Mô hình phục vụ đán đông - Lê Viết Sơn

BÀI THUYẾT TRÌNH MÔ HÌNH
TOÁN KINH TẾ
Đề tài : Mô hình phục vụ đám đông
TÁC GIẢ: LÊ VIẾT SƠN
GVHD: Ths Nguyễn Vũ Tiến
Mô hình phục vụ đám đông
1. Các đặc trưng cơ bản của hệ thống phục vụ
đám đông
2. Hệ thống phục vụ đám đông có từ chối cổ
điển
3. Hệ thống chờ với độ dài hàng chờ
4. Các bài toán phục vụ trong các hệ thống phục
vụ
I.Các đặc trưng cơ bản của hệ thống phục vụ
đám đông
1 .Sơ đồ chung của hệ thống phục vụ đám đông
Trong nhiều trường hợp bài toán ứng dụng sơ đồ có dạng sau:
Có một dòng yêu cầu các hệ thống xếp thành hàng , các thiết bị của hệ thống
phục vụ các yêu cầu,các yêu cầu đi ra khỏi hệ thống trong dạng như dòng vào.

Yêu cầu Hàng chờ Dòng được phục vụ
* * * * [ * * * * * ] * * * * *

Yêu cầu không thỏa mãn

2.Phân loại dòng vào
a.Dòng vào tiền định: Các yêu càu đi đến hệ thống tại các thời điểm cách đều
nhau một khoảng bằng a. Rõ ràng là hàm phân bố sự kéo dài của các khoảng thời
gian giữa các thời điểm liên tiếp của việc đi tới các yêu cầu có dạng:
F (x) = ; 0 < a <
b.Dòng vào Poisson : Ở đó việc đi đến của các yêu cầu ứng với quá trình

Poisson với tham số ʎ (0 <ʎ< ) và xác suất để có n yêu cầu đi tới trong khoảng
thời gian (0, t) được phân bố theo luật Poisson dừng(nghĩ là mật độ dòng không
đổi (t)= ʎ(t) được tính theo công thức:
(n=1,2,… )
Trong đó tham số ʎ xác định cường độ của dòng yêu cầu và bằng số trung bình
các yêu cầu đi đến hệ thống trong một đơn vị thời gian.
•

3.Kênh phục vụ
Tập hợp một số điều kiện vật chất(thiết bị, thông tin) có chức năng thỏa mãn
một loại yêu cầu nào đó gọi là kênh phục vụ. Các thiết bị phục vụ(các kênh)
của hệ thống được chia ra thành các hệ một kênh và nhiều kênh.Ta giả thiết
rằng tất cả các thiết bị của nhiều kênh hoàn hoàn toàn đồng nhất và làm việc
không phụ thuộc nhau giữ vẫn nhịp độ phục vụ và việc kéo dài xếp hàng của
đám đông không làm ảnh hưởng đến chúng. Ta xét phân bố lũy thừa(mũ) của
thời gian phục vụ bởi thiết bị℥
F(t)=P= 1- (1.3)
Trong đó: v là đại lượng hằng số, tỷ lệ nghịch với thời gian trung
bình phục vụ ( t= ), hoặc v bằng trung bình số các yêu cầu được thiết bị phục
vụ trong 1 đơn vị thời gian.
Chú ý: công thức 1.3 không phụ thuộc vào việc nó đã kéo dài trong bao lâu
•

4.Phân loại các hệ thống phục vụ
Trong các bài toán phục vụ đám đông xuất hiện cả vấn đề kỷ luật
xếp hàng. Nếu trong hệ thống không có xếp hàng thì yêu cầu đến
được phục vụ ngay bởi bất cứ thiết bị nào. Khi có xếp hàng thì có
các dạng khác nhau của ky luật xếp hàng. Đơn giản và tự nhiên
nhất phục vụ theo thứ tự xếp hàng là “ai đến trước thì được phục vụ
trước” nhưng có thể xảy ra trường hợp có sự ưu tiên của một vài

yêu cầu so với các yêu cầu khác, nghĩa là chúng được phục vụ
không theo xếp hàng,chẳng hạn điện thoại giữa các thành phố được
ưu tiên hơn điện thoại trong thành phố.
Vì dòng vào các yêu cầu và thời gian phục vụ chúng là ngẫu nhiên nên
có thể xảy ra tình huống là tất cả các thiết bị trong hệ thống đều
bận.Trong trường hợp này yêu cầu hoặc bị xóa bỏ( rời khỏi hệ thống)
hoặc xếp vào hàng. Các hệ thống loại thứ nhất gọi là hệ thống với các
từ chối, các hệ thống loại thứ hai gọi là hệ thống chờ đợi.
Ví dụ: hệ thống có chờ đợi là các đơn vị phục vụ sinh hoạt.
Các hệ thống có chờ đợi được phân chia theo cách tổ chưc
xếp hàng:
Các hệ thống với thời gian chờ đợi không hạn chếcuar các
yêu cầu
Các hệ thống mà đối với chúng sự xếp hàng bị giới hạn bởi
chỗ xếp hàng.
Các hệ thống với thời gian chờ đợi hữu hạn, hoặc ngẫu
nhiên
5, Trạng thái của hệ thống
a) Trạng thái hệ thống và quá trình chuyển trạng thái
•
Trạng thái của hệ thống phục vụ, ký hiệu là (t), là khả năng kết hợp dòng
vào và dòng
•
Ta gọi tập hợp hay một số đặc trưng mà trên cơ sở đó có thể phân biệt sự
tồn tại của hệ thống trong những tình trạng khác nhau tại một thời điểm là
trạng thái của hệ thống , kí hiệu là (t)
•
Việc hệ thống tồn tại ở một trạng thái cụ thể là một biến cố ngẫu
nhiên nên tương ứng với mỗi trạng thái có một giá trị xác xuất
gọi là xác suất trạng thái của hệ thống, kí hiệu là (t)

