(LUẬN văn THẠC sĩ) phương pháp hệ động lực giải phương trình toán tử 12

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN BÍCH NGỌC

PHƯƠNG PHÁP HỆ ĐỘNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
TỐN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2014

TIEU LUAN MOI download :


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN BÍCH NGỌC

PHƯƠNG PHÁP HỆ ĐỘNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
TỐN TỬ

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. PHẠM KỲ ANH

HÀ NỘI - 2014

TIEU LUAN MOI download :


Mục lục
Lời cảm ơn

iv

Mở đầu

1

1

1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Phổ của tốn tử tuyến tính giới nội(mục 2.3.2 trang 44-48 của [5])

1

1.2. Định lý ánh xạ phổ (mục 2.3.4 trang 49, 50 của [5]) . . . . . . . .

5

1.3. Định lý phổ cho toán tử tự liên hợp (mục 2.3.5 trang 50, 51 của [5])

7

1.4. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5. Bài tốn đặt chỉnh và bài tốn đặt khơng chỉnh (xem [1])

. . . . 10

1.6. Phương pháp hiệu chỉnh biến phân(mục 2.2 trang 30-40 của [4]) . 12
2 Phương pháp hệ động lực và bài tốn đặt khơng chỉnh
2.1. Phương pháp hệ động lực và bài tốn đặt khơng chỉnh tuyến tính

18
18

2.1.1. Phương pháp hệ động lực(mục 2.6 trang 52-56 của [4]) . . 18
2.1.2. Phương trình với tốn tử bị chặn(mục 4.1 trang 75-83 của
[4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3. Trường hợp dữ liệu bị nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.

Phương pháp hệ động lực giải hệ đại số tuyến tính điều kiện
xấu(xem [3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1. Xây dựng công thức lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2. Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3. Ví dụ giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ii

TIEU LUAN MOI download :


MỤC LỤC

2.2.4. So sánh phương pháp hệ động lực với một số phương pháp
lặp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính
chất đặc biệt

42

3.1. Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử đơn
điệu(mục 6.1 trang 109-114 của [4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1. Kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2. Phương pháp hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3. Trường hợp dữ liệu bị nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử trơn . . . 53
3.2.1. Phương pháp hệ động lực (mục 7.1 trang 121-124 của [4])

53

3.2.2. Trường hợp dữ liệu bị nhiễu (mục 7.2 trang 125, 126 của
[4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.3. Nghiệm lặp (mục 7.3 trang 127-129 của [4]) . . . . . . . . . 57
Kết luận

60

Tài liệu tham khảo

61

iii

TIEU LUAN MOI download :


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH. Phạm
Kỳ Anh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc
của tơi trong suốt q trình làm luận văn. Tôi muốn muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc đến
người thầy đáng kính của mình.
Qua đây, tơi xin gửi tới các thầy cơ đang cơng tác tại Khoa Tốn-Cơ-Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô
đã tham gia giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành đối với công
lao dạy dỗ trong thời gian chúng tôi học tập tại trường.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn
cổ vũ, động viên tôi trong quá trình suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn.
Hà Nội, ngày

tháng

năm 2014

Học viên

Trần Bích Ngọc

iv

TIEU LUAN MOI download :


Lời nói đầu
Luận văn trình bày một hướng tiếp cận chung đến phương trình tốn tử
F (u) = 0,

(0.1)

trong đó F là ánh xạ khơng nhất thiết tuyến tính trong khơng gian Hilbert H.
Để giải phương trình (0.1), chúng ta tìm một ánh xạ phi tuyến Φ(t, u) sao cho bài tốn
Cauchy
u˙ = Φ(t, u),

(0.2)

u(0) = u0 ,

có nghiệm tồn cục duy nhất, tức là nghiệm này tồn tại với mọi t ≥ 0 và có giới hạn
u(∞) thỏa mãn
lim ||u(∞) − u(t)|| = 0,

t→∞

hơn nữa, giới hạn này là nghiệm của phương trình (0.1)
F (u(∞)) = 0.
Các điều kiện trên có thể tóm lược như sau
∃!u(t) ∀t ≥ 0, ∃u(∞), F (u(∞)) = 0.

(0.3)

Phương pháp hệ động lực (DSM) giải phương trình (0.1) là tìm ra một ánh xạ Φ(t, u)
và một điều kiện ban đầu u0 sao cho nghiệm của bài toán (0.2) thỏa mãn điều kiện
(0.3). Khi đó u(∞) là một nghiệm của bài tốn (0.1).
Phạm vi ứng dụng của DSM rất rộng. DSM có thể áp dụng cho nhiều lớp bài toán
khác nhau:
1. Các bài toán đặt chỉnh địa phương theo nghĩa toán tử F thỏa mãn các điều kiện
sup

||F (j) (u)|| ≤ Mj (R),

0 ≤ j ≤ 2,

(0.4)

u∈B(u0 ,R)

v

TIEU LUAN MOI download :


MỤC LỤC

và
||[F (u)]−1 || ≤ m(R).

sup

(0.5)

u∈B(u0 ,R)

2. Các bài toán đặt khơng chỉnh tuyến tính.
3. Bài tốn đặt khơng chỉnh với toán tử đơn điệu, thỏa mãn điều kiện (0.4).
4. Lớp bài tốn đặt khơng chỉnh sao cho
F (y) = f, f (y) = 0
và thỏa mãn điều kiện (0.4).
5. Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử F đơn điệu, liên tục và xác định trên H.
6. Nếu F = L + g, trong đó L là tốn tử tuyến tính, đóng, với miền xác định trù mật,
g là tốn tử phi tuyến thỏa mãn (0.4). Khi đó có thể giải phương trình F (u) = f bằng
phương pháp DSM, với điều kiện phương trình này có nghiệm, và tồn tại L−1 giới nội.
Hơn nữa
||[I + L−1 g (u)]−1 || ≤ m(R).

