:

( B 'C , ( ABB ' A ') ) = ( B 'C , ( ABB ') )
+

B 'C ∩ ( ABB ') = B '
d ( C , ( ABB ') ) = 2d ( H , ( ABB ' ) )

+
HK ⊥ AB , HJ ⊥ B ' K

Kẻ
⇒ HJ ⊥ ( ABB ') ⇒ d ( H , ( ABB ') ) = HJ
HJ =

Tính được:

a 15
10

11


⇒ d ( C , ( ABB ') ) =
+ sin α =

a 15
5

d ( C , ( ABB ') )
10
=
B 'C
5

Trong đó:
( ABB ' A ')
α
B 'C
là góc giữa
và

Nhận xét: Đây là một ví dụ về tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
tương đối khó, học sinh sẽ gặp khó khăn khi xác định hình chiếu vuông góc của
( ABB ' A ')
C
lên mặt phẳng
nhưng khi sử dụng khoảng cách để tính góc thì bài
toán đơn giản hơn. Mặt khác hình vẽ thoáng, rõ ràng giúp học sinh dễ hình
dung và làm nhanh hơn.
2.3.2.2. Sử dụng khoảng cách để tính góc giữa hai mặt phẳng.
( P)
( Q)
Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng cách sử
dụng khoảng cách được thực hiện qua các bước sau:
d
: Xác định giao tuyến
Bước 1
( P)
( Q)
của hai mặt phẳng
và

A∈ ( P )
Từ
, dựng
Bước 2:
AK ⊥ d ; AH ⊥ ( Q ) ⇒ d ⊥ ( AKH )
.
( P ) ,( Q )
Bước 3: Gọi góc giữa
AH
sin
α
=
α
α = ·AKH ⇒
AK
là thì
.
Trong đó:

AH = d ( A, ( Q ) )

AK = d ( A, d )

,

sin α =
. Vậy

d ( A, ( Q ) )
d ( A, d )

Chú ý:
12


+ Việc sử dụng khoảng cách để tính góc rất hữu ích vì khi tính khoảng
cách ta sử dụng được kỹ thuật rời điểm (chuyển từ điểm khó tính khoảng cách
về điểm dễ hơn)
A
+ Vấn đề mấu chốt là chọn điểm trên mặt nào để tính khoảng cách đến
mặt còn lại đơn giản nhất.
Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp có cạnh bên vuông góc
với đáy.
a,
S . ABC
ABC
Ví dụ 1: Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
( SAB) ( SBC )
SA ⊥ ( ABC ), SA = a 3
. Cosin góc giữa hai mặt phẳng
và
là?
2 5
2 5
5
5
−
−

5
5
5
5
B.
C.
D.
A.
Trích đề thi thử lần 2 năm 2019 của trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa
Phân tích:
Bước 1 : Xác định giao tuyến
d

( SAB )

của hai mặt phẳng

và

( SBC )

A ∈ ( SAB)

tính

Bước 2: Chọn
d ( A, ( SBC ) ) , d ( A, d )

và

.
Bước 3: Gọi góc giữa
( SAB ) , ( SBC ) α
là khi đó:
d ( A, ( SBC ) )
sin α =
d ( A, d )
Bài giải:

13


+

( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB
A ∈ ( SAB)

+ Chọn
, kẻ
AK ⊥ SB , AI ⊥ BC , AH ⊥ SI
⇒ d ( A, SB ) = AK

và

d ( A, ( SBC ) ) = AH
Ở đây khoảng cách

d ( A, ( SBC ) ) = AH
được tính theo cách 1- trực tiếp
+ Gọi

α

( SAB )

phẳng

Suy ra:

là góc giữa hai mặt

( SBC )

và
.
d ( A, ( SBC ) )
2
sin α =
=
d ( A, SB )
5

⇒ cos α =

1
5

ABC
S . ABC
A

Ví dụ 2: Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
·
·
( SAB )
( SAC )
AB = a , SBA
= SBA
= 900
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
và
biết
d ( S , ( ABC ) ) = a

A.

600

B.

300

C.

450

D.