•
Sau một thời gian hệ thống có thể chuyển từ trạng thái (t) đến
trạng thái (t + ) nhờ sự tác động của các yếu tố ngẫu nhiên nào đó. Ta gọi
xác suất của sự kiện đó là xác suất chuyển trạng thái. Ta kí hiệu cường độ
của dòng biến cố làm cho hệ thống chuyển từ (t) đến (t + ) là (t).
•

b) Sơ đồ trạng thái và hệ phương trình trạng thái
Người ta dung một sơ đồ mô tả toàn bộ các trạng thái và quá trình chuyển trạng thái của
hệ thống:



Nhờ sơ đồ chuyển đổi đổi trạng thái có thể thiết lập hệ phương trình trạng thái cho phép
xác định các xác suất trạng thái.
Đạo hàm bậc nhât theo thời gian của xác xuất trạng thái (t) bằng tổng của một số số
hạng;Mỗi số hạng là tích của cường độ dòng biến cố với xác suất trạng thái (dấu + nếu
mũi tên đi tới, dấu – ngược lại)

=(t) - (t)

Với điều kiện chuẩn là =1
Điều kiện chuẩn thể hiện tập hợp (t) là một nhóm đầy đủ các biến cố, tức là tại một thời
điểm hệ thống phải tồn tại ở một và chỉ một trạng thái nói trên.
•

𝑋𝑋(t) Xj(t+∆t)
3) Quá trình hủy và sinh – lời giải của hệ phương trình trạng thái
a)Phương trình trạng thái:
Với sơ đồ trạng thái trên, nên ta có hệ phương trình trạng thái:

= +
= - + +
…………………………………………………………………………………
= - + +
Với điều kiện chuẩn là :
Trong trường hợp hệ dừng ta có hệ phương trình sau:
0= +
0= - + +
…………………………………………………………………… (1.1)
0= - + +
………………………………………………………………………………………
Với điều kiện chuẩn là:
•

b)Lời giải của hệ (1.1)
Nếu đặt = +
Thì hệ (1.1) trở thành:


Nghiệm của hệ là
Từ đó â có thể đưa ra công thức tính các xác suất như sau:



•

Công thức này sẽ được sử dụng làm giảm nhẹ việc giải hệ
phượng trình trạng thái các hệ thống phục vụ công cộng trình bày
trong chương này. Trong đó và , (v là con số trung bình các yêu
cầu được một thiết bị hay kênh phục v).

Nếu đặt là số thiết bị cần thiết để phục vụ thì
(1.2)
•

6.Các tiêu chuẩn chất lượng của hệ thống phục vụ đám đông:
Bài toán cơ bản của lý thuyết phục vụ đám đông là xác định tính hiệu quả của hệ
thống phục vụ. Hiệu quả hoạt động của hệ thống phục vụ được đặc trưng bởi một
số lớn các tiêu chuẩn chất lượng khác nhau:
-Xác suất phải loại yêu cầu trong hệ thống phục vụ (xác suất từ chối) ký hiệu là :
= (1.3)
-Xác suất của sự kiện là việc phục vụ các yêu cầu trong hệ thống bị bận k thiết
bị.
-Con số trung bình các thiết bị bận
(1.4)
-Con số trung bình các thiết bị rỗi
(1.5)
-Hệ thống rỗi (bỏ trống) của các thiết bị
(1.6)
-Hệ số bận của các thiết bị
(1.7)
•

II.Hệ thống phục vụ đám đông có từ chối cổ điển (Hệ
thống ERLANGO)
1. . Mô tả hệ thống
•.
Hệ thống phục vụ đám đông có n kênh phục vụ, năng suất các
kênh bằng nhau và bằng v, dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng
Poisson dừng mật độ ʎ . Thời gian phục vụ 1 yêu cầu của
kênh tuân theo quy luật số mũ.

