(SKKN mới NHẤT) kinh nghiệm nâng cao kỹ năng sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và bunhiacopski vào giải toán cực trị của mô đun số phức cho học sinh lớp 12

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình mơn Tốn lớp 12, số phức là phần kiến thức cơ bản, nếu
đi sâu vào việc tìm cực trị của mơ đun số phức - một dạng tốn thường gặp trong kì
thi THPT Quốc gia những năm gần đây lại là một dạng tốn khó đối với hầu hết
học sinh lớp 12. Để hướng dẫn học sinh giải dạng toán này giáo viên thường sử
dụng phương pháp hình học, tuy nhiên đại đa số học sinh thích học đại số hơn hình
học nên các em thường e ngại dạng tốn này. Để giải quyết tốt được các dạng tốn
này tơi đã sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski là một
trong những phương pháp giải nhanh, hữu hiệu nhất. Theo tôi đây là một dạng tốn
mới, khó, địi hỏi sự lập luận, suy luận cao, tư duy lơgic cộng với việc tính tốn
nhanh thì đây chính là thách thức đối với học sinh lớp 12.
Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn
đề tài: “Kinh nghiệm nâng cao kỹ năng sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối và Bunhiacopski vào giải toán cực trị của mô đun số phức cho học
sinh lớp 12’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2019 –
2020. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng
nghiệp để đề tài được hồn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là:
+ Rèn luyện kỹ năng tốn học, đặc biệt là hình thành cách tính nhanh, chính
xác dạng tốn tìm cực trị của mơ đun số phức trong chương trình Giải tích 12.
+Từ đó phát triển cho học sinh những năng lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính tốn, năng lực tự học và giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng công nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio).
- Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học.
- Kỹ năng vận dụng kiến thức về số phức.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tìm cực trị của mơ đun số phức - Chương
IV – Giải tích 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của
học sinh khi được tác động, hướng dẫn cách giải này.

1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát
thực tế dạy học phần số phức ở trường THPT Triệu Sơn 3 để từ đó thấy được tầm
quan trọng của việc áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và
Bunhiacopski trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
1

TIEU LUAN MOI download :


- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa
Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản,
tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng
lực học sinh.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực
nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết
một vấn đề rất quan trọng. Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp
các bài toán. Trong dạy học, giáo viên là người có vai trị thiết kế sao cho học sinh
thực hiện và luyện tập các hoạt động học tập tương thích với nội dung dạy học. Vì
vậy trang bị về phương pháp học hiệu quả, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các
năng lực cho học sinh... là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên cần thực
hiện thật tốt.
Trong bài “Số phức” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 chỉ đưa ra những kiến
thức cơ bản, tuy nhiên trong đề thi THPT Quốc gia lại có nhiều câu khó liên quan
dạng tìm cực trị của số phức. Vì vậy, tơi đã bổ sung thêm phương pháp sử dụng bất
đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski vào hướng dẫn học sinh giúp

học sinh yêu thích giải dạng toán này.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều
xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh là con
em dân tộc thiểu số, điều kiện kinh tế cịn khó khăn, đường đi học cịn xa và khó đi
nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em. Vì vậy điểm thi vào 10
của các em còn thấp, nhất là mơn Tốn.
Trong q trình dạy học tơi nhận thấy để làm tốt, nhanh phần cực trị của mô
đun số phức thì học sinh cần phải nắm vững kiến thức, phải có khả năng phán
đốn, phân tích tốt dạng tốn, đồng thời cần có kỹ năng trình bày chặt chẽ và tư
duy logic cao. Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của khơng ít học sinh, kể
cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý e ngại những dạng tốn khó này, cách
làm dài, cần lập luận nhiều các em không hứng thú.
2.3. Các sáng kiến kinh ngiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hướng dẫn học sinh ôn tập một số kiến thức cần thiết để áp dụng
vào giải dạng toán cực trị của mô đun số phức.
+) Số phức liên hợp, mô đun của số phức
+) Nhân, chia các số phức
+) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
2

TIEU LUAN MOI download :


|z 1|−|z2|≤|z 1 ± z 2|≤|z 1|+|z 2|
|z 1|

z1

||

+) Tính chất của mô đun: ⌈ z ⌉ = z ; |z 1. z 2|=|z 1|.| z2|
2
2
+) Bất đẳng thức Bunhiacopski:
2
( a 1 b 1+ a2 b2 ) ≤ ( a21+ a22 )( b21+ b22 )

