(SKKN mới NHẤT) hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một số bài toán từ một đẳng thức quen thuộc khi bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông dân tộc nội trú THCS huyện thường xuân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THƯỜNG XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC, PHÁT
TRIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN TỪ MỘT ĐẲNG THỨC
QUEN THUỘC KHI BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Ở
TRƯỜNG PHỔ THÔNG DÂN TỘC NỘI TRÚ THCS
HUYỆN THƯỜNG XUÂN

Người thực hiện: Lê Bá Thành
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường PTDTNT THCS huyện Thường Xn
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2020

TIEU LUAN MOI download :


MỤC LỤC
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Hướng khai thác thứ nhất
2.3.2. Hướng khai thác thứ hai
2.3.3. Hướng khai thác thứ ba
2.3.4. Hướng khai thác thứ tư
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

Trang
1
1
1
2
2
2
2
2
3
4
6
10
13
14
15
15
15
17

TIEU LUAN MOI download :


Đề tài
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI
TOÁN TỪ MỘT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC KHI BỒI DƯỠNG HỌC
SINH GIỎI Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG DÂN TỘC NỘI TRÚ THCS
HUYỆN THƯỜNG XUÂN
1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Văn kiện Đại hội Đảng toàn quốc đã chỉ rõ, mục tiêu giáo dục của nước ta
là “Đào tạo thế hệ trẻ theo hướng tồn diện, có tri thức, có kỹ năng, đạo đức tốt
có một chun mơn sâu, có ý thức, khả năng tự tạo việc làm trong nền kinh tế
hàng hố nhiều thành phần”. Do đó ngay từ bậc học phổ thông cơ sở cần phải
cung cấp cho các em nền móng kiến thức phổ thơng cơ bản, vững chắc có hệ
thống đồng thời giáo dục đức tính chủ động, sáng tạo, linh hoạt trong tư duy,
kiên trì chăm chỉ trong thực hành cho học sinh mà môn tốn đóng vai trị quan
trọng trong u cầu trên.
Như chúng ta đã biết học toán gắn liền với hoạt động giải tốn. Thơng qua
việc hướng dẫn học sinh giải tốn, người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh
năng lực tư duy, tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo nhằm đáp ứng yêu cầu đào tạo
con người mới. Trong giảng dạy mơn Tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm chắc
kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực của học sinh thơng qua việc
khai thác, phát triển có hiệu quả các bài toán là một trong những cách bồi dưỡng
cho học sinh những năng lực đó. Mặt khác việc khai thác, phát triển có hiệu quả
bài tốn cịn đem lại cho học sinh lòng say mê hứng thú môn học bởi tâm lý học
sinh luôn muốn biết, muốn tìm tịi cái mới.
Xuất phát từ thực tế giảng dạy, qua tham khảo đồng nghiệp và với kinh
nghiệm của bản thân tôi luôn giúp học sinh khai thác, phát triển nhiều bài tốn

trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Vì vậy tơi mạnh dạn đưa ra một vài
kinh nghiệm nhỏ: “Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một số bài toán
từ một đẳng thức quen thuộc khi bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường Phổ
thông Dân tộc nội trú THCS huyện Thường Xuân” để cung cấp cho học sinh
có thêm giải pháp khai thác và phát triển thêm các bài tốn mới hay và lí thú từ
một đẳng thức quen thuộc; đồng thời biết ứng dụng các bài toán đơn giản vào
việc giải các bài toán phức tạp; qua đó khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh
học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết quả tốt hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Giúp các em trong đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 8, lớp 9 nắm vững
cách chứng minh đẳng thức
Từ đó các em biết vận dụng đẳng thức trên cũng như các kiến thức khác vào
khai thác, phát triển một bài tốn ơn thi học sinh giỏi. Qua đó giúp các em giải
quyết được các bài toán được khai thác, phát triển từ đẳng thức trên và nhiều bài
toán khác trong các đề thi học sinh giỏi các cấp được tốt hơn.

TIEU LUAN MOI download :


Giúp bản thân tập duyệt nghiên cứu khoa học, là tài liệu phục vụ cho công
tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi và ôn tập cho học sinh thi vào lớp 10.
Có thể làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này tôi đã tập trung nghiên cứu khai thác, phát triển một số bài tốn
ơn thi học sinh giỏi tốn 8 từ đẳng thức:
.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
a. Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Thu thập thông tin trên mạng Internet,
đọc tài liệu có liên quan.
b. Thực nghiệm sư phạm: Dạy đội tuyển học sinh giỏi khối 8 và 9 để so

