(Luận văn thạc sĩ) phương trình toán tử ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trần Thị Kim Thanh

PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN

Chun ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng

i


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.Toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên
6

Chương 2. Các kết quả về sự tồn tại điểm bất động và lời
giải của phương trình tốn tử ngẫu nhiên

11

2.1.Sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử
ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2.Phương trình tốn tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . .

19

2.2.1. Phương trình tốn tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.2. Phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Chương 3. Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm bất
động và giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên
29
3.1.Quy trình lặp ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii

29

3.2.Sự hội tụ của thuật toán lặp . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3.Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm bất động
và giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên . . . . .

39

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

iii


MỞ ĐẦU
Định lí điểm bất động của Banach đối với ánh xạ co trên
không gian mêtric đủ là một kết quả kinh điển của Toán học.
Sau Banach, lý thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề
thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà Toán học trên
thế giới và từ đó đã có các ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực khác như: Giải tích, Phương trình vi tích phân, Lý thuyết tối
ưu, Các bao hàm thức vi phân, Vật lí, ....Việc nghiên cứu điểm
bất động là cơ sở cho lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên.

Các cơng trình về điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên của
O.Hans và A.Spacek trong những năm 1950 là sự khởi đầu cho
hướng nghiên cứu này. Các bài viết đặc sắc của A. T. Bharucha Ried năm 1976 thực sự là bước tiến nhảy vọt cho mảng lý thuyết
phương trình tốn tử ngẫu nhiên. Ngày nay, phương trình toán
tử ngẫu nhiên trở thành trung tâm nghiên cứu của Giải tích phi
tuyến và Lý thuyết xác suất. Đến nay, trên thế giới đã có nhiều
cơng trình nghiên cứu rất phong phú về phương trình tốn tử
ngẫu nhiên cho nhiều kiểu tốn tử và trên nhiều loại khơng gian
khác nhau, từ đó cho thấy sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên
của toán tử đơn trị và đa trị.
Với mong muốn tìm hiểu một cách chi tiết và hệ thống về
hướng lý thuyết này, tôi đã lựa chọn đề tài: Phương trình tốn
tử ngẫu nhiên dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Đặng Hùng
Thắng. Luận văn của tôi gồm 3 chương.

1


Chương 1: trình bày các kiến thức chuẩn bị bao gồm các
khái niệm được sử dụng và một số kết quả khơng chứng minh
khác.
Chương 2: trình bày các kết quả về sự tồn tại điểm bất
động và giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên. Ở đây, chúng tơi
nghiên cứu nghiệm của phương trình tốn tử ngẫu nhiên tổng
qt và phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu trên khơng
gian Banach tách được.
Chương 3: trình bày phương pháp lặp để tìm điểm bất động
và giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên. Chúng tôi giới thiệu hai
sơ đồ lặp tổng quát để giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên, đó
là sơ đồ lặp Mann và sơ đồ lặp Ishikawa. Sau đó, chúng tơi trình

bày điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của sơ đồ lặp ngẫu nhiên để
tìm điểm bất động của phương trình tốn tử tiệm cận tựa - không
giãn trên không gian Banach. Từ những lý thuyết trên, chúng tôi
nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm bất động ngẫu nhiên(ở đây
dãy lặp được xây dựng hội tụ về điểm bất động ngẫu nhiên) và
nghiệm của phương trình tốn tử ngẫu nhiên.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.
TSKH Đặng Hùng Thắng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
và chân thành tới GS. TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy đã quan
tâm hướng dẫn và động viên tơi trong q trình tơi hồn thành
luận văn.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo

2


khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên
luôn quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình
học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thành viên seminar Toán tử
ngẫu nhiên do GS. TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì đã giúp tơi
nhiều kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoa hoc.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp
trong trường ĐH Kinh tế - Kỹ thuật cơng nghiệp, gia đình và
người thân tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn này.
Cuối cùng, tơi rất mong nhận được ý kiến đóng góp q
báu của các thầy, cơ giáo và các bạn học viên để luận văn được
hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 02 tháng 12 năm 2011
Tác giả
Trần Thị Kim Thanh

3


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này trích dẫn những khái niệm cơ bản và một số
kết quả (không chứng minh) trên không gian Banach mà chúng
tôi sử dụng trong các chương sau.

1.1.

Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là tập khác ∅ được gọi là không gian
mẫu. Gọi A là σ - đại số các tập con của Ω. Mỗi phần tử của σ đại số A được gọi là một tập đo được. Bộ hai (Ω, A) gọi là một
không gian đo. Ánh xạ P : A → [0, 1] được gọi là độ đo xác suất
nếu thỏa mãn P(∅) = 0, P(Ω) = 1 và P(
với mọi An ∈ A sao cho An

∞
n=1

An ) =

∞

n=1

P(An )

Am = ∅, m = n. Với mỗi A ∈ A,

P(A) được gọi là xác suất của tập A. Bộ ba (Ω, A, P) gọi là
không gian xác suất..
Định nghĩa 1.1.2. Không gian Banach X gọi là thỏa mãn điều
4


kiện Opial nếu một dãy {xn } trong X hội tụ yếu đến x ∈ X và
x = y thì:
lim inf n

xn − y > lim inf n

xn − x

Định nghĩa 1.1.3. Không gian Banach X được gọi là lồi đều
nếu δX (ε) > 0, ∀ε > 0 trong đó:
δX (ε) = inf {1 −

x+y
2

: x = y = 1, x − y = ε}

được gọi là môđun lồi của không gian X.

Chúng ta cần các bổ đề sau để chỉ ra các tính chất đặc
trưng của khơng gian Banach lồi đều.
Bổ đề 1.1.4. Cho p > 1 và r > 1 là hai số thực cố định, không
gian Banach X gọi là lồi đều khi và chỉ khi tồn tại hàm lồi, tăng
chặt, liên tục g: [0, ∞) → [0, ∞) với g(0) = 0 sao cho ∀x, y ∈
B(0, r), λ ∈ [0, 1] và wp (λ) = λ · (1 − λ)p + λp · (1 − λ) :
λx + (1 − λ)y

p

≤λ

x

p

+(1 − λ)

y

p

−wp (λ)g( x − y )

Bổ đề 1.1.5. Giả thiết rằng X là không gian Banach lồi đều,
0 < p ≤ λn ≤ q < 1∀n = 1, 2, · · · và {xn }, {yn } là hai dãy trên
không gian X sao cho r ≥ 0:
lim supn→∞

xn ≤ r;

lim supn→∞

yn ≤ r;

limn→∞
thì limn→∞

λn xn + (1 − λn )yn = r;

xn − y n = 0

Bổ đề 1.1.6. Cho các dãy số không âm {αn }, {βn } và {γn }
5


thoả mãn: αn+1 ≤ (1 + γn )αn + βn ∀n = 1, 2, 3, ... và
∞
n=1

∞,

∞
n=1

βn <

γn < ∞ thì

1) Tồn tại limn→∞ αn

2) Hơn nữa nếu lim inf n→∞ αn = 0 thì limn→∞ αn = 0

1.2.

Tốn tử ngẫu nhiên và điểm bất động
ngẫu nhiên
Cho F là tập con khác ∅ trên không gian Banach tách

được X.
Định nghĩa 1.2.1. Ánh xạ T : Ω × F → F được gọi là toán tử
ngẫu nhiên nếu mỗi x ∈ F , T( . , x) là đo được.
Ánh xạ T : Ω × F → F được gọi là toán tử liên tục nếu
∀ω ∈ Ω, ánh xạ T (ω, .) : F → F là liên tục.
Ký hiệu n lần lặp lại của T: T (ω, T (ω, T (ω, ..., T (ω, x))) là
T n (ω, x), khi đó ánh xạ ngẫu nhiên I : Ω × F → F xác định bởi
I(x, ω) = x và T 0 = I
Định nghĩa 1.2.2. Toán tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F được
gọi là
a) tốn tử ngẫu nhiên k(ω) - co nếu ∀x, y ∈ F và ω ∈ Ω ta có
T (ω, x) − T (ω, y) ≤ k(ω)

x−y

trong đó k : Ω → [0, 1] là ánh xạ đo được.
Nếu k(ω) = 1∀ω ∈ Ω thì T được gọi là tốn tử ngẫu nhiên
không giãn.
6


b) toán tử ngẫu nhiên co nếu ∀x, y ∈ F và ω ∈ Ω ta có

T (ω, x) − T (ω, y) < x − y .
c) toán tử ngẫu nhiên giãn nếu ∀x, y ∈ F và x = y ta có
T (ω, x) − T (ω, y) > x − y

với mỗi ω ∈ Ω

d) toán tử ngẫu nhiên tựa - không giãn nếu G(ω) = {x ∈ F :
x = T (ω, x)} = ∅, ω ∈ Ω, và bất kỳ x ∈ F, y ∈ G(ω), ta có
T (ω, x) − y ≤ x − y

với mỗi ω ∈ Ω.