Ý nghĩa: Học sinh nắm vững hệ thống kiến thức trên giúp các em phát hiện
được vấn đề giải quyết tốt bài toán.
2.3.2. Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh sử dụng bất đẳng thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối để giải các bài toán về cực trị của mô đun số phức.
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn|z−2−4 i|=√ 5. Tìm max; min |z|
A.3 √ 5; √5
Phân tích:

B.5 ; 3

C. 2 √ 5 ; √ 5

D. √ 13 ; √7

Muốn tìm max |z|ta sử dụng |z 1|−| z2|≤|z 1 ± z 2|
Muốn tìm min |z|ta sử dụng |z 1 ± z 2|≤|z 1|+|z 2|

Hướng dẫn:
Ta có
|2+ 4 i|−|z −2−4 i|≤|2+ 4 i+ z−2−4 i|=|2+ 4 i|+|z −2−4 i|
⇔ 2 √ 5−√ 5 ≤|z|≤2 √ 5+ √ 5 ⇔ √ 5 ≤|z|≤ 3 √ 5

Đáp án A
Bài 2: Cho số phức Z thỏa mãn|z−3+ 4 i|=2. Tìm max |z +1|
A.2+ √ 2

B.2 √2+2

C.3 √ 2+ 2

D. 4 √ 4+ 2

Phân tích: Muốn tìm max |z +1| ta tách thừa số z +1
Hướng dẫn:
Ta có |z +1|−|4−4 i|≤|( z +1 )− ( 4−4 i)|=|z−3+ 4 i|=2
⇔ |z+ 1|≤|4−4 i|+2=4 √ 2+2

Đáp án D
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn|z (1+i)+1−7 i|=√ 2. Tìm max |z|
A.5

B.6

C.7

D. 8
3

TIEU LUAN MOI download :


Phân tích: Muốn tìm max

|Z|

ta biến đổi chỉ cịn thừa số Z

Hướng dẫn:
Từ |z (1+i)+1−7 i|=√ 2 ⇔|z−3−41|=1
Ta có |Z|−|3+ 4 i|≤|z−( 3+ 4 i )|=|Z−3−4 i|=1
⇔ |z| ≤|3+ 4 i|+1=6

Đáp án B
Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn2|z−1|+3|z−i|≤ 2 √ 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.|z|>2

1

B.|z|> 2

1

3

C. 2 <|z|< 2

3
D. 2 <| z|< 2

Phân tích: Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối tìm z ⇒|z|
Hướng dẫn:
Ta có 2 √ 2 ≥ 2| z−1|+3|z−i|≥2 (|z −1|+|z−i|) +|z −i|≥

2|( z−1 )− ( z −i )|+|z−i|=2|i−1|+|z−i|=2 √ 2+|z−i|

Dấu “ = ” xảy ra khi |z−i|=0 ⇔ z =i ⇔|z|=1
Đáp án C
Bài 5: Cho các số phức z thỏa mãn|z|≥ 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của

| z+z i|. Giá trị của tích M .m bằng:
2

3

A. 3

B. 4

C.1

D. 2

(Trích đề thi trường THPT chuyên KHTN, câu 47 năm 2020)
Phân tích: Muốn tìm max |z|ta sử dụng |z 1|−| z2|≤|z 1 ± z 2|
Muốn tìm min |z|ta sử dụng |z 1 ± z 2|≤|z 1|+|z 2|
Hướng dẫn:
1 1
i
i
i
Ta có 1− z ≤ 1+ z ≤ 1+ z . Mặt khác |z|≥ 2 ⇔ | z| ≤ 2

||| | ||

1 z+i 3
3
1
⇒ ≤
≤ ⇒ M= ; m= .
2
z
2
2
2

| |

4

TIEU LUAN MOI download :


3

Vậy M .m= 4
Đáp án B
Ý nghĩa:
- Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối làm đơn giản kiến thức
hơn giúp học sinh dễ hiểu bài, dễ ghi nhớ kể cả học sinh trung bình.
- Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối khi bài tốn tìm min, max
của biểu thức dễ dàng tách được thành |z 1|−| z2|≤|z 1 ± z 2|≤|z 1|+|z 2|
2.3.3. Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh sử dụng bất đẳng thức