900

Phát triển câu 49 đề minh họa của Bộ Giáo Dục năm 2020
Phân tích:

14


Bước 1

: Xác định giao tuyến

( SAC )

của hai mặt phẳng
Chọn
Bước 2:
d ( B, ( SAC ) ) , d ( B, d )

d

( SAB)

và
B ∈ ( SAB)

và tính

.
Bước 3: Gọi góc giữa

( SAC )

sin α =

( SAB )

và
d ( B, ( SAC ) )

là

khi đó:

d ( B, d )

Bài giải
Vẽ hình bình hành
SH ⊥ ( ABC )
vuông và
Gọi

α

BACH

. Dễ dàng chứng minh được

BACH

là hình

( (SAC ),(SAB) ) = α
( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA

+ Ta có:
+ Tìm được điểm

B ∈ ( SAB )

B
mà việc tính khoảng cách từ đến
( SAC )
SA
và
rất đơn giản.
d ( B, ( SAC ) ) = d ( H , ( SAC ) ) = HI
d ( B, SA) = BK

( HI ⊥ SC ⇒ HI ⊥ ( SAC ) , BK ⊥ SA )
Ở đây ta dùng phép trượt đỉnh
( SAC )
B
để tính khoảng cách từ đến
HI
3
⇒ sin α =
=
⇒ α = 600
BK 2

15


Nhận xét: bằng cách vẽ hình thích hợp ta chuyển ví dụ 2 về bài toán xác
định góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy –
bài toán quen thuộc tương tự ví dụ 1. Ví dụ 2 lúc này trở nên dễ dàng hơn đối
với đa số các em học sinh. Mặt khác, ví dụ 2 phát triển tư duy hình học không
gian tạo góc nhìn đơn giản hơn cho học sinh.
Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp đều.
a
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng . Tính
cosin góc giữa một mặt bên và mặt đáy.
1
1
1
1
3
2
2
3
B.
C.
D.
A.
Phân tích:

( SAB)
Giả sử cần tính góc giữa
Bước1: Xác định giao
d

tuyến của hai mặt phẳng

( SAB )

và

( ABCD)

và

tính

( ABCD )

S ∈ ( SAB)

Bước 2: Chọn
d ( S , ( ABCD ) ) , d ( S , d )

và

.

ước 3: Gọi góc giữa
B

( SAB )

sin α =

( ABCD)

và
là
d ( S , ( ABCD ) )

α

khi đó:

d ( S,d )

Bài giải:

16


+

Ta có :

( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB

S ∈ ( SAB ) :

+ Chọn
d ( S , ( ABCD ) ) = SO , d ( S , AB ) = SH
Trong đó

H

là trung điểm

⇒ sin ( ( SAB ) , ( ABCD ) ) =

⇒ cos ( ( SAB ) , ( ABCD ) ) =

AB
SO
6
=
SH
3

1
3

Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp có mặt bên vuông góc
với đáy.
a
S . ABCD
ABCD
5:
Cho
hình
chóp
có
đáy
là
hình

vuông
cạnh
,
Ví dụ
SAB
mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
( ABCD )
( SAC ) ( SCD )
cosϕ
ϕ
. Tính
biết là góc giữa hai mặt phẳng
và
3
2
6
5
.
.
.
7
7
7
7
A.
B.
C.
D.
Trích câu 46 –mã 111 đề thi thử lần 2 THPT Triệu Sơn 2 năm học 2019-2020

Phân tích

d

Bước 1: Xác định giao tuyến

( SAC )

của hai mặt phẳng
Chọn
Bước 2:
d ( A, ( SCD ) ) , d ( A, d )

( SCD )

và
A ∈ (SAC )

và tính

.
Bước 3: Gọi góc giữa

( SAC )

sin α =

( SCD )

α

và
là khi đó:
d ( A, ( SCD ) )

d ( A, d )

17


Bài giải:
+

Gọi

H

là trung điểm

A ∈ ( SAC ) :

+ Chọn
d ( H , ( SCD ) ) = HJ =

AB

ta có:

việc tính

( SAC ) ∩ ( SCD ) = SC.