sánh kiểm nghiệm
c. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm, tham khảo ý kiến đồng nghiệp.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Chúng ta đã biết việc giải một bài tốn dù có khó, phức tạp đến đâu đều
có thể đưa về việc áp dụng các bài toán cơ bản. Nên việc thường xuyên ứng
dụng, khai thác các bài toán đơn giản để giải các bài tốn khó là một cách nâng
cao dần khả năng suy luận, tư duy sâu cho học sinh.
Từ một bài tốn cơ bản quen thuộc, chúng ta có thể giúp học sinh hệ thống
được các dạng bài tập thường gặp trong các đề thi, củng cố được phương pháp
giải mỗi dạng bài tập. Các em thấy được những sự liên quan, khai thác, phát
triển vô cùng thú vị ẩn sau những bài toán cơ bản mà các em được học. Đây
chính là một trong những nội dung tạo được hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng
tạo, trau dồi tư duy linh hoạt cho học sinh, nhất là với học sinh giỏi.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong chương trình mơn tốn ở bậc trung học cơ sở khơng có bài dạy lí
thuyết hay khơng có bài tập giải mẫu nào sử dụng việc khai thác các dạng toán
từ các đẳng thức quen thuộc. Trong khi đó, các đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp
10 trung học phổ thông đều ra theo hướng khai thác, phát triển bài toán.
Mặt khác, trong khi dạy mơn tốn tơi nhận thấy đa số học sinh nghỉ chỉ
cần giải xong bài tốn coi như đã hồn thành nhiệm vụ mà rất ít em tư duy khai
thác, phát triển bài tốn, nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau để phát
triển nó thành bài tốn khác hoặc đặt các câu hỏi tiếp theo cho bài toán.
Làm thế nào để giúp học sinh trong tiết luyện tập cũng như bồi dưỡng học
sinh giỏi, học sinh cảm thấy không nặng nề, nhàm chán, khô khan, khuôn mẫu
đồng thời phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo trong giờ học trên lớp?
Vào đầu năm học trước khi thực hiện nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi,
tôi đều tiến hành khảo sát chất lượng đội tuyển, để nắm được mức độ kiến thức

TIEU LUAN MOI download :

của từng học sinh trong đội tuyển từ đó xây dựng kế hoạch và biện pháp bồi
dưỡng cho phù hợp. Khi tiến hành bồi dưỡng đội tuyển phần đại số tôi đã tiến
hành khảo sát đội tuyển, đề ra theo hướng khai thác, phát triển, mở rộng bài
toán. Trong khi chấm bài tôi thấy hầu như chỉ giải được ý thứ nhất của các bài,
còn các ý còn lại được ra theo hướng khai thác, mở rộng bài tốn thì học sinh
khơng giải được hoặc có cách giải chưa hợp lý, chỉ có một học sinh làm được.
Qua điều tra tôi đã tổng hợp kết quả như sau:
Điểm dưới 5
5-6 điểm
7-8 điểm
9-10 điểm
Đội
Số học
tuyển
sinh
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL TL
Toán 8

6

2

Toán 9
5
2
Nguyên nhân:

33,3%

3

50%

1

16,7%

40%

2

40%

1

20%

* Học sinh không giải được là do các em:
- Chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao.
- Chưa có tính sáng tạo trong giải tốn, khả năng vận dụng kiến thức chưa
linh hoạt.
- Chưa được trang bị đầy đủ về phương pháp giải dạng toán này.

* Học sinh giải được thì:
- Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, mất nhiều thời gian.
- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức.
Xuất phát từ thực trạng nêu trên, tôi thấy rằng nên dạy cho học sinh trung
học cơ sở biết khai thác, phát triển bài tập toán trong những giờ ngoại khoá, bồi
dưỡng. Nếu được học một cách có hệ thống, chắc chắn học sinh sẽ giải tốn một
cách khơng mấy khó khăn, giúp các em có hứng thú hơn với bộ mơn, thơng qua
khai thác bài tốn giúp các em biết nghiên cứu bài toán sâu hơn, thấy được mối
liên hệ giữa các bài toán và sẽ là tiền đề tạo hứng thú cho các em nghiên cứu,
tìm tịi phương án tối ưu khi giải quyết các bài tốn khác.
Vậy để giúp học sinh có khả năng khai thác, phát triển bài tập khi giải
toán, bồi dưỡng học sinh triển vọng để chọn đội tuyển học sinh giỏi ... đạt kết
quả cao, tôi đã lựa chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển
một số bài toán từ một đẳng thức quen thuộc khi bồi dưỡng học sinh giỏi ở
trường Phổ thông Dân tộc nội trú THCS huyện Thường Xuân” để cung cấp
cho học sinh có thêm giải pháp khai thác và phát triển nhiều bài tập tốn hay và
lí thú, qua đó khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào
hứng, đạt kết quả tốt hơn.

