(LUẬN án TIẾN sĩ) về nghiệm của một số lớp phương trình vi tích phân tự tham chiếu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Thanh Lan

VỀ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN
TỰ THAM CHIẾU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Hà Nội - 2016

TIEU LUAN MOI download :


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Thanh Lan

VỀ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN
TỰ THAM CHIẾU
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. Hướng dẫn chính: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn

2. Hướng dẫn phụ: GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2016

TIEU LUAN MOI download :


Lời cam đoan

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh và PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn.
Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai cơng
bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Thanh Lan

1

TIEU LUAN MOI download :


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tơi kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến
GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh và PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn. Các Thầy hướng
dẫn tôi rất tận tình, ln động viên, chỉ bảo, cho tơi những lời khun vơ cùng
bổ ích và những góp ý vơ cùng q báu, cũng như hỗ trợ kinh phí trong suốt
q trình tơi học nghiên cứu sinh.
Tơi cũng kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TSKH. Vũ
Hồng Linh và Ban Chủ Nhiệm Khoa Tốn - Cơ - Tin học đã tạo mọi điều

kiện làm việc tốt nhất trong suốt q trình học của tơi.
Tơi kính gửi lời cảm ơn đến PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh, PGS.TS. Nguyễn
Hữu Điển, TS. Nguyễn Trung Hiếu và các Thầy, Cô trong Bộ mơn Tốn học
Tính Tốn đã cho tơi nhiều góp ý q báu để luận án của tơi được tốt hơn.
Tơi kính gửi lời cảm ơn chân thành đến GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu đã
luôn động viên tôi trong suốt q trình tơi học tập ở đây. Thầy cũng là người
đã tài trợ kinh phí trong thời gian đầu tơi ra Hà Nội học tập.
Tơi kính gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau đại học của Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên thuộc Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong
suốt q trình tơi học tập tại đây.
Tơi kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Trường Đại học Sài
Gòn đã hỗ trợ về mặt kinh phí và tạo điều kiện về thời gian cho tơi đi học
nghiên cứu sinh.
Tơi kính gửi lời cảm ơn đến PGS.TS. Phạm Hoàng Quân và Ban Chủ
nhiệm Khoa Tốn ứng dụng Trường Đại học Sài Gịn đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tơi trong việc hồn thành chương trình học.
Tơi cũng chân thành cảm ơn TS. Vũ Tiến Dũng (Bộ môn Tin học), TS.
Vũ Nhật Huy (Bộ mơn Giải tích), NCS Đặng Văn Hiếu, NCS Phạm Thị Thảo
đã hỗ trợ và cho tơi những góp ý quý báu để luận án của tôi được tốt hơn.
Cuối cùng tơi xin chân thành cảm ơn gia đình và bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến Mẹ và chồng, những người luôn hỗ trợ, chia sẻ công việc gia đình và
khơng ngừng động viên tơi, cho tơi n tâm học hành trong suốt quãng thời
gian làm nghiên cứu sinh ở Hà Nội. Và tơi kính xin dành tặng thành quả này
2

TIEU LUAN MOI download :


đến người Cha kính u đã khuất của tơi. Một người mà dù khó khăn đến đâu
cũng ln mỉm cười, chia sẻ, khích lệ và tạo điều kiện hết sức có thể cho tơi

được học hành đến nơi đến chốn trong suốt qng đời của mình.
Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do kiến thức của bản thân còn nhiều hạn
chế nên luận án khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự
chỉ bảo của Quý Thầy, Cơ và sự góp ý chân thành của các bạn khi đọc luận
án này. Tôi xin chân thành cảm ơn.
NCS. Nguyễn Thị Thanh Lan

3

TIEU LUAN MOI download :


Danh mục các ký hiệu
và chữ viết tắt
∂
∂t u(x,t)
∂2
u(x,t)
∂t 2

Đạo hàm riêng cấp một của hàm u(x,t) theo biến t.

R × [0, T0 ]

Tích Descartes của R và [0, T0 ].

R × [0, +∞)

Tích Descartes của R và [0, +∞).

Đạo hàm riêng cấp hai của hàm u(x,t) theo biến t.

f

∞

f

∞

= supx∈[a,b] | f (x)|, với f là hàm bị chặn trên [a, b].

f

0

f

0

= maxx∈[a,b] | f (x)|, với f : [a, b] → R là hàm liên tục.

C([−1, 1], [−1, 1]) Không gian các hàm liên tục f : [−1, 1] → [−1, 1].
C([−1, 1], R)

Không gian các hàm liên tục f : [−1, 1] → R.

Lip(R, R)

Không gian các hàm thực liên tục Lipschitz trên R.

l.s.c

Nửa liên tục dưới.

max{T0 , T1 }

Giá trị lớn nhất trong hai giá trị T0 , T1 .

4

TIEU LUAN MOI download :


Mục lục
Trang
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Mở đầu

7

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2. Điểm bất động của ánh xạ phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3. Phương trình vi phân tự tham chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Chương 2. Phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1. Hệ phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.2. Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2. Hệ phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu có trọng . . . . . . .

