SKKN sử dụng bất đẳng thức bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

PHẦN I
ĐẶT VẤN ĐỀ
I . Lý do chọn đề tài:
- Trong thời điểm hiện nay, chúng ta đang nỗ lực xây dựng và đẩy mạnh công
nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước nhằm tiến tới một xã hội văn minh hiện đại.
Muốn vậy con người phải có tri thức. Chính vì vậy Đảng ta đã xác định giáo dục là
quốc sách hàng đầu. Trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước ta luôn quan tâm
đến giáo dục, từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc mầm non đến đại học và
sau đại học nhằm đưa nền giáo dục nước nhà phát triển ngang tầm khu vực. Trong
chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng, là thành
phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn toán có tiềm
năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát
triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi
các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà
nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp đặc biệt là cấp
THCS và kỳ thi vào lớp 10.
Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải
các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải được đơn giản
hơn, thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức
kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán
khác thì có thể đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh.Với ý
nghĩ như vậy tôi giới thiệu việc sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki vào giải một số
bài toán như : chứng minh các bất đẳng thức đại số và hình học, hoặc giải một số bài
toán cực trị đại số và hình học.
- Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THCS, đặc biệt là trong các kỳ thi
chọn học sinh giỏi các cấp, đứng trước một bài toán có rất nhiều phương pháp giải
khác nhau song một trong những phương pháp giải tương đối có hiệu lực là việc sử

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
1
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải. Học sinh được tiếp xúc rất nhiều về các
phương pháp giải các bất đẳng thức và sử dụng các bất đẳng thức để giải các loại toán
khác như: chứng minh các bất đẳng thức đại số va hình học hoặc giải một số bài toán
cực trị đại số và hình học.
II. PHẠM VI ĐỀ TÀI
Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng phong phú song trong
khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp xếp trình tự
từ đơn giản đến phức tạp.
III. ĐỐI TƯỢNG
Đề tài này được áp dụng cho học sinh khá giỏi THCS lớp 8-9.
IV. MỤC ĐÍCH
Nhằm mục đích nâng cao mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi dưỡng học
sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bất đẳng thức.Qua đó giúp học sinh có điều
kiện hoàn thiện các phương pháp về bất đẳng thứcvà rèn luyện tư duy sáng tạo cho
học sinh.
PHẦN II
NỘI DUNG

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
2
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC.
- Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan
trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới.

Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn
luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi
các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà
nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là cấp
THCS và kỳ thi vào lớp 10.
- Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra
một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc không dễ thông qua đó mà
thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh
điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác
thì có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh.
2. ĐỐI TƯỢNG PHỤC VỤ
đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi lớp 8-9.
3. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
A. ¸p d ơ ng bt ®¼ng thc Bunhiacopski ® Ĩ chng minh c¸c bt ®¼ng thc
I. Chứng minh các bất đẳng thức đại số
- Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi phải
biến đổi bài toán để đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng. Sau dây là 3 kỹ
thuật thường gặp:
 Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại.
 Dồn phối hợp.
 Kỹ thuật nghịch đảo.
1. Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại .
Ví dụ 1: Cho
2=+ ba
, a,b
∈
R

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng

3
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

Chứng minh rằng:
≥+
44
ba
2
Lời giải:
Ta viết a
4+
b
4
=
( )( )






++
22
2
222
)(11
2
1
2
1

ba
Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
( )
22.
8
1
2
1
4
4
22
==+≥ ba
(đfcm)
Ví dụ 2: cho
3
4
)1()1()1( ≤−+−+− ccbbaa
Chứng minh rằng:
41
≤++≤−
cba
Lờigiải:
Tư giả thiết ta có:

)())(111(
3
1
)()1()1()1(
3
4

222222222
cbacbacbacbaccbbaa ++−++++=++−++=−+−+−≥
B.C.S
( )
)(
3
1
2
cbacba ++−++≥