TIEU LUAN MOI download :


2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng.
Bài toán: Chứng minh rằng:
(*)
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Biến đổi vế trái (VT) bằng vế phải (VP):
Ta có VT(*) = a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= (a + b + c)3 - 3c(a + b)(a + b + c) – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b + c)2 - 3c(a + b) – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac - 3ab - 3bc - 3ca)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
= VP(*)
đpcm.
Cách 2: Biến đổi vế phải (VP) bằng vế trái (VT):
Ta có
VP(*) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
= a3 + ab2 + ac2 - a2b - abc - a2c + a2b + b3 + bc2 - ab2 - b2c - abc + a2c
+ b2c + c3 - abc - bc2 - ac2
= a3 + b3 + c3 – 3abc
= VT(*)
đpcm.
2.3.1. Hướng khai thác thứ nhất:
Khai thác dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử, từ đẳng thức
(*)
Phân tích 1:
Xét theo chiều từ trái sang phải đẳng thức (*) chính là bài tốn phân tích
đa thức thành nhân tử. Vì vậy ta có thể khai thác bài tốn sau:
Bài tốn 1.1: Phân tích đa thức a3 + b3 + c3 - 3abc thành nhân tử.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng đẳng thức (*) ta có
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
Nhận xét 1.1: Vì đa thức a3 + b3 + c3 - 3abc là một đa thức bậc lẻ đối với
tất cả các biến, vì vậy:
+ Nếu ta thay b bằng –b ta có đẳng thức
a3 + (- b)3 + c3 – 3a(- b)c = a3 - b3 + c3 + 3abc
+ Nếu ta thay b bằng –b; c bằng -c ta có đẳng thức
a3 + (- b)3 + (- c)3 - 3a(-b)(-c) = a3 - b3 - c3 - 3abc
+ Nếu ta thay a bằng –a, thay b bằng –b; c bằng -c ta có đẳng thức
(- a)3 + (- b)3 + (- c)3 – 3(-a)(-b)(-c) = - a3 - b3 - c3 + 3abc

Từ nhận xét 1.1 ta có thể phát triển thành bài tốn sau:
Bài tốn 1.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) a3 - b3 + c3 + 3abc

TIEU LUAN MOI download :


b) a3 - b3 - c3 - 3abc
c) - a3 - b3 - c3 + 3abc
Hướng dẫn giải:
Áp dụng đẳng thức (*) ta có
a) a3 - b3 + c3 + 3abc = a3 + (- b)3 + c3 – 3a(- b)c
= [a + (-b) + c][a2 + (-b)2 + c2 – a(-b) – (-b)c – ca]
= (a - b + c)(a2 + b2 + c2 + ab + bc – ca)
b) a3 - b3 - c3 - 3abc = a3 + (- b)3 + (- c)3 - 3a(-b)(-c)
= [a + (-b) + (-c)][a2 + (-b)2 + (-c)2 – a(-b) – (-b)(-c) – (-c)a]
= (a - b - c)(a2 + b2 + c2 + ab - bc + ca)
c) - a3 - b3 - c3 + 3abc = - (a3 + b3 + c3 - 3abc)
= - (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
Nhận xét 1.2: Từ phân tích 1 ta thấy nếu thay a, b, c bởi các đa thức một
biến hoặc nhiều biến vào vế trái thì ta sẽ được vơ số các bài tốn phân tích đa
thức thành nhân tử và bài tốn giải phương trình.
Một số ví dụ:
Bài tốn 1.3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 8a3 + 64b3 + c3 – 24abc
b) (x+2)3 + (2x+3)3+ (x-5)3 - 3(x+2) (2x +3) (x-5).
Hướng dẫn giải:
Áp dụng đẳng thức (*) ta có
a) 8a3 + 64b3 + c3 – 24abc = (2a)3 + (4b)3 + c3 – 3.2a.4b.c
= (2a + 4b + c) [(2a)2 + (4b)2 + c2 – 2a.4b – 2a.c – 4b.c]