37

2.2.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.2. Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2.3. Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.3. Bài tốn giá trị biên cho phương trình vi phân tự tham chiếu . . . .

54

2.3.1. Thiết lập sự tồn tại nghiệm bằng Định lý Schauder . . . . . . .

55

2.3.2. Sử dụng dãy lặp để chứng minh sự tồn tại nghiệm . . . . . . . .

57

5

TIEU LUAN MOI download :


2.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Chương 3. Phương trình vi phân cấp hai tự tham chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.2. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Danh mục cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

.. . .

76

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

6

TIEU LUAN MOI download :


Mở đầu
Lý thuyết phương trình vi-tích phân có ứng dụng rộng rãi trong nhiều
ngành khoa học như Vật lí, Cơ học, Sinh học, . . . và đã được các nhà tốn học
nghiên cứu bằng các cơng cụ thích hợp. Tuy nhiên, trong thực tế ứng dụng,
có những loại phương trình vi-tích phân phi tuyến mà hàm phải tìm lại là biến
của chính nó, được gọi là các phương trình vi-tích phân tự tham chiếu. Luận
án tập trung khảo sát các lớp phương trình vi-tích phân như thế.
Các phương trình vi-tích phân tự tham chiếu có cấu trúc đặc biệt, có độ
phi tuyến cao, nên sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm cũng như các
phương pháp tìm nghiệm gần đúng của chúng không suy ra được từ những
kết quả đã biết trong lý thuyết phương trình vi phân thường. Một trong các
mơ hình thú vị, thu hút sự chú ý của nhiều nhà tốn học, là các phương trình

vi-tích phân ứng dụng trong di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu. Mơ hình
này được Miranda và Pascali [14] mơ tả dưới dạng phương trình tốn tử như
sau: Cho X,Y là các không gian hàm, và giả sử A : X → Y, B : X → Y là các tốn
tử. Xét phương trình
(Au)(x,t) = u (Bu)(x,t),t ,

(0.1)

trong đó u = u(x,t) là hàm cần tìm thỏa mãn điều kiện đầu tại t = 0, (x,t) ∈
R × [0, +∞), A và B là các tốn tử từ khơng gian hàm X vào không gian hàm Y.
Mối quan hệ giữa X và Y phụ thuộc vào việc A, B là tốn tử vi phân hay tích
phân. Bu được xem như toán tử di truyền, được biểu diễn dưới dạng vi phân
hoặc tích phân, chẳng hạn như
t

(Bu)(x,t) =

u(x, s)ds,
0

7

TIEU LUAN MOI download :


và (0.1) được xem là một mơ hình của di truyền học.
Mơ hình (0.1) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Cơng trình quan
trọng đầu tiên về phương trình vi-tích phân tự tham chiếu được Volterra [26]
cơng bố vào năm 1962.
Khi A là toán tử vi phân và B là toán tử đồng nhất, sử dụng định lý điểm bất

động Banach, ở [7], tác giả đã nhận được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm
của phương trình
x (t) = x(x(t)),

(0.2)

với x(t0 ) = x0 , trong đó (t0 , x0 ) là một cặp số thực cho trước bất kỳ.
Tiếp theo đó, có rất nhiều kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này. Cụ thể như
sau.
Trong [18], các tác giả đã nghiên cứu phương trình tổng quát hơn (0.2) có
dạng
x (z) = x(az + bx(z)),

(0.3)

trong đó a = 1 và b = 0 là các số phức, và x : C → C là hàm biến phức cần tìm.
Ở đây, các tác giả sử dụng phương pháp chuỗi hội tụ để chứng minh sự tồn
tại duy nhất nghiệm của bài toán (0.3).
Trong trường hợp a = 0 và b = 1, phương trình (0.3) trở thành phương trình
(0.2) và sự tồn tại nghiệm dưới dạng giải tích cũng được chứng minh bằng
định lí điểm bất động Banach.
Khi b = 0 thì (0.3) trở thành phương trình
x (z) = x(az).

(0.4)

Nếu |a| ≤ 1 thì phương trình (0.4) có nghiệm là (xem [8])
a(n(n−1)/2) n
x(z) = ∑
z .

n!
n=0
∞

Khi a = 1 và b = 0, nghiệm dưới dạng giải tích của phương trình (0.3) có
−a)
thể được xây dựng trong một lân cận nào đó của số phức (β
(1−a) , trong đó β
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
(H1) 0 < |β | < 1; hoặc

8

TIEU LUAN MOI download :


(H2)

|β | = 1, với β không là căn bậc hai của đơn vị và
log

1
|β n − 1|

≤ µ log n, n = 2, 3, . . . ,

trong đó µ > 0.
Kỹ thuật để tìm các nghiệm trên như sau: đầu tiên các tác giả tìm nghiệm
chuỗi lũy thừa của bài toán giá trị đầu




y (β z) = 1 y (z) y(β 2 z) − ay(β z) + a ,
β


y(0) =

(0.5)

β −a
1−a .

Tiếp theo, các tác giả chứng minh
1
a
x(z) = y β y−1 (z) − z,
b
b

(0.6)

là một nghiệm dưới dạng giải tích của (0.3) trong một lân cận nào đó của
như trong định lý dưới đây.