Bunhiacopski để giải các bài toán về cực trị của mô đun số phức.
Bài 1: Cho hai số phức z 1 ; z 2thỏa mãn|z−z 2|=1, |z 1 + z 2|=3.
Tìm max T =|z 1|+|z 2|
A.8

B.10

C.√ 10

D. 4

Phân tích: Biến đổi giả thiết đã cho tìm mối liên hệ giữa phần thực và phần ảo để
sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski.
Hướng dẫn:
Từ |z 1−z 2|=1 ⇔( x 1−x 2)2 +( y 1− y 2)2 =1,

|z 1 + z 2|=1 ⇔ (x 1+ x 2 )2 +( y 1+ y 2)2=1
2

2

2

2

⇒ x 1 + x 2+ y 1+ y 2=5

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
2

2

2

2

2

2

2

2

T =1 √ x 1 + y 1 +1 √ x 2+ y 2 ≤ √ 2( x1 + x 2 + y 1 + y 2)= √ 10

Đáp án C
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn|z−1|=√ 2.
Tìm max T =|z +i|+|z−2−i|
A.2

B.6

C.

√6

D. 4

Phân tích: Biến đổi giả thiết đã cho sau đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski.

Hướng dẫn:
5

TIEU LUAN MOI download :


Từ |z−1|=√ 2 ⇔( x−1)2 + y 2=2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
2

2

2

2

2

2

T =√ x +( y +1) + √( x−2) +( y−1) ≤ √ 2(2 x −4 x+ 2 y +6)
¿ 4 [( x−1)2 + y 2 +2 ]=4

√

Đáp án D
Bài 3: Cho số phức Z thỏa mãn|z−2−3 i|=1.
Tìm max T =|z +1+i|
A.4

B.√ 13+1

C.√ 13+2

D. 6

Phân tích: Thêm bớt khéo léo biểu thức T giống dữ kiện đề bài cho.
Hướng dẫn:
Từ |z−2−3 i|=1 ⇔ ( x−2 )2 + ( y −3 )2=1
2

2

2

2

⇔ x −4 x +4 + y −6 y + 9=1 ⇔ x + y =4 x+ 6 y−12

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
T =√( x +1)2 +( y−1)2=√ x2 + y 2 +2 x−2 y+ 2=√ 6 x+ 4 y−10
¿ √ 6 ( x−2 ) +4 ( y−3 ) +14 ≤

√ √ ( 36+16 ) [ ( x−2 ) +( y−3 ) ]+14=¿ √√ 52+14=1+ √13
2

2

Đáp án B
Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn |z−3−4 i|=√ 5 và biểu thức

2
2
T =|z +2| −|z−i| đạt giá trị lớn nhất. Tính |z|

A.√ 33

B.50

C.√ 10

D. 5 √ 2

Phân tích: Thêm bớt khéo léo biểu thức T giống dữ kiện đề bài cho.
Hướng dẫn:
2
2
Từ |z−3−4 i|=√ 5 ⇔ ( x−3) +( y−4) =5 (¿)
2

2

2

T =( x+2) + y −x −¿
¿
⇒ max T =33 ⇒ 4 x +2 y +3=33 ⇔ y=15−2 x

thay vào (*) ta được
6

TIEU LUAN MOI download :


(x−3)2 +(11−2 x)2=5 ⇔ 5 x 2−50 x +125=0 ⇔ x=5 ⇒ y=5

Vậy |z|=5 √2 .
Đáp án D
Nhận xét:
Nếu ta sử dụng dấu bằng xảy ra của bất đẳng thức Bunhiacopski thì ta có
2
2
y=5 ; x=5
x=2 y−5 thay vào (*) ta được (2 y−8) +( y−4 ) =5 ⇔
y=3 ; x=1

[

với x=1 ; y=3 ⇒ z=√ 10 học sinh sẽ phân vân đáp án C hoặc D, cần lưu ý khi

T =33 ⇒ hoặc x ≥ 3 , hoặc y ≥ 4

Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn |z|=1 . Gíá trị lớn nhất của biểu thức
P=|1+ z|+ 2|1−z|

A.√ 5

B.6 √ 5

C.2 √ 5

D. 4√ 5

Phân tích: Biến đổi dữ kiện đề bài cho được kết quả thế vào biểu thức.
Hướng dẫn:
Gọi số phức z=x + yi .
Từ |z|=1 ⇔ x 2+ y 2 =1
P=|1+ z|+ 2|1−z|=√ ¿ ¿
¿ √ 2 x +2+2 √ 2−2 x ≤ √( 1+ 4 ) ( 2 x+2+2−2 x )=2 √ 5 .