sup
u∈B(u0 ,R)

Như vậy phương pháp hệ động lực có thể áp dụng cho phương trình với tốn tử khơng
giới nội.
7. DSM có thể sử dụng để chứng minh các kết quả lý thuyết.
Ví dụ ta có thể chứng minh bằng DSM rằng một ánh xạ F : H → H là toàn ánh, nếu
cùng với (0.4), điều kiện sau được thỏa mãn
||[F (u)]−1 || ≤ m(R),

sup

(0.6)

u∈B(u0 ,R)

trong đó
R
= ∞.
R>0 m(R)

sup

8. Có thể sử dụng DSM để giải bài tốn (0.1) mà khơng cần tìm nghịch đảo của F (u).
Nếu có các giả thiết (0.6) và bài tốn (0.1) giải được. Khi đó DSM



u˙ = −QF (u),
Q˙ = −T Q + A∗ ,


u(0) = u ; Q(0) = Q ,
0

0

hội tụ tới một nghiệm của bài toán (0.1) khi t → ∞, và điều kiện (0.3) được thỏa mãn,
trong đó hàm tốn tử Q là nghiệm của bài tốn Cauchy
Q˙ = −T Q + A∗ ,
Q(0) = Q0 ,
vi

TIEU LUAN MOI download :

MỤC LỤC

trong đó A = F (u), T = A∗ A với A∗ là toán tử liên hợp của A.
9. DSM có thể giải bài tốn đặt khơng chỉnh (0.1) trong không gian Banach.
Giả sử F : X → X là một tốn tử khả vi liên tục trong khơng gian Banach X và
c
||A−1
ε || ≤ ,
ε

0 < ε < ε0 ,

trong đó c là hằng số, A = F (u), Aε = A + εI với ε là hằng số dương còn ε0 > 0 là số
nhỏ tùy ý, cố định. Khi đó có thể sử dụng DSM giải phương trình
F (u) + εu = 0.
10. DSM có thể xây dựng sơ đồ lặp hội tụ cho việc giải phương trình (0.1).
Xét một rời rạc của (0.2)



un+1 = un + hn Φ(tn , un ),
u0 = U0 ,


t
n+1 = tn + hn .

(0.7)

Giả sử sơ đồ (0.7) hội tụ:
lim un = u(∞).

n→∞

Khi đó (0.7) là sơ đồ lặp hội tụ cho phương trình (0.1) vì F (u(∞)) = 0.

vii

TIEU LUAN MOI download :


Bảng kí hiệu
A ∈ B(X, Y ) Tốn tử tuyến tính liên tục đưa khơng gian tuyến tính định chuẩn
X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y
ρ(A)
Tập giải thức của A
σ(A)
Phổ của A
σe (A)
Phổ riêng của A
rσ (A)
Bán kính phổ của A
σa (A)
Tập các giá trị riêng xấp xỉ của A
w(A)
Miền tính tốn của A
rw (A)
Bán kính tính tốn của A

∗
A
Tốn tử liên hợp của A
B(X)
Khơng gian các tốn tử tuyến tính liên tục đưa X vào trong nó
f (x, h)
Đạo hàm Fréchet
df (x, h)
Vi phân Fréchet
N (A)
Không gian các không điểm của A
R(A)
Miền giá trị của A
K
Tập các số thực hoặc phức
K(A)
Số điều kiện của ma trận A

viii

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản của phổ của tốn tử
tuyến tính, đạo hàm Fréchet, bài tốn đặt chỉnh và đặt khơng chỉnh cũng như một số
ví dụ minh họa.

1.1.

Phổ của tốn tử tuyến tính giới nội(mục 2.3.2 trang 44-48
của [5])

Định nghĩa 1.1.1. (Tập giải thức)
Giả sử X0 là khơng gian con của khơng gian tuyến tính định chuẩn X và A : X0 → X
là một toán tử tuyến tính. Khi đó tập
ρ(A) = {λ ∈ K : A − λI : X0 → X là song ánh và (A − λI)−1 ∈ B(X)},
được gọi là tập giải thức của A.
Định nghĩa 1.1.2. (Phổ của toán tử )
Ký hiệu
σ(A) = {λ ∈ K : λ ∈
/ ρ(A)},
được gọi là phổ của A. Phần tử của σ(A) gọi là giá trị phổ của A, đại lượng
rσ (A) = sup{|λ| : λ ∈ σ(A)},
gọi là bán kính phổ của A.
Định lý 1.1.1. (Nghịch đảo bị chặn)
Giả sử X, Y là các không gian Banach, X0 là không gian con của X và T : X0 → Y
1

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

là toán tử đóng. Giả sử T là đơn ánh. Khi đó T −1 : R(T ) → X bị chặn khi và chỉ khi
R(T ) đóng.
Nếu X là khơng gian Banach và A : X0 → X là tốn tử đóng, khi đó

