Tuyển tập bài toán đại số và hình học 11

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 1

TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
17 QUANG TRUNG

Cần Thơ 2013

Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xn Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ
Đi
ện thoại: 0939.922.727
–
0915.684.278
–
(07103)751.929

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 2


















Chương 1. Hàm số lượng giác
Chương 2. Tổ hợp – xác suất
Chương 3. Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân
Chương 4. Giới hạn

Chương 5. Đạo hàm
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 3
Chương 1
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

+ Tìm điều kiện (nếu có) để bài tốn có nghĩa
+ Biến đổi để đưa phương trình về một trong các dạng đã biết cách giải
+ Giải phương trình và chọn nghiệm phù hợp
+ Kết luận
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cung liên kết
a) Cung đối:
x và x





cos x cos x
 



sin x sin x
  



tan x tan x
  


cot x cot x
  
b) Cung bù:
( x) và x
 




cos x cosx
   


sin x sin x
  



tan x tan x
   



cot x cot x

   

c) Cung phụ:
x và x
2

 

 
 


cos x sin x
2

 
 
 
 

sin x cosx
2

 
 
 
 


tan( x) cot x

2

 
cot x tanx
2

 
 
 
 

d) Cung hơn kém

:
( x) và x
 




cos x cosx
   



sin x sin x
   





tan x tan x
  



cot x cot x
  

e) Cung hơn kém
2

:
x và x
2

 

 
 




cos / 2 x sin x
   



sin / 2 x cosx

  




tan / 2 x tan x
   


cot / 2 x cot x
   



TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 4
2. Cơng thức lượng giác
 Cơng thức cộng: Cho a và b là 2 góc bất kỳ, ta có

sin(a b) sinacosb sin bcosa
cos(a b) cosa cosb sinasinb
tana tan b
tan(a b)
1 tan a tan b
  
 

 



 Cơng thức nhân đơi

2 2 2 2
2
cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a
sin2a 2sinacosa
2tan a
tan2a ; (a k )
1 tan a 4 2
     

 
  



 Cơng thức nhân ba

3
3
sin3a 3sin a 4sin a
cos3a 4cos a 3cosa
 
 


 Cơng thức hạ bậc

2 2 2
1 cos2a 1 cos2a 1 cos2a
sin a ; cos a ; tan a
2 2 1 cos2a
  
  



 Cơng thức chia đơi
Đặt
a
t tan
2
 , khi đó
2
2 2 2
2t 1 t 2t
sina ; cosa ; tan a
1 t 1 t 1 t

  
  


 Cơng thức biến đổi tổng thành tích

a b a b
sina sin b 2sin cos
2 2

a b a b
sina sin b 2cos sin
2 2
a b a b
cosa cosb 2cos cos
2 2
a b a b
cosa cosb 2sin sin
2 2
sin(a b)
tana tanb
c
   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
 
 
 
 
 
 
 

 
   
   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
 
 
 
  
 
 
 
 
   

 
osa cosb
sin(b a)
cota cotb
sin asin b

 

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 5
 Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
sinasin b [cos(a b) cos(a b)]
2
   

1
cosa cosb [cos(a b) cos(a b)]
2
1
sinacosb [sin(a b) sin(a b)]
2
   
   


B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUEN THUỘC
1. Các phương trình lượng giác cơ bản

u v k2
sin u sin v
u v k2

  


 

   



u v k2
cosu cos v
u v k2

  

 

   



tanu tan v u v k , (u,v / 2 k )
        


cot u cot v u v k , (u,v k )
      

(u,v là các biểu thức chứa ẩn,
k



)
2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
Dạng

2
asin x bsin x c 0
  


2
a cos x bcosx c 0
  


2
a tan x b tanx c 0
  


2
a cot x bcot x c 0
  

(với
a 0

, a,b,c


)

Phương pháp giải
2
asin x bsin x c 0
  
, đặt
t sin x , t 1
 

2
a cos x bcosx c 0
  
, đặt
t cosx , t 1
 

2
a tan x b tanx c 0
  
, đặt
t tan x

, đk
x / 2 k
   

2
a cot x bcot x c 0
  
,
t cot x


, đk
x k
 

Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc 2 theo biến t, giải tìm t thỏa đk bài tốn,
suy ra nghiệm x của phương trình
Ví dụ: Giải phương trình
cos2x 5 6cos x
 

Ta có
2
cos2x 5 6cos x 2cos x 6cosx 4 0 (*)
     

Đặt
t cosx, t 1
 
. Khi đó (*) trở thành
2
t 1
2t 6t 4 0
t 2 (loai)



   





TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 6
Với
t 1 cosx 1 x 2k
     

3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Dạng
asin x bcos x c
 
(với
2 2
a b 0
 
) (*)
Phương pháp giải
+ Nếu
2 2 2
a b c
 
thì phương trình vơ nghiệm
+ Nếu
2 2 2
a b c
 
thì phương trình có nghiệm. Khi đó :
Chia 2 vế của (*) cho
2 2

a b

. Đặt
2 2 2 2
a b
cos ;sin
a b a b
   
 

Khi đó (*) trở thành
2 2
c
sin(x )
a b
  

, đây là phương trình cơ bản.
Ví dụ: Giải phương trình
sin3x 3 cos3x 2
 

Ta có
2 2
a b 2 2 (c 2)
   
nên phương trình đã cho có nghiệm, chia hai vế của
phương trình cho 2 ta được
1 3 2
sin3x cos3x cos sin3x sin cos3x sin

2 2 2 3 3 4
2
3x 2k x k
3 4 36 3
sin 3x sin
5 2
3 4
3x 2k x k
3 4 36 3
  
    
 
   
      
 
 
 


    
  



 
   
 
      
 
 

 