( )
04)(3
2
≤−++−++⇒ cbacba
0)4)(1( ≤−+++++⇔ cbacba
41 ≤++≤−⇔ cba
Ví dụ 3: cho x,y
R∈
. Chứng minh rằng nếu x,y>0 và x+y=1 thì
2
25
)
1
()
1
(
22
≥+++
y
y

x
x
Lời giải:
Ta sử dụng
)(2)(
222
baba +≤+
2
)(
2
22
ba
ba
+
≥+⇔
Khi đó ta có:
2222
)
1
1(
2
1
)
11
(
2
1
)
1
()

1
(
xyy
y
x
x
y
y
x
x +=+++≥+++
mà
4
1
4
1
4121 ≥⇒≤⇒≥⇒≥+=
xy
xyxyxyyx

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
4
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

vậy
2
25
)41(
2
1
)

1
()
1
(
222
=+≥+++
y
y
x
x
2. Kỹ thuật dồn phối hợp
Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng:
743
22
≥+ yx
Lời giải:
Ta viết
{ }
49)43()2(3)43(
22222
=−≥−++ yxyx
Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q là 5 số dương tùy ý. Chứng minh rằng
qpqbpa
c
qapc
b
cqbp
a
+
≥

+
+
+
+
+
3

Lời giải
)(. qcpba
qcpb
a
a +
+
=
)(. qapcb
qapc
b
b +
+
=
)(. qbpac
qbpa
c
c +
+
=
Gọi S là vế trái ta có:
{ }
))(()()()()(
2

cabcabqpSqbpacqapcbqcpbaScba +++=+++++≤++
(2)
Mà
2
)(
3
1
cbacabcab ++≤++
(3)
Vì (3)
2
222222
2
)(
222))(()(2)(3
)()(3
cba
cabcabcbacbacabcabcabcabcabcab
cbacabcab
++=
+++++++≤+++++=++
++≤++⇔
Từ (2), (3)
22
).(
3
1
).()( cbaqpScba +++≤++⇒
qp
S

+
≥⇒
3
(đpcm)
Ví dụ 3:

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
5
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

Cho
0>≥≥ zyx
Chứng minh rằng:
222
222
zyx
y
xz
x
zy
z
yx
++≥++
(1)
Lời giải : Xét hai dãy số:
y
xz
x
zy
z

yx
,,
và
x
yz
z
xy
y
zx
,,
Ta có:
2222
222222
)()).(( zyx
x
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy
z
yx
++≥++++
(2)
Xét hiệu
0))()()((

1
(
1
232323232323
222222
≥++−−−=
−−−++=−−−++=
zxyzxyxzzyyx
xyz
yzxyzxxzzyyx
xyzx
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy
z
yx
A
x
yz
z
xy
y
zx
y

xz
x
zy
z
yx
222222
++≥++⇒
(3)
Từ (2), (3) suy ra đpcm
3. Kỹ thuật nghịch đảo
Dạng 1
2
1
2
1
2
1
)())((
∑∑∑
===
≥
n
i
i
n
i
i
i
n
i

i
x
y
x
y

0>∀
i
y
Chứng minh:
Ta viết
∑ ∑∑ ∑∑∑
= == ===
=≥=
n
i
n
i
i
i
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i

i
i
i
n
i
i
x
y
x
y
y
x
y
y
x
y
1
2
1
2
2
2
1 1
2
2
1
2
1
)()).(()(.)()((
Ví dụ Chứng minh rằng

0,,
2
222
>∀
++
≥
+
+
+
+
+
cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a
(1)
Lời giải
Ta có
{ }
2
222
)()()()( cba
ba
c
ac
b

cb
a
baaccb
++≥






+
+
+
+
+
+++++
2)(2
)(
2222
cba
cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
=
++

++
≥
+
+
+
+
+
⇒
Ví dụ 2 Chứng minh rằng

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
6
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS


cba
cba
c
bac
b
acb
a
++≥
−+
+
−+
+
−+
222
(1)

∀
a,b,c là độ dài cạch của
∆
ABC
Lời giải
[ ] [ ]
2
)()1(.)()()( cbaVTcbabacacb ++≥−++−++−+
cbaVT ++≥⇒ )1(
Ví dụ 3: Chứng minh rằng
cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a
,,
2
222333
∀
++
≥
+
+
+
+
+
(1)