= (2a + 4b + c) (4a2 + 16b2 + c2 – 8ab – 2ac – 4bc)
b) (x + 1)3 + (2x + 3)3 + (x - 5)3 - 3(x + 1) (2x + 3) (x - 5)
= (x + 1 + 2x + 3 + x - 5)[(x + 1) 2 + (2x + 3)2 + (x - 5)2 - (x + 1)(2x + 3)
- (2x + 3)(x - 5) – (x + 1)(x - 5)]
= (4x - 1)(x 2 + 2x + 1 + 4x2 + 12x + 9 + x2 -10x + 25 – 2x2 - 5x – 3 - 2x2
+ 7x + 15 – x2 + 4x + 5)
= (4x - 1)(x2 + 10x + 52)
Bài tốn 1.4: Giải các phương trình sau:
a) (x + 1)3 + (2x + 1)3 + (x + 2)3 - 3(x + 1)(2x + 1)(x + 2) = 0.
b) (1 - x)3 + (2x - 1)3 - (1 + 3x)3 + 3(1 - x) (2x - 1)(1 + 3x) = 0
c) (x + 1)3 + (x - 1)3 + (2x + 1)3 + 3(1 - x2) (2x + 1) = 0
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng đẳng thức (*) ta có
(x + 1)3 + (2x + 1)3 + (x + 2)3 - 3(x + 1)(2x + 1)(x + 2) = 0.
 (x + 1 + 2x + 1 + x + 2)[(x + 1)2 + (2x + 1)2 + (x + 2)2 - (x + 1)(2x + 1) - (x
+ 1)(x + 2) - (2x + 1)(x + 2)] = 0
 (4x + 4)(x2 + 2x + 1 + 4x2 + 4x + 1 + x2 + 4x + 4 - 2x2 - 3x - 1 - x2 - 3x - 2
- 2x2 - 5x - 2) = 0
 (4x + 4)(x2 - x + 1) = 0

TIEU LUAN MOI download :


 4x + 4 = 0 hoặc x2 - x + 1 = 0
1) 4x + 4 = 0  x = -1
2) Phương trình x2 - x + 1 = 0 vơ nghiệm vì  = (-1)2 – 4.1.1 = -3 < 0
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
b) (1 - x)3 + (2x - 1)3 - (1 + 3x)3 + 3(1 - x) (2x - 1)(1 + 3x) = 0
 (1 - x)3 + (2x - 1)3 + (-1 - 3x)3 - 3(1 - x) (2x - 1)(- 1 - 3x) = 0
 (1 - x + 2x - 1 - 1 - 3x)[(1 - x)2 + (2x - 1)2 + (-1 - 3x)2 -(1 - x) (2x - 1) (1 - x)(- 1 - 3x) - (2x - 1)(- 1 - 3x)] = 0

(Áp dụng đẳng thức (*) )
2
2
 (-2x - 1)(x - 2x + 1 + 4x - 4x + 1 + 9x2 + 6x + 1 + 2x2 - 3x + 1 - 3x2 +
2x + 1 + 6x2 - x - 1) = 0
 (-2x - 1)(19x2 - 2x + 4) = 0  -2x – 1 = 0 hoặc 19x2 - 2x + 4 = 0
1) – 2x – 1 = 0 
2) Phương trình 19x2 - 2x + 4 = 0 vơ nghiệm vì ’ = (-1)2 - 19.4 = -75<0
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
(x + 1)3 + (x - 1)3 + (2x + 1)3 + 3(1 - x2) (2x + 1) = 0
 (x + 1)3 + (x - 1)3 + (2x + 1)3 - 3(x + 1)(x – 1)(2x + 1) = 0
 (x + 1 + x – 1 + 2x + 1)[(x + 1)2 + (x - 1)2 + (2x + 1)2 - (x + 1)(x – 1) (x – 1)(2x + 1) - (x + 1)(2x + 1)] = 0
 (4x + 1)(x2 + 2x + 1 + x2 - 2x + 1 + 4x 2 + 4x + 1 - x2 + 1 – 2x2 + x + 1
– 2x2 – 3x - 1) = 0
 (4x + 1)(x2 + 2x + 4) = 0  4x + 1 = 0 hoặc x2 + 2x + 4 = 0
c)

1) 4x + 1 = 0 
2) Phương trình x2 + 2x + 4 = 0 vơ nghiệm vì ’ = 12 - 1.4 = -3 < 0
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Bài tập vận dụng:
Bài tốn 1.6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) (x + 1)3 + (2x + 3)3 + (x - 4)3 - 3(x + 1)(2x + 3)(x - 4)
b) (x + y)3 + (y + z)3 + (x + z)3 - 3(x + y)(y + z)(x + z)
c) (x + 2y)3 - (y - z)3 + (x + z)3 + 3(x + 2y)(y - z)(x + z)
Bài toán 1.7: Giải các phương trình sau:
a) (2x + 7)3 + (x – 3)3 + (x + 5)3 – 3(2x + 7)(x – 3)(x + 5) = 0
b. (x + 2)3 + (3x – 4)3 + (x – 1)3 – 3(x + 2)(3x – 4)(x - 1) = 0
c. (x + 2)3 + (x - 2)3 + (2x + 1)3 + 3(4 - x2) (2x + 1) = 0
Bài tốn 1.8: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

(x + y)3 + (y + z)3 + (z + x)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x) = 0.
2.3.2. Hướng khai thác thứ hai:

TIEU LUAN MOI download :