β −a
1−a

Định lý 0.1 (xem [18]). Giả sử số phức β thỏa mãn giả thiết (H1) hoặc (H2). Khi đó,
phương trình (0.3) có nghiệm dưới dạng giải tích x(z) được biểu diễn bởi (0.6) trong

−a)
một lân cận nào đó của (β
(1−a) , trong đó y(z) là một nghiệm giải tích của phương trình
(0.5). Hơn nữa, khi (H1) thỏa mãn, tồn tại hằng số dương M sao cho
|x(z)| ≤

1
|b|

β −a
1
+
1−a
2M

+

a
|z|,
b

−a)
trong một lân cận nào đó của (β
(1−a) ; và khi (H2) thỏa mãn, tồn tại hằng số dương δ
sao cho
β −a
1 ∞ 1
a
1
|x(z)| ≤

+ ∑ 2δ + |z|, Q = 25δ +1 ,
|b| 1 − a
Q n=1 n
b

trong một lân cận nào đó của

(β −a)
(1−a) .

Sau đó, các tác giả đã thiết lập một nghiệm dưới dạng giải tích của (0.3)
bằng biểu thức (0.6).
Ngồi ra, trong [28], các tác giả đã nghiên cứu phương trình
αz + β x (z) = x(az + bx (z)),

9

TIEU LUAN MOI download :

(0.7)


trong đó α, β , a, b cũng là các số phức.
Các nghiên cứu về lĩnh vực này có thể tham khảo thêm trong các cơng
trình ([10], [19] − [25], [27]) và những tài liệu trong đó.
Trong [24], Stanek đã nghiên cứu phương trình
x (t) = x(x(t)) − bx(t), b ∈ (0, 1).

(0.8)

Stanek đã chứng minh được rằng nghiệm bất kỳ của phương trình (0.8) hoặc
bằng 0, hoặc đơn điệu thực sự. Đồng thời, tác giả còn chứng minh được sự
tồn tại duy nhất nghiệm của (0.8) thỏa mãn điều kiện x(t0 ) = t0 .
Trong [23], bằng phương pháp tương tự như trong [24], Stanek tiếp tục
nghiên cứu về các tính chất tồn cục của nghiệm giảm đối với phương trình
(0.8).
Tương tự như trên, tác giả [25] nghiên cứu về các nghiệm cực đại của
phương trình vi phân hàm
u(t)u (t) = ku (u(t)) ,

(0.9)

với 0 < |k| < 1. Ở đây u : I ⊂ R → R là hàm thực chưa biết. Tác giả đã chứng
minh các tính chất của các nghiệm cực đại phụ thuộc vào các tham số k trong
hai trường hợp riêng biệt k ∈ (−1, 0) và k ∈ (0, 1). Vấn đề này cũng đã từng
được Stanek trình bày trong các cơng trình trước đó ([19]-[24]).
Nhóm nghiên cứu Miranda, Pascali, Si, Wang, Cheng cũng có nhiều kết
quả nghiên cứu về vấn đề này (xem [11, 12, 18, 27, 28]).
Trong [14], Miranda và Pascali đã chứng minh được sự tồn tại và tính duy
nhất nghiệm địa phương của các bài toán giá trị đầu sau đây:



 ∂ u(x,t) = u
∂t

t
0 u(x, s)ds,t

, t ≥ 0, x ∈ R

(0.10)



u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R,



 ∂ u(x,t) = u
∂t

1 t
t 0 u(x, s)ds,t

, t > 0, x ∈ R

(0.11)



u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R,

10

TIEU LUAN MOI download :


và




 ∂ u(x,t) = u
∂t

x+δ (s)
t 1
0 2δ (s) x−δ (s) u(ξ , τ)dξ dτ,t

, t ≥ 0, x ∈ R

(0.12)



u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R,

trong đó u0 , δ là các hàm cho trước thỏa mãn các điều kiện thích hợp. Cụ
thể, giả sử X là khơng gian các hàm liên tục u : R × [0, +∞) → R; và ánh xạ
T : X → X, u → Tu sao cho
t

Tu(x,t) = u0 (x) +

τ

u
0

u(x, s)ds, τ dτ,

0

trong đó u0 ∈ C(R, R). Trước hết, các tác giả đã xét các giả thiết sau:
Giả thiết 1. Cho u0 ∈ C(R, R) và giả sử rằng
(1)
Tồn tại L0 > 0 sao cho với mọi x1 , x2 ∈ R,
|u0 (x1 ) − u0 (x2 )| ≤ L0 |x1 − x2 |.

Nếu u ∈ X tồn tại hàm liên tục Lu : (0, +∞) → [0, +∞) sao cho
(2)

Với mọi x1 , x2 ∈ R, |u(x1 ,t) − u(x2 ,t)| ≤ Lu (t)|x1 − x2 |,

thì với bất kỳ x1 , x2 ∈ R ta có
2

t

1
|Tu(x1 ,t) − Tu(x2 ,t)| ≤ |x1 − x2 | L0 +
2

0

Lu (s)ds

.