Đáp án C
Bài 6: (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Xét số phức z=a+bi ( a , b ∈ R ) thỏa
mãn|z−4−3 i|=√ 5.
Tính P=a+b khi |z +1−3 i|+|z−1+i| đạt giá trị lớn nhất.
A. P=10
B. P=4
C. P=6
D. P=8
Phân tích: Thêm bớt khéo léo biểu thức P giống dữ kiện đề bài cho.
Hướng dẫn:
Từ |z−4−3 i|=√ 5 ⇔ ( x−4 )2 + ( y −3 )2=5(¿)
2

2

⇔ x + y =8 x +6 y −20

T =√( x +1)2 +( y−3)2+ √ ( x−1)2+( y +1)2 ≤
2

2

2

2

√(1+1)[ ( x +1) +( y−3) +( x−1) +( y +1) ]
7

TIEU LUAN MOI download :


2

¿ √ 2(2 x ¿ ¿ 2+2 y −4 y +12)=√ 2(16 x+8 y −28)¿=√ 2 [ 16 ( x−4 ) +8 ( y −3 ) +60 ] ≤
√2 ¿ ¿
¿
⇒ max T =10 √ 2 ⇒ 16 x +8 y−28=100 ⇔ y =16−2 x

thay vào (*) ta được ( x−4 )2 + ( 13−2 x )2=5 ⇔ 5 x 2−60 x +180=0
⇔ x=6 ⇒ y =4 . Vậy P=10.

Đáp án A
z−1
1
Bài 7: Cho số phức Z thỏa mãn z+ 3i = .
√2

| |

Tìm max T =|z +i|+2|z−4+7 i|

A.18

B.20

C.4 √5

D. 6 √ 5

Phân tích: Biến đổi dữ kiện đề bài cho sau đó sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Hướng dẫn:
Gọi số phức z=x + yi.

| z−1 |

1

Từ z+ 3i = ⇔ √2|x−1+ yi|=|x + yi+3 i|
√2
2

2

2

2

2

2

⇔ 2(x−1) +2 y =x +( y +3) ⇔ x + y =4 x+ 6 y+7
2

2

2

2

T = √ x +( y+1) +2 √( x−4 ) +( y−7) ≤

√(1+ 4)(2 x2 +2 y 2−8 x−12 y +66)=√(1+ 4)(14 +66)=20.
Đáp án B
z−2i
Bài 8: Cho số phức Z thỏa mãn z+ 3−i =1. Tìm min T =|z +3−2i|

|

A.2 √10

B.√ 10

|

C.

2 √ 10
5

D.

√10
5

Phân tích: Biến đổi dữ kiện đề bài cho sau đó sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Hướng dẫn:
Gọi số phức z=x + yi .

|

z−2i

|

Từ z+ 3−i =1 ⇔| x+ yi−2i|=|x+ 3+ yi−i|
8

TIEU LUAN MOI download :


2

2

2

2

⇔ x + y −4 y + 4=x +6 x +9+ y −2 y +1 ⇔3 x + y +3=0

√

2

2

⇔ 4=3(x +3)+( y−2)≤ (9+1) [( x +3) +( y−2)
⇔ T = √¿ ¿
¿

]

Đáp án C
Ý nghĩa:
- Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giúp học sinh linh hoạt và khéo léo
trong việc biến đổi biểu, giải toán nhanh gọn. Mặc dù đây là những bài tốn khó
nhưng vẫn tạo được hứng thú cho học sinh.
- Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski đối với những bài tốn tìm mim, max
mơ đun của số phức khó, cần phải biến đổi khéo léo giữa dữ kiện và yêu cầu của
bài toán
2.3.4. Hướng dẫn học sinh so sánh cách giải khác để thấy rõ tính ưu việt
của phương pháp sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và
Bunhiacopski so với cách giải thông thường.
Phương pháp thực hiện:
+) Cho hai học sinh làm cùng một bài bằng hai cách: Hai học sinh có năng
lực tương đương nhau.
+) Gọi một học sinh khác nhận xét để thấy rõ được tính hiệu quả về thời
gian cũng như cách giải ngắn gọn, đơn giản. Từ đó các em tin tưởng và quyết tâm
lựa chọn cách giải nêu trong đề tài này.
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn |z−5+ 2i|=4.