e) toán tử ngẫu nhiên tiệm cận co nếu ∃x0 ∈ F
lim

x →∞

supx∈F

T (ω,x)−T (ω,x0 )
x−x0

< 1.

f) tốn tử ngẫu nhiên tiệm cận khơng giãn nếu ∃{kn }(phụ thuộc
ω) trong [1, ∞) với limn→∞ kn = 1 khi n ∈ N sao cho ∀x, y ∈
F, ∀ω ∈ Ω
T n (ω, x) − T n (ω, y) ≤ kn

x−y

Lấy kn = 1 và n = 1 ta có khái niệm tốn tử ngẫu
nhiên khơng giãn
g) tốn tử ngẫu nhiên tiệm cận tựa - không giãn nếu với mỗi
ω ∈ Ω : G(ω) = {x ∈ F : x = T (ω, x)} = ∅ và ∃{kn } (phụ
thuộc ω) trong [0, ∞) với limn→∞ kn = 0 khi n ∈ N sao cho
x ∈ F và y ∈ G(ω) thì
T n (ω, x) − y ≤ (1 + kn )

x−y

∀ω ∈ Ω

h) toán tử ngẫu nhiên liên tục đủ nếu dãy {xn } trong F hội tụ
yếu đến x0 kéo theo {T (ω, xn )} hội tụ mạnh tới T (ω, x0 ) với
mỗi ω ∈ Ω.
7


i) toán tử ngẫu nhiên giả co nếu bất kỳ ánh xạ đo được r :
Ω → (0, ∞) và bất kỳ x, y ∈ F , ∀ω ∈ Ω ta có:
x−y ≤ (1+r(ω))(x−y)−r(ω)(T (ω, x)−T (ω, y))
Lớp các tốn tử ngẫu nhiên giả co là tổng quát hơn các tốn
tử ngẫu nhiên khơng giãn.
k) tốn tử ngẫu nhiên k(ω) - giả co mạnh cho ánh xạ đo được
k : Ω → (0, 1) nếu bất kỳ ánh xạ đo được r : Ω → (0, ∞) và
mỗi x ∈ F , với mỗi ω ∈ Ω, y ∈ F ta có
x−y ≤ k(ω)

1+r(ω)(x−y)−r(ω)(T (ω, x)−T (ω, y)) .

l) tốn tử ngẫu nhiên L - Lipsichz đều nếu với bất kỳ x, y ∈ F
ta có
T n (ω, x) − T n (ω, y) ≤ L

x−y

với ∀n = 1, 2, 3, ...và L là hằng số dương. Nếu lấy n = 1
thì ta có định nghĩa tốn tử ngẫu nhiên L - Lipsichz. Tốn
tử ngẫu nhiên tiệm cận khơng giãn là toán tử ngẫu nhiên
L - Lipsichz đều với L ≥ 1.
m) toán tử ngẫu nhiên (k − α) - Lipsichz đều nếu bất kỳ x, y ∈
F ta có:
T n (ω, x) − T n (ω, y) ≤ k

x−y

α

với mỗi ω ∈ Ω, ∀n = 1, 2, 3, ... là hằng số dương và α > 0.
Định nghĩa 1.2.3. Cho F là tập con khác ∅ trên không gian
Banach X. Tốn tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F được gọi là toán
tử ngẫu nhiên (k, n) - quay với k < n nếu mỗi ω ∈ Ω:
8


x − T n (ω, x) ≤ k

x − T (ω, x) (x ∈ F, n ∈ N ).

Chú ý 1.2.4. Cho T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên k(ω) co với F là tập con đóng của khơng gian Banach X với n > 1 và
∀x ∈ F , mỗi ω ∈ Ω ta có:
n
k=1

x − T n (ω, x) ≤

T k−1 (ω, k) − T k (ω, x)

≤ (1 + k(ω) + (k(ω))2 + ... + (k(ω))n−1 )

x − T (ω, x)

x − T (ω, x) .