d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) )

a 21
7

đơn giản nhất (ở đây khoảng cách
được tính theo cách 1- trực tiếp)

d ( H , ( SCD ) )

d ( A, SC ) = AK
AK =

2S∆SAC a 14
=
SC
4

Trong đó:
AK ⊥ SC , HI ⊥ CD , HJ ⊥ SI
sin ϕ =

d ( A, ( SCD ) ) HJ
=
d ( A, SC )
AK

+

2 6
5
sin ϕ =
⇒ cosϕ =
7
7

Nhận xét: ở ví dụ này nếu tính góc theo cách thông thường ( không sử
dụng khoảng cách) thì bài toán sẽ khá phức tạp và học sinh rất lúng túng thậm
chí là không tính được góc. Nhưng khi sử dụng khoảng cách để tính góc kết hợp
vẽ hình tốt thì ví dụ trên trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.
Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình lăng trụ
ABC. A′B′C ′
C
6: Cho lăng trụ đứng
có đáy là tam giác vuông tại
Ví dụ
( AB ' C )
2 AC = BC = 2a, AA′ = 4a
. Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng
và
( ABC ')
18


2 70
35

B.

A.

3 35
35

C.

4 70
35

D.

35
35

Phân tích:
+ Bước 1: Xác định giao tuyến
AO
O = BC '∩ B ' C
với
giữa hai mặt
( AB ' C ) ( ABC ')
phẳng
và
+ Bước 2: Tính khoảng cách từ
( ABC ')
C
đến mặt phẳng
.
+ Bước 3: Gọi góc giữa

( AB ' C ) ( ABC ') α
và
là khi đó:
d ( C , ( ABC ') )
sin α =
d ( C , AO )

Bài giải:
+ ( AB ' C ) ∩ ( ABC ') = AO

C ∈ ( AB ' C ) : d ( C , ( ABC ') )

+
K
hoảng cách trên được tính như sau:
1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
d ( C , ( ABC ') ) CA CC ' CB 2
⇒ d ( C , ( ABC ' ) ) =

4a 21
21

1
1
1
=
+
2
d ( C , AO ) CA CO 2
2

⇒ d ( C , AO ) =

a 30
6

( ( AB ' C ) , ( ABC ') ) = α

+ Gọi
4 70
⇒ sin α =
35

19


Ví dụ 7
∆BB ' D

đều,
300

A.

: Cho hình hộp

AB = AB '

ABCD. A′B′C ′D '

có đáy

ABCD

là hình vuông,

( BCC ' B ')

. Tính góc giữa hai mặt phẳng
và
0
0
0
45
60
90
B.
C.
D.
Trích đề số 7 – Toán học tuổi trẻ 2019

( A ' B 'CD )

Phân tích:
+ Bước 1: Xác định giao tuyến
( BCC ' B ') ( A ' B 'CD )
và
D ∈ ( A ' B ' CD )
+ Bước 2: Chọn
d ( D, ( BCC ' B ' ) )
sao cho việc tính
và
d ( D, B ' C )
đơn giản nhất.
+ Bước 3: Gọi
α = ( ( BCC ' B ') , ( A ' B ' CD ) )

sin α =

d ( D, ( BCC ' ) )
d ( D, B ' C )

Bài giải:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng

( BCC ' B ')

và

( A ' B 'CD )

+ Ta có:

( BCC ' B ') ∩ ( A ' B ' CD ) = B ' C
D ∈ ( A ' B ' CD )

+ Chọn
: Tính
d ( D, ( BCC ' B ' ) ) = d ( A, ( BCC ' B ' ) )
và

d ( D, B ' C )

đơn giản nhất.

H
BB '
Gọi là trung điểm của
.
⇒ BC ⊥ ( ABB ' A ' )

Dễ dàng chứng minh được
AH ⊥ ( BCC ' B ')
. Thật vậy
AH ⊥ BB ', BC ⊥ AH
20


⇒ AH ⊥ ( BCC ' B ')

AB = AB ' = a ,

Ta có:

BD = B ' D = BB ' = a 2

1
a 2
⇒ AH = BB ' =
2
2
BDC '

Vì tam giác
a 6
⇒ d ( D, BC ' ) =
3
Gọi

vuông tại

D

α = ( ( BCC ' B ') , ( A ' B ' CD ) )
sin α =

+ Tính

d ( D, ( BCC ') )
d ( D, B ' C )