4. Phương trình đối xứng đối với sin và cos
Dạng
a(sin x cosx) bsin x cosx c 0
   
(1)
hoặc
a(sin x cos x) bsinxcosx c 0
   
(2)
Phương pháp giải
- Đối với (1), đặt
t sin x cosx 2sin(x )
4

    , đk
t 2

.
Khi đó
2
t 1
sin xcosx
2

 và (1) trở thành
2
2
t 1

at b c 0 bt 2at (2c b) 0
2

       

Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ
t 2 sin(x )
4

 
- Đối với (2), đặt
t sin x cosx 2 sin(x )
4

   
, đk
t 2

.
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 7
Khi đó
2
1 t
sin xcosx
2

 và (2) trở thành
2
2

1 t
at b c 0 bt 2at (2c b) 0
2

        
, Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm
nghiệm x của phương trình từ
t 2 sin(x )
4

  .
Ví dụ: Giải phương trình
sin x cos x 2 6 sin xcosx
 

Đặt
t sin x cosx 2 sin(x )
4

   
, đk
t 2

,
2
1 t
sin xcosx
2



.
Khi đó phương trình đã cho trở thành
2 2
1 2
6 6
t 6(1 t ) 6t t 6 0 t ,t
3 2
         

thỏa điều kiện
t 2

.
 Với
1
6 6 3
t 2sin(x ) sin(x )
3 4 3 4 3
 
      


3 3
x arcsin k2 x arcsin k2
4 3 3 4
3 3 5
x arcsin k2 x arcsin k2
4 3 3 4
 
 

 
       
 
 
 
 
 
 
         
 
 

 Với
1
6 6 3
t 2 sin(x ) sin(x )
2 4 2 4 2
 
         


x k2
x k2
4 3
12
5
x k2 x k2
4 3 12



 


     
   


 


  
 
       







5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos
Dạng
2 2
asin x bsin xcosx ccos x d
  
(*)
Phương pháp giải
+ Nếu
cos x 0


là nghiệm của (*) thì ta có nghiệm
x k
2

  
.
+ Nếu
cosx 0 x k
2

    
, khi đó chia 2 vế cho
2
cos x
ta được
2
(a d) tan x btan x (c d) 0
    

Giải phương trình bậc hai theo tham số tanx
Ví dụ: Giải phương trình
2 2
4sin x 3 3sin2x 2cos x 4
  


TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 8
+ Khi
2

cosx 0
x k
sin x 1
2





   





, ta có
VP 4 VT
 
, suy ra
x k
2

  
là nghiệm.
+ Khi
x k
2

  
chia 2 vế cho

2
cos x
ta được
2 2
4tan x 6 3 tan x 2 4(1 tan x) 6 3 tan x 6
3
tan x tan x tan x k
3 6 6
     
 
       

Kết luận
x k
6

  
hoặc
x k
2

  
.
6. Phương trình chứa căn thức (dạng cơ bản)
Phương pháp giải
Để giải được phương trình lượng giác chứa căn thức (dạng cơ bản) ta cần phải nắm được
một số tính chất sau :
2
2
A, A 0

1) A A
A, A 0
2) A B A B 0
B 0
3) A B
A B
A 0
4) A B C B 0
A B 2 AB C




 


 


   




 












   




  



Chú ý : Đối với những dạng
3 3 4 4
A B C, A B C
   
ta thường dùng phương pháp
chuyển về hệ đại số (xem bài tập 4 cuối bài giảng).
Ví dụ : Giải phương trình
1 cos x sin x 0
  

2
sin x 0
1 cosx sin x 0 1 cosx sin x
1 cosx 1 cos x
sin x 0 sin x 0

sin x 1
x k2
cosx 0 sin x 1
2
cosx 1
x k2
cosx 1 cosx 1

 


       


  


 
 
 


 

 
    
 
 

 

    
  
 

 
 

 
 
 
   

    

 
 
 


7. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải
Để giải được phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối ta cần phải nắm được một số
tính chất sau :


TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 9
2 2
2 2
1) A B A B A B

B 0 B 0
2) A B
A B A B
A 0
3) A B A B
B 0
A 0
4) A B A B
B 0
     
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 




   










   







Ví dụ : Giải phương trình
x x
cos 1 3sin
2 2
 

2 2
2
x
x 3
1 3 sin 0
sin
x x
2
2 3
cos 1 3sin
x x x
2 2

x x
cos 1 2 3sin 3sin
4sin 2 3sin 0
2 2 2
2 2
x
sin 0 x k2 , k .
2






 





 
   
 
 
 
  
 
 
 




      

C. MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 Phương pháp 1. Dùng các cơng thức biến đổi lượng giác đưa một phương trình lượng
giác về một trong các dạng phương trình quen thuộc.
Ví dụ : giải phương trình
3
5sin4x.cosx
6sin x 2cos x
2cos2x
 
+ Điều kiện
cos2x 0 x k
4 2
 
   

+ Phương trình đã cho tương đương với
3 3 2
2
2
3 3
3
6sin x 2cos x 5sin2x.cos x 6sin x 2cos x 10sinx.co
s x
sin x sinx.cos x
6 2 10 6tan x(1 tan x) 2 10tanx
cos x cos x

6tan x 4tan x 2 0
    
      
   

Giải ra ta được
tan x 1 x k
4

    
(loại).
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
 Phương pháp 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình tích
1 2 n
A (x).A (x) A (x) 0


để chuyển về giải tuyển các phương trình quen thuộc.
Ví dụ : giải phương trình
cosx cos2x cos3x 0
  

Ta có
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 10
cosx cos2x cos3x 0 2cos2xcosx cos2x 0 cos2x(2co
sx 1) 0
k
2x k x
cos2x 0