ρ(A) = {λ ∈ K : A − λI : X0 → X là song ánh }.
Định nghĩa 1.1.3. (Giá trị riêng, vec tơ riêng )
Tập tất cả các giá trị λ mà A − λI không đơn ánh được gọi là phổ riêng của A, ký hiệu
là σe (A). Ta có,
σe (A) ⊆ σ(A).
Phần tử của phổ riêng được gọi là giá trị riêng. Do đó, λ là giá trị riêng của A khi và
chỉ khi tồn tại phần tử khác không x ∈ X0 sao cho
Ax = λx,
trong trường hợp này x được gọi là vec tơ riêng ứng với giá trị riêng λ. Tập tất cả các
vec tơ riêng ứng với giá trị riêng λ và 0 (vec tơ không) tạo thành một không gian con,
không gian này gọi là không gian riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ.
Trong trường hợp X là không gian hữu hạn chiều, mọi tốn tử tuyến tính A : X → X
liên tục và đơn ánh nếu và chỉ nếu nó là song ánh, do đó
σe (A) = σ(A).
Chý ý rằng nếu A là ma trận cấp n, khi đó nó có thể được xem như là một tốn tử
tuyến tính A : Kn → Kn với định nghĩa Ax = Ax, x ∈ Kn , trong đó x là vectơ cột
của chuyển vị của x. Khi đó ta có thể xem λ ∈ σe (A) tương đương với tồn tại x ∈ Kn ,
x = 0 (vectơ khác không) sao cho Ax = λx, tức là
det(A − λI) = 0.
Định nghĩa 1.1.4. (Giá trị riêng xấp xỉ )
Nếu λ ∈ K mà A − λI không bị chặn dưới thì khi đó λ là một giá trị riêng xấp xỉ của
A, tập các giá trị riêng xấp xỉ của A ký hiệu là σa (A).

2

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Ta có thể chỉ ra rằng λ ∈ σa (A) khi và chỉ khi tồn tại (xn ) ⊂ X0 sao cho

xn = 1

với mọi n ∈ N và
Axn − λxn → 0, n → ∞.
Rõ ràng,
σe (A) ⊆ σa (A) ⊆ σ(A).
Nếu X là khơng gian Banach và A là tốn tử compact trên X với số chiều vơ hạn thì
R(A) khơng đóng trong X, do đó 0 ∈ σa (A).
Định lý 1.1.2. Giả sử X, Y là các không gian Banach, A ∈ B(X, Y ), B ∈ B(Y, X) và
λ là một số khác khơng. Khi đó
λ ∈ ρ(AB),
khi và chỉ khi
λ ∈ ρ(BA),
và
(BA − λI)−1 =

1
[B(AB − λI)−1 A − I].
λ

Đặc biệt,
σ(AB) {0} = σ(BA) {0}, rσ (AB) = rσ (BA).
Nếu X là không gian Hilbert và A ∈ B(X) thì
σa (A) ⊆ cl{ Ax, x : x = 1},
và nếu A là một tốn tử chuẩn tắc thì
λ ∈ σe (A),
khi và chỉ khi
λ ∈ σe (A∗ ).

Định nghĩa 1.1.5. (Miền tính tốn)
Tập
w(A) = { Ax, x : x ∈ X, x = 1},
gọi là miền tính tốn của A.

3

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Định lý 1.1.3. (xem [5], phần 12.1) Nếu X là không gian Hilbert và A ∈ B(X) thì
σ(A) = σa (A) ∪ {λ : λ ∈ σe (A∗ )}.
Đặc biệt,
(i) σ(A) ⊆ clw(A),
(ii) nếu A là một tốn tử chuẩn tắc thì σ(A) = σa (A),
(iii) nếu A là một toán tử tự liên hợp thì σ(A) = σa (A) ⊆ R.
Giả sử X là không gian Hilbert và A ∈ B(X), từ định lý trên ta có
rσ (A) ≤ rw (A) ≤ A ,
trong đó
rw (A) = sup{|λ| : λ ∈ w(A)}.
Định nghĩa 1.1.6. (Bán kính tính tốn)
Đại lượng rw (A) ở trên được gọi là bán kính tính tốn của A.
Hơn nữa, nếu A là tốn tử tự liên hợp thì σ(A) ⊆ [αA , βA ], với αA = inf w(A), βA =
sup w(A). Toán tử A ∈ B(X) là toán tử dương nếu w(A) ⊆ [0, ∞).
Như ta đã biết (xem [5], Định lý 12.8), với mỗi toán tử tự liên hợp A ∈ B(X) thì
rσ (A) = A = sup{| Ax, x| : x ∈ X, x = 1}.
Điều này chứng tỏ rằng phổ của toán tử tự liên hợp luôn khác rỗng. Chú ý rằng nếu X
và Y là các không gian Hilbert và T ∈ B(X, Y ) thì tốn tử T ∗ T ∈ B(X) và T T ∗ ∈ B(Y )

là các toán tử dương.
Tổng quát, chúng ta có kết quả sau (xem [5], phần 10.2).
Hệ quả 1.1. Giả sử X là không gian Banach và A ∈ B(X), khi đó ρ(A) mở , σ(A)
compact và
rσ (A) ≤ inf{ Ak

1/k

: k ∈ N}.

Trong trường hợp K = C thì σ(A) khác rỗng và
rσ (A) = inf{ Ak

1/k

: k ∈ N} = lim Ak
k→∞

1/k

.

4

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Đẳng thức này khơng đúng nếu K = N. Ví dụ, lấy X = R2 và A là toán tử

với ánh xạ xác định bởi công thức: nếu x = (α1 , α2 ) thì Ax = (α2 , −α1 ). Khi đó
σ(A) = σe (A) = ∅. Vì
A2k = (−I)k , A2k+1 = (−I)k A ∀k ∈ N,
với mọi chuẩn trên R2 ta có
0 = rσ (A) < min{1, A } = inf{ Ak

1/k

: k ∈ N}.