=

3

2 ⇒ ( ( BCC ' B ') , ( A ' B 'CD ) ) = 600

Nhận xét:
- Ở các ví dụ trên, việc tính góc giữa hai mặt phẳng là một bài toán khó,
gây trở ngại và khó khăn đối với học sinh có học lực trung bình. Nhưng trên
thực tế sau khi áp dụng phương pháp sử dụng khoảng cách để tính góc tôi nhận
thấy khả năng tính góc của các em tốt hơn rất nhiều, quan sát hình vẽ và sử
dụng khoảng cách linh hoạt để tính góc nhanh, chính xác. Đặc biệt là rất sôi nổi
trong tiết hình học. Qua tiết học thì học sinh không những có cơ hội được phát
triển năng lực tính toán mà còn có cơ hội ôn tập các công thức, kiến thức đã
học.
- Ngoài ra, trong quá trình dạy học môn hình học không gian, việc hình
thành cho học sinh kỹ năng vẽ hình (biểu diễn hình không gian) là rất cần thiết
và quan trọng. Để làm tốt điều này, người giáo viên cần định hướng cho học
sinh biểu diễn các hình không gian dưới nhiều góc độ khác nhau để từ đó đưa
ra góc nhìn tốt nhất để vẽ hình. Từ việc biểu diễn hình ở góc độ tốt sẽ hình
thành cho các em tư duy trừu tượng, khả năng tưởng tượng cao trong khi làm
bài.
- Qua các ví dụ trên có thể thấy, việc sử dụng khoảng cách để tính góc
cùng một lúc khắc sâu được 2 dạng toán đó là tính khoảng cách và góc.
2.3.3. Hệ thống bài tập sử dụng khoảng cách để tính góc giúp học sinh
rèn luyện.

21


Bài tập 1:

Cho lăng trụ đứng

A, AC = a, BC = 2a , BB ' = a 3

trung điểm cạnh

A' B '

ABC. A′B′C ′,

. Gọi

G

đáy

ABC

là tam giác vuông tại

là trọng tâm của tam giác

. Tính sin góc giữa

IG

và

( ABC )

S . ABCD

ABC

ĐS

và

I

là

6 3
115
a

ABCD

Bài tập 2: Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh ,
a 6
SC
=
0
·
( ABCD )
BAD
= 60
SC
2
góc

cạnh bên
và
vuông góc mặt phẳng
.

( SBD )

6
6

( SCD )

Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng
và
ĐS
S . ABCD
ABCD
Bài tập 3: Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông Cạnh
( ABCD ) SA = AB 3
SA
bên
vuông góc mặt phẳng
,
. Tìm cosin của góc giữa
hai mặt phẳng
1
4
.

A

( SBC )

và

( SCD )

B.

0

C.

1
2

D.

1
2

Trích đề thi thử của Sở giáo dục Hà Tĩnh 2019
a
S . ABCD
ABCD
Bài tập 4: Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh ,
a 3

·
BAD
= 600 , SA = SB = SD =
α
SD
2
. Gọi
là góc tạo bởi
và mặt phẳng
( SBC )
cosα
. Giá trị
của bằng
5
2 2
1
2
3
3
3
3
A.
B.
C.
D.
Trích câu 35 đề thi thử của trường chuyên Phan Bội Châu lần 1 năm 2020

22

ABC . A ' B ' C '

AB = 2 3 ,

Bài tập 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều
có
A
'
B
',
A
'
C
', BC
M , N, P
AA ' = 2
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Cosin
( AB 'C ')
( MNP )
của góc tạo bởi hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
13
6 13
17 13
18 13
65
65

65
65
B.
C.
D.
A.
Trích câu 48 đề thi thử của trường chuyên Phan Bội Châu lần 1 năm 2020
S . ABCD
ABCD
Bài tập 6: Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật
AD = a 3
SA = a 2
AB = 3a
SA
và
. Cạnh bên
và
vuông góc với mặt đáy
( ABCD )
H,K
A
. Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh
lên các cạnh
( AHK )
600
SB
SC

AC
và
. Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
ĐS:
Trích đề HSG 11 trường THPT Nguyễn Quán Nho- Thanh Hóa năm 2019-2020
a
S . ABCD
ABCD
Bài tập 7: Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
SA ⊥ ( ABCD ) SA = a
( SBD ) ( SCD )
α
và
,
. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng
và
.
sin α = ?
Tính
3
2
3
2
sin α =
sin α =
sin α =
sin α =