Lời giải:
2
)1(
222444
cba
cbca
c
babc
b
acab
a ++
≥
+
+
+
+
+
⇔
Theo bất đẳng thức B.C.S :
[ ] [ ]
2222
)()1(.)()()( cbaVTcbcabcbaacab ++≥+++++
Mặt khác ta có:
cabcabcba ++≥++
222
2)(2
))((
)1(
222222
cba

cabcab
cabcabcba
VT
++
=
++
++++
≥
Dạng 2
2
111
)())(.(
∑∑∑
===
≥
n
i
i
n
i
i
i
n
i
ii
x
y
x
yx

0, >∀
ii
yx
Chứng minh:
Theo bất đẳng thức B.C.S ta có:
∑∑∑∑∑
=====
=








≥

















=
n
i
i
n
i
i
i
n
i
ii
n
i
i
i
n
i
ii
x
y
x
yx
y
x
yxVT
1
2

2
111
22
1
)( )(.).(
Ví dụ 1 Chứng minh rằng
0,,
2
3
>∀≥
+
+
+
+
+
cba
ba
c
ac
b
cb
a
Lời giải:
Ta viết
{ } { }
)(3)()1(.)()()(
2
cabcabcbaVTbacacbcba ++≥++≥+++++
2
3

)(2
)(3
=
++
++
≥⇒
cabcab
cabcab
VT
(Đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
7
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

3
2
32323232
≥
++
+
++
+
++
+
++ cba
d
bad
c

adc
b
dcb
a
Lời giải:
Ta có
∑ ∑
+++≥
++
++
2
)(
32
).32( dcba
dcb
a
dcba
Ta sẽ chứng minh
∑
+++≤++
2
)(
2
3
)32( dcbadcba
0)()()()()(
)(3)(2
22222
2222
≥−+−+−+−+−⇔

+++≤+++++⇔
dccbdacaba
dcbacdbdbcadacab
II. Chứng minh các bất đẳng thức hình học
Cho
ABC
∆
có AB=c, AC=b, BC=a. Chứng minh rằng
0)()()(
222
≥−+−+− acaccbcbbaba
(1)
Lời giải:
Theo ký hiệu như hình vẽ thì luôn tồn tại x,y,z>0
Sao cho a=x+z
b=z+x
c=x+y
0)(
0))(()())(()())(()()1(
333
222
≥++−++⇔
≥−+++−+++−++⇔
zyxxyzyxxzzy
zxzyyxyzyxxzxyxzzy

zyx
z
x
y

z
x
y
++≥++
222
Theo bất đẳng thức B.C.S
2
222
)())(( zyx
z
x
y
z
x
y
zyx ++≥++++
zyx
z
x
y
z
x
y
++≥++⇒
222
(đpcm)
Ví dụ 2:
ABC∆
có AB=c, AC=b, BC=a. p là nửa chu vi. Chứng minh rằng
)(

35
36
2222
p
abc
pcba +≥++
(1)
Lời giải






++
+
++
≥++⇔
cb
abccba
cba
2
2
2
)(
35
36
()1(
2
222

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
8
x
A
C
B
z
x
y
y
z
S dng bt ng thc Bunhiacopski trong ging dy mụn toỏn THCS

2222
)(9)(35 cbacba
++++
(2)
Theo CụSi:
3
222222
3 cbacba
++
3
3 abccba ++
cba
abc
cba
++
++

72
)(8
222
(3)
T (2)v (3) suy ra PCM. (du bng xy ra khi
ABC

u)
Vớ d 3:
Cho ng trũn ni tip tip xỳc vi 3 cch ca
ABC

ti M,N,P. Chng minh rng:
S
(MNP)
4
S

(S- Din tớch tam giỏc)
Li gii:
t S
(ANP)
=S
1
; S
(BPM)
=S
2
, S
(CMN)

=S
3

Ta phi chng minh:
4
3
321

++
S
SSS
(1)
2
222
).(
)()()(
pcabcab
ab
cp
ca
bp
bc
ap
++

+

+

4
3
)(4
)(
)1(
2

++
++

cabcab
cba
VT
4
3
321

++
S
SSS

4
1
)(

S
S
MNP
(Du = xy ra khi
ABC

u)
B. S dng bt đẳng thc BUNHIACOPSKI đ giảng các bài toán cc trị đại s :
S dng kt qu:
a. Nu
Cxaxaxa
nn
=+++