2 4 2
;k
2 2
2cosx 1
x k2 x k2
3 3
        
 
  
 
    


 

   
 

 
 
 

       
 
 
 


Vậy nghiệm của phương trình
k

x
4 2
 
 
;
2
x k2
3

   
, k


.
 Phương pháp 3. Sử dụng tính bị chặn của hàm số hay dùng bất đẳng thức, để đánh giá
hai vế của phương trình rồi rút ra nghiệm.
Ví dụ : giải phương trình
3 3 4
sin x cos x 2 sin x
  

Ta có
3 2
3 3
3 2
1 sin x 1
sin x sin x
sin x cos x 1
1 cosx 1
cos x cos x



  



 
   
 
 
  






Mặt khác
4 4
0 sin x 1 2 sin x 1
    

Vậy phương trình đã cho tương đương với
4
3 2
3 2
3 3
sin x 1
sin x 1
sin x sin x

x k2
cosx 0
2
cos x cos x
sin x cos x 1












 
    
 
 







 





D. PHẦN BÀI TẬP
Dạng 1. Phương trình cơ bản
Bài 1. Giải phương trình
1)
cosx sin x 2 sin x
 
2)
cosx sin x 2 cosx
 

3)
sin x cosx 2 cos3x
 
4)
sin x cosx 2 sin5x
 

Bài 2. Giải phương trình
1)
4 4
1
cos x sin x (3 cos6x)
4
   2)
6 6 2
1
cos x sin x cos 2x

16
  
3)
6 6 4 4
6(cos x sin x) 5(cos x sin x)
  
4)
2 2
cos (x / 4) sin x 1/ 2
  

Bài 3. Giải phương trình
1)
cosx.cos3x cos5x.cos7x

2)
1
sin x.cos2x sin2x.cos3x sin5x
2
 

3)
2 2 2
2cos 2x cos2x 4sin 2x cos x
 
4)
3 2
4cos 2x 6sin x 3
 

5)
cosxcos2xsin3x (1/ 4)sin2x

6)
1 cosx
sin2xsin x cos5x cos2x
2

 
7)
2 3
cos10x 2cos 4x 6cos3xcosx cos x 8cosxcos 3x
   

Bài 4. Giải phương trình
1)
3 3
cos xsin x sin xcosx 2 / 8
 
2)
3 3
cos xcos3x sin xsin3x 2 / 4
 

3)
3 3
sin xcos3x cos xsin3x 3/ 4
 
4)
3 3 3

cos xcos3x sin xsin3x cos 4x 1/4
  

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 11
Bài 5. Giải các phương trình
1)
cos x sin 2x 0
3

 
  
 
 
2)
cos x cos x 1
3 3
 
   
   
   
   

3)
tan 2x.tan x 1
 
4)
2 2 2
sin x sin x.tan x 3
 

5)
2 2
5cos x sin x 4
 
6)
1
3sin x cosx
cosx
 
7)
4 4
cos 2x sin3x sin 2x
 
8)
tan x 1 tanx
4

 
  
 
 

9)
3 3
1
sin x cosx cos xsin x
4
  10)
4 4

sin x cos x cos4x
 

11) cos7x - sin5x =
3
( cos5x - sin7x) 12)
2 2
sin 5x cos 3x 1
 

13)
2
cosxcos2xcos4x
16

 14)


sin sin x 1
 

15)
2 2
cos x sin x
1 sin x 1 cosx

 
16)
1 1 2
cosx sin 2x sin 4x

 

Bài 6. Cho phương trình




tan cosx cot sin x
  

1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn


3 ;
  
của phương trình.
Bài 7. Cho phương trình sin
6
x + cos
6
x = m.
1. Xác định m để phương trình có nghiệm.
2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng


0;


Bài 8. Giải và biện luận phương trình



2
2m 1 cos2x 2msin x 3m 2 0
    

Dạng 2. Phương trình với một hàm số của một cung
Bài 1. Giải phương trình
1)
cos2x 3sin x 2 0
  
2)
4 2
4sin x 12cos x 7
 

3)
2 2
6sin x 2sin 2x 3
 
4)
6tan x t an2x


5)
3(tan x cot x) 2(2 sin2x)
  
6)
4 3
cot x cos 2x 1

 

Bài 2. Giải phương trình
1)
sin3x 2cos2x 2 0
  
2)
sin3xsin x 1 0
 

3)
3
cos x cos2x 4cosx 1 0
   
4)
cos3x 2cos2x 2 0
  

5)
4 6
cos x cos2x 2sin x 0
  
6)
6 4
3cos 2x sin 2x cos4x 0
  

Bài 3. Giải phương trình
1)
3cos x cos2x cos3x 2sin xsin2x

  
2)
sin3x cos2x 1 2sin x cos2x
  

3)
2sin xsin3x (3 2 1)cos2x 3 0
   
4)
2
8sin xsin( / 3 x)sin( / 3 x) 1
    

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 12
5)
2
8cos xcos(x 2 /3)cos(x / 3) 1
   
6)
2
4cos (x / 4)sin6x 2sin6x 1
  

7)
sin x cos2x 1/ 4

8)
4cosx 2cos2x cos4x 1 0
   

9)
2
cos2x cosx(2tan x 1) 2
  

Bài 4. Giải phương trình
1)
6
3cos x 4sin x 6
3cosx 4sin x 1
  
 
2)
2
1 cosx
tan x
cosx



3)
2
(sin x cosx) 5 cos( / 6 x)
    
4)
2
sin3x cos3x
sin 2x
sin x cos x





5)
1
2cos2x 8cos x 7
cosx
   6)
2 2
cot x tan x
16(1 cos4x)
cos2x

 
7)
2
3cos4x 2cos 3x 1
 
8)
sin2x tan x 2
 

9)
2
sin2x 2cos x tan x 3
  
10)
2
t an2x cot x 8cos x

 

Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
2
2cos x 5sin x 4 0
3 3
 
   
    
   
   
2)
5
cos2x 4cosx 0
2
  

3)
4 4
sin x cos x cos2x
 
4)
4 4
1
cos x sin x sin 2x
2
  

5)



2
2 2 cos 3x 2 2 cos3x 1 0
   
6)
4 4
x x
cos sin 2sin x 1
2 2
  

7)
 
6 6
4 sin x cos x cos 2x 0
2

 
   
 
 
8)
2tan x 3cot x 4
 

9)
4 2
1
cos x sin x

4
 
10)
2 2
6 6
cos x sin x
4cot 2x
sin x cos x




11)
1
2tan x cot x 2sin 2x
sin 2x
   12)
8 8 2
17
sin x cos x cos 2x
16
 
13)
4cos x cos 4x 1 2cos 2x
  
14)
5 5 2
4sin xcosx 4cos xsinx cos 4x 1
  

15)
2 2
cos4x cos 3x cos x 1
  
16)
sin3x cos2x 1 2sin xcos2x
  

Bài 6: Cho phương trình
sin3x mcos2x (m 1)sin x m 0
    

1) Giải phương trình khi m = 2.
2) Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng


0;2


Dạng 3. Phương trình đối xứng
Bài 1. Giải phương trình
1)
sin2x 12(sin x cosx) 12 0
   
2)
1 sin2x cosx sin x
  

3)
cos2x 5 2(2 cosx)(sin x cosx)

   
4)
3 3
sin x sin xcosx cos x 1
  

5)
3 3
sin x cos x 1
 
6)
sin3x cos3x 1 sin2x
  

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 13
7)
(1 cosx)(1 sin x) 2
  
8)
1 1
2 2
cosx sin x
 

9)
tan x 2sin x 1 0
  
10)
1 1 10

cosx sin x
cosx sin x 3
   
Bài 2. Giải phương trình
1)
2 2
2(tan x cot x) 5(tan x cot x) 6 0
    
2)
2
2
1
tan x 5(tanx cot x) 7 0
sin x
    
3)
2 2
tan x tan x cot x cot x 2
   
4)
2
2
1
cot x 4(tan x cot x) 0
cos x
   
5)
2 3 2 3
tan x tan x tan x cot x cot x cot x 6
     

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau
1)


2 sin x cosx sin 2x 1 0
   
2)


sin xcosx 6 sin x cos x 1
  

3)
sin 2x 2 sin x 1
4

 
  
 
 
4)
tan x 2 2 sin x 1
 

5)
3 3
sin x cos x 1
 
6)





1 sin x 1 cos x 2
  

7)
2sin x tan x cot x
4

 
  
 
 
8)
 
3
sin x cos x sinxcosx 1 0
   

9)
 
4
sin x cosx 3sin 2x 1 0
   
10)
3 3
cos x sin x cos2x
 

11)


3 3
sin x cos x 2 sinx cosx 3sin2x 0
    
12)
 
3
sin x cosx 1 sin xcosx
  
13)
1 1
sinx cosx 2 tanx cotx 0
sinx cosx
      
14)




1 sin 2x sin x cos x cos2x
  
Bài 4: Cho phương trình
3 3
cos x sin x m
 
. Xác định m để phương trình có nghiệm.
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)





2 2
3 tan x cot x 2 tan x cot x 2 0
    
2)
7 7
tan x cot x tan x cot x
  

3)
2 3 2 3
tanx tan x tan x cotx cot x cot x 6
     
4)




4
2 2
9 tanx cotx 48 tan x cot x 96
   
5)


2 2
3 tan x cot x tan x cot x 6

   
6)




4
2 2
3 tanx cotx 8 tan x cot x 21
   

Bài 6: Cho phương trình




2 2 2
tan x cot x 2 m 2 tan x cot x m m
     
. Xác định m để
phương trình có nghiệm.

Dạng 4. Phương trình đẳng cấp với sin, cos
Bài 1. Giải phương trình
1)
3
6sin x 2cos x 5sin2xcos x
 
2)
3

4cos x sin x cosx 0
  

3)
2
4cos xsin x cosx sin x
 
4)
3sin x sin3x 2cos x
 

5)
4cos x cos2x cosx 3sin x
 
6)
3 3
sin x cos x sin x cos x
  

7)
3 3 2
cos x 4sin x cos xsin x sin x 0
   
8)
3 3 2
4sin x 3cos x 3sin x cosxsin x 0
   

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 14

Bài 2. Giải phương trình
1)
3
sin (x / 4) 2 sin x
 
2)
3 1
8sin x
cosx sin x
 

3)
3 1
2(sin x 3cosx)
cosx sin x
  
4)
(tan3x 2)cosx sin x
 

Bài 3. Giải các phương trình lượng giác sau
1)
3sinx cosx 2 0
  
2)
3
3sin x 1 4sin x 3cos3x
  

3)

4 4
sin x cos x 1
4

 
  
 
 
4)


4 4
2 cos x sin x 3sin 4x 2
  

5)
2sin 2x 2sin 4x 0
 
6)
3sin2x 2cos2x 3
 

7)
9
3cosx 2 3sin x
2
 
8)
4cos3x 3sin3x 5 0
  

9)
2
sin xcosx sin x cos2x
  10)


tan x 3cot x 4 sin x 3cosx
  
11)
2sin3x 3 cos7x sin 7x 0
  
12)


cos5x sin3x 3 cos3x sin5x
  
13)




2
2sin x cosx 1 cos x sin x
  
14)
1 cosx sin3x cos3x sin2x sinx
    

15)