Tìm min, max của T =|z−3+ i|
A.√ 5 ;4

B.4− √5 ; 4 + √ 5

C.4 ;4 + √ 5

D. 4− √5 ;4

Cách 1: Sử đụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ta có |z−5+ 2i|−|2−i|≤| z−5+2 i+2−i|=|z −5+2i|+|2−i|
⇔ 4−√ 5 ≤|z −3+i|≤ 4+ √ 5

Đáp án B
9

TIEU LUAN MOI download :


Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học
Ta có: |z−5+ 2i|=4
2
2
⇔ ( x−5 ) + ( y +2 ) =16 , I ( 5 ;−2 ) , R=4
2
2
T =|z−3+ i|=√( x−3) +( y+ 1) = AM
với A(3 ;−1).
Bài toán trở thành tính khoảng cách lớn nhất,
nhỏ nhất từ điểm A đến một điểm trên đường trịn.

Dựa vào hình vẽ ta có:
MinT =AM ' '=| IA−R|=4−√ 5
MaxT = AM ' =IA + R=4+ √ 5

A

M
M''
I
M'

Đáp án B
*Học sinh nhận xét: Cách giải 1 đơn giản, dễ hiểu, còn cách giải 2 phức tạp hơn
nhiều, đòi hỏi phải nắm kiến thức về đường trịn, vẽ hình minh họa khi nào đạt giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn |z−3|+|z +3|=8 . Gọi M , m lần lượt là gíá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của |z|. Khi đó M +m bằng:
A.4 + √ 5

B. 4− √5

C.7

D. 4 + √ 5

Cách 1: Sử dụng kết hợp bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và
Bunhiacopski.
Ta có 8=|z−3|+|z+ 3|≥|z −3+ z +3|=⌈ 2 z ⌉ ⇔| z|≤ 4 ⇒ M =4
Gọi số phức z=x + yi.
Từ 8=|z−3|+|z+ 3|=| x−3+ yi|+|x +3+ yi|

¿√¿¿
≤ (1+1) [( x−3)2+ y 2 +( x+3)2 + y 2 ]= √2 ( 2 x2 +2 y 2+ 18 )

√

2

2

2

2

⇔ 2 ( 2 x + 2 y +18 ) ≥ 64 ⇔ x + y ≥7 ⇔|z|≥7 ⇒ m=√ 7

Vậy M +m=4+ √ 7.
Đáp án A
Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học

10

TIEU LUAN MOI download :


Gọi số phức z=x + yi.
Từ 8=|z−3|+|z+ 3|=| x−3+ yi|+|x +3+ yi|

M

¿√¿¿

⇒ a=4
với A(3 ; 0); B(−3 ; 0) là hai tiêu điểm
⇒ c=3
x2 y2
M ∈ ( E ) : 2 + 2 =1
a b
2
2
2
⇒ b =a −c =16−9=7
|z|=√ x 2 + y 2=OM
OM min=b= √7
OM max=a=4
Vậy M +m=4+ √ 7

O

B

A

Đáp án A
*Học sinh nhận xét: Cách giải 2 dài và khó hiểu, cần phải xác định được
(E) dựa vào định nghĩa, sau đó phải tính được các giá trị trục lớn, trục nhỏ. Vẽ
hình minh họa để xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Hơn nữa kiến thức về (E) học
từ học kỳ 2 lớp 10 rất dễ quên nên không nắm vững nữa.
z−2i
Bài 3: Cho số phức Z thỏa mãn z+ 3−i =1.

|

|

Tìm min T =|z +3−2i|
A.2 √10

B.√ 10

2 10
C. √
5

10
D. √
5

Cách 1: Sử đụng bất đẳng thức Bunhiacopski.
Gọi số phức z=x + yi .

| z−2i |

Từ z+ 3−i =1 ⇔| x+ yi−2i|=|x+ 3+ yi−i|
⇔ x2 + y 2−4 y + 4=x2 +6 x +9+ y 2 −2 y +1 ⇔3 x + y +3=0
⇔ 4=3(x +3)+( y−2)≤ (9+1) [( x +3)2+( y−2)2 ]
⇔ T = √¿ ¿
¿

√

Đáp án C

Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học

11

TIEU LUAN MOI download :


Gọi số phức z=x + yi .