Ví dụ 1.1.1. Giả sử X = C 1 [0, 1] và A : X → X được định nghĩa bởi Ax = x . Với
mỗi λ ∈ K thì hàm x ∈ X thỏa mãn phương trình Ax = λx khi và chỉ khi x(t) = eλt ,
t ∈ [0, 1]. Do đó σe (A) = K. Nếu lấy
X0 = {x ∈ C 1 [0, 1] : x(0) = 0},
và xét A là một toán tử trên X0 thì ta có σe (A) = ∅.
Ví dụ 1.1.2. Giả sử X = C[0, 1] với chuẩn .

∞

và A : X → X được định nghĩa bởi

t

(Ax)(t) =

x(s)ds,

x ∈ C[0, 1].

0

Với mỗi x ∈ X, Ax = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 nên 0 ∈
/ σe (A). Giả sử λ là một số khác
không và x ∈ X, khi đó Ax = λx khi và chỉ khi
x(t) =

t

1
λ

x(s)ds.
0

Với một hàm khác không x ∈ C[0, 1], phương trình trên kéo theo x khả vi, x(0) = 0,
x(t) = et/λ với mọi t ∈ [0, 1], điều này không thể xảy ra. Vậy không tồn tại một hàm
khác không x ∈ C[0, 1] thỏa mãn phương trình trên. Do đó, σe (A) = ∅.
Bây giờ ta xét đến giá trị phổ của A. Nhắc lại rằng A là toán tử compact, mỗi giá trị
phổ khác khơng của tốn tử compact đều là giá trị riêng. Do đó σ(A) ⊆ {0}. Vì A
khơng tồn ánh, mỗi hàm trong miền của A đều khả vi, điều này kéo theo 0 ∈ σ(A).
Do đó σ(A) = {0}, và 0 là một giá trị riêng.

1.2.

Định lý ánh xạ phổ (mục 2.3.4 trang 49, 50 của [5])

Giả sử X là không gian Banach và A ∈ B(X). Nếu p(t) là một đa thức có dạng
p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + ... + an tn ,
5

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

thì ta định nghĩa
p(A) = a0 I + a1 A + a2 A2 + ... + an An .
Sự liên hệ giữa phổ của p(A) và phổ của A được thể hiện trong định lý sau (xem [5],
Định lý 10.14 và 12.12).
Định lý 1.2.1. Giả sử X là không gian Banach và A ∈ B(X) và p(t) là một đa thức.
Khi đó
{p(λ) : λ ∈ σ(A)} ⊆ σ(p(A)).
Nếu K = C hoặc nếu X là khơng gian Hilbert và A là tốn tử tự liên hợp, thì
{p(λ) : λ ∈ σ(A)} = σ(p(A)).
Hệ quả 1.2. Giả sử X là không gian Hilbert, A ∈ B(X) là toán tử tự liên hợp và p(t)
là một đa thức với hệ số thực. Khi đó p(A) tự liên hợp và
p(A) ≤ p

∞=

sup{|p(λ)| : λ ∈ [αA , αB ]},

với αA = inf w(A), αB = sup w(A).
Bây giờ, giả sử A ∈ B(X) là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert X và f là
hàm thực liên tục trên [αA , βA ]. Theo định lý xấp xỉ Weierstrass, tồn tại dãy đa thức
với hệ số thực (pn ) sao cho
f − pn

∞=

sup

| f (t) − pn (t) |→ 0,

n, m → ∞.

αA ≤t≤βA

Theo Hệ quả 1.2,
pn (A) − pm (A) ≤ pn − pm

∞.

Vì B(X) đầy đủ nên dãy (pn (A)) hội tụ tới một toán tử trong B(X). Ký hiệu toán tử
này là f (A), ta có
f (A) = lim pn (A).
n→∞

Dễ dàng chứng tỏ được f (A) cũng tự liên hợp. Hơn nữa, theo Hệ quả 1.2,
f (A) = lim pn (A) ≤ lim pn
n→∞

n→∞

∞

= f

∞.

Nếu A là toán tử tự liên hợp dương, ta có thể định nghĩa Aν , ν > 0 bởi hàm f (λ) = λν ,
√
trong trường hợp căn bậc hai của A, tức là A1/2 thì f (λ) = λ, λ > 0.
6

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.3.

Định lý phổ cho toán tử tự liên hợp (mục 2.3.5 trang 50,
51 của [5])

Giả sử A ∈ B(X) là toán tử tự liên hợp, nhưng khơng nhất thiết là tốn tử compact
trong khơng gian Hilbert X. Trong trường hợp này ta có định lý biểu diễn phổ, nhưng
với biểu diễn tích phân (xem [5], phần 13.3). Với mỗi toán tử tự liên hợp A, ký hiệu
αA = inf w(A), βA = sup w(A),
với w(A) là miền tính tốn của A.
Định lý 1.3.1. Giả sử X là không gian Hilbert và A ∈ B(X) là tốn tử tự liên hợp.
Khi đó tồn tại họ {Eλ : a ≤ λ ≤ b} các phép chiếu trực giao với a = αA và b = βA sao
cho Ea =

, Eb = I, Eλ ≤ Eµ khi a ≤ λ ≤ µ ≤ b, Eλ+1/n x → Eλ x khi n → ∞ với mỗi

x ∈ X, a < λ < b, và
b

A=

λdEλ .
a

Hơn nữa, với mỗi hàm nhận giá trị thực f ∈ C[a, b],
b

f (A) =

f (λ)dEλ

(1.1)

a

là một toán tử tự liên hợp trên X, và
b

f (A)x, y =

∀x, y ∈ X.