Khai thác bài tốn chứng minh chia hết, tính giá trị của biểu thức từ
đẳng thức
(*)
Phân tích 2:
Quan sát vế phải của đẳng thức (*) ta thấy có chứa nhân tử là (a + b + c)
2
và (a + b2 + c2 - ab - bc - ac).
Nhận xét 2.1.
Từ phân tích 2, ta có một số nhận xét sau:

Do đó ta có thể khai thác phát triển thành các bài toán sau:
Bài toán 2.1: Chứng minh rằng: Với a + b + c  0 ta có

Hướng dẫn giải:
a) Vì a + b + c  0 nên áp dụng đẳng thức (*) ta có
3
3
a + b + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)  (a + b + c)
b) Vì a + b + c  0 nên áp dụng đẳng thức (*) ta có
3
3
a + b + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)(a2 + b2 + c2-ab-bc-ca)
Bài toán 2.2:
a) Cho a, b, c, k là các số nguyên thoả mãn (a + b + c)  k. Hãy chứng

minh rằng A = a3 + b3 +c3 - 3abc  k.
b) Cho a, b, c, k là các số nguyên thoả mãn a 2 + b2 + c2 -ab - bc - ac  k.
Hãy chứng minh rằng A = a3 + b3 +c3 - 3abc  k.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng đẳng thức (*) ta có: A = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc – ac)
a. Vì a + b + c  k nên suy ra A  k
(đ.p.c.m)
2
2
2
b. Vì a + b + c - ab - bc - ac  k nên A  k (đ.p.c.m)
Bài toán 2.3: Rút gọn các biểu thức sau

TIEU LUAN MOI download :


Hướng dẫn giải:
Áp dụng đẳng thức (*) ta có
a + b +c3 - 3abc = (a + b + c) (a 2 + b2 + c2 - ab - bc – ac) thay vào biểu thức A
và biểu thức B ta được
3

3

Bài toán 2.4: Cho a + b + c = 100. Tính giá trị của biểu thức sau:

Hướng dẫn giải:
Áp dụng đẳng thức (*) ta có
3
3

a + b +c3 - 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - bc – ac) thay vào biểu thức A ta
được

Với a + b + c = 100 ta có A = 100
Nhận xét 2.2: Ta thấy vế trái của đẳng thức (*) có thể biến đổi như sau:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3 - abc) + (b3 - abc) + (c3 - abc)
= a (a2 - bc)+ b (b2 - ac) + c (c2 - ab)
bc
ac
ab
)  b 2 (b  )  c 2 ( c  )
a
b
c
bc
ac
ab
= a3 (1  2 )  b 2 (1  2 )  c 3 (1  2 )
a
b
c

= a2 ( a 

Từ nhận xét 2.2, bằng cách đặt các biểu thức trong ngoặc lần lượt bằng x,
y, z; ta có thể phát triển bài toán 2.1 thành các bài toán sau:
Bài toán 2.5: Cho x = a2 – bc; y = b2 – ac; z = c2 – ab. Chứng minh rằng:
a) (ax + by + cz) (a + b + c)
b) (ax + by + cz) (x + y + z)
Hướng dẫn giải:

2
a) Ta có: ax + by + cz = a(a – bc) + b(b2 – ac) + c(c2 – ab)
=

TIEU LUAN MOI download :


=

(a + b + c)

Suy ra đpcm.
b) Ta có
x + y + z = a2 – bc + b2 – ac + c2 – ab = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca
Theo câu a ta có

(1)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bài tốn 2.6: Cho

. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:

Ta có:
=
=

(1)

Mặt khác: ax + by + cz =
= a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bài tốn 2.7: Cho

(2)
. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải:
Ta có:

=

(1)

Mặt khác:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bài tập vận dụng:
Bài toán 2.8: Cho a + b + c = 20. Tính giá trị của biểu thức sau:

Bài toán 2.9: Cho

. Chứng minh rằng

TIEU LUAN MOI download :


Bài toán 2.10: Cho a, b, c là ba số nguyên liên tiếp. Hãy chứng minh

a 3  b 3  c 3  3abc
rằng giá trị của biểu thức B =
không phụ thuộc vào giá trị của
abc

a, b, c.
Bài toán 2.11: Cho biểu thức B =

a 3  b 3  c 3  3abc
.
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac

Hãy chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số nguyên liên tiếp thì B là một số
nguyên chia hết cho 3.
2.3.3. Hướng khai thác thứ ba:
Khai thác bài toán trong trường hợp đặc biệt vế phải của đẳng thức
bằng 0
Phân tích 3:
Từ đẳng thức (*) xét trong trường hợp vế phải bằng 0 ta có