M

z−2i
Từ z+ 3−i =1
⇔ |x+ yi−2 i|=|x +3+ yi−i|
2
2
⇔ x + y −4 y + 4=¿
2
2
x + 6 x+ 9+ y −2 y+ 1
⇔ 3 x + y +3=0

|

|

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là
đường thẳng d: 3 x+ y+ 3=0 .
Gọi M (−3; 2 ) . T đạt giá trị nhỏ nhất bằng
d ( M ;d)=

⌈ −9+2+3 ⌉ 2 √ 10
=
5
√ 9+1

d
H

K

Đáp án C

*Học sinh nhận xét: Cách giải 1 nhanh, cịn cách giải 2 khó hơn nhiều, địi hỏi
phải nắm kiến thức về điểm và đường thẳng, giá trị nhỏ nhất từ điểm đến đường
thẳng là khoảng cách từ diểm đó đến đường thẳng.
* Giáo viên nhận xét chung và nêu ý nghĩa của phương pháp trong đề tài:
Nhìn vào hai cách giải trên thì rõ ràng cách giải bằng hình học dài dẫn đến
mất khá nhiều thời gian để giải quyết xong bài tốn. Cịn cách dùng bất đẳng thức
nhanh và mang lại hiệu quả rất cao không chỉ rèn luyện kỹ năng mà qua hoạt
động học tập trãi nghiệm này học sinh phát triển được tư duy giải tốn và năng
lực ra quyết định.
Qua 3 ví dụ trên đã cho ta thấy tác dụng rất tích cực của phương pháp sử
dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski giải toán về cực trị
của số phức.
Trong các buổi sinh hoạt chuyên môn tại tổ chuyên môn, tôi đã đưa ra các bài
tập để các đồng nghiệp thử giải và so sách các cách giải; kết quả là những bài tốn
có thể áp dụng được phương pháp này thì cho kết quả nhanh hơn nhiều so với các
cách giải khác. Hiệu quả của phương pháp này đã được chứng minh qua kết quả
bài làm của học sinh và trong các buổi sinh hoạt chuyên môn.

2.3.5. Cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập sử dụng bất đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski giúp các em rèn luyện để phát triển
tư duy.
1
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z− z =4. Tìm max của T =|z|

| |

A.2+ √ 3

B.4 + √ 5

C.4 + √ 3

D. 2+ √ 5
12

TIEU LUAN MOI download :


Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn |z|≥ 2. Tìm tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
z+ i
max của T = z

| |

3

A. 4

B.1

2

C.2

D. 3

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn|z−3−4 i|=√ 5 và biểu thức
2
2
T =|z +2| −|z−1| đạt giá trị lớn nhất. Mô đun của số phức z−2−i bằng:

A.√ 5

B.9

C. 5

D. 25

C. 4 √2

D. 8

Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn|z−1|=√ 2.
Tìm giá trị lớn nhất của T =|z +i|+|z−2−i| .
A.8 √ 2

B.4

Bài 5: Cho số phức z và w thỏa mãn z +w=3+ 4 i và |z−w|=9.
Tìm giá trị lớn nhất của T =|z|+|w|.
A.√ 106

B.4

C. 14

D. √ 176

Bài 6: Cho số phức z 1 , z 2thỏa mãn z 2=i z 1và |z 1 +1−i|=9.Tìm giá trị nhỏ nhất của
T =|z 1−z 2|.
A.√ 2−1

B.2 √ 2

C. 2

D. 2 √2−2

Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn |z|=1.
Tìm giá trị lớn nhất của T =|z +2|+2|z−2|.
A.5 √ 2

B.2 √ 10

C. 3 √ 5

D. 2 √ 5

Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn |z−2−i|=2 √ 2 . Gọi M , m lần lượt là gíá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =|z +3−2i|+ ⌈ z−3+ 4 i ⌉ .
Tính M +m:
A.2 √26 +6 √ 2

B. 16 √ 2

C.11 √ 2

D. 2 √ 26 +8 √ 2

Bài 9: Cho số phức z thỏa mãn |z−1+i|=⌈ z +1−2i⌉ . Số phức z có mơ đun nhỏ nhất
là:
−3 3
A. 5 + 10 i

3

3

B. 5 + 10 i

−3 3
C. 5 − 10 i

3 3
D. 5 − 10 i

Bài 10: Xét số phức z=a+bi (a ;b ∈ R)thỏa mãn |z−3−2 i|=2.