•.
Nguyên tắc phục vụ của hệ thống như sau: mỗi yêu cầu đến hệ
thống gặp lúc có ít nhất một kênh rỗi thì được nhận vào phục
vụ tại một kênh rỗi bất kỳ, ngược lại thì bị từ chối và phải đi ra
khỏi hệ thống.
2.Quá trình thay đổi trạng thái và sơ đồ trạng thái của hệ
thống
a.Trạng thái:
Gọi X_k (t) là trạng thái hệ thống có k kênh bận tại thời điểm t(k=1,2,….,n)
Chú ý: Chế độ phục vụ của hệ thống Erlango số kênh bận cũng chính là số
yêu cầu đang được phục vụ tại t.
b.Sơ đồ chuyển trạng thái:
Sơ đồ thiết lập trên cơ sở phân tích tính chất của các dòng Poisson dừng như
sau:
-Nhờ tính đơn nhất của dòng yêu cầu mà khi hệ thống ở trạng thái nó chỉ có
thể chuyển đến trạng thái , không thể chuyển thẳng đến trạng thái .
•

- Nhờ tính không hậu quả của các dòng biến cố nêu trên mà
cường độ của các dòng biến cố không phụ thuộc vào trạng thái
của hệ thống khi nó tác động đến.
- Với tính chất dừng ta có mật độ dòng yêu cầu không đổi, cũng
như vậy mật độ dòng phục vụ chỉ phụ thuộc vào số kênh đang
phục vụ.
- Những phân tích trên cũng ứng dụng cho việc lập sơ đồ chuyển
trạng thái của các hệ thống thống tương tự, vì vậy với các hệ
thống sau ta sẽ không ngắc lại.
3 Hệ phương trình trạng thái và các xác suất trạng thái
0 = +
0 =

…………………………………………………………… (2.1)
0 =
0 =
Với điều chỉnh chuẩn là:
Đặt từ (1.2)ta có: (2.2)
•

Thay vào điều kiện chuẩn ta có:
(2.3)
Ký hiệu P( là xác suất đại lượng ngẫu nhiên phân phối
Poisson nhận giá trị k và R( là xác suất tích lũy tương ứng ta
có:
Từ đó : = (2.4)
Các giá trị P( và R( được tính trong bảng giá trị phân phối
Poisson(Xem bảng 1)
•

4.Các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của hệ thống
Đới với hệ thống này các chỉ tiêu cơ bản đánh giá hệ thống là:
*Xác suất hệ thống có n kênh rỗi (nghĩa là số kênh phục vụ = 0):
*Xác suất hệ thống có n kênh bận (hay xác suất một yêu cầu đến
hệ thống bị từ chối ):
•

Đây cũng là hiệu suất lý thuyết tối đa của hệ thống
*Xác suất phục vụ(xác suất 1 yêu cầu đến hệ thống được nhận
phục vụ) là , đó là tỷ lệ các đối tượng được hệ thống tiếp nhân
và phục vụ.
*Số kênh bận trung bình(hay số yêu cầu trung bình có trong hệ
thống):

= ==
=
*Số kênh rỗi trung bình:
*Hệ số bận(rỗi):
•

III.Hệ thống chờ với độ dài hàng chờ và thời gian hạn
chế
1. Mô tả hệ thống
•
Hệ thống phục vụ có n kênh phục vụ, năng suất các kênh bằng
nhau và bằng v, dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng Poisson
dừng mật độ ʎ .Thời gian phục vụ 1 yêu cầu của kênh tuân
theo qui luật số mũ.
•
Nguyên tắc phục vụ: Một yêu cầu đến hệ thống gặp lúc ít nhất
có 1 kênh rỗi thì được nhận phục vụ cho đến thỏa mãn tại 1
trong các kênh rỗi đó. Ngược lại nếu tất cả các kênh đều bận
thì xếp hàng chờ bé hơn m. Cần xác định các chỉ tiêu phân tích
hệ thống
2. Quá trình thay đổi trạng thái và sơ đồ trạng thái của hệ thống
a.Trạng thái:
Ta quan tâm đến hiệu quả phục vụ của hệ thống vì vậy đặc trưng
được chọn để xác định trạng thái là số kênh bận tại mỗi thời điểm.
Gọi là trạng thái hệ thống có k kênh bậntại thời điểm t (k=1,2,
….,n)
là trạng thái hệ thống có n kênh bận và s yêu cầu chờ tại thời
điểm t (s=1,2,….,m).
b.Sơ đồ chuyển trạng thái
Sơ đồ được thiết lập trên cơ sở phân tích tính chất của các dòng

Poisson như đã nói ở hệ thống Erlango.
•

c.Hệ phương trình trạng thái và các xác suất trạng thái
0 = +
0 =
…………………………………………………………………………
……
0 =
……………………………………………………………(3.1)
0 =
…………………………………………………
0 =
……………………………………………………
0 =
Với điều kiện chuẩn là: . Đặt . Từ (3.1) ta có với k < n
•


(3.2)
Từ điều kiện chuẩn ta tính được:
(3.3)
với k (3.4)
•

Độ dài trung bình của hàng
M= (3.7)
Con số trung bình k các yêu cầu có mặt trong hệ thống (hoặc
đang được phục vụ, hoặc ở trong hàng bằng:
K= (3.8)

Con số trung bình các thiết bị rỗi:
(3.9)
Luật phân bố độ dài chờ đợi của yêu cầu cho tới khi được phục
vụ cho bởi công thức:
P (3.10)
•