f (λ)d Eλ x, y

(1.2)

a

Đặc biệt,
b

f (A)x

2

|f (λ)|2 d Eλ x, x

=

∀x ∈ X.

a

Họ Eλ ở định lý trên được gọi là phân phổ chuẩn của toán tử đồng nhất (normalized
resolution of identity) tương ứng với A. Các tích phân (1.1) và (1.2) là hiểu theo nghĩa
của Riemann-Stieltjes. Lấy ví dụ, tích phân (1.1) được xác định như sau: với mỗi ε > 0,
tồn tại δ > 0 sao cho
n
(n)

f (A) −

f (τj )(Eλ(n) − Eλ(n) ) < ε,
j

j=1

j−1

khi

(n)

(n)

αA = λ0 ≤ λ1 ≤ ... ≤ λ(n)
n = βA ,

(n)

τj

(n)

(n)

∈ [λj−1 , λj ],

j = 1, 2, ..., n

và
(n)

(n)

max (λj − λj−1 ) < δ.

1≤j≤n

7

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.4.

Đạo hàm Fréchet

Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. f : X → Y, x0 ∈ X, h ∈ X.
Định nghĩa 1.4.1. Toán tử f là khả vi (theo nghĩa Fréchet) tại x0 nếu tồn tại một ánh
xạ tuyến tính liên tục A(x0 ) : X → Y sao cho f (x0 + h)−f (x0 ) = A (x0 ) [h]+φ (x0 , h)
φ(x0 ,h)
h
h →0

trong đó lim

= 0. Khi đó

(i) A (x0 ) [h] gọi là vi phân (Fréchet) của toán tử f tại x0 . Ký kiệu là df (x0 , h) =
A (x0 ) [h] .
(ii) Toán tử A (x0 ) : X → Y xác định bởi h → A (x0 ) [h] gọi là đạo hàm (Fréchet) của
toán tử f tại x0 . Ký kiệu là f (x0 ) = A. Vậy df (x0 , h) = f (x0 ) [h].
Định lý 1.4.1. Một toán tử được xác định trên một tập con mở của một khơng gian
Banach là khả vi Fréchet tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
Chứng minh. Cho A là một tập mở trong khơng gian Banach X. Tốn tử f : A → Y .
Lấy x ∈ A và ε > 0 thỏa mãn x + h ∈ A,

h

< ε thì f (x + h) − f (x0 )

=

Ah + φ (x, h) → 0 khi h → 0. Suy ra f liên tục tại x.
Định lý 1.4.2. (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet )Đạo hàm Fréchet của một tốn
tử nếu tồn tại thì duy nhất.
Chứng minh. Giả sử A, B là hai tốn tử tuyến tính liên tục, cùng là đạo hàm của toán
tử f : X → Y tại X, nghĩa là:
f (x + h) − f (x) = A (x) [h] + φA (x0 , h) ,

∀h ∈ X,

f (x + h) − f (x) = B (x) [h] + φB (x0 , h) ,

∀h ∈ X.

Từ đó,
A (h) − B (h)
φA (x0 , h) − φB (x0 , h)
=
→ 0 khi h → 0.
h
h
Ta có với mọi k ∈ X và với mọi ε > 0 thì

A(k)−B(k)
k

=

A(εk)−B(εk)
εk

→ 0 ( khi ε → 0

thì εk → 0) nên vế phải tiến tới không. Suy ra A (k) = B (k), với mọi k ∈ X hay
A ≡ B.
Định lý 1.4.3. Cho X, Y là những không gian Banach thực. Nếu g : X → Y là khả
vi Fréchet tại x ∈ X và f : Y → Z khả vi Fréchet tại y = g (x) thì φ = f ◦ g khả vi
Fréchet tại x và φ (x) = f (g (x)) .g (x).
8

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Chứng minh. Với mọi x, h ∈ X, ta có
φ (x + h) − φ (x) = f [g (x + h)] − f [g (x)]
= f [g (x + h) − g (x) + g (x)] − f [g (x)]
= f (d + y) − f (y) ,
trong đó d = g (x + h) − g (x).
Do đó φ (x + h) − φ (x) − f (y) d = O ( d ), trong biểu diễn của d − g (x) h =
O ( h ). Suy ra φ (x + h) − φ (x) − f (y) .g (x) .h = O ( h ) + O ( d ). Khi đó g
liên tục tại x, ta có d = O ( h ) ⇒ φ (x) h = f [g (x)] .g (x) .h.
Ví dụ 1.4.3. Nếu f : R → R thì đạo hàm, vi phân Fréchet trùng với khái niệm đạo
hàm và vi phân theo nghĩa thơng thường.
Ví dụ 1.4.4. Cho f : Rn → R, x0 = (x01 , x02 , ..., x0n ),

h = (h1 , h2 , ..., hn ) ∈ Rn . Vi phân Fréchet của f tại x0 là:

df (x0 , h) =

n ∂f x0
( )
∂xi
i=1

hi =

∂f
∂x1

(x0 ) ,

∂f
∂x2

∂f
(x0 ) , ..., ∂x
(x0 )
n


h1
 h2 


 . 

hn

= A (x0 ) [h]
Ví dụ 1.4.5. Nếu f : Rn → Rm , x0 = (x01 , x02 , ..., x0n ),
h = (h1 , h2 , ..., hn ) ∈ Rn , f (x) = (f1 (x) , f2 (x) , ..., fn (x) ). Vi phân Fréchet của f tại
x0 là:

0


df (x , h) = 

∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂fm
∂x1

0

(x )
(x0 )
(x0 )

∂f1
(x0 )
∂x2
∂f2
(x0 )

∂x2
∂fm
(x0 )
∂x2

...
...
...