Khi đó, T là tốn tử ngẫu nhiên quay.
Định nghĩa 1.2.5. Cho F là tập con khác ∅, lồi và bị chặn trên
không gian Banach X. Ánh xạ T : F → X được gọi là nửa đóng
đối với điểm y ∈ X nếu mỗi dãy {xn } trong F sao cho dãy {xn }
hội tụ yếu đến x ∈ X và dãy {T xn } hội tụ mạnh tới y kéo theo
x ∈ F và T(x) = y.
Tốn tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F được gọi là nửa đóng
nếu T (ω, .) là nửa đóng với mỗi ω ∈ Ω.
Chú ý 1.2.6. Cho F là tập con khác ∅, compăc yếu, lồi của không
gian Banach X thoả mãn điều kiện Opial. Khi đó, f : F → X là
ánh xạ khơng giãn thì I - f là nửa đóng.
Bổ đề 1.2.7. Cho F là tập con lồi đóng khác ∅ và bị chặn trên
không gian Banach lồi đều, tách được X thoả mãn điều kiện Opial.
Nếu T là ánh xạ tiệm cận khơng giãn từ F vào chính nó thì I - T

là nửa đóng đối với điểm 0.
9


Định nghĩa 1.2.8. Ánh xạ đo được ξ : Ω → F là điểm bất động
ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F khi và chỉ khi
T (ω, ξ(ω)) = ξ(ω)∀ω ∈ Ω. Ký hiệu tập các điểm bất động của T
là RF (T ).
Nếu ánh xạ T : Ω × F → F có điểm bất động ngẫu nhiên
thì với mỗi ω ∈ Ω, T (ω, .) có điểm bất động ngẫu nhiên trong F.
Chúng tôi nêu một số kết quả đã biết về điểm bất động
ngẫu nhiên.
Định lí 1.2.9. [12] Cho F là tập compăc và lồi của không gian
Banach X. Nếu tốn tử T : Ω × F → F là tốn tử ngẫu nhiên
liên tục thì T có một điểm bất động ngẫu nhiên.
Định lí 1.2.10. [12] Cho X là khơng gian Banach tách được và
T : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên k(ω) - co thì tồn tại một
ánh xạ đo được ξ : Ω → X là điểm bất động duy nhất của T.

10


Chương 2

Các kết quả về sự tồn tại
điểm bất động và lời giải
của phương trình tốn tử
ngẫu nhiên
2.1.

Sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của
tốn tử ngẫu nhiên

Định lí 2.1.1. Cho X là không gian Banach tách được, T :
Ω × X → X là tốn tử ngẫu nhiên co và ξ0 : Ω → X là ánh xạ
đo được sao cho dãy {T n (ω, ξ0 (ω))} có dãy con hội tụ với mọi
ω ∈ Ω. Khi đó, T có điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất.
Chứng minh. Cho {T ni (ω, ξ0 (ω))} là dãy con của dãy {T n (ω, ξ0 (ω))}
11


với {T ni (ω, ξ0 (ω))} → ξ(ω) khi ni → ∞ với mỗi ω ∈ Ω và {ni }
là dãy các số nguyên dương tăng chặt. Ánh xạ ξ : Ω → X là
giới hạn theo từng điểm của dãy các ánh xạ đo được nên đo
được. Định nghĩa một dãy các ánh xạ đo được ξni : Ω → X với
ξni (ω) = T ni (ω, ξ0 (ω)). Cho

> 0, tồn tại một số nguyên n0 sao

cho
d(ξni (ω), ξ(ω)) <

4

với ni ≥ n0 và ω ∈ Ω.

Ta xét d(ξni +1 (ω), T (ω, ξ(ω))) = d(T (ω, ξni (ω)), T (ω, ξ(ω)))
< d(ξni (ω), ξ(ω)) < 4 ∀ω ∈ Ω.
Khi đó
d(ξ(ω), T (ω, ξ(ω))) ≤ d(ξni +1 (ω), T (ω, ξ(ω))) + d(ξni +1 (ω), ξ(ω))