3
3sin x 1 4sin x 3 cos3x
   16)
3sinx cosx 2cos x 2
3

 
   
 
 

Bài 4. Cho phương trình


3msin x 2m 1 cosx 3m 1
   

1) Giải phương trình khi m = 1.
2) Xác định m để phương trình có nghiệm.
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1)
cosx sin x 1
y
sin x 2cosx 4
 

 
2)
cos3x sin3x 1
y

cos3x 2
 



3)
1 3sin x 2cosx
y
2 sin x cosx
 

 
4)
2
sin xcos x cos x
y
sin xcos x 1





Dạng 5. Phương trình chứa căn thức
Bài 1. Giải phương trình
1)
1 sin2x 2cos2x 0
  
2)
3 sin x cos x 2 2cos2x
  

3)
2
3sin2x 2cos x 2 2 cos2x
  
4)
2
sin x 2sin x 2 2sin x 1
   

5)
sin x cosx 1
 
6)
2
sin x 2 sin x 2
  

7)
1 sin x 1 sin x 2cosx
   
8)
1 sin x 1 sin x 1 cosx
    

9)
1 cosx 1 cosx
4sin x
cosx
  


10)
1 sin2x 1 sin2x
4cosx
sin x
  


11)
sin x(1 cot x) cos x(1 tan x) 2 sin x cos x
   

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 15
Bài 2. Giải phương trình
1)
sin x cosx 2sin2x 1
  
2)
2
cos x tanx 1 cos2x
 

3)
3
3
cos x 1 2 2cosx 1
  
4)
3

3
8cos x 1 3 6cosx 1
  

5)
2 2
sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3
    

Dạng 6. Phương trình chứa trị tuyệt đối
Bài 1. Giải phương trình
1)
cos x sin3x 0
 
2)
2cosx sin x 1
 

3)
3cos x 2 sin x 2
 
4)
cos3x 1 3sin3x
 

5)
sin3x 1 3 cos3x
 
6)
1 2 sin x cos x 0

 

7)
1 sin2x cos x sin x
  
8)
2 2 sin x cosx sin x cosx 0
  

Bài 2. Giải phương trình
1)
2
3cos x 2 sin x 2 0
  
2)
sin x cos x 4sin2x 1
  

3)
sin x cos x sin x cos x 1
  
4)
sin x cos x sin x cosx 2
   

5)
4 4
cos x sin x cos x sin x
  

Dạng 7. Phương trình đưa về dạng tích
Bài 1. Giải phương trình
1)
3 3
cos x sin x sin x cos x
  
2)
3 3
cos x sin x cos2x
 

3)
cosx 3sin x cos3x 0
  
4)
3sin2x cos5x cos9x
 

5)
cosx cos2x sin3x 0
  
6)
3cosx sin x sin3x
 

7)
sinx sin2x sin3x cosx cos2x cos3x
    
8)

1 sinx cosx sin2x cos2x 0
    
9)
5sin x 6sin2x 5sin3x sin4x 0
   

Bài 2. Giải phương trình
1)
2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 1/ 2
  
2)
2 2 2
sin 3x sin 2x sin x 0
  

3)


2 2
sin 2x cos 8x cos10x / 2
 
4)
3 3 5 5
sin x cos x 2(sin x cos x)
  

5)
6 6 8 8
sin x cos x 2(sin x cos x)

  
6)
2
tan2x cot x 8cos x
 

7)
cosxcos4x cos2x cos3x 0
 
8)
4sin2x 3cos2x 3(4sinx 1)
  

Bài 3. Giải phương trình
1)
1 sin xcos2x sin x cos2x
  
2)
3sin x 2cos2x 2 3tan x
  

3)
2(tan x sin x) 3(cot x cosx) 5 0
    
4)
3(cot x cosx) 5(tan x sin x) 2
   

5)
9sin x 6cosx 3sin2x cos2x 8

   
6)
2 3
cos x cosx sin x 0
  

7)
3 3
sin x cos x sin x cos x
  
8)
2sin2x cos2x 7sin x 2cos x 4
   

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 16
Bài 4. Giải phương trình
1)
3
3
7 cot x 2 cot x 3
   
2)
2 2
4
4
10 8cos x 8sin x 1 1
   

3)

3
3
1 cos2x 1 cos2x 2
   
4)
4 4
1 1
cosx cosx 1
2 2
   

5)
3
2 cot x cot x 1 1
   

Bài 5. Giải phương trình
1)
cos2x cos8x cos4x 1
  
2)
sinx 2cosx cos2x 2sinxcosx 0
   

3)
sin2x cos2x 3sinx cosx 2
   
4)
3 2
sin x 2cosx 2 sin x 0

   

5)
3sinx 2cosx 2 3tanx
  
6)
2
3
sin2x 2 cos x 6 cosx 0
2
  

7)
2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4
   
8)
sin3x sin5x
3 5

9)
1
2cos2x 8cosx 7
cosx
   10)
 
8 8 10 10
5
cos x sin x 2 cos x sin x cos2x
4
   

11)
1 sinx cos3x cosx sin2x cos2x
    
12)
1 sinx cosx sin2x cos2x 0
    

13)




2
sin x tanx 1 3sinx cosx sinx 3
   
14)
1 1
2sin3x 2cos3x
sin x cosx
  

15)
3 2
cos x cos x 2sinx 2 0
   
16)
3
cos2x 2cos x sinx 0
  

17)
1
tanx –sin2x cos2x 2(2cosx ) 0
cosx
   
18)
sin2x 1 2cosx cos2x
  
Bài 6. Giải các phương trình lượng giác sau
1)
sinx sin2x sin3x cosx cos 2x cos3x
    