∂f1
(x0 )
∂xn
∂f2
(x0 )
∂xn
∂fm
(x0 )
∂xn

 h 
1

h
 2 


. 
hn

= A (x0 ) [h]

Định nghĩa 1.4.2. Nếu f : X → Y khả vi Fréchet trên tập mở A ⊂ X và f khả vi
Fréchet tại x ∈ A thì f được gọi là hai lần khả vi Fréchet tại x. Đạo hàm Fréchet của
f tại x gọi là đạo hàm Fréchet cấp hai của f . Ký hiệu là f (x).
Ví dụ 1.4.6. Cho f : Rn → R, x0 = (x01 , x02 , ..., x0n ) , h = (h1 , h2 , ..., hn ) ∈ Rn . Đạo
hàm Fréchet cấp 2 của f tại x0 là:
f (x0 , h) =

n
i,j=1

∂2f
∂xi ∂xj

(x0 ) hi hj .

9

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.5.

Bài toán đặt chỉnh và bài tốn đặt khơng chỉnh (xem [1])

Xét phương trình tốn tử
F (u) = f,

(1.3)

trong đó F : X → Y là một tốn tử từ khơng gian Banach X vào khơng gian Banach
Y . Bài tốn (1.3) được gọi là bài toán đặt chỉnh nếu thỏa mãn các điều kiện:
(i) Với mọi f ∈ Y phương trình (1.3) có nghiệm,
(ii) nghiệm u ở trên là duy nhất,
(iii) nghiệm u phụ thuộc liên tục vào f .
Bài toán (1.3) gọi là bài tốn đặt khơng chỉnh nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên
khơng thỏa mãn.
Ví dụ 1.5.7 (Hệ đại số tuyến tính với ma trận điều kiện xấu). Giả sử
Au = f,

(1.4)

là một hệ đại số tuyến tính trong Rn , u, f ∈ Rn , A = (aij )n×n là ma trận điều kiện
xấu, tức là số điều kiện K(A) = ||A||||A−1 || lớn. Nếu A suy biến, N (A) = {0}, khi đó
K(A) = ∞ vì ||A−1 || = ∞. Thật vậy,
||A−1 || = sup
f =0

||A−1 f ||
1
1
= sup
=
= ∞,
||Au||
||f ||
u=A−1 f =0 ||Au||
inf u=0
||u||

||u||

vì nếu N (A) = {0} thì sẽ tồn tại u = 0 để Au = 0.
Bài toán (1.4) là "thực tế đặt không chỉnh" nếu N (A) = {0} nhưng K(A)

1. Thật

vậy, ta có
||∆u||
||A−1 ∆f ||
||∆f ||||A−1 ||
||∆f ||
=
≤
= K(A)
.
−1
−1
||u||
||A f ||
||f ||||A||
||f ||
Nếu số điều kiện của ma trận K(A)

1 thì một sai số nhỏ của vế phải có thể gây ra

sai số rất lớn ở nghiệm. Ma trận Hilbert H = (aij )nxn với các phần tử aij =

1
, i, j

i+j+1

=

0, . . . , n có số điều kiện K(A) = O(en ) rất lớn khi n lớn.
Xét phương trình (1.4) với
A=
khi đó f =

4.1
9.7

4.1 2.8
,u =
9.7 6.6

1
,
0

, số điều kiện của A là 2, 249.5. Nếu f được thay bởi fδ =

nghiệm tương ứng là uδ =

0.34
0.97

4.11
9.70

thì

. Ta có thể nhận thấy rằng sự nhiễu nhỏ của f dẫn

đến sự nhiễu lớn của u.
10

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Ví dụ 1.5.8 (Bài tốn cực tiểu hóa). Giả sử f (u) ≥ m > −∞ là một phiếm hàm liên
tục trong không gian Banach X. Xét bài tốn tìm cực tiểu tồn cục
m = inf f (u).
u

Giả sử điểm cực tiểu toàn cục y tồn tại duy nhất f (y) = m. Khi đó bài tốn tìm cực
tiểu tồn cục y là đặt không chỉnh. Thật vậy, xét fδ (u) = f (u) + gδ (u), trong đó
sup |gδ (u)| ≤ δ.
u∈X

Ta có
inf [f (u) + gδ (u)] ≤ inf f (u) + sup gδ (u) ≤ m + δ,
u

u

và
m − δ ≤ inf f (u) − sup |gδ (u)| ≤ inf [f (u) + gδ (u)],

u

u

do đó,
m − δ ≤ inf [f (u) + gδ (u)] ≤ m + δ.
u

Như vậy, nhiễu nhỏ của hàm mục tiêu f chỉ dẫn đến nhiễu nhỏ của giá trị cực tiểu,
nhưng nó có thể gây ra nhiễu lớn của điểm cực tiểu. Ví dụ, xét hàm f (x) = − cos x +
2

εx2 e−x , x ∈ R. Hàm f có điểm cực tiểu toàn cục x∗ = 0 và giá trị cực tiểu tồn cục
m = −1. Có thể chọn gδ (x) là hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện sup{|gδ (x)| : x ∈ R} ≤
δ,

gδ (0) > 0, sao cho điểm cực tiểu toàn cục của f (x) + gδ (x) cách x∗ = 0 xa tùy ý.
2

Cho ví dụ, lấy hàm gδ (x) = δ(x + 1)2 e−(x+1) . Khi đó |gδ (x)| ≤ δ, xét hàm
Fδ (x) = f (x) + gδ (x).
Ta có
Fδ (x) ≥ −cosx ≥ −1,
và
Fδ (x∗ ) > −1.
Chọn xk = 2kπ, k

1, ta có
Fδ (xk ) → −1, khi k → ∞.