<

4

+

4

=

2

Vậy ξ là điểm bất động ngẫu nhiên của T.
Bây giờ ta chứng minh ξ là điểm bất động ngẫu nhiên duy
nhất của ánh xạ T.
Thật vậy, Xét ánh xạ η : Ω → X sao cho η(ω) = T (ω, ξ(ω)) suy
ra η đo được. Giả sử η(ω) = ξ(ω) (1) với ω ∈ Ω nào đó . Vì T là
tốn tử ngẫu nhiên co nên ∀ω ∈ Ω và (1) ta có
d(T (ω, ξ(ω)), T (ω, η(ω))) < d(ξ(ω), η(ω))
Xét h : Ω × X 2 → R sao cho h(ω, x, y) =

d(T (ω,x),T (ω,y))
d(x,y)

với

x = y ∈ X, ∀ω ∈ Ω thì h(ω, ., .) là liên tục tại (ξ(ω), η(ω))∀ω ∈ Ω
mà thỏa mãn (1).
Lấy 0 < α < 1 thì tồn tại δ > 0 sao cho xω ∈ B(ξ(ω), δ),
yω ∈ B(η(ω), δ) và

12


d(T (ω, xω ), T (ω, yω )) < αd(xω , yω )
Vì ∀ω ∈ Ω : limr→∞ T (ω, ξr (ω)) = T (ω, ξ(ω)) = η(ω) nên ∃n1 ≥
n0 sao cho
d(ξr (ω), ξ(ω)) < δ và d(T (ω, ξr (ω)), η(ω)) < δ.
Với r ≥ n1 ≥ n0 và ω ∈ Ω
d(T (ω, ξr (ω)), T (ω, T (ω, ξr (ω)))) < αd(ξr (ω), T (ω, ξr (ω))) (2)
Do đó
d(ξr (ω), T (ω, ξr (ω))) ≤ d(ξr (ω), ξ(ω)) + d(ξ(ω), T (ω, ξ(ω)))
+d(T (ω, ξ(ω)), T (ω, ξr (ω)))
<

4

+2+

4

= (3)

Từ (2) và (3) ta có
d(T (ω, ξr (ω)), T (ω, T (ω, ξr (ω)))) < αd(ξr (ω), T (ω, ξr (ω)))
< d(ξr (ω), T (ω, ξr (ω))) < với r ≥ n1
Vì T là tốn tử ngẫu nhiên co với r ≥ n1 ta có
d(T (ω, ξr (ω)), T (ω, T (ω, ξr (ω)))) < d(ξr (ω), T (ω, ξr (ω))) <
nên d(ξr+1 (ω), T (ω, ξr+1 (ω))) <

α

α

Do đó d(ξs (ω), T (ω, ξs (ω))) < αs−r
Với ω ∈ Ω thỏa mãn (1)
d(ξ(ω), η(ω)) ≤ d(ξ(ω), ξs (ω)) + d(ξs (ω), T (ω, ξs (ω)))
+ d(T (ω, ξs (ω)), η(ω)) −→ 0 khi s → ∞
Điều này mâu thuẫn. Vậy ξ là điểm bất động ngẫu nhiên duy
nhất của ánh xạ T.
Định lí 2.1.2. Cho F là tập con khác ∅, lồi đóng trên khơng gian
Banach tách được X và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên
13


quay và khơng giãn. Khi đó, T có điểm bất động ngẫu nhiên.
Chứng minh. Gọi ξ là ánh xạ đo được bất kì từ Ω vào F. Với
0 < α < 1, xác định Tα : Ω × F → F như sau
Tα (ω, x) = (1 − α)ξ(ω) + αT (ω, x)
trong đó, với mỗi α thì tốn tử ngẫu nhiên Tα là Lipschitz với
hằng số α. Áp dụng Định lý 1.2.10, ta thu được dãy {ξα } các
điểm bất động ngẫu nhiên. Lấy ánh xạ đo được bất kì η từ Ω vào
F, xác định Fα : Ω × F → F sao cho Fα (ω, η(ω))) = ξα (ω). Từ
đó, ta có
Fα (ω, ξ(ω)) = (1 − α)ξ(ω) + αT (ω, Fα (ω, ξ(ω)))
Dễ dàng kiểm tra được Fα là tốn tử ngẫu nhiên khơng giãn.
Bằng lặp Fα k lần với k ∈ N ta thu được
Fαk (ω, ξ(ω)) = (1 − α)Fαk−1 (ω, ξ(ω)) + αT (ω, Fαk (ω, ξ(ω)))(4)
Chú ý rằng
(1−α)Fα (ω, ξ(ω)) = (1−α)ξ(ω)+αT (ω, Fα (ω, ξ(ω)))−αFα (ω, ξ(ω))