Nhận xét 3.1:
Từ phân tích 3, ta thấy nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 - 3abc = 0. Suy ra
a3 + b3 + c3 = 3abc
Ta có các nhận xét sau:
1)
2)
Từ nhận xét trên ta phát triển thành các bài toán sau:
Bài toán 3.1: Cho a + b + c = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức
a)
b)

Hướng dẫn giải:
Áp dụng (*) ta có, với a + b + c = 0 thì
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0.
Suy ra a3 + b3 + c3 = 3abc. Do đó
a)

TIEU LUAN MOI download :


b)
Nhận xét 3.2: Từ bài toán 3.1, nếu ta thay
thiết a + b + c = 0 trở thành

và biểu thức

thì giả
trở thành

Từ nhận xét trên ta có thể phát triển bài toán 3.1 thành bài toán sau
Bài toán 3.2: Cho các số x, y, z

0 thỏa mãn:

. Tính giá

trị của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
Áp dụng (*) ta có,

Do đó, với

thì

Suy ra
Do đó, P = 3.
Nhận xét 3.3:
Từ phân tích 3, ta thấy nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 suy ra a + b + c = 0 hoặc
a = b = c.
- Trường hợp a + b + c = 0 ta có

- Trường hợp a = b = c ta có

a b c
a
b
c
   1 do đó 1   1   1   2
b c a
b
c
a

Từ nhận xét 3.3 ta có thể phát triển thành bài tốn sau:
Bài tốn 3.3: Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 + c3 - 3abc = 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
Áp dụng đẳng thức (*) ta suy ra: a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

TIEU LUAN MOI download :

Sau đó xét 2 trường hợp:
- Nếu a + b + c = 0 thì:
- Nếu a = b = c thì: A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8.
Vậy với ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 thì giá trị của
biểu thức A = -1 hoặc A = 8.
Nhận xét 3.4:
Từ bài toán 3.4 nếu thay a = xz, b = yz, c = xy thì:
Giả thiết a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 trở thành x3z3+ y3z3+ x3y3 - 3x2y2z2
Biểu thức

trở thành

Từ nhận xét 3.4 ta có thể phát triển thành bài toán sau:
Bài toán 3.4:
Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn: x 3z3+ y3z3+ x3y3 - 3x2y2z2 = 0. Tính giá
trị của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
Đặt a = xz, b = yz, c = xy thì bài tốn trở thành bài tốn 3.3.
Từ đó tính được: B = -1 hoặc B = 8.
Nhận xét 3.5:
Từ phân tích 3, ta suy ra nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc (**).
Từ (**) ta thấy nếu thay a, b, c bởi các đa thức một biến hoặc nhiều biến
thỏa mãn a + b + c = 0 vào vế trái thì ta sẽ được vơ số các bài tốn phân tích đa
thức thành nhân tử và bài tốn giải phương trình.
Từ nhận xét 3.5 ta có thể phát triển thành các bài tốn sau:
Bài tốn 3.5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y )3 - x3 - y3
b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
c) (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3

Hướng dẫn giải:
3
3
3
a) Ta có (x + y ) - x - y = (x + y )3 + (- x)3 + (- y)3
Vì (x + y) + (-x) + (-y) = 0 nên áp dụng kết quả (**) ta có:
(x + y )3 - x3 - y3 = (x + y )3 + (- x)3 + (- y)3 = 3(x + y)(-x)(-y) = 3(x + y)xy
b) Vì (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0 nên áp dụng kết quả (**) ta có:
(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)
c) Ta có (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3

TIEU LUAN MOI download :


Vì (x2 + y2) + (z2 - x2) - (y2 + z2) = 0 nên áp dụng kết quả (**) ta có:
(x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3
= 3(x2 + y2) (z2 - x2) (- y2 - z2) = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x - z)
Bài tốn 3.6: Giải phương trình: (7x – 3)3 + (2x – 5)3 = (9x - 8)3
Hướng dẫn giải:
3
Phương trình đã cho
(7x – 3) + (2x – 5)3 + (-9x + 8)3 (1)
Ta thấy rằng: (7x – 3) + (2x – 5) + (-9x + 8) = 0. Nên áp dụng đẳng thức (**) ta
có (7x – 3)3 + (2x – 5)3 + (-9x + 8)3 = 3(7x – 3)(2x – 5)(-9x + 8)
Do đó phương trình (1)
3(7x – 3)(2x – 5)(-9x + 8) = 0
7x – 3 = 0 hoặc 2x – 5 = 0 hoặc -9x + 8 = 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là
Bài tập vận dụng
Bài tốn 3.7: Giải các phương trình sau :

a) (5x – 3)3 + (2x – 5)3 = (7x - 8)3
b) 27(x – 4)3 – (x – 14)3 = 8(x + 1)3
Bài toán 3.8: Chứng minh rằng một tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là
a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc, là tam giác đều.
2.3.4. Hướng khai thác thứ tư:
Khai thác bài toán bất đẳng thức từ đẳng thức
Phân tích 4:
Từ đẳng thức (*) ta có thể biến đổi vể phải như sau:
a3 +b3 +c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)
=