Giả thiết 2. Giả sử u, v ∈ X sao cho
(1) Tồn tại hàm liên tục Lv : (0, +∞) → [0, +∞) thỏa mãn điều kiện

với mọi x1 , x2 ∈ R, với mọi t > 0, |v(x1 ,t) − v(x2 ,t)| ≤ Lv (t)|x1 − x2 |.

(0.13)

(2) Tồn tại hàm liên tục Au,v : (0, +∞) → [0, +∞) sao cho
với mọi x ∈ R, với mọi t > 0, |u(x,t) − v(x,t)| ≤ Au,v (t).

(0.14)

Khi đó, với mỗi t > 0 ta có
t

|Tu(x,t) − T v(x,t)| ≤
0

τ

Au,v (τ) + Lv (τ)

0

Au,v (s)ds dτ,

11

TIEU LUAN MOI download :


với mọi x ∈ R.
Ở đây, các tác giả đã thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương cho

các bài toán (0.10)-(0.12). Các kết quả này lần lượt được thể hiện trong các
định lý 0.2, 0.3, 0.4 dưới đây.
Định lý 0.2 (xem [14]). Với bất kỳ u0 ∈ Lip(R, R) ∩ L∞ (R, R), tồn tại α > 0 và duy
nhất hàm u = u(x,t) xác định, liên tục và bị chặn trên R × [0, α], Lipschitz theo biến
thứ nhất, đều theo biến thứ hai (tất nhiên u Lipschitz theo biến thứ hai, đều theo biến
thứ nhất), thỏa mãn


 ∂ u(x,t) = u t u(x, s)ds,t ,
0
∂t

u(x, 0) = u (x), x ∈ R, 0 ≤ t ≤ α,
0
hoặc tương đương
t

u(x,t) = u0 (x) +

τ

u
0

0

u(x, s)ds, τ dτ, x ∈ R, 0 ≤ t ≤ α.

Định lý 0.3 (xem [14]). Với bất kỳ u0 ∈ Lip(R, R) ∩ L∞ (R, R), tồn tại α > 0 và duy
nhất hàm u = u(x,t) xác định, liên tục và bị chặn trên R × [0, α], Lipschitz theo biến

thứ nhất (đều theo biến thứ hai, tất nhiên u Lipschitz theo biến thứ hai, đều theo biến
thứ nhất), thỏa mãn


 ∂ u(x,t) = u 1 t u(x, s)ds,t ,
t 0
∂t

u(x, 0) = u (x), x ∈ R, 0 ≤ t ≤ α,
0
hoặc tương đương
t

u(x,t) = u0 (x) +

u
0

1
t

τ
0

u(x, s)ds, τ dτ, x ∈ R, 0 ≤ t ≤ α.

Định lý 0.4 (xem [14]). Với bất kỳ u0 ∈ Lip(R, R) ∩ L∞ (R, R), và δ : R → [0, +∞) là
hàm cho trước sao cho với bất kỳ t > 0
t
0

1
ds < +∞.
δ (s)

Khi đó, tồn tại α > 0 và duy nhất hàm u = u(x,t) ∈ X, với x ∈ R và t ∈ [0, α], bị chặn
và liên tục Lipschitz theo biến thứ nhất (đều theo biến thứ hai, tất nhiên u Lipschitz

12

TIEU LUAN MOI download :


theo biến thứ hai, đều theo biến thứ nhất), sao cho


 ∂ u(x,t) = u t 1 x+δ (s) u(ξ , s)dξ ds,t ,
0 2δ (s) x−δ (s)
∂t

u(x, 0) = u (x), x ∈ R, t ∈ [0, α],
0
hay tương đương
t

u(x,t) = u0 (x) +

τ

u

0

0

1
2δ (s)

x+δ (s)

u(ξ , s)dξ ds, τ dτ,
x−δ (s)

với x ∈ R, 0 ≤ t ≤ α.

Với các giả thiết thích hợp đối với điều kiện đầu u0 (x), các tác giả [11] đã
chứng minh sự tồn tại nghiệm tồn cục của bài tốn (0.10). Kết quả được thể
hiện trong hai định lý sau.
Định lý 0.5 (xem [11]). Giả sử u0 là hàm thực không âm, không giảm, bị chặn và nửa
liên tục dưới trên R. Khi đó, tồn tại hàm khơng âm u : R × R → R, bị chặn trên tập
R × [0, T ], không giảm lần lượt theo từng biến, Lipschitz theo t trên tập [0, T ]; nửa
liên tục dưới theo x, với mỗi t cố định và u là nghiệm của phương trình
t

u(x,t) = u0 (x) +

τ

u
0

0

u(x, s)ds, τ dτ, t ≥ 0, x ∈ R.

