Một số quy luật phân phối xác xuất thông dụng

Chương 3: MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
THÔNG DỤNG
QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p)
QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
QUY LUẬT POISSON - P(λ)
QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU - U(a,b)
QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - N(µ; σ 2 )
MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT SỬ DỤNG
TRONG THỐNG KÊ


QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p)


QUY LUẬT KHƠNG MỘT - A(p)
Ví dụ
Một hộp có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản
phẩm. Gọi A:"Lấy được phế phẩm". Ta có: P(A) = 0, 4 Gọi X là
số phế phẩm được lấy ra, tức là số lần biến cố A xuất hiện trong
phép thử trên, ta thấy các giá trị có thể có của X là 0;1 với các
xác suất tương ứng là 0,6 và 0,4.


QUY LUẬT KHƠNG MỘT - A(p)
Ví dụ
Một hộp có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản
phẩm. Gọi A:"Lấy được phế phẩm". Ta có: P(A) = 0, 4 Gọi X là
số phế phẩm được lấy ra, tức là số lần biến cố A xuất hiện trong
phép thử trên, ta thấy các giá trị có thể có của X là 0;1 với các
xác suất tương ứng là 0,6 và 0,4.
Tổng quát: Giả sử tiến hành một phép thử trong đó biến cố A có

thể xảy ra với xác suất p. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong
phép thử đó thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc với 2 giá trị có thể là
¯
0 hoặc 1, với xác suất tương ứng là P(X = 0) = P(A) = 1 − p và
P(X = 1) = P(A) = p


QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p)
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có
bằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1 − p và p gọi là tuân
theo quy luật không - một với tham số p.


QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p)
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có
bằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1 − p và p gọi là tuân
theo quy luật khơng - một với tham số p.
Kí hiệu: X ∼ A(p)


QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p)
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có
bằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1 − p và p gọi là tuân
theo quy luật khơng - một với tham số p.
Kí hiệu: X ∼ A(p)
Bảng phân phối xác suất của X
X

Px

0
1-p

1
p


QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p)
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có
bằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1 − p và p gọi là tuân
theo quy luật khơng - một với tham số p.
Kí hiệu: X ∼ A(p)
Bảng phân phối xác suất của X
X
Px
Các tham số đặc trưng:

0
1-p

1
p


QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p)
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có

bằng 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là 1 − p và p gọi là tuân
theo quy luật khơng - một với tham số p.
Kí hiệu: X ∼ A(p)
Bảng phân phối xác suất của X
X
Px

0
1-p

1
p

Các tham số đặc trưng: E(X) = p; V(X) = p(1-p)


QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p)

Điều kiện áp dụng: Trong thực tế, quy luật 0-1 được dùng
để đặc trưng cho các dấu hiệu nghiên cứu định tính với hai
phạm trù ln phiên.(Giới tính - nam/nữ; Sở thích - thích/
khơng thích; Ý kiến - ủng hộ/phản đối . . . )


QUY LUẬT KHÔNG MỘT - A(p)

Điều kiện áp dụng: Trong thực tế, quy luật 0-1 được dùng
để đặc trưng cho các dấu hiệu nghiên cứu định tính với hai
phạm trù ln phiên.(Giới tính - nam/nữ; Sở thích - thích/
khơng thích; Ý kiến - ủng hộ/phản đối . . . )

Đặc điểm cơ bản: Kỳ vọng toán phản ánh cơ cấu vì E(X) =
p.


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)

Giả sử có một lược đồ Bernoulli, gọi X là số lần xuất hiện biến cố
A trong n phép thử độc lập đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận
các giá trị: 0, 1, . . . , n, với các xác suất tương ứng được tính bởi
cơng thức:
x
Px = P(X = x) = Cn p x (1 − p)n−x , x = 0, 1, . . . , n


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0, 1, . . . , n
với xác suất tương ứng được tính bằng cơng thức
x
Px = P(X = x) = Cn p x (1 − p)n−x , x = 0, 1, . . . , n

gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với tham số n và p. Kí hiệu:
X ∼ B(n, p)


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0, 1, . . . , n
với xác suất tương ứng được tính bằng cơng thức
x
Px = P(X = x) = Cn p x (1 − p)n−x , x = 0, 1, . . . , n

gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với tham số n và p. Kí hiệu:
X ∼ B(n, p)
+ Bảng phân phối xác suất của X:
X
0
...
x
0 p 0 (1 − p)n
x p x (1 − p)n−x
Px Cn
. . . Cn

...
...

n
n
Cn p n (1

− p)0


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [x;
x+h]:

P(x ≤ X ≤ x + h) = Px + · · · + Px+h


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [x;
x+h]:
P(x ≤ X ≤ x + h) = Px + · · · + Px+h
Các giá trị Px có thể tra bảng:


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [x;
x+h]:
P(x ≤ X ≤ x + h) = Px + · · · + Px+h
Các giá trị Px có thể tra bảng: P(X = x) = P(Y = n - x),
trong đó X ∼ B(n, p) và Y ∼ B(n, 1 − p)


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [x;
x+h]:
P(x ≤ X ≤ x + h) = Px + · · · + Px+h
Các giá trị Px có thể tra bảng: P(X = x) = P(Y = n - x),
trong đó X ∼ B(n, p) và Y ∼ B(n, 1 − p)
Các tham số đặc trưng:


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [x;
x+h]:

P(x ≤ X ≤ x + h) = Px + · · · + Px+h
Các giá trị Px có thể tra bảng: P(X = x) = P(Y = n - x),
trong đó X ∼ B(n, p) và Y ∼ B(n, 1 − p)
Các tham số đặc trưng:
E (X ) = np
V (X ) = np(1 − p) → σx =
np + p − 1 ≤ m0 ≤ np + p

np (1 − p)


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
Điều kiện áp dụng quy luật nhị thức


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
Điều kiện áp dụng quy luật nhị thức
Trong thực tế, quy luật nhị thức được dùng nếu bài toán thỏa
mãn lược đồ Bernoulli.


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
Điều kiện áp dụng quy luật nhị thức
Trong thực tế, quy luật nhị thức được dùng nếu bài toán thỏa
mãn lược đồ Bernoulli.
Nếu các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , . . . , Xn độc lập và cùng phân
phối A(p) thì:
n

Xi ∼ B(n, p)

X =
i=1

Nói khác đi, quy luật 0 - 1 là trường hợp riêng của quy luật
nhị thức khi n = 1.


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)
Điều kiện áp dụng quy luật nhị thức
Trong thực tế, quy luật nhị thức được dùng nếu bài toán thỏa
mãn lược đồ Bernoulli.
Nếu các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , . . . , Xn độc lập và cùng phân
phối A(p) thì:
n

Xi ∼ B(n, p)

X =
i=1

Nói khác đi, quy luật 0 - 1 là trường hợp riêng của quy luật
nhị thức khi n = 1.
Nếu các biến ngẫu nhiên U và V độc lập, U ∼ B(n1 ,p), V ∼
B(n2 , p), thì X = U + V ∼ B (n1 + n2 , p)


QUY LUẬT NHỊ THỨC - B(n,p)

Ví dụ

Một đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 5 lựa chọn
trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Một học sinh dự thi bằng cách
chọn ngẫu nhiên một đáp án cho mỗi câu hỏi.
a. Tìm quy luật phân phối xác suất của số câu trả lời đúng.
b. Mỗi câu trả lời đúng được 2 điểm, sai 0 điểm. Tính xác suất để
học sinh đó được ít nhất 15 điểm.
c. Tìm số điểm trung bình học sinh đó.