1
(a + b + c) (a  b) 2  (b  c ) 2  (a  c ) 2
2



(***)

Từ (***) ta thấy vì (a – b)2 + (b - c)2 + (c – a)2  0 với mọi a, b, c. Do đó
ta có nhận xét như sau:
+ Nếu a + b + c  0 thì a3 +b3 +c3 - 3abc  0
+ Nếu a + b + c  0 thì a3 +b3 +c3 - 3abc  0
Từ nhận xét trên ta có thể phát triển thành bài tốn sau:
Bài tốn 5.1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3  3abc.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng đẳng thức (*) ta có
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)

Vì a, b, c > 0 nên a + b + c > 0 và (a – b)2 + (b - c)2 + (c – a)2  0 với mọi a, b, c

TIEU LUAN MOI download :


Do đó:
Suy ra a3 + b3 + c3 - 3abc  0 hay a3 + b3 + c3  3abc.
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Bài toán 5.2: Cho a + b + c  0. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3  3abc.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng đẳng thức (*) ta có
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)

Vì a + b + c  0 và (a – b)2 + (b - c)2 + (c – a)2  0 với mọi a, b, c nên

Suy ra a3 + b3 + c3 - 3abc  0 hay a3 + b3 + c3  3abc (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Bài toán 5.3: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Hãy chứng minh
rằng B = a3 + b3 + c3 - 3abc  0.
Hướng dẫn giải:
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta có a + b + c > 0
(1)
Theo bài tốn 5.1 ta có B =



1
( a  b  c ) ( a  b) 2  (b  c ) 2  ( c  a ) 2
2



(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra (đ.p.c.m)
Bài tập áp dụng:
Bài toán 5.4: Cho a, b, c là các số thỏa mãn a + b + c > 0.
Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3
3abc. Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài toán 5.5: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác, không phải là tam
giác cân. Hãy chứng minh rằng a3 + b3 + c3 - 3abc >0.
Bài toán 5.6: Cho a, b, c là ba số tự nhiên đôi một khác nhau. Hãy chứng
minh rằng A = a3 + b3 +c3 - 3abc không phải là số nguyên tố.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong quá trình dạy học sinh ở các lớp bồi dưỡng, ôn tập cho học sinh thi
vào lớp 10,..., trước khi hướng dẫn cho học sinh kinh nghiệm này, khi gặp bài
tập được khai thác từ đẳng thức học sinh thường lúng túng, chỉ số ít là thực hiện
được, còn lại là thực hiện được nhưng chưa đạt u cầu, thậm chí có học sinh
khơng định hướng được cách giải. Điều này làm cho học sinh cảm thấy chán
nãn, ngại học.
Sau khi hướng dẫn học sinh kinh nghiệm này, phần lớn học sinh thực hiện
bài toán đạt yêu cầu, số ít thực hiện chưa đạt yêu cầu. Qua đó rèn luyện cho học
sinh được cách trình bày bài tốn, chặt chẽ, lập luận có căn cứ, chính xác. Khắc

TIEU LUAN MOI download :


sâu vào cũng cố các kiến thức có liên quan. Góp phần phát triển năng lực tư duy

của học sinh, phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, gây được hứng thú học tập bộ
môn.
Kết quả thu được sau khi áp dụng đề tài (Kết quả khảo sát đội tuyển)
Học sinh
Học sinh biết
Học sinh biết
khơng định
giải nhưng
Số
giải và trình
Đội
Thời điểm
học hướng được trình bày chưa
bày tốt
tuyển
khảo sát
cách giải
tốt
sinh
SL
TL
SL
TL
SL
TL
Trước khi áp
6
4
66,7
2

33,3
Tốn dụng đề tài
8
Sau khi áp
6
2
33,3
4
67,7
dụng đề tài
Trước khi áp
5
3
60
2
40
Toán dụng đề tài
9
Sau khi áp
5
1
20
4
80
dụng đề tài
Áp dụng sáng kiến trong thực tế giảng dạy tháo gỡ khó khăn và cũng cố
các dạng toán cho học sinh; giúp các em tự tin mỗi khi gặp những bài tập dạng
này, từ đó nâng cao chất lượng đội tuyển học sinh giỏi các cấp và ơn thi vào lớp
10 góp phần thực hiện thắng lợi nhiệm vụ giáo dục của nhà trường và cấp học.
3. Kết luận, kiến nghị.