(0.15)

Định lý 0.6 (xem [11]). Giả sử u0 là hàm thực không âm, không giảm, bị chặn và nửa
liên tục dưới, xác định trên R. Khi đó, tồn tại hàm khơng âm u : R × R → R bị chặn
trên tập R × [0, T ], không giảm lần lượt theo từng biến, Lipschitz theo t trên tập [0, T ],
đều theo x, nửa liên tục dưới theo x với mỗi t cố định và u là nghiệm của phương trình


 ∂ u(x,t) = u t u(x, s)ds,t , x ∈ R, t ≥ 0,
0
∂t
(0.16)

u(x, 0) = u (x).
0

Trong [15], Miranda và Pascali đã chứng minh được sự tồn tại duy nhất
nghiệm địa phương của bài toán Cauchy:



∂



∂t u(x,t) = u v






t
0 u(x, s)ds,t

,t ,

∂
v(x,t) = v u 0t v(x, s)ds,t ,t , x ∈ R, t ≥ 0,

∂t







u(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v0 (x),

(0.17)

13

TIEU LUAN MOI download :

với các điều kiện đầu u0 (x) và v0 (x) là các hàm cho trước thỏa mãn các điều
kiện thích hợp. Kết quả được phát biểu trong định lý dưới đây.
Định lý 0.7 (xem [15]). Giả sử u0 , v0 : R → R bị chặn và liên tục Lipschitz. Khi đó,
tồn tại T0 > 0 và hai hàm thực liên tục Lipschitz và bị chặn u∞ , v∞ : R × [0, T0 ] → R
sao cho



t
∂


0 u∞ (x, s)ds,t ,t ,

∂t u∞ (x,t) = u∞ v∞



(0.18)
∂
v∞ (x,t) = v∞ u∞ 0t v∞ (x, s)ds,t ,t ,


∂t





u (x, 0) = u (x), v (x, 0) = v (x),

∞

0

∞

0

với mọi x ∈ R và với mọi t ∈ [0, T0 ]. Hơn nữa, các hàm u∞ , v∞ là duy nhất.

Với bài tốn (0.17), bằng các giả thiết thích hợp, các tác giả [12] đã thu
được nghiệm toàn cục. Trước hết, tác giả đã đặt các giả thiết cho u0 , v0 như
sau:
(A1 )
u0 , v0 không âm.
(A2 )
u0 , v0 không giảm.
(A3 )
u0 , v0 bị chặn.
(A4 )
u0 , v0 nửa liên tục dưới.
Khi đó, định lý về nghiệm toàn cục được phát biểu như sau.
Định lý 0.8 (xem [12]). Giả sử (A1 ) − (A4 ) được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại hai hàm
u, v : R × [0, +∞) → R sao cho
(B1 )
u, v không âm.
(B2 )
u, v không giảm lần lượt theo từng biến.
(B3 )
u, v bị chặn trên tập R × [0, +∞).

(B4 )
u, v nửa liên tục dưới theo biến x, với mọi t cố định thuộc [0, +∞).
(B5 )
u, v liên tục Lipschitz theo t ∈ [0, +∞), đều theo x ∈ R,
thỏa mãn bài toán


t
s

u(x,t) = u0 (x) + 0 u v 0 u(x, τ)dτ, s , s ds,
(0.19)

t
s

v(x,t)
=
v
(x)
+
v
u
v(x,
τ)dτ,
s
,
s
ds.


0
0
0
.

14

TIEU LUAN MOI download :


Sau đó, tác giả chứng minh u, v thỏa mãn hệ phương trình (0.17).
Định lý 0.9 (xem [12]). Giả sử (A1 ) − (A4 ) được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại hai hàm
u, v : R × [0, +∞) → R thỏa mãn (B1 ) − (B5 ), sao cho



∂

u(x,t) = u v 0t u(x, s)ds,t ,t ,


∂t



(0.20)
∂
v(x,t) = v u 0t v(x, s)ds,t ,t ,



∂t





u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x),
0

0

với mọi x ∈ R, hầu hết t ∈ [0, +∞).

Giả sử X là không gian của các hàm liên tục u : R2 → R và ψ : R → R.
Trong [15], các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm địa
phương của bài toán
∂
u(x,t) = u
∂t

t
0

u(x, s)ds + ψ(u(x,t)),t , x ∈ R, t ≥ 0.

(0.21)

Kết quả cụ thể được trình bày trong Định lý 0.10 dưới đây.
Định lý 0.10 (xem [15]). Giả sử các hàm ψ và u0 liên tục Lipschitz, tức là tồn tại
Lψ ≥ 0 sao cho

|ψ(ξ1 ) − ψ(ξ2 )| ≤ Lψ |ξ1 − ξ2 |, với mọi ξ1 , ξ2 ∈ R,

(0.22)

và tồn tại L0 ≥ 0 sao cho
|u0 (x) − u0 (y)| ≤ L0 |x − y|, với mọi x, y ∈ R.

(0.23)

Hơn nữa, giả sử
u0

∞

< ∞.

(0.24)

Khi đó tồn tại T0 > 0 và duy nhất hàm u liên tục trên R × [0, T0 ] sao cho
1.
u bị chặn trên R × [0, T0 ]
2.
u Lipschitz theo x đều theo t ∈ [0, T0 ] (và Lipschitz theo t đều theo x). Hơn
nữa, với x ∈ R và t ∈ [0, T0 ] :
t

u(x,t) = u0 (x) +

τ

u(x, s)ds + ψ(u(x, τ)), τ dτ;

u
0

(0.25)

0

15

TIEU LUAN MOI download :


hay

 ∂ u(x,t) = u t u(x, s)ds + ψ(u(x,t)),t , x ∈ R, t ∈ [0, T0 ],
0
∂t
u(x, 0) = u (x).

