Chuyên đề giải toán cực trị hình học phẳng bằng vectơ

Gi i toán c c tr hình h c ph ng b ng ả ự ị ọ ẳ ằ
vect ơ
Ph ng pháp 1: Gi i toán tìm c c tr nh ánh giá ươ ả ự ị ờđ độ
dài vect .ơ
Ví d 1:ụ
Cho tam giác nh n ABC n i ti p ng tròn (O). Tìm i m M thu c ng ọ ộ ế đườ đ ể ộ đườ
tròn (O) bi u th c sau t GTLN, GTNN:để ể ứ đạ
Gi i:ả
G i I là nh th t c a hình bình hànhọ đỉ ứ ư ủ ACBI thì:
Khi
ó :đ
Nh v yư ậ T l n nh t ớ ấ ⇔ l n nh t ớ ấ ⇔MI l n nh t ớ ấ ⇔M M1 v i M1 là giao ≡ ớ
i m c a OI v i ng tròn (O), M1 n m ngoài o n OI.đ ể ủ ớ đườ ằ đ ạ
T ng tươ ự T nh nh t ỏ ấ ⇔M M2 v i M2 là giao i m c a OI v i ng tròn ≡ ớ đ ể ủ ớ đườ
(O) , M2 thu c o n OI.ộ đ ạ
Ví d 1.2:ụ
Cho tam giác nh n ABC n i ti p (O) và ba s , , sao cho ọ ộ ế ố α β γ α +β +γ 0. Tìm ≠
i m M thu c (O) bi u th c sau t GTLN, GTNNđ ể ộ để ể ứ đạ
Gi i:ả
G i I là tâm t c c a h i m A, B, C ng v i các h s , ,ọ ỷ ự ủ ệ đ ể ứ ớ ệ ố α β γ
Do óđ .
G i M1,M2 l n l t là giao c a OI v i ng tròn (O) trong ó IM1ọ ầ ượ ủ ớ đườ đ ⩾IM2 thì :
T l n nh t khi và ch khi M trùng M1ớ ấ ỉ
T nh nh t khi và ch khi M trùng M2.ỏ ấ ỉ
Ví d 1.3:ụ
Cho ng tròn (O) và hai i m phân bi t A, B c nh sao cho ng th ng đườ đ ể ệ ố đị đườ ẳ
AB không c t (O). Tên ng tròn ó l y i m C và d ng i m M th a i u ắ đườ đ ấ đ ể ự đ ể ỏ đ ề
ki nệ . Tìm v trí c a i m C o n CM có dài nh nh t, ị ủ đ ể để đ ạ độ ỏ ấ
l n nh t.ớ ấ
Gi i :ả
G i I là trung i m AB thì I c nh vàọ đ ể ố đị .

G i C1,C2 là giao c a OI v i ng tròn (O) và coiọ ủ ớ đườ IC1 ⩾ IC2.
V i C b t kì thu c (O) ta có:ớ ấ ộ
Do óđ . D u “=” x y ra khi và ch khi C trùng C2ấ ả ỉ
M t khácặ
Do óđ . D u “=” x y ra khi và ch khi C trùng C1ấ ả ỉ
V y CM l n nh t khi và ch khi C trùng C2ậ ớ ấ ỉ
CM nh nh t khi và ch khi C trùng C1ỏ ấ ỉ
Ph ng pháp 2: Gi i toán tìm c c tr nh ánh giá ươ ả ự ị ờ đ
bình ph ng vô h ng:ươ ướ
Ví d 2.1:ụ
Cho tam giác ABC và ng th ng d c nh i qua C. Trên d l y i m M và đườ ẳ ố đị đ ấ đ ể
l p t ngậ ổ Tìm v trí M t ng ó t giá tr nh nh t.ị để ổ đ đạ ị ỏ ấ
Gi i:ả
Gi s I là i m sao choả ử đ ể thì I là i m c nh .đ ể ố đị
Ta có:
Do óđ nh nh t khi và ch khi MI nh nh t ỏ ấ ỉ ỏ ấ ⇔MI⊥d, i u này đ ề
t ng ngươ đươ , t c là M thu c ng tròng (C) ng kính IC.ứ ộ đườ đườ
V yậ nh nh t khi và ch khi M là giao i m c a d v i ng ỏ ấ ỉ đ ể ủ ớ đườ
tròn ng kính ICđườ
Ví d 2.2:ụ
Trong m i tam giác ABC n i ti p ng tròn (O) tìm tam giác có ọ ộ ế đườ
t ngổ l n nh t.ớ ấ
Gi i:ả
Ta có:
Suy ra . ng th c x y ra Đẳ ứ ả ⇔O G≡ ⇔ ABC là tam giác uđề
V y trong m i tam giác ABC n i ti p ng tròn thì tam giác u th a mãn ậ ọ ộ ế đườ đề ỏ
bài toán.
Ví d 2.3:ụ
Trong m i tam giác ABC n i ti p ng tròn (O), hãy tìm tam giác có t ng ọ ộ ế đườ ổ
bình ph ng các kho ng cách t tâm ng tròn n các c nh là nh nh t.ươ ả ừ đườ đế ạ ỏ ấ

Gi i:ả
G iọ l n l t là kho ng cách t tâm ng tròn n ba c nh BC, CA, ầ ượ ả ừ đườ đế ạ
AB c a tam giác.ủ
Ta có:
ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC u.Đẳ ứ ả ỉ đề
V y minậ khi và ch khi tam giác ABC u.ỉ đề
Ph ng pháp 3: Gi i toán tìm c c tr nh ánh giá ươ ả ự ị ờ đ
tích vô h ng c a hai vect :ướ ủ ơ
Ví d 3.1:ụ
Cho tam giác ABC không u n i ti p ng tròn (O). Tìm trên ng tròn đề ộ ế đườ đườ
i m M có t ng bình ph ng kho ng cách t ó n ba nh tam giác là đ ể để ổ ươ ả ừ đ đế đỉ
nhò nh t, l n nh t.ấ ớ ấ
Gi i:ả
V i m i i m M thu c ng tròn (O) ta có:ớ ọ đ ể ộ đườ
( v i H là tr c tâm c a tam giác)ớ ự ủ
T ó suy raừ đ
T nh nh tỏ ấ ↑ ↓ .
T l n nh tớ ấ ↑ ↑ .
Ví d 3.2:ụ
Cho tam giác ABC vuông t i A. G iạ ọ là góc gi a hai trung tuy n BD và CK. α ữ ế
Tìm giá tr nh nh t c a cosị ỏ ấ ủ α
Gi i:ả
Ta có
M t khác:ặ
Do óđ
ng th c x y ra khi và ch khi BD = CK khi và ch khi tam giác ABC vuông Đẳ ứ ả ỉ ỉ
cân t i nh Aạ đỉ
V yậ
Ví d 3.3:ụ
Cho tam giác ABC. Tìm i m M sao cho bi u th c sau t giá tr nh nh t:đ ể ể ứ đạ ị ỏ ấ

Gi i:ả
Ta có:
Do ó ta có:đ
M t khác l i có:ặ ạ
Suy ra:
Do ó :đ
(v iớ )
Vì v y:ậ
ng th c (1) x y ra khi và ch khiĐẳ ứ ả ỉ ↑ ↑ và ↑ ↑
(th a mãn (2)ỏ
V y Min T= AB+AC khi và ch khi M trùng Aậ ỉ