2211
, C l hng s thỡ
22
2
2
1
2
22
2
2
1

) (
n
n
aaa

C
xxxMin
+++
=+++
Du = xy ra khi
n
n
x
a
x
a
x
a
===
2
2
1
1
b. Nu
ConstCxxx
n
=+++
222
2
2
1

thỡ

Dơng thế nam - THCS Thanh Lãng

9
A
P
N
M
B C
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

22
2
2
12211
||) (
nnn
aaaCxaxaxaMax +++=+++

Dấu “=”xẩy ra khi
0
2
2
1
1
≤===
n
n
x
a
x
a
x

a
Ví dụ 1: Cho
1
22
=+ yx
tìm
)11.( xyyxMax
+++

Lời giải:
[ ]
222))(11(
2)1()1()(11.
2222
2222
+≤+++≤
++=++++≤+++=
yx
yxxyyxxyyxA
2
2
22 ==⇔+=⇒ yxMaxA
Ví dụ 2: Cho
91636
22
=+ yx
Tìm Max, Min của A=(y-2x+5)
Lời giải:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( )

22222
)2()
4
1
()
3
1
(1636 xyyx −≥






+−+
4
5
2
4
5
)2(
16
25
2
≤−≤−⇔−≥⇒ xyxy
4
25
52
4
15

≤+−≤⇔ xy
)
20
9
,
5
2
(
4
25
)52( =−=⇔=+− yxxyMax
)
20
9
,
5
2
(
4
15
)52( ==⇔=+− yxxyMin
Ví dụ 3: cho x,y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết A=x
4
+y
4
+z
4

Lời giải:
Từ giả thiết 4

2
=(xy+yz+zx)
2

≤
(x
2
+y
2
+z
2
)(y
2
+z
2
+x
2
)
Suy ra: (x
2
+y
2
+z
2
)
2

≥
4
2

16))(111(
444222
≥++++⇒ zyx
3
16
444
≥++ zyx
3
2
3
16
±===⇔= zyxMinA

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
10
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

Ví dụ 4: Cho x,y,z thỏa mãn x,y,z
1−≥
và x+y+z=1. Tìm MaxA biết
zyxA +++++= 111
Lời giải: Theo B.C.S ta có
324.3)111)(111(111
222
==+++++++≤+++++= zyxzyxA
3
1
32 ===⇔=⇒ zyxMaxA
Ví dụ 5: cho






≥+
=+
=+
20
25
16
22
22
yvxu
vu
yx
Tìm Max (x+v)
Lời giải: Ap dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:
2025.20))((20
2222
==++≤+≤ vuyxyvxu
yuxv
v
y
u
x
yvxu =⇔+⇔=+⇒ 20
Mặt khác
2222222222222
)(22)()()()(41 vxxvvxyuvxuyvxvuyx +=++=++≥+++=+++=
41=+⇒ vx








=+
=
=+
=+
⇔=+
20
25
16
41)(
22
22
yvxu
yu
vu
yx
vxMax

41
2020
20)( =
+
=⇒=+⇔
vx

uvxy
41
20
=y
,
41
16
=x
,
41
25
=z
Ví dụ 6: Tìm các cặp số (x,y) x,y>0 để
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
A ++−−+=
2
2
2
2

4
4
4
4
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải:
Đặt
2≥⇒+= t
x
y
y
x
t

2
2
2
2
2
2
−=+⇒ t
x
y
y
x
,
24
24
4
4

4
4
+−=+ tt
x
y
y
x

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
11
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

