Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng (Trường ĐH Thương mại)

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
THÔNG DỤNG


Chương 3
MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

1. Quy luật phân phối nhị thức B(n,p).
2. Quy luật phân phối Poisson P(λ).
3. Quy luật phân phối Chuẩn N(,2).
4. Quy luật phân phối Khi Bình Phương.
5. Quy luật phân phối Student T(n).
6. Quy luật phân phối Fisher - Snedecor F(n1,n2).
7. Luật số lớn.


Chương 3
§1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
1.1 Dãy phép thử Bernoulli
1.1.1 Định nghĩa
•

Thực hiện nhiều lần một phép thử nào đó về biến cố A

ta có dãy các phép thử.
•

Nếu các phép thử được tiến hành độc lập với nhau ta

có dãy các phép thử độc lập


Chương 3
§1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
1.1 Dãy phép thử Bernoulli
1.1.1 Định nghĩa
•

Một dãy các phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ

có có thể xảy ra hai khả năng hoặc A xảy ra hoặc A không
xảy ra. Xác suất để xảy ra biến cố A là không đổi và bằng
p.
• Dãy thỏa mãn các điều kiện trên gọi là dãy phép thử
Bernoulli.


Chương 3
§1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n,p)
1.1.2 Cơng thức Bernoulli
Cho dãy n phép thử Bernoulli về cùng biến cố A với
p(A) = p ln khơng đổi. Khi đó xác suất để có đúng k lần
biến cố A xảy ra trong n phép thử được tính:

p n (k )  C p q
k
n

k

Trong đó: q  1  p ; k  0,1, 2,.., n

n k


Chương 3
§1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n,p)
1.2 Quy luật phân phối Nhị thức B(n,p)
1.2.1 Định nghĩa
• ĐLNN rời rạc X được gọi là phân phối theo quy luật nhị
thức với các tham số n và p, ký hiệu X~B(n,p) nếu nó nhận
một trong các giá trị có thể có 0,1,2..n với các xác suất tương
ứng được tính theo công thức:

p n (k )  P(X  k )  C p q
k
n

q  1  p ; k  0,1, 2,.., n

k

n k


Chương 3
§1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n,p)
1.2.2 Các số đặc trưng của ĐLNN phân phối Nhị thức
Cho X là ĐLNN phân phối theo quy luật nhị thức

B(n,p). Khi đó:
1. E(X)

= np

2. Var(X) = npq
3. Mod(X) = k0 sao cho:
(n+1).p – 1 ≤ k0 ≤ (n+1).p với k 0  N


Chương 3
§1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n,p)

Chú ý: Trong trường hợp n=1 ĐLNN X phân phối theo quy
luật không – một, ký hiệu A(p). Bảng phân phối xác suất của
X có dạng:

1. E(X)

X
P

0
q

1
p

=p

2. Var(X) = p-p2 =p.(1-p)=p.q


Chương 3
§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON P(λ)
2.1 Định nghĩa
ĐLNN rời rạc X được gọi là phân phối theo quy luật
poisson với tham số λ>0, ký hiệu X~P(λ), nếu nó nhận các giá
trị có thể có 0,1,2… với các xác suất tương ứng được tính
theo cơng thức:



e 
P( X  k ) 
k!

k

k  0,1,2...


Chương 3
§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON P(λ)
2.2 Các số đặc trưng của ĐLNN phân phối Poisson
Cho X là ĐLNN phân phối theo quy luật Poisson. Khi đó:
1. E(X)

=λ

2. Var(X) = λ
3. Mod(X) = k0 sao cho:

λ– 1 ≤ k0 ≤ λ với k0  N


Chương 3
§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON P(λ)
2.3 Mối quan hệ giữa quy luật Nhị thức và quy luật
Poisson .
Nếu n khá lớn, p khá bé (<0,1) thì phân phối Nhị thức
B(n,p) sẽ xấp xỉ phân phối Poisson P(λ) với λ=n.p

pk (n, p )  Cnk p k q n  p

e   k

k!


Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
3.1 Định nghĩa
ĐLNN liên tục X nhận các giá trị trên R được gọi là phân
phối chuẩn với tham số μ và σ > 0, ký hiệu X~ N(μ,σ2), nếu
hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

1
f ( x) 
e

 2

( x  )2

2 2


Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
Đồ thị hàm mật độ

f(x)
1
 2

μ

x

Nhận xét:
• Hàm mật độ của phân phối chuẩn nhận đường thẳng x=μ
làm trục đối xứng và đạt cực đại tại x=μ


Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
3.2 Các số đặc trưng của ĐLNN phân phối chuẩn N(μ,σ2)
Cho X ~ N(μ,σ2) Khi đó:
1. E(X)

=μ

2. Var(X) = σ2
3. Mod(X)= μ.


Chng 3
Đ3. QUY LUT PHN PHI CHUN N(,2)
Nhn xột:
ã Khi μ=0 và σ=1 ta nói X có quy luật phân phối chuẩn hóa
N(0,1) và hàm mật độ xác suất có dạng (hàm Gauss):

 ( x) 

1
e
2

x2

2

• Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X có phân phối chuẩn:

1
F ( x) 
 2

x

e



(t   )2

2 2

dt


Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
Nhận xét:


Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
3.3 Cơng thức tính P(a3.3.1 Cơng thức P(a
b 
a 
P ( a  X  b)  
  

  
  
Trong đó:
Tính chất:

 ( x) 

1
2

x

e

t2

2

dt

(hàm Laplace)

0

 ( x)    ( x)
Khi x > 5 ta lấy  ( x)  0,5


Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
3.3.2 Hệ quả:

 
P ( X     )  2.  (5.1)

 
b 
P ( X  b)  P ( X  b)   
  0,5
  
a 
P (a  X )  P (a  X )  0,5  

  


Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
3.4 Quy tắc 2σ và 3σ
Trong cơng thức (5.1) thay ε=2σ ta có:

P  X    2      2  X    2 

 2 (2)  0,9545
Trong cơng thức (5.1) thay ε=3σ ta có:

P  X    3      3  X    3 

 2 (3)  0,9973


Chng 3
Đ3. QUY LUT PHN PHI CHUN N(,2)
Nhn xột:
ã Cỏc quy tắc cho ta thấy 95.44% giá trị của ĐLNN X có

phân phối chuẩn nằm trong khoảng (μ - 2σ; μ + 2σ) và hầu chắc
chắn (99,73%) giá trị của X nằm trong khoảng (μ - 3σ; μ + 3σ)

• Nếu trong thực tế ĐLNN X thỏa mãn quy tắc 2σ và 3σ thì
ta có thể coi nó có phân phối xấp xỉ chuẩn


Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
3.5 Phân vị
Cho U ~ N(0,1) và 0<  <1 cho trước. Khi đó, giá trị u
thỏa mãn:
P(U> u) = 
được gọi là phân vị chuẩn mức .
Tính chất:

u1-  = - u

 (u )  0,5  


Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
y

N(0,1)


0

u

x


Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
3.6 Tổng của các ĐLNN độc lập cùng phân phối chuẩn
• Định lý 1: Cho các ĐLNN X1,X2,… ,Xn độc lập, Xi ~N(μi,σi2)
thì ĐLNN X=∑Xi ~N(μ,σ2) với μ= ∑μi; σ2= ∑σi2
• Định lý 2: Cho các ĐLNN X1,X2,… ,Xn độc lập, Xi ~N(μi,σi2)
thì ĐLNN X=(∑aiXi +b)~N(μ,σ2) với μ= ∑aiμi+b; σ2= ∑ai2σi2


Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
3.6 Tổng của các ĐLNN độc lập cùng phân phối chuẩn
• Định lý 3: Cho các ĐLNN X1,X2,… ,Xn độc lập cùng phân
phối N(μ,σ2) ta có:

1 n
2
X   X i ~ N ( , )
n i 1
n
X 
U
~ N(0,1)

n

Chương 3
§3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(μ,σ2)
3.7 Mối quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối
chuẩn
Khi n lớn và p không quá gần 0 và 1 (0,1 < p < 0,9) ta
có X có phân phối xấp xỉ chuẩn N(μ,σ2) với μ = np; σ2 = npq

p k ( n, p )  C p q
k
n

trong đó:

k

nk



 x  np 
1

 
npq  npq 

1
 ( x) 
e

2

x2

2