3
2
2
3
.
B.
C.
D.
A
S . ABCD
ABCD
Bài tập 8: Cho hình chóp
có đáy
là hình thang cân có
SA ⊥ ( ABCD )
AB = BC = CD = a, AD = 2a , SA = a 3
α
và
. Gọi
là góc giữa
( SAB ) ( SBC )
sin α = ?
hai mặt phẳng
và
. Tính
3
2 5
5
2 3
sin α =

sin α =
sin α =
sin α =
5
5
5
5
B.
C.
D.
A.
S . ABCD
ABCD
Bài tập 9: Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông
SA ⊥ ( ABCD )
AB = BC = a, AD = 2a , SA = 2a
A
B
I
tại
và
có
và
. Gọi
là
SD
SM
=

2
MD
N
AD M
trung điểm
,
là điểm thuộc cạnh
sao cho
. Điểm thuộc
23


a2
3

CD
MNI
cạnh
sao cho tam giác
có diện tích bằng
. Tính góc giữa mặt phẳng
( MNI ) ( SAC )
và
0
30
450
600
700
B.
C.

D.
A.
ABC . A ' B ' C '
A '. ABC
Bài tập 10: Cho hình lăng trụ
có
là hình chóp tam
a 7
AB = a ; AA ' =
( ABB ' A ')
12
giác đều cạnh
. Góc giữa hai mặt phẳng
và mặt
( ABC )
phẳng
bằng
0
30
600
450
750
B.
C.
D.
A.

Trích câu 41 đề thi thử TN của trường THPT Kinh Môn- Hải Dương lần 2
năm 2020
ABC . A ' B ' C '

Bài tập 11: Cho hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh
( ABC )
a
G
B'
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trọng tâm
( ABC )
600
∆ABC
của tam giác
. Cạnh bên hợp với
một góc
. Sin của góc tạo
( BCC ' B ' )
AB
bởi
và mặt phẳng
bằng
3
3
2
1
13
2 13
13
13
.

B.
C.
D.
A
ABCD. A ' B ' C ' D '
Bài tập 12: Cho hình hộp
có đáy là hình thoi cạnh
( A ' B ' C ' D ')
a 3
B
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung
a 3
2
A 'C '
điểm của
. Khoảng cách giữa hai đáy bằng
. Cosin của góc tạo bởi hai
( ABCD ) ( CDD ' C ')
mặt phẳng
và
bằng ?
21
21
3 21
21
7
14
14

7
B.
C.
D.
A.
24


Phát triển câu 49 đề Minh họa lần 2 của Bộ Giáo Dục năm 2020
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
Thông qua việc đưa ra các bước giải cụ thể cho từng dạng toán tính góc
đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng từng dạng toán tôi thấy học sinh
thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh và đạt độ chính xác cao hơn. Từ đó kết quả
kiểm tra tiến bộ rõ rệt.
Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 11E2 và
11E5 mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn và trong thời gian làm bài
ngắn hơn nhưng kết quả tốt hơn nhiều. Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể
như sau:
Kết quả kiểm tra lần 1
Điểm dưới 5 Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
Số HS
Lớp
thực
SL
%
SL

%
SL
%
SL
%
nghiệm
11E
2
11E
5

13,95
%
21,95
41
9
%
Kết quả kiểm tra lần 2
Số HS Điểm dưới 5
Lớp
thực
SL
%
nghiệm
43

6

20

46,51
%

15

23

56,1%

9

34,88
%
21,95
%

2

4,66
%

0

0%

Điểm 5-6

Điểm 7-8

Điểm 9-10

SL

SL

SL

%

12

27,92%

8

19,55%

11E2 43

0

0

8

11E5 41

0

0

11

%
18,6
%
26,8
%

23
22

%
53,48
%
53,65
%

Kết quả thu được:
Qua quan sát thực tế và các bài kiểm tra về dạng toán này, tôi thấy
- Học sinh đã định hướng và giải khá nhanh các bài toán tính góc được tôi
sưu tầm từ các đề thi HSG, đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT của các trường
THPT trong cả nước.
- Học sinh đã rèn luyện thành thục kỹ năng sử dụng khoảng cách để tính
góc, kỹ năng tính toán và phát huy tính sáng tạo tìm tòi lời giải cho một bài toán,
một dạng toán.
- Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức,
100% học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có
kết quả tốt hơn khi chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy trên.
Từ những kết quả trên tôi khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là

hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học.
2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng
nghiệp và nhà trường
25