2)
2 2 2 2
sin x sin 2x sin 3x sin 4x
  

3)
2 2 2 2
sin x sin 2x sin 3x sin 4x 2
   
4)
2 2 2
3
cos x cos 2x cos 3x
2
  

5)

sin5x.cos6x sinx sin7x.cos4x
 
6)
1
sin x sin x
3 3 2
 
   
  
   
   

7)
1
sin x cos x
4 12 2
 
   
  
   
   
8)
cosx. cos4x cos5x 0
 

9)
sin6x.sin2x sin5x.sin3x

10)
2 sinx.sin3x 2 cos 2x

 

Bài 7. Giải các phương trình lượng giác sau
1)
2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x
  
2)
2 2 2 2
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 3/ 2
   

3)
2 2 2
sin x sin 3x 3 cos 2x 0
  
4)
2 2
5x 9x
cos3x sin7x 2sin ( ) 2cos
4 2 2

   

5)
2 2 2 2
sin 4x sin 3x cos 2x cos x
   6)
2 2
sin 4x cos 6x sin(10,5 10x)

   
7)
4 4
cos x 5sin x 1
 
8)
3
4sin x 1 3 3cos3x
  


TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 17
Dạng 8 : Đặt ẩn phụ
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau
1)
tan2x 2tan x sin 2x 0
  
2)
2 2
cosx 2 cos x cos x 2 cos x 3
    

3)
5
3sinx cosx 3
3sinx cosx 3
  
 
4)

2
cos x 2 2 cos x 2
  

Dạng 9 : Phương pháp đối lập
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau
1)
3 4
sin x cos x 1
 
2)
2010 2010
sin x cos x 1
 

3)
2 2
3cos x 1 sin 7x
 
4)
sin3x.cos 4x 1


5)
3 3 2
sin x cos x 2 sin 2x
  
6)
cos2x.cos5x 1
 

Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau
1)


3
cos2x cos6x 4 3sin x 4sin x 1 0
    
2)
2
3sin 2x 2sin x 4cosx 6 0
   

3)
2sin 2x cos2x 2 2sin x 4 0
   
4)
2
cos2x 3sin2x 4sin x 2sinx 4 2 3cosx
    

Dạng 11. Phương trình có chứa tham số
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau :
1)
2 2 2
2
a sin x a 2
1 tan x cos2x
 



2)
sin2x 2 2a(sin x cos x) 1 4a 0
    

3)
2
sin2x 2 2a(sin x cos x) 1 6a 0
    
4)
2
4 4
sin 2x
sin x cos x cos2x m 0
4
    

5)
4 4
sin x cos x sin 2x m 0
   
6)
sin2x 4(cosx sin x) m 0
   

7)
sin x 2(m 1)cosx 2m 3 0
    

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau :
1)
1 sin x 1 sin x k cosx
   
2)
2 2
6 6
cos x sin x
mcot x
cos x sin x





BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Giải các phương trình sau
1)
2
(cos2x cos4x) 6 2sin3x
  
2)
1 sin x cosx 0
  

3)
1
( 1 cosx cosx)cos2x sin4x
2
  

4)
sin3x 2cos2x 2 0
  

5)
3(cot x cos x) 5(tan x sin x) 2
   
6)
3 3
3
1 sin 2x cos 2x sin4x
2
  
7)
sin2x
2cos x 0
1 sin x
 

8)
3
2cos x sin3x


TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 18
9)
cos7x 3sin7x 2
  
10)

sin5x
1
5sin x


11)
cot x tan x sin x cosx
  
12)
9sin x 6cosx 3sin2x cos2x 8
   

13)
2
sin x sin x sin x cos x 1
   
14)
1 1
2 2 sin x
4 sin x cosx
 



  




 

Bài 2. giải các phương trình sau
1)
(1 tan x)(1 sin2x) 1 tan x
   
2)
2
4cos x cos3x 6cos x 2(1 cos2x)
   

3)
6 6
sin x cos x 1
 
4)
3x
cos2x cos 2 0
4
  

5)
4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x .tan x
4 4


   

 
 
 
 
 
 
 
 
   
6)
2(sin x cos x) tan x cot x
  

7)
3 3 3 3
sin x sin 2x sin 3x (sinx sin2x sin3x)
    
8)
3 3
3
sin 2xcos6x sin6x cos 2x
8
 

9)
2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
  
10)
5cosx cos2x 2sin x 0

  

11)
2 2
cos x cos 2x 1
 
12)
1 cos2x
2(cosx 1/ 2)
sin x

 
13)
1
3sin x cosx
cosx
  14)
(1 cosx)(1 sin x) 2
  

15)
2
3 4cos x sin x(2sin x 1)
  
16)
2
2
2 2
sin x 2 x
tan

x
2
sin x 4cos
2




Bài 3. Giải các phương trình sau
1)
2
3cos4x 2cos 3x 1
 
2)
1 3cosx cos2x cos3x 2sinxsin2x
   

3)


tanx cotx 2 sin2x cos2x
  
4)
3 2
cos x sin x 3sin x cosx 0
  

5)
2 2 2
3

sin x sin 2x sin 3x
2
  
6)
4 2
cos x sin x cos2x
 

7)
2
5 sin(3 / 2 x) 6tan x
sin x 1 tan x
  


8)
1
cosxcos2xcos4xcos8x
16

9)
1
tanx sin2x cos2x 2(2cosx ) 0
cosx
    
10)
sin3x cos2x 1 sin xcos2x
  

Bài 4. Giải các phương trình sau

1)
1 sinx cosx tanx 0
   
2)
cosxcos4x cos2x cos3x 0
 

3)
2 4
sin 2x cos 2x 1
0
sin xcos x
 

4)
2
cosx 2sin x cos x
3
2cos x sin x 1


 