(0.26)

0

Hơn nữa, nghiệm u có thể kéo dài với mọi t ≥ T0 .

Bên cạnh đó, các tác giả trong [15] cũng chứng minh được Định lý 0.11
về sự tồn tại nghiệm địa phương cho phương trình
∂2

u(x,t) = u
∂t 2

x+δ (x,t)
x−δ (x,t)

∂
u(ξ ,t)dξ ,t .
∂t

(0.27)

Định lý 0.11 (xem [15]). Giả sử α ∈ L∞ (R, R) ∩ Lip(R, R) và β ∈ L∞ (R, R) là các
hàm cho trước, và δ : R2 →]0, +∞[ là hàm thực và bị chặn, liên tục Lipschitz theo x
đều theo t, nghĩa là tồn tại Lδ > 0 sao cho
|δ (x,t) − δ (y,t)| ≤ Lδ |x − y|, x, y ∈ R, với mọi t.
Khi đó tồn tại T0 > 0 và tồn tại duy nhất hàm u : R × [0, T0 ] → R liên tục, bị chặn và
Lipschitz theo x đều theo t (và Lipschitz theo t đều theo x) sao cho
t

x+δ (x,s)

τ

u(x,t) = α(x) + tβ (x) +

u
0

x−δ (x,s)

0

∂
u(ξ , s)dξ , s dsdτ,
∂s

(0.28)

hay


∂2

u(x,t) = u


∂t
 2

x+δ (x,s) ∂
u(x,t)dξ ,t
x−δ (x,s) ∂t

u(x, 0) = α(x),




 ∂ u(x, 0) = β (x).

,

x ∈ R, t ∈ [0, T0 ]

(0.29)

∂t

Hơn nữa, nghiệm u có thể kéo dài với mọi t ≥ T0 .

Ngồi hệ phương trình vi phân cấp một đã được xét ở trên, trong [13],
Miranda và Pascali cũng đã xét bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân
cấp hai thuộc dạng tự tham chiếu như sau


∂2
∂2


u(x,t)
=
k
u
u(x,t) + k2 u(x,t),t
1

2
2


∂t
∂t


u(x, 0) = α(x),






 ∂ u(x, 0) = β (x), x ∈ R, t ≥ 0,
∂t

(0.30)

16

TIEU LUAN MOI download :


trong đó, α(x) và β (x) là các hàm bị chặn và liên tục Lipschitz, k1 và k2 là các
số thực cho trước. Khi đó, các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại duy nhất
nghiệm địa phương của bài tốn. Các kết quả này có thể mở rộng khi ki là các
hàm số thực theo hai biến x và t thỏa mãn các điều kiện cho trước.
Giả sử α, β ∈ L∞ (R, R) ∩ Lip(R, R) là các hàm cho trước. Xét trường hợp
|k1 | = |k2 | = 1. Ký hiệu Lα , Lβ là các hằng số Lipschitz của α và β và giả sử
Lα < 21 .

Giả sử điều kiện đầu u0 có dạng

u0 (x,t) = α(x) + tβ (x).

Đặt

t

u1 (x,t) = α(x) + tβ (x) + k1

0

τ
0

u0 k1 u0 (x, s) dsdτ.

Ta xây dựng dãy lặp
un+1 (x,t) =α(x) + tβ (x)
t

+ k1

0

∂2
un (x, s) + k2 un (x, s), s dsdτ.
∂ s2

τ

un

0

Khi đó có thể chứng minh un là dãy Cauchy và hội tụ về hàm u∞ là nghiệm
của phương trình (0.30). Kết quả này được phát biểu trong định lý sau.
Định lý 0.12 (xem [13]). Giả sử α, β ∈ L∞ (R, R) ∩ Lip(R, R) là các hàm cho trước
với các hằng số Lipschitz Lα , Lβ tương ứng và Lα < 12 . Khi đó, tồn tại T0 > 0 và tồn
tại duy nhất hàm u : R × [0, T0 ] → R bị chặn, Lipschitz theo biến x, đều theo biến t
(và Lipschitz theo t, đều theo x và liên tục theo cả hai biến) với đạo hàm cấp hai theo
t liên tục sao cho
t

τ

u(x,t) = α(x) + tβ (x) +
0

0

k1 u

∂2
u(x, s) + k2 u(x, s), s dsdτ,
∂ s2

với mọi x ∈ R, t ∈ [0, T0 ] và khi đó


∂2
∂2



u(x,t) = k1 u
u(x,t) + k2 u(x,t),t ,


∂t 2
 ∂t 2
u(x, 0) = α(x),




∂

 u(x, 0) = β (x), x ∈ R, t ≥ 0.
∂t

17

TIEU LUAN MOI download :