3.1. Kết luận.
Trên đây là nội dung sáng kiến hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển
một số bài toán từ một đẳng thức quen thuộc. Vận dụng phương pháp này trong
dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10 tôi đã thu được
những kết quả khả quan. Học sinh thực sự hứng thú giải bài tập dạng này và kỹ
năng giải bài tập khai thác bài tốn nói chung của học sinh có tiến bộ, các em có
kỹ năng cơ bản để giải các dạng bài tập khác. Bên cạnh việc rèn cho học sinh kỹ
năng, hứng thú khi giải bài tập, làm cơ sở cho việc tự học của học sinh, phương
pháp này cịn có tác dụng rèn cho học sinh khả năng tư duy phân tích tổng hợp
những thao tác tư duy cần thiết khi thu thập, xử lí thơng tin mà các em cần có
trong học tập cũng như trong cuộc sống sau này.
3.2. Kiến nghị.
Đề tài này mới chỉ đề cập khai thác, phát triển một số dạng tốn ơn thi học
sinh giỏi tốn 8 từ đẳng thức a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a 2 + b2 + c2 - ab bc - ca) trong thời gian tới cùng với công việc giảng dạy, việc trao đổi với các
đồng nghiệp tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu mở rộng đề tài ra với các đẳng thức khác.
Đề tài này hoàn thành sẽ giúp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh khá
giỏi và ôn cho học sinh thi vào lớp 10 được tốt hơn. Là tài liệu tham khảo cho
đồng chí đồng nghiệp trong cơng tác giảng dạy.

TIEU LUAN MOI download :


Bản thân tơi mặc dù đã có nhiều cố gắng, tham khảo nhiều đồng nghiệp
và các tài liệu liên quan nhưng khơng tránh khỏi những thiếu sót kính mong
được sự góp ý của các đồng chí đồng nghiệp để đề tài ngày càng được hồn
thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 12 tháng 05 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

Lê Bá Thành

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIEU LUAN MOI download :


1. Sách giáo khoa toán 8 tập 1 và tập 2, tác giả Phạm Đức Chính, Tơn
Thân, Nguyễn Huy Đoan, Lê Văn Hồng, Trương Công Thành, Nguyễn Hữu
Thảo, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, năm xuất bản 2017.
2. Sách giáo khoa toán 9 tập 1 và tập 2, tác giả Phạm Đức Chính, Tơn
Thân, Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Công Thành, Nguyễn Duy
Thuận, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, năm xuất bản 2016.
3. Sách nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 và tập 2, Tác giả Vũ Hữu Bình,
Nhà xuất bản Giáo dục, năm xuất bản 2010.
4. Sách nâng cao và phát triển toán 9 tập 1 và tập 2, Tác giả Vũ Hữu Bình,
Nhà xuất bản Giáo dục, năm xuất bản 2011.
5. Các đề thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 8, lớp 9 cấp Huyện, đề thi học
sinh giỏi mơn tốn 9 cấp tỉnh.

DANH MỤC

TIEU LUAN MOI download :

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Bá Thành
Chức vụ và đơn vị công tác: Trường phổ thông DTNT THCS huyện Thường
Xuân.

TT

1.
2.
3.

4.

5.

6.

7.

Tên đề tài SKKN
Phương pháp tìm GTLN,
GTNN của phân thức đại số
Hướng dẫn học sinh giải bài
tập về mạch cầu cân bằng
Hướng dẫn học sinh giải bài
toán về mạch điện hỗn hợp
khơng tường minh
Hướng dẫn học sinh khai thác

bài tập hình học khi bồi dưỡng
học sinh giỏi ở trường
PTDTBT THCS Xuân Chinh.
Hướng dẫn học sinh khai thác
bài tập hình học khi bồi dưỡng
học sinh giỏi ở trường
PTDTBT THCS Xuân Chinh.
Hướng dẫn học sinh giải bài
tập về phương án thực hành
xác định khối lượng riêng khi
bồi dưỡng học sinh giỏi ở
trường THCS DTNT Thường
Xuân
Hướng dẫn học sinh giải bài
tập dựng hình bằng phương
pháp quỹ tích tương giao khi
bồi dưỡng học sinh giỏi ở
trường THCS DTNT Thường
Xuân

Kết
quả
đánh
giá xếp
loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

C

2005-2006

C

2008-2009

Phòng GD&ĐT
Thường Xuân

B

2011-2012

Phòng GD&ĐT
Thường Xn

B

2013-2014

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

B

2014-2015

Phịng GD&ĐT

Thường Xn

B

2016-2017

Phịng GD&ĐT
Thường Xn

C

2017-2018

Cấp đánh giá
xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)
Phòng GD&ĐT
Thường Xuân
Phòng GD&ĐT
Thường Xuân

TIEU LUAN MOI download :