Vậy điểm cực tiểu toàn cục của Fδ cách xa x∗ .

11

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.6.

Phương pháp hiệu chỉnh biến phân(mục 2.2 trang 30-40
của [4])

Xét bài toán đặt khơng chỉnh tuyến tính
Au = f,

(1.5)

với A là tốn tử tuyến tính đóng, trù mật trong khơng gian Hilbert H.
Giả sử bài tốn (1.5) là đặt khơng chỉnh, Ay = f , trong đó y ⊥ N ,
N = N (A) = {u : Au = 0}, còn vế phải có nhiễu fδ thỏa mãn điều kiện
||fδ − f || ≤ δ,

||fδ || > cδ,

c là hằng số, c ∈ (1, 2).

Xét bài tốn tìm cực tiểu phiếm hàm
F(u) = ||Au − fδ ||2 + a||u||2 ,

(1.6)

với a là tham số hiệu chỉnh.
Phương pháp hiệu chỉnh biến phân giải phương trình (1.5) là tìm cực tiểu phiếm hàm
(1.6) và chọn tham số a = a(δ) thỏa mãn
lim a(δ) = 0,

δ→0

sao cho
lim ||Rδ fδ − u|| = 0,

δ→0

với
Rδ fδ = uδ = ua(δ),δ .
Ta sẽ chỉ ra cực tiểu toàn cục (1.6) tồn tại duy nhất. Thật vậy, (1.6) là một phiếm
hàm bậc hai nên điều kiện cần là điểm cực tiểu tồn cục của (1.6) thỏa mãn phương
trình Euler. Giả sử A bị chặn. Khi đó phương trình Euler cho hàm (1.6) có dạng
A∗ Au + au = A∗ fδ .

(1.7)

Đặt
A∗ A = T,

Ta = T + aI.

Vì T = T ∗ ≥ 0 nên T là toán tử khả nghịch liên tục, hơn nữa ||Ta−1 || ≤

1
, do đó
a

phương trình (1.7) có nghiệm ua,δ = Ta−1 A∗ fδ và nghiệm này là duy nhất.
Ta có
F(ua,δ ) ≤ F(ua,δ + v), ∀v ∈ H,
12

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi v = 0.
Do đó
F(ua,δ ) ≤ F(u).
Chọn a = a(δ) sao cho uδ = ua(δ),δ thỏa mãn
lim ||uδ − y|| = 0.

(1.8)

||Ta−1 A∗ fδ − y|| ≤ ||Ta−1 A∗ (fδ − f )|| + ||Ta−1 A∗ f − y|| = J1 + J2 .

(1.9)

δ→0

Ta có

Chú ý rằng
1
||Ta−1 A∗ || ≤ √ .
2 a
Thật vậy, sử dụng cơng thức giao hốn
A∗ (AA∗ + aI) = (A∗ A + aI)A∗ ,
suy ra
A∗ Qa = Ta A∗ .
Do đó
Ta−1 A∗ = A∗ Q−1
a .
Mặt khác
A∗ = U (AA∗ )1/2 ,
với U là phép đẳng cự bộ phận.
Áp dụng định lý phổ ta có
1/2 −1
||Ta−1 A∗ || = ||A∗ Q−1
Qa || = sup
a || ≤ ||Q
s≥0

và

||T ||

J22 = ||Ta−1 T y − y||2 = a2 ||Ta−1 y|| =
0

s1/2

1
= √ ,
s+a
2 a

a2 d(Es y, y)
= β 2 (a).
(a + s)2

Do đó
δ
J1 ≤ √ .
2 a

(1.10)

lim J22 = lim β 2 (a) = ||PN y||2 = 0,

(1.11)

Ta có
a→0

a→0

13

TIEU LUAN MOI download :

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

vì y ⊥ N theo giả thiết, và
N = (E0 − E−0 )H.
Từ (1.9), (1.10) và (1.11) ta thu được
δ
||ua,δ − y|| ≤ √ + β(a).
2 a
Lấy a(δ) thỏa mãn
lim a(δ) = 0,

δ→0

δ

lim

a(δ)

δ→0

= 0,

(1.12)

đặt ua(δ),δ = uδ ta được (1.8). Tóm lại, ta có kết quả sau.
−1
Định lý 1.6.1. Giả thiết a = a(δ) thỏa mãn (1.12). Khi đó phần tử uδ = Ta(δ)
A∗ fδ

thỏa mãn (1.8).
Bây giờ chúng ta nghiên cứu sự lựa chọn hậu nghiệm của a(δ), dựa trên nguyên lý
biểu diễn. Giả sử ua,δ = Ta−1 A∗ fδ . Cho δ là một số dương cố định, xét phương trình
Aua,δ − fδ = ATa−1 A∗ fδ − fδ = cδ,

c ∈ (1, 2),

(1.13)

là phương trình của a = a(δ), với c là hằng số và ta giả thiết fδ > cδ. Ta chứng minh
được kết quả sau.
Định lý 1.6.2. Phương trình (1.13) có nghiệm duy nhất a = a(δ) với mỗi δ > 0 đủ
nhỏ, thỏa mãn fδ − f ≤ δ,

fδ > cδ, và f = Ay. Ta có limδ→0 a(δ) = 0 và (1.8)

−1
thỏa mãn với uδ = Ta(δ)
A ∗ fδ .