5)
1
2tan x cot 2x 2sin2x
sin2x
   6)
3 3 5 5
sin x cos x 2(sin x cos x)

  

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 19
7)
sin2x 2 sin(x / 4) 1
  
8)
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x
 

9)
2
1 cos2x
1 cot 2x
sin 2x

  10)
2
(1 sin x) cos x
 

11)
3 3
1
sin x cosx cos xsin x
4
  12)
2(cot 2x cot3x) tan2x cot3x

  

13)
2 2 2
sin 3x sin 2x sin x 0
  
14)
sin4x cos4x 1 4(sin x cosx)
   

Bài 5. Giải các phương trình sau
1)
cos2x 3sin2x 3sinx cosx 4 0
    
2)
6 6
sin x cos x cos4x
 

3)
x
2 cosx 2tan
2
 
4)
1
sin3x sin2x sin x 0
3
  

5)
3
4sin x 1 3sin x 3cos3x
  
6)
2sin x cot x 2sin2x 1
  

7)
6 6 2
13
cos x sin x cos 2x
8
 
8)
1 3tan x 2sin2x
 

9)
4 4
sin x cos x 1
(tan x cot x)
sin2x 2

 
10)
3
4cos x 3 2 sin2x 8cosx
 

11)
sin xcos x 2sin x 2cosx 2
  
12)
3 3
1 cos x sin x sin2x
  

13)
tan x 3cot x (4sin x 3cosx)
  
14)
4 3sin x cosxcos2x sin8x


Bài 6. Giải các phương trình sau
1)
2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
  
2)
8 8 10 10
5
sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x
4
   

3)

2
3sin2x 2c osx 2 2 2cos2x
  
4)
3
4cos x 3 2 sin2x 8cosx
 

5)
3(sin x tan x)
2cosx
tan x sin x



6)
4 7
sin x cos x 1
 

7)
3 3 4
sin x cos x 2 sin x
  
8)
2 2
cos3x 2 cos 3x 2(1 sin 2x)
   

9)

tan x tan2x sin3xcos2x
  
10)
3sin x |cosx | 2 0
  

11)
2
sin2x(cot x tan2x) 4cos x
 
12)
2 2(sin x cos x)cosx 3 cos2x
  

13)
3 3
sin x cos x sin2x sin x cos x
   
14)
4 6
cos x cos 2x 2sin x 0
  

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 20
LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH
Khối A - 2002: Tìm nghiệm thuộc (0;2 ) của phương trình:

cosx sin3x
5 sin x cos2x 3
1 2sin 2x

 
  
 

 

Khối B - 2002: Giải phương trình sau
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
  

Khối D -2002: Tìm nghiệm thuộc [0;14] của phương trình
cos3x 4cos2x 3cosx 4 0
   

Khối A-2003: Giải phương trình
2
cos2x 1
cot x 1 sin x sin2x
1 tan x 2

   


Khối B - 2003: Giải phương trình
2
cot x tan x 4sin 2x
sin2x
  
Khối D - 2003: Giải phương trình
2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2

 
  
 
 

Khối B - 2004: Giải phương trình
2
5sin x 2 3(1 sin x)tan x
  
Khối D - 2004: Giải phương trình
(2cosx 1)(2sinx cosx) sin2x sin x
   

Khối A -2005: Giải phương trình
2 2
cos 3x.cos2x cos x 0

 

Khối A -2006: Giải phương trình
6 6
2(sin x cos x) sin xcosx
0
2 2sin x
 



Khối B -2006: Giải phương trình
x
cot x sin x 1 tan x tan 4
2
 
  
 
 

Khối D -2006: Giải phương trình
cos3x cos2x cosx 1 0
   

Khối A -2007: Giải phương trình
2 2
(1 sin x)cos x (1 cos x)sin x 1 sin2x
    

Khối B -2007: Giải phương trình

2
2sin 2x sin7x 1 sin x
  

Khối D - 2007: Giải phương trình
2
x x
sin cos 3 cos x 2
2 2
 
  
 
 

Khối A - 2008: Giải phương trình
1 1 7
4sin x .
3
sin x 4
sin x
2

  


 
 
 
 
 

 

Khối B - 2008: Giải phương trình
3 3 2 2
sin x 3cos x sin x cos x 3sin x cosx.
  

Khối D - 2008: Giải phương trình
2sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 2cosx.
   

Khối A - 2009: Giải phương trình
(1 2sin x)cos x
3
(1 2sin x)(1 sinx)


 

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 21
Khối B - 2009: Giải phương trình
3
sinx cosx sin 2x 3cos3x 2(cos4x sin x).
   

Khối D - 2009: Giải phương trình
3cos5x 2sin3x cos2x sinx 0.
  

Khối A - 2010: Giải phương trình
(1 sinx cos2x)sin x
1
4
cosx.
1 t anx
2

 
  
 
 



Khối B - 2010: Giải phương trình
(sin 2x cos2x)cos x 2cos2x sinx 0.
   

Khối D - 2010: Giải phương trình
sin 2x cos2x 3sin x cosx 1 0.
    

TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 22
Chương 2
TỔ HỢP – XÁC SUẤT

A. TỔ HỢP

I. Qui tắc đếm
1. Qui tắc cộng:
Một cơng việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu
phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và khơng trùng với
bất kì cách nào trong phương án A thì cơng việc đó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
Một cơng việc nào đó có thể bao gồm hai cơng đoạn A và B. Nếu cơng đoạn A có m cách

thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện cơng đoạn B thì cơng việc đó có
m.n cách thực hiện.
Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có
2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành
phố D có 3 con đường. Khơng có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi
có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS: có 12 cách.
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2.10
8
, chia hết cho 3, có thể được viết bởi
các chữ số 0, 1, 2?
ĐS: có 2.3
7
– 1 = 4374 – 1 = 4373 (số)
Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
ĐS: a) 6
6
b) 6! c) 3.5! = 360
Bài 4: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về).
Hỏi có bao nhiêu trận đấu?
ĐS: có 25.24 = 600 trận
Bài 5: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số
theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó khơng thay đổi).
ĐS: số cần tìm có dạng:
abcba
 có 9.10.10 = 900 (số)
Bài 6: a/ Một bó hoa gồm có: 5 bơng hồng trắng, 6 bơng hồng đỏ và 7 bơng hồng vàng. Hỏi

có mấy cách chọn lấy 1 bơng hoa?
b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác
nhau?
ĐS: a/ 18. b/ 15.
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 23
Bài 7: a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa
thì giống nhau?
e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
ĐS: a/ 3125. b/ 168. c/ 20 d/ 900. e/ 180000.
Bài 8: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi
đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao
nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các
bài hát là như nhau?
ĐS: 36
Bài 9: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu
vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
b/ Đã chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt màu vàng?
ĐS: a/ 35. b/ 29.
Bài 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng:
a/
x A, y A
 
b/
{x, y} A


c/
x A, y A và x y 6
   
.
ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 5 cặp.
Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số ngun dương lớn hơn 1. Có bao
nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y), biết rằng:
x A, y A, x y
  
.
ĐS:
n(n 1)
.
2


Bài 12: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:
a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau?
c/ Số lẻ gồm 2 chữ số? d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?
e/ Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại? f/ Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại chia hết cho
5?
ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 15 d/ 8. e/ 120. f/ 24
Bài 13: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a/ Khác nhau?
b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
ĐS: a/ 100. b/ 60. c/ 36 d/ 52. e/ 48.
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh

TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 24
Bài 14: a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau
nhỏ hơn 400?
b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm
trong khoảng (300, 500).
ĐS: a/ 35. b/ 24.
Bài 15: Một trường phổ thơng có 12 học sinh chun tin và 18 học sinh chun tốn. Thành
lập một đồn gồm hai người sao cho có một học sinh chun tốn và một học sinh
chun tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đồn như trên?
Bài 16: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ơng và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc
ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.
Bài 17: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho
hai viên bi cùng màu khơng được ở gần nhau.
II. Hốn vị
1. Giai thừa
n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1
n! = (n – 1)!n

n!
p!
= (p +1).(p +2)…n (với n>p)

n!
(n p)!

= (n – p + 1).(n – p + 2)…n (với n > p)
2. Hốn vị (khơng lặp)
Một tập hợp gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào
đó được gọi là một hốn vị của n phần tử.
Số các hốn vị của n phần tử là: P

n
= n!
3. Hốn vị lặp
Cho k phần tử khác nhau:
1 2 k
a , a , , a
 Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n
1

phần tử a
1
, n
2
phần tử
2 k
a , , n
 phần tử


k 1 2 k
a n n n n
   
theo một thứ tự nào
đó được gọi là một hốn vị lặp cấp n và kiểu


1 2 k
n , n , , n

của k phần tử.

Số các hốn vị lặp cấp n, kiểu


1 2 k
n , n , , n
 của k phần tử là:
 
n 1 2 k
1 2 k
n!
P n , n , , n
n !n ! n !
 
4. Hốn vị vòng quanh
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được
gọi là một hốn vị vòng quanh của n phần tử.
Số các hốn vị vòng quanh của n phần tử là: Q
n
= (n – 1)!
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
A =
6! 1 (m 1)! m.(m 1)!
. .
(m 2)(m 3) (m 1)(m 4) (m 5)!5! 12.(m 4)!3!
 
 

 
     
 

(với m  5)
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 25
B =
7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7!
 

 
 
C =
5! (m 1)!
.
m(m 1) (m 1)!3!

 

ĐS: A = – 4(m–1)m; B =
2
3
; C = 20
Bài 2. Chứng minh rằng
a) P
n
– P
n–1
= (n–1)P
n–1
b)
n n 1 n 2 2 1

P (n 1)P (n 2)P 2P P 1
 
       

c)
1 1 1 1
1 3
1! 2! 3! n!
     
d)
2
n 1 1
n! (n 1)! (n 2)!
 
 

Bài 3. Giải phương trình
x! (x 1)! 1
(x 1)! 6
 



ĐS: x = 2; x = 3
Bài 4. Giải bất phương trình:
1 5 (n 1)! n.(n 1)!
. 5
n 2 n 1 (n 3)!4! 12(n 3).(n 4)!2!
 
 

 
 
    
 
(1)
ĐS: (1) 
(n 1)n
5
6


 n = 4, n = 5, n = 6
Bài 5. Giải các phương trình:
a) P
2
.x
2
– P
3
.x = 8 b)
x x 1
x 1
P P
1
P 6





ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3
Bài 6. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong
các số đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Khơng bắt đầu bằng chữ số 1?
c) Bắt đầu bằng 23? d) Khơng bắt đầu bằng 345?
ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!

Bài 7. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong
các số đó có bao nhiêu số:
a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Khơng bắt đầu bởi chữ số 1?
c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Khơng bắt đầu bởi 135?
ĐS: a/ 24. b/ 96. c/ 6 d/ 118.
Bài 8. Với mỗi hốn vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả
các số tự nhiên có được từ các hốn vị của 7 phần tử trên?
ĐS: Với mọi i, j 


1,2,3,4,5,6,7
, số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!.
 Tổng tất cả các số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).10
6
= 6! (1+2+…+7).(1+10+…+10
6
)
Bài 9. Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hốn vị của 6 chữ số
1, 2, 3, 4, 5, 6.
ĐS: 279999720.