= (1 − α)ξ(ω) + α(T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα (ω, ξ(ω)))
Do đó
(1−α)(ξ(ω)−Fα (ω, ξ(ω))) = α(Fα (ω, ξ(ω))−T (ω, Fα (ω, ξ(ω))))(5)
Mà T là toán tử (a, n) - quay nên
ξ(ω) − T n (ω, ξ(ω)) ≤ a

ξ(ω) − T (ω, ξ(ω)) , với mỗi ω ∈ Ω

Ta có
Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) =
= (1 − α)ξ(ω) + αT (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − (1 − α)Fα (ω, ξ(ω))
− αT (ω, Fα2 (ω, ξ(ω)))
14


= (1 − α)(ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))) + αT (ω, Fα (ω, ξ(ω)))
− αT (ω, Fα2 (ω, ξ(ω)))
= α(Fα (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω)))) + αT (ω, Fα (ω, ξ(ω)))
− αT (ω, Fα2 (ω, ξ(ω)))
=α

Fα (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω)))

≤α

Fα (ω, ξ(ω)) − T n (ω, Fα (ω, ξ(ω)))
+α

≤ αa

T n (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω)))

Fα (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω)))
+α

= (1 − α)a

+

T n−1 (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω))

Fα (ω, ξ(ω)) − ξ(ω)
+α

+

+

T n−1 (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω))

với mỗi ω ∈ Ω. Ta cần chứng minh với mỗi ω ∈ Ω và m > 2
α

T m−1 (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω))
≤ (m − 1) − mα + αm
+ αm

ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))
Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω))

(*)

Thật vậy, Ta có
α

T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω))
=α

T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − (1 − α)Fα (ω, ξ(ω))
− αT (ω, Fα2 (ω, ξ(ω)))

=α

(1 − α)(T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα (ω, ξ(ω)))
− α(T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω))))

≤ (1 − α)

α(T (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα (ω, ξ(ω)))
+ α2

= (1 − α)2

T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω)))

ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))

15

+ α2
≤ (1 − α)2

T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω)))

ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))
+ α2

Fα2 (ω, ξ(ω)) − Fα (ω, ξ(ω))

Chứng minh (*) bằng quy nạp.
• m = 2: điều này là đúng ∀ω ∈ Ω
• giả sử (*) đúng với m = j và với ∀ω ∈ Ω. Ta xét
α
=α

T j (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω))
T j (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − (1 − α)Fα (ω, ξ(ω))
− αT (ω, Fα2 (ω, ξ(ω)))

=α

(1 − α)(T j (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα (ω, ξ(ω)))
+ α(T j (ω, Fα (ω, ξ(ω)))
− T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω)))
T j (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα (ω, ξ(ω))

≤ α(1 − α)

+ α2

≤ jα(1 − α)

T j (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − T (ω, Fα2 (ω, ξ(ω))

Fα (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω)))

+ α2
≤ jα(1 − α)
1) − jα + αj ]

T j−1 (ω, Fα (ω, ξ(ω))) − Fα2 (ω, ξ(ω))
Fα (ω, ξ(ω)) − T (ω, Fα (ω, ξ(ω))

ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))

+αj+1

+α[(j −

Fα (ω, ξ(ω)) −

Fα2 (ω, ξ(ω))
≤ j(1 − α)2 + α[(j − 1) − jα + αj ]
+ αj+1

Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω))

≤ [j − (j + 1)α + αj+1 ]
+ αj+1

ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))

ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))

Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω))

Từ đó ta có bất đẳng thức (*).
16


Ta có
Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω)) ≤ (1 − α)a
+α

Fα (ω, ξ(ω)) − ξ(ω)

+

T m−1 (ω, Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω))

≤ (1 − α)a

Fα (ω, ξ(ω)) − ξ(ω)

Fα (ω, ξ(ω))

+αn

+[(n − 1) − nα + αn ]

ξ(ω) −

Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω))

Hơn nữa
(1 − αn )

Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω))

≤ [(1 − α)a + (n − 1) − nα + αn ]

ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))

Do đó
Fα (ω, ξ(ω)) − Fα2 (ω, ξ(ω))
≤ (1 − αn )−1 [(1 − α)a + (n − 1) − nα + αn ]
≤ (a + n)(1 − α)(1 − αn )−1 −
i −1
= (a + n)(Σn−1
i=0 α ) −

= g(α)

ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))

ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))

ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))