Chứng minh. Áp dụng công thức giao hoán Ta−1 A∗ = A∗ Q−1
a và sử dụng định lý phổ
cho tốn tử tự liên hợp Q, ta có
∞

ATa−1 A∗ fδ

− fδ

2

=

[QQ−1
a

− I]fδ

2

=
0

a2 d(Es fδ , fδ )
= h(δ, a).
(a + s)2

Hàm h(δ, a) liên tục theo a trên (0, ∞) với mọi δ > 0. Ta có
∞

h(δ, ∞) =

d(Es fδ , fδ ) = fδ

2

> c2 δ 2 ,

(1.14)

0

và
h(δ, +0) = PN ∗ fδ

2

≤ δ2,

(1.15)

trong đó N ∗ = N (A∗ ) = N (Q), P là phép chiếu trực giao trên N = N (A), và ta sử
dụng công thức
∞

lim

a→0

0

a2 d(εs fδ , fδ )
= (ε0 − ε−0 )fδ
(a + s)2

2

= P N ∗ fδ 2 ,

14

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

với εs là phân phổ của toán tử đơn vị ứng với toán tử Q, và
PN ∗ fδ ≤ PN ∗ f + PN ∗ (fδ − f ) ≤ δ, vì PN ∗ R(A) = 0, f ∈ R(A).
Từ (1.14) và (1.15), kết hợp với h(δ, a) là hàm liên tục ta suy ra được phương trình (1.13)
có nghiệm. Nghiệm này là duy nhất vì h(δ, a) là hàm đơn điệu tăng của a với một số
cố định δ > 0. Hơn nữa limδ→0 a(δ) = 0, vì limδ→0 h(δ, a(δ)) = 0, và h(δ, a(δ)) ≥ c1 > 0
nếu limδ→0 a(δ) ≥ c2 > 0, với c1 , c2 là các hằng số.
−1
Bây giờ chúng ta chứng minh (1.8) thỏa mãn với uδ = Ta(δ)
A∗ fδ . Ta có

F(uδ ) = c2 δ 2 + a(δ) uδ

2

≤ F(y) = δ 2 + a(δ) y 2 .

Vì c > 1 nên
uδ ≤ y ,

(1.16)

lim sup uδ ≤ y .

(1.17)

do đó
δ→0

Từ (1.16) suy ra tồn tại một dãy con uδ hội tụ mạnh đến u khi δ → 0. Do đó
u ≤ lim sup uδ .

(1.18)

δ→0

Từ (1.17) và (1.18) ta suy ra u ≤ y . Vì nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của phương
trình (1.5) là duy nhất nên u = y. Ta có
uδ − y

2

= uδ

Kết hợp với (1.16) ta được uδ

2

+ y

2

− 2Re(uδ , y) → 0,

t → 0.

−1
y. Do đó ta có (1.8) với uδ = Ta(δ)
A∗ fδ .

Giả sử wa,δ là xấp xỉ nhỏ nhất của (1.6) theo nghĩa
F(w, δ) = c2 δ 2 + a(δ)||wa,δ ||2 ≤ m + (c2 − 1 − b)δ 2 ,

c2 > b + 1,

(1.19)

trong đó c ∈ (1, 2) là hằng số, b là hằng số dương, và m = inf u F(u). Ta chứng minh
được định lý sau.
Định lý 1.6.3. Giả sử có (1.19), đồng thời
||fδ || > cδ,

||fδ − f || ≤ δ,

f = Ay,

y ⊥ N.

Khi đó với mọi wa,δ thỏa mãn (1.19) phụ thuộc liên tục vào a, phương trình
||Awa,δ − fδ || = cδ,

(1.20)

15

TIEU LUAN MOI download :


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

có nghiệm a = a(δ) sao cho wδ = wa(δ),δ hội tụ tới y, tức là
lim ||wδ − y|| = 0.

δ→0

(1.21)

Chứng minh. Đặt H(δ, a) = ||Awa,δ − fδ ||. Vì wa,δ liên tục theo a nên H(δ, a) liên tục
theo a. Ta chỉ ra rằng
H(δ, +0) < cδ, H(δ, ∞) > cδ,
khi đó tồn tại a = a(δ) thỏa mãn (1.20). Cho a → ∞, ta có
a||wa,δ ||2 ≤ F(wa,δ ) ≤ m + (c − 1 − b)δ 2 ≤ F(0) + (c2 − 1 − b)δ 2 .

(1.22)

Vì F(0) = ||fδ ||2 nên từ (1.22) ta thu được
c
||wa,δ || ≤ √ ,
a

a → ∞.

Do đó
lim ||wa,δ || = 0,

a→∞

nên
H(δ, ∞) = ||A0 − fδ || = ||fδ || > cδ.

(1.23)

Giả sử a → 0, khi đó
H 2 (δ, a) ≤ F(wa,δ ) ≤ m + (c2 − 1 − b)δ 2 ≤ F(y) + (c2 − 1 − b)δ 2 .
Vì
F(y) = δ 2 + a||y||2 ,
nên
H 2 (δ, a) ≤ (c2 − b)δ 2 + a||y||2 .
Vậy
H(δ, +0) ≤ δ(c2 − b)1/2 < cδ.

(1.24)

Từ (1.23) và (1.24) và tính lấp đầy của hàm liên tục H(δ, .) ta suy ra phương trình
(1.20) có nghiệm a = a(δ).
Cuối cùng ta chứng minh (1.21). Ta có
F(wδ ) = ||Awδ − fδ ||2 + a(δ)||wδ ||2 = c2 δ 2 + a(δ)||wa,δ ||2 ≤ m + (c2 − 1 − b)δ 2 ,

16

TIEU LUAN MOI download :