Ngồi ra, phương trình vi-tích phân có trễ phụ thuộc vào nghiệm, phương
trình tích phân dạng tự chập (autoconvolution) cũng gần gũi với phương trình
vi-tích phân tự tham chiếu.
Trong luận án này, chúng tơi nghiên cứu các phương trình vi-tích phân
tự tham chiếu được tổng quát hóa từ các bài toán (0.10), (0.11), (0.16), (0.17),
(0.26) và (0.30). Những vấn đề được chúng tơi nghiên cứu bao gồm:
• Sự tồn tại nghiệm,

• Tính duy nhất nghiệm,
• Sự hội tụ của phương pháp lặp cho bài toán Cauchy cũng như bài toán

biên,
đối với phương trình vi-tích phân tự tham chiếu.
Đối với phương trình vi phân phi tuyến, chúng ta có thể giải gần đúng bằng
nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp sai phân, phương pháp biến
phân, phương pháp trùng khớp, vv. . . . Nhưng phương trình vi phân tự tham
chiếu có độ phi tuyến cao nên chúng ta khơng thể sử dụng những phương pháp
giải số quen thuộc được. Vì thế, chúng tôi đã kế thừa và phát triển phương
pháp nghiên cứu của Miranda, Pascali và các tác giả khác cho một lớp bài
toán tổng quát hơn. Mặt khác, theo hiểu biết của chúng tơi, bài tốn biên hai
điểm cho phương trình vi phân tự tham chiếu lần đầu tiên được khảo sát trong
bản luận án này. Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi đã sử dụng một số
công cụ của giải tích hàm và lý thuyết phương trình vi phân như phương pháp
lặp, định lí điểm bất động,... để chứng minh sự tồn tại nghiệm, cũng như để
xây dựng nghiệm gần đúng. Nội dung luận án được chia làm ba chương:
• Chương 1 trình bày một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị.
• Trong Chương 2, chúng tơi xét các phương trình vi phân cấp một tự tham

chiếu cho bài tốn Cauchy, đặc biệt là các phương trình có trọng, và bài
tốn giá trị biên hai điểm. Chúng tôi đã sử dụng các phương pháp lặp
điểm bất động để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương và
sự tồn tại nghiệm tồn cục. Bên cạnh đó, chúng tơi cũng xây dựng một
số ví dụ minh họa.
18

TIEU LUAN MOI download :

• Trong Chương 3, chúng tơi khảo sát phương trình vi phân cấp hai tự tham

chiếu cho bài toán giá trị đầu, đồng thời đưa ra một số ví dụ cụ thể.

19

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức chuẩn bị, bao
gồm một số không gian hàm, các định lý điểm bất ng Banach v Schauder
v nh lý Picard-Lindeloă f tng quỏt.

1.1

Mt số không gian hàm

Cho Ω ⊂ Rn , n ≥ 1, là một tập mở, giới nội và liên thông. Với mỗi vectơ
x := (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn và đa chỉ số α := (α1 , . . . , αn ), trong đó αi là các số
ngun khơng âm, ta định nghĩa
n

n

|α| = ∑ αi ; xα := ∏ xiαi ; ∂ α v(x) :=
i=1

i=1

∂ |α| v(x)
.
∂ x1α1 . . . ∂ xnαn

Gọi C(Ω) là không gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục u : Ω → R với
chuẩn ||v||C(Ω) = maxx∈Ω |v(x)|. Khi đó, khơng gian các hàm khả vi liên tục đến
cấp m được định nghĩa như sau
Cm (Ω) = {v ∈ C(Ω) : ∂ α v ∈ C(Ω); |α| ≤ m}.

Như đã biết, Cm (Ω) là không gian Banach với chuẩn ||v||Cm (Ω) = max|α|≤m ||∂ α v||C(Ω) .
Giá của hàm v trên Ω là supp(v) = {x ∈ Ω : v(x) = 0}.
20

TIEU LUAN MOI download :


Hàm v : Ω → R được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại điểm x ∈ Ω nếu với
mọi dãy {xn } ⊂ Ω hội tụ đến x thì v(x) ≤ lim infn→∞ v(xn ).
Hàm số v xác định trên Ω được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng
số không âm c sao cho
|v(x) − v(y)| ≤ c||x − y||, với mọi x, y ∈ Ω,

trong đó ||x − y|| là khoảng cách Euclid giữa hai điểm x, y ∈ Ω. Giá trị c nhỏ
nhất trong hệ thức trên được gọi là hệ số Lipschitz của hàm số v:
L := sup

|v(x) − v(y)|
: x, y ∈ Ω; x = y .

||x − y||

Trong R hàm liên tục Lipschitz thì liên tục tuyệt đối và do đó khả vi hầu
khắp nơi.
Các không gian hàm thường sử dụng trong luận án là:
• C([a, b], [c, d])- khơng gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b] nhận giá trị

trên đoạn [c, d].
• C([a, b], R)- khơng gian các hàm liên tục v : [a, b] → R.
• Lip(R, R)- không gian các hàm thực liên tục Lipschitz trên R.
• L∞ (R, R)- khơng gian các hàm thực bị chặn cốt yếu trên R với chuẩn

||v||∞ = esssupx∈R |v(x)|.

1.2

Điểm bất động của ánh xạ phi tuyến

Cho T là một ánh xạ đưa không gian metric (X, d) vào không gian metric
(Y, ρ). Ta nói T thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu:
Tồn tại c > 0 : với mọi x, y ∈ X, ρ(T (x), T (y)) ≤ cd(x, y).