ξ(ω) − Fα (ω, ξ(ω))

với mỗi ω ∈ Ω. Vì g liên tục và giảm với α ∈ (0, 1] trong đó g(1) =
a
n

< 1 nên ∃b ∈ (0, 1] sao cho g(1) < 1 với α ∈ (b, 1]. Với mỗi α,

dãy các ánh xạ đo được xác định bởi ηn (ω) = Fαn (ω, ξ(ω)) → η(ω)
với mỗi ω ∈ Ω, η : Ω → F là giới hạn của dãy ánh xạ đo được nên
cũng đo được, do đó η là điểm bất động ngẫu nhiên của T.
Định lí 2.1.3. Cho F là tập con khác ∅, lồi đóng trên khơng gian
Banach tách được X và T : Ω × F → F là tốn tử ngẫu nhiên
co và tiệm cận khơng giãn với T (ω, .)F ⊆ F và T (ω, .) là compăc
với mỗi ω ∈ Ω. Khi đó, T có điểm bất động ngẫu nhiên.
Chứng minh. Lấy {tn } là dãy các số thực trên (0, 1) với giới hạn
17


0 và x0 ∈ F . Với mỗi n, định nghĩa ánh xạ Tn : Ω × F → F với
Tn (ω, x) = tn x0 + (1 − tn )T (ω, x). Vì T (ω, .)F ⊆ F và tính lồi của
F nên Tn (ω, .)F ⊆ F với mỗi n. Ta có
Tn (ω, x) − Tn (ω, y) = (1 − tn )(T (ω, x) − T (ω, y)
≤ (1 − tn )

x−y

Vì Tn (ω, .) là ánh xạ co với tỉ số (1 − tn ) nên với mỗi n, Tn có
điểm bất động ngẫu nhiên ξn (theo định lý 1.2.10). Ta chứng
minh{ξn (ω)} là dãy bị chặn với mỗi ω ∈ Ω.
Thật vậy, Giả sử ngược lại {ξn (ω)} là dãy không bị chặn với mỗi

ω ∈ Ω, có thể lấy
với mỗi ω ∈ Ω:

ξn (ω) → ∞. Lấy α ∈ (0, 1) và β > 0 sao cho

T (ω,x)−T (ω,x0 )
x−x0

≤ α và x ∈ F với

x ≥ β. Với n

đủ lớn, ta có
ξn (ω) = Tn (ω, ξn (ω))
= tn x0 + (1 − tn )T (ω, ξn (ω))
= tn x0 + (1 − tn )T (ω, x0 ) + (1 − tn )[T (ω, ξn (ω)) − T (ω, x0 )]
≤ tn

x0

+(1 − tn )[ T (ω, x0 )

+

≤ tn

x0

+(1 − tn )[ T (ω, x0 )

+α

Chia hai vế cho

ξn (ω)

T (ω, ξn (ω)) − T (ω, x0 ) ]
ξn (ω) − x0 ]

và lấy giới hạn khi n → ∞ dẫn đến

mâu thuẫn với 1 ≤ α
Vậy {ξn (ω)} là dãy bị chặn và ta có
T (ω, ξn (ω)) − ξn (ω) = tn

T (ω, ξn (ω)) − x0 −→ 0 khi n → ∞

Vì T là tốn tử ngẫu nhiên compăc và {ξn (ω)} là dãy bị chặn nên
với mỗi n, ta định nghĩa Gn : Ω → C(F ) với Gn (ω) = cl{ξi (ω) :
i ≥ n}. Đặt G : Ω → C(F ) trong đó G(ω) = ∩∞
n=1 Gn (ω) suy ra

18


G có ánh xạ đo được ξ. Với ω ∈ Ω bất kỳ cố định, giả sử tồn tại
dãy con {ξnj (ω)} của dãy {ξn (ω)} sao cho ξnj (ω) → ξ(ω). Vì T là
tốn tử ngẫu nhiên liên tục nên T (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) hay ξ là điểm
bất động ngẫu nhiên của T.

2.2.

Phương trình tốn tử ngẫu nhiên
Mục này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ để phương

trình tốn tử ngẫu nhiên và phương trình tốn tử ngẫu nhiên có
nhiễu có nghiệm.
2.2.1.

Phương trình tốn tử ngẫu nhiên
Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất và X, Y là không

gian Banach tách được. Ánh xạ ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên X
- giá trị nếu ξ là (A, B) - đo được với B là σ - đại số Borel.
Định nghĩa 2.2.1. Cho T là ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y và
η(