Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 7: Hàm nhiều biến và bài toán cực trị

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2
CHƢƠNG 7

HÀM NHIỀU BIẾN VÀ
BÀI TOÁN CỰC TRỊ


I. Hàm 2 biến
1. Định nghĩa


Ví dụ:


2. Tập xác định của hàm 2 biến
Định nghĩa: là tập hợp các điểm (x,y) sao cho hàm số có
nghĩa.

Ví dụ: Tìm tập xác định và biểu diễn hình học TXĐ của
hàm số sau


II. Đạo hàm riêng của hàm 2 biến
1. ĐHR cấp 1:


Nhận xét: trong thực hành, muốn tính ĐHR cấp 1
theo biến x thì coi y là hằng số và đạo hàm nhƣ đối
với hàm 1 biến. Tƣơng tự, tính ĐHR theo y thì coi
x là hằng số.

2. ĐHR cấp 2:
Nhận xét: f(x,y) là hàm 2 biến và các ĐHR cấp 1 của nó
cũng là những hàm 2 biến, Vì thế, chúng lại có thể có các
ĐHR. Khi đó ta xác định các ĐHR cấp 2 của f nhƣ sau:



III. Ứng dụng để tính gần đúng giá trị biểu thức
Bài tốn: Giả sử ta cần tính giá trị của hàm 2 biến f tại
một điểm (x,y) nhƣng khơng tính đúng đƣợc. Ta lại biết
giá trị của f tại điểm (x0,y0) rất gần (x,y). Khi đó ta có
cơng thức tính gần đúng sau:


IV. Ứng dụng để tìm cực trị hàm 2 biến
1. Cực trị tự do

Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.


a. Điều kiện cần của cực trị

Mỗi điểm M thoả mãn hệ thức trên đƣợc gọi là
một điểm dừng (hay điểm tới hạn).


b. Điều kiện đủ của cực trị

2. Cực trị có điều kiện

Phƣơng pháp giải: Phƣơng pháp nhân tử lagrang