(1.1)

Hệ số c > 0 nhỏ nhất trong (1.1) được gọi là hệ số Lipschitz của T. Ánh xạ T
được gọi là co (hoặc không giãn) nếu hệ số Lipschitz của nó nhỏ hơn 1 (hoặc
tương ứng bằng 1).
21

TIEU LUAN MOI download :

Cho (X, d), (Y, ρ) là hai không gian metric. Ánh xạ T : X → Y được gọi là:
• liên tục tại x0 ∈ X, nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ (ε, x0 ) : d(x, x0 ) < δ ⇒

ρ(T (x), T (x0 )) < ε.
• giới nội, nếu T đưa mọi tập giới nội C ⊂ X vào tập giới nội T (C) ⊂ Y.
• compact, nếu T đưa mọi tập giới nội C ⊂ X vào tập compact tương đối

T (C) ⊂ Y, tức là tập T (C) là compact trong Y.

Nhắc lại, tập C trong khơng gian (tuyến tính) định chuẩn được gọi là tập
lồi, nếu
với mọi x, y ∈ C; với mọi λ ∈ [0, 1] : λ x + (1 − λ )y ∈ C.
Đinh lý Schauder. Cho C là tập lồi, đóng khác rỗng trong khơng gian Banach
X. Khi đó mọi ánh xạ liên tục, compact T : C → C có ít nhất một điểm bất

động, tức là tồn tại x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ .
Để thiết lập tính compact của tốn tử T , ta cần chứng minh tính compact
tương đối của tập T (C), trong đó C là tập giới nội tùy ý. Định lý sau đây cho
điều kiện cần và đủ để một tập hợp trong không gian các hàm liên tục là
compact tương đối.
Định lý Arzela-Ascoli. Giả sử tập S ⊂ C(D), trong đó D ⊂ Rn là tập đóng, giới
nội khác rỗng, có các tính chất sau:
• S giới nội đều, tức là tồn tại c > 0, với mọi f ∈ S , || f ||∞ ≤ c.
• S liên tục đồng bậc, tức là với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ (ε) > 0, với mọi x, y ∈

D : ||x − y|| ≤ δ , với mọi f ∈ S ⇒ | f (x) − f (y)| ≤ ε.

Khi đó S là tập compact tương đối trong C(D).

Định lý Schauder được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệm của phương
trình tốn tử, song nó khơng giúp cho việc tìm xấp xỉ nghiệm. Ngun lý
ánh xạ co, cịn gọi là Định lý điểm bất động Banach sau đây cho phép ta tìm
nghiệm xấp xỉ của phương trình với độ chính xác tùy ý cho trước.
Định lý điểm bất động Banach. Cho C là tập đóng, khác rỗng trong khơng gian
metric đủ (X, d). Giả sử T : C → C là ánh xạ co với hệ số q ∈ [0, 1). Khi đó,
22

TIEU LUAN MOI download :


• T có điểm bất động duy nhất trên C, ký hiệu là x .
• Mọi dãy lặp xn+1 = T (xn ), với x0 ∈ C chọn tùy ý, đều hội tụ tới x∗ và có

ước lượng sau:

qn
d(x1 , x0 ).
1−q
q
d(xn , xn−1 ).
d(xn , x∗ ) ≤
1−q
d(xn , x∗ ) ≤

Dựa vào Định lý điểm bất động Banach, người ta chứng minh được sự tồn
tại, duy nhất nghiệm của bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân thường
trong không gian Banach X :

 u (t) = f (t, u(t)) |t − t0 | < a,

 u(t ) = z,

(1.2)

0

trong đó z ∈ X và ánh xạ f : [t0 − a,t0 + a] × X → X là liên tục.
Đặt Qb := (t, u) ∈ R × X : |t − t0 | ≤ a; ||u − z|| b .
nh lý Picard-Lindelăof tng quỏt. Gi s ỏnh xạ f : Qb → X liên tục và liên tục
Lipschitz đều theo biến thứ hai, tức là
|| f (t, u) − f (t, v)|| ≤ L||u − v||, với mọi (t, u), (t, v) ∈ Qb .

Đặt M := max(t,u)∈Qb || f (t, u)|| và a0 := min{a, b/M}. Khi đó bài tốn Cauchy
(1.2) có duy nhất nghiệm u∗ (t) khả vi liên tục trên đoạn [t0 − a0 ,t0 + a0 ] và phép
lặp
t

un+1 (t) = z +

t0

f (s, un (s)ds |t − t0 | ≤ a0 ; u0 (t) = z

hội tụ, nghĩa là max|t−t0 | ||un (t) − u∗ (t)|| → 0 khi n → ∞.

1.3

Phương trình vi phân tự tham chiếu

Cho X,Y là các khơng gian hàm, và giả sử A : X → Y, B : X → Y là các tốn

tử. Phương trình vi phân tự tham chiếu là phương trình có dạng
(Au)(x,t) = u (Bu)(x,t),t ,

23

TIEU LUAN MOI download :

(1.3)