13

TIEU LUAN MOI download :


Tính a+b khi |z +1−2 i|+2|z−2−5 i|đạt giá trị nhỏ nhất.
A.4− √3

B.2+ √ 3

C. 3

D. 4 + √ 3

Trong một số tiết luyện tập tôi đã đưa ra hệ thống các bài tập về tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất về mô đun số phức cho cả lớp cùng làm, các em rất hứng thú,
nhiều em còn so sánh cách giải khác, chấm chéo bài cho nhau để thấy được hiệu
quả của cách giải này và khắc sâu thêm kiến thức như em: Phạm Quang Khải,
Nguyễn Thị Ngọc Ánh, Hà Thị Lâm Oanh...của lớp thực nghiệm 12E6. Cách làm
như vậy khiến học sinh thật sự trở thành trung tâm của quá trình dạy học, các em
chủ động tiếp thu kiến thức và tích cực hơn trong việc tự học trên lớp cũng như ở
nhà. Xóa tan tâm lí lo sợ khi gặp dạng tốn khó này, nâng cao lí thú, năng lực giải
toán, so sánh, đánh giá và đưa ra quyết định.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
Tôi đã cho 2 lớp làm bài kiểm tra ở hai thời điểm trước tác động (kiểm tra
viết 45 phút lần 1) và sau khi tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 2), hai đề lần 1
và lần 2 lượng kiến thức tương đương nhau để thấy được hiệu quả của sáng kiến.
Đề kiểm tra: Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách tham khảo, đề

thi thử THPT Quốc Gia của một số trường THPT. Kết quả bài khảo sát kiến thức
về cực trị của số phức được thống kế như sau:
Bảng 1: Kết quả điểm số của lớp thực nghiệm 12E6.
Số bài
Trước tác
động

38

Sau tác
động

38

Điểm
0-2

3

4

5

6

7

8

9

10

sl

0

6

5

13

11

2

1

0

0

%

0,0

15,8 13,2 34,2 28,9 5,3

2,6

0,0

0,0

sl

0

0

1

9

4

3

0

%

0,0

0,0

2,6

23,7 34,2 21,1 10,5 7,9

13

8

0,0

Bảng 2: Kết quả điểm số của lớp đối chứng 12E3.
Số bài
Trước tác
động

44

Sau tác
động

44

Điểm
0-2

3

4

5

6

7

8

9

10

sl

0

4

7

13

12

6

2

0

0

%

0

9,1

15,9 29,6 27,3 13,6 4,5

0,0

0,0

sl

0

3

5

0

0

%

0,0

6,8

11,4 27,3 31,8 15,9 6,8

0,0

0,0

12

14

7

3

14

TIEU LUAN MOI download :


Bảng 3: Bảng tính chênh lệch trước tác động.
Lớp đối chứng
Điểm trung bình

5,34

Lớp thực nghiệm
5,03

0,31

Chênh lệch điểm trung bình
(SMD)

Bảng 4: Bảng tính chênh lệch sau tác động.

Lớp đối chứng
Điểm trung bình
Chênh lệch điểm trung bình
(SMD)

