Một thuật toán xác định chuyển vị mờ và nội lực mờ của kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8

MỘT THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ MỜ VÀ
NỘI LỰC MỜ CỦA KẾT CẤU THEO PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN
1

Nguyễn Hùng Tuấn1, Đỗ Phương Hà1
Bộ môn Sức bền kết cấu - Trường Đại học Thủy lợi, email:

1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Các phương pháp phân tích kết cấu cơng
trình được dùng trong thực tế hiện nay hầu hết
đều thực hiện theo các phương pháp số, trong
đó thơng dụng nhất là phương pháp phần tử
hữu hạn (PTHH), trên cơ sở các đại lượng đầu
vào: mơ đun đàn hồi, kích thước hình học của
kết cấu, kích thước tiết diện, tải trọng tác động,
điều kiện liên kết... là các số thực. Tuy nhiên,
trên thực tế, các đại lượng này không thể xác
định một cách chính xác hồn tồn, được gọi
là đại lượng bất định. Các đại lượng bất định
được phân chia thành hai loại: bất định ngẫu
nhiên, bất định nhận thức. Đối với bất định
nhận thức, lớp các thuật toán PTHH mờ, là sự
kết hợp của phương pháp PTHH và lý thuyết
mờ [1], thường được sử dụng để xác định đáp
ứng kết cấu. Trên cơ sở thuật toán đề xuất
trong [2], bài báo này sẽ trình bày một thuật
tốn xác định chuyển vị mờ và nội lực mờ của

kết cấu theo phương pháp PTHH. Ví dụ minh
họa chứng tỏ hiệu quả và độ chính xác của
thuật tốn đề xuất.

(l-r)
xi  a 
xi  μi
4
Xi 
(1)

2
2
σi
7(l  r )  2lr /12
Với phép đổi biến trên, từ biến mờ gốc
ban đầu xi   a, l , r  LR ta chuyển sang biến
mờ X   a , l , r  , trong đó các giá trị
i

rc 

2. NỘI DUNG CỦA THUẬT TOÁN ĐỀ XUẤT

Để xác định đáp ứng mờ kết cấu, trình tự
thực hiện gồm 5 nội dung chính, được trình
bày chi tiết dưới đây.
2.1. Xác định các biến chuẩn trong mơ
hình thay thế
Theo [2], đối với số mờ tam giác tổng quát

xi   a, l , r  LR (hình 1), biến mờ chuẩn trong
mơ hình thay thế được xác định theo công thức:

c

c

c LR

trung tâm ac, độ rộng trái lc và độ rộng phải rc
xác định theo công thức sau:
(l  r )
ac 
4
(l  r )
3( r  3l )
(2)
lc 

4
7(l 2  r 2 )  2lr
3(l  3r )
2

2

7(l  r )  2lr



(l  r )
4

Hình 1. Số mờ tam giác tổng quát xi
2.2. Thiết kế mẫu thử
Thiết kế mẫu thử là các phương án mẫu
trong không gian các biến thiết kế. Thiết kế
mẫu thử đóng vai trị quan trọng trong việc
xác định các hệ số hồi quy của mơ hình thay
thế. Trong phương pháp đề xuất, thiết kế mẫu
Box- Behnken [2] được sử dụng khi số lượng
biến mờ lớn hơn 2. Khi số lượng biến mờ

123


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8


bằng 2, thiết kế mẫu liên hợp trung tâm [3]
được sử dụng.
2.3. Lựa chọn mơ hình thay thế (mơ
hình mặt đáp ứng)
Trong phương pháp đề xuất , mơ hình hồi
quy đa thức bậc 2 khuyết và mơ hình hồi quy
đa thức bậc hai đầy đủ đều được sử dụng là
mơ hình thay thế cho đáp ứng kết cấu là các
chuyển vị mờ, trong đó các biến mờ X i được
chuẩn hóa theo cơng thức (1), (2).
Mơ hình hồi quy đa thức bậc 2 khuyết

n

n

i 1

i 1

y(X)  a o   a i X i   a ii Xi2

(3)

Mơ hình hồi quy đa thức bậc 2 đầy đủ
n

y(X)  a o   a i Xi
i 1



n-1



i 1, i j

n

a ij X i X j  
i 1

(4)
a ii Xi2

Theo nguyên lý mở rộng [1], các giá trị tin
tưởng (mức thuộc  =1) đầu vào sẽ cho giá
trị tin tưởng ở đầu ra. Do đó, mơ hình thay
thế theo công thức (8) cũng phải thỏa mãn
điều kiện này, nghĩa là :
y  X  ac   yˆ  x  a 
(5)
trong đó yˆ  x  a  - chuyển vị tại giá trị tin
tưởng của đầu vào, được xác định theo
phương pháp PTHH tất định.
Các hệ số hồi quy trong (3), (4) được xác
định theo phương pháp bình phương tối
thiểu, với điều kiện ràng buộc theo (5).

2.4. Ước lượng sai lệch và chọn lựa
phương án
Tương tự như [2], ước lượng sai lệch của
phương án thứ j ( sử dụng X(j) làm tập kiểm
tra) xác định theo công thức:



GSE j  y j  yˆ (j j)



2

 min

(6)

2.5. Xác định các đáp ứng mờ kết cấu
Trong thuật toán đề xuất, thuật giải di
truyền GA trong Matlab 7.12 được sử dụng
để xác định đáp ứng mờ kết cấu trên các lát

cắt  của các biến mờ chuẩn. Tuy nhiên, do
thứ tự tính tốn khác nhau trong phương
pháp PTHH tất định, dẫn đến độ chính xác
khác nhau trong việc xác định chuyển vị mờ
và nội lực mờ khi sử dụng các mơ hình thay
thế. Thuật tốn đề xuất sử dụng một số cải
tiến để nâng cao độ chính xác trong việc xác
định đáp ứng mờ kết cấu.
2.5.1. Đáp ứng kết cấu là chuyển vị mờ
Trong thuật toán đề xuất, chuyển vị mờ
được xác định trực tiếp trên cơ sở giải các
bài toán quy hoạch phi tuyến của hàm thay
thế. Do đó, hàm thay thế theo mơ hình đa
thức bậc 2 đầy đủ sẽ mang tính tổng qt và
có độ chính xác hơn hàm thay thế theo mơ
hình đa thức bậc 2 khơng đầy đủ. Vì vậy, đối
với đáp ứng kết cấu là chuyển vị mờ, thuật
toán đề xuất tính tốn trên mơ hình đa thức
bậc 2 đầy đủ.

2.5.2. Đáp ứng kết cấu là nội lực mờ
Nội lực mờ được xác định thông qua
chuyển vị mờ theo công thức: Re = Ke ue - Fe.
Do đó, kết quả của nội lực mờ sẽ có độ chính
xác kém hơn so với chuyển vị mờ kết cấu. Để
nâng cao độ chính xác trong việc xác định nội
lực mờ, việc tính tốn nội lực mờ được thực
hiện trên cả hai mơ hình của chuyển vị mờ là:
mơ hình đa thức bậc hai đầy đủ, mơ hình đa
thức bậc hai khơng đầy đủ. Sau đó, nội lực mờ
kết cấu thu được trên cơ sở phép giao của kết
quả tính tốn nội lực mờ kết cấu theo hai mơ
hình chuyển vị mờ nêu trên:
S min  max  S a1,min ; S a 2,min 
S max  max  S a1,max ; S a 2,max 

trong đó Smin , Smax - biên dưới, biên
trên của nội lực mờ kết cấu tại lát cắt  theo
thuật toán đề xuất;
S1,min , S1,max - biên dưới, biên trên của
nội lực mờ kết cấu tại lát cắt  theo mơ hình
hồi quy đa thức bậc 2 đầy đủ;
S2,min , S2,max - biên dưới, biên trên của
nội lực mờ kết cấu tại lát cắt  theo mơ hình
hồi quy đa thức bậc 2 không đầy đủ.
Công thức (7) cho kết quả tính tốn nội
lực mờ kết cấu là miền hẹp nhất trong hai