[ ]
2)3)(2()2(2)2(45
2222224
−+−−=+−−−−=++−=⇒ tttttttttA
Do
13,42
22
≥−≥⇒≥ ttt
24)2()2(2
22
≥−+=−+−⇒≥⇒ ttttA
yxMinA =⇔=⇒ 2
C. Một số bài tập áp dụng
1. Cho
ABC∆
(a,b,c). Chứng minh:
cba
cba

c
bac
b
acb
a
++≥
−+
+
−+
+
−+
2. Cho a,b,c,d >0 . Chứng minh rằng:
2≥
+
+
+
+
+
+
+ ba
d
ad
c
dc
b
cb
a
3. Cho
ABC∆
(a,b,c). Chứng minh rằng:

pcpbpapp 3≤−+−+−<
4. Cho
ABC
∆
nhọn. H là trực tâm. Chứng minh
2222
)( cbaCHBHAH ++<++
5. Cho
ABC∆
(a,b,c). Chứng minh:
3≥
−+
+
−+
+
−+ cba
c
bca
b
acb
a
6. Cho 2 số x,y thỏa mãn 2x+5y=7
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a, A=x
2
+y
2

b, B=2x
2

+5y
2

7. Cho x,y,z thỏa mãn x
2
+y
2
+z
2
=1. Tìm Max = x+2y+3z
Cho a+b+c=1 và vế trái có nghĩa. Chứng minh
21141414 ≤+++++ cba
8. Có tồn tại hay không 3 số: a
≥
1, b
≥
1, c
≥
1 thỏa mãn điều kiện:
)1(111 −>−+−+− abccba
9. Cho x, y, z
≥
0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu
thức
a, A=x
2
+y
2
+z
2

b, B=x
4
+y
4
+z
4

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
12
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

10. Cho: a, b,c
≥

4
3
và a+b+c=3 . Chứng minh:
73343434 ≤+++++ cba
11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
mxyzzxyzxyzyxf −++=),,(
Trong đó x
≥
0, y
≥
0, z
≥
0, x+y+z=1.
12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:f(x,y)=2
yx +
Trong đó x

≥
0, y
≥
0,
1
33
≤+ yx
4. KẾT QỦA
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi
lớp 8-9 vòng huyện và vòng tỉnh. Trong quá trình học đề tài này, học sinh thực sự thấy
tự tin khi gặp các bài toán về bất đẳng thức, tạo hứng thú với học toán, tạo cho học
sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng,
linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên cứu.
5. GIẢI PHÁP MỚI
- Bài toán nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách
giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học
sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp
cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Do đó học sinh cần có thêm nhiều
thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.
II. THỰC TIỄN GIẢNG DẠY
1. QUÁ TRÌNH ÁP DỤNG
- Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ
thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù
hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải.
2. HIỆU QUẢ KHI ÁP DỤNG
- Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn,
tạo cho hóc sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận
dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên
cứu.
3. BÀI HỌC KINH NGHIỆM

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
13
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

- Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là: trước hết
học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản vận dụng linh hoạt các kiến thức này. Từ
đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp ly với
các đối tựợng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh.
Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập có sử dụng bất đẳng thức B.C.S từ đó hình
thành kỹ năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài
tập khác nhau để phát triển tư duy học sinh.
4. KIẾN NGHỊ
- Phòng giáo dục nên tổ chức thường xuyên các lớp chuyên đề, các cuộc hội thảo
chuyên đề để giáo viên các trừờng có thể trao đổi, bàn luận nhất là vấn đề bồi dưỡng
học sinh giỏi để nâng cao chất lượng, thay đổi thứ hạng về giáo dục của huyện nhà so
vối các huyện thị khác trong tỉnh.
PHẦN C
KẾT LUẬN
- Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý,
ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ.Do đó đây chỉ là một chuyên đề
trong hàng chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát
triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh
nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vân
dụng linh hoạt cáckiến thưc cơ bản đó, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và
bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài
toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học
sinh tác phong tự học tự nghiên cứu.
Tuy nội dung đề cập khá rộng song trong khuôn khổ thời gian hạn hẹn người viết cũng
chỉ chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình.

- Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên
đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn.

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
14
S dng bt ng thc Bunhiacopski trong ging dy mụn toỏn THCS

Xin chõn thnh cỏm n!
Bình Xuyên, ngày 10 tháng10 năm 2007
Ngi vit
Dơng Th NAm

Dơng thế nam - THCS Thanh Lãng
15