5,59

Lớp thực nghiệm
6,37

0,78

So sánh kết quả: Năm học 2019 – 2020 tôi đã áp dụng các giải pháp nêu trong
đề tài vào thực tiễn dạy học, cụ thể:
Lớp đối chứng 12E3 năm học 2019- 2020, sĩ số 44: tôi dạy chủ đề trên
nhưng không sử dụng các giải pháp như đã nêu trong đề tài.
Lớp thực nghiệm 12E6 năm học 2019- 2020, sĩ số 38: tôi dạy chủ đề trên
bằng cách sử dụng các giải pháp như đã nêu trong đề tài.
Về điểm trung bình: Bảng 3 và bảng 4 cho thấy, sau tác động sự chêch lệch
giữa điểm trung bình của các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng rất rõ rệt, tức là
chênh lệch kết quả điểm trung bình của lớp thực nghiệm đều cao hơn điểm trung
bình của lớp đối chứng, điều này cho thấy hiệu quả thiết thực của các biện pháp đã
sử dụng trong đề tài.
Về SMD: Năm học 2019 – 2020, SMD = 0,78 cho thấy mức độ ảnh hưởng
của việc hướng dẫn học sinh khai thác kiến thức mới cho học sinh lớp 12 ở trường
THPT Triệu Sơn 3 là lớn. Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của lớp thực
nghiệm 12E6 là điểm trung bình = 6,37 và kết quả bài kiểm tra của lớp đối chứng
12E3 là điểm trung bình = 5,59. Độ chênh lệch điểm số giữa hai lớp là 0,78.

Kết quả cho thấy điểm trung bình của lớp thực nghiệm so với lớp đối chứng
đã có sự tiến bộ rõ rệt, lớp được tác động 12E6 có điểm trung bình cao hơn lớp đối
chứng 12E3.
Kết quả thu được là
Về kết quả định lượng:
- Dù hai lớp ngang nhau, nhưng ở lớp đối chứng khơng tiến bộ mấy, ít biến
động về điểm. Lớp thực nghiệm thay đổi rõ rệt, đó là kết quả đáng mừng trong việc
sử dụng các biện pháp trên. Qua quan sát thực tế từ việc trực tiếp giảng dạy, tôi
15

TIEU LUAN MOI download :


thấy học sinh lớp 12E6 giải khá nhanh và thuần thục các bài toán về cực trị của số
phức được tôi sưu tầm từ các đề thi của các trường THPT trong cả nước. Còn lớp
12E3 đa số các em học sinh giải còn chậm, chưa linh hoạt. Hai lớp được chọn tham
gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tương đồng nhau về ý thức học tập, đặc
biệt là năng lực học tập và kết quả điểm kiểm tra mơn Tốn, lớp đối chứng có phần
cao hơn một chút trước khi tác động.
- Đã rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về cực trị của số phức, kỹ năng tính
tốn, kỹ năng sử dụng các bất đẳng thức và phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải
cho một bài toán, một dạng toán.
Về kết quả định tính
- Tiết học sơi nổi, học sinh hứng thú, tự tin và chủ động khai thác kiến thức,
100% học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có kết
quả cao.
- Hình thành kỹ năng giải toán, phát triển năng lực so sánh, đánh giá và đưa
ra quyết định nhanh.
Từ những kết quả trên tôi mạnh dạn khẳng định những biện pháp mà đề tài
đưa ra là hoàn toàn khả thi và áp dụng dễ, nhanh, hiệu quả trong quá trình dạy học

số phức ở chương trình lớp 12.
2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng
nghiệp và nhà trường
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao chất
lượng giảng dạy phần số phức cho học sinh lớp 12, từ đó góp phần vào việc nâng
cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn của trường THPT Triệu Sơn 3.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong q trình dạy học, sự trao đổi
chun mơn cùng đồng nghiệp, nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến đề tài tơi
đã hồn thành sáng kiến kinh nghiệm và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Số phức” hiện nay.
+ Đề tài đã đưa ra năm giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng tìm cực
trị của số phức là các bài tốn khó mà địi hỏi phải giải quyết trong thời gian ngắn.
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.
+ Đề tài đã đưa ra một số bài tập áp dụng trên cơ sở các dạng bài tập quen
thuộc và hệ thống các bài tập luyện tập được trích từ các đề thi THPT Quốc Gia
của các trường THPT, của Sở giáo dục ở một số tỉnh, thành phố trên cả nước, của
Bộ giáo dục để học sinh được rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Toán.
3.2. Kiến nghị
16

TIEU LUAN MOI download :


Trên đây là một số sáng kiến và kinh ngiệm mà tôi đã thực hiện tại đơn vị
trường THPT Triệu Sơn 3 trong năm học vừa qua. Rất mong đề tài này được xem
xét, mở rộng hơn nữa để áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, giúp học sinh u
thích và say mê học Tốn hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, trong nhà

trường và các em học sinh đã giúp đỡ tôi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm này.
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 6 năm 2020
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
Người viết

Vũ Thị Phượng

17

TIEU LUAN MOI download :