124

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8

phương án sử dụng cho mơ hình thay thế (đa
thức bậc 2 đầy đủ, đa thức bậc 2 không đầy
đủ). Việc sử dụng (7) sẽ thu hẹp được bề
rộng của số mờ đầu ra (nội lực mờ kết cấu)
trên các lát cắt , từ đó cho kết quả tính tốn
có độ chính xác cao hơn.
Cuối cùng, xét trường hợp ma trận độ
cứng tổng thể K được biểu diễn dưới dạng :
K  E .K
(8)

trong đó E - mơ đun đàn hồi của vật liệu,
là số mờ.
K - ma trận độ cứng đơn vị, các thành
phần trong ma trận là các số thực.
Trong trường hợp này, nội lực kết cấu
cũng là các số mờ tam giác. Để xác định nội
lực mờ, chỉ cần xác định các giá trị biên trên,
biên dưới tại lát cắt  =0, nghĩa là
S0min  max( S01,min ; S02,min )
(9)
S0max  min( S01,max ; S02,max )
3. VÍ DỤ MINH HỌA
P
3.5m

4

3

P
3.5m

3
2

P
2
3.5m

q

q
14

8

15
9

6

q

q
12

q

10

7
5

6

1

4

1

5
5m

13
8


q
11
7

5m

xuất thuật tốn tối ưu hóa mức  [4] được
thể hiện trên (hình 3, hình 4).

Hình 3. Chuyển vị mờ ngang tại đỉnh (mm)

Hình 4. Mơ men mờ M56 (kNm)
4. KẾT LUẬN

Bài báo đã đề xuất một thuật toán xác định
chuyển vị mờ và nội lực mờ của kết cấu theo
phương pháp phần tử hữu hạn. Với việc sử
dụng biến mờ chuẩn, đưa ra tiêu chí lựa chọn
các mơ hình đa thức bậc 2 đầy đủ và không
đầy đủ một cách hợp lý, và sử dụng phép giao
giữa hai số mờ để xác định biên nhỏ nhất của
nội lực mờ, thuật toán đề xuất đã làm tăng độ
chính xác trong kết quả tính tốn chuyển vị mờ
và nội lực mờ kết cấu qua ví dụ kiểm chứng.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO

Hình 2. Khung ba tầng, hai nhịp
Cho hệ khung ba tầng, hai nhịp trên Hình
2. Tiết diện các dầm (bd  hd)= (0,2  0,5)m.
Các cột có bề rộng bc = 0,2m. Mô đun đàn
hồi E , tải trọng đứng q , tải trọng ngang P ,
chiều cao tiết diện cột hc là các số mờ tam
giác: E = (3107, 3106, 3106)LR kN/m2,
q = ( 25, 1, 4)LR kN/m, P = (30, 4, 2)LR kN,
h = (0,3 , 0,02, 0,02)LR m.
c

Yêu cầu : Xác định chuyển vị mờ ngang
tại đỉnh và các mô men mờ của phần tử 4.
Kết quả tính tốn chuyển vị mờ ngang tại

đỉnh và các mơ men mờ theo thuật tốn đề

[1] B.Bouchon, Meunier, Hồ Thuần, Đặng
Thanh Hà (2007), Logic mờ và ứng
dụng,Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà
Nội, Hà Nội.
[2] Nguyễn Hùng Tuấn (2019), "Một thuật toán
phần tử hữu hạn mờ cải tiến phân tích tĩnh
kết cấu có tham số đầu vào là các số mờ
tam giác tổng quát", Tuyển tập Hội nghị
Khoa thường niên Trường Đại học Thủy lợi
năm 2019.
[3] Mason R.L., Guns R.F. and Hess J.L.
(2003), Statistical Design and Analysis of
Experiment:
With
Applications
to
Engineering and Science, Second Editor,
John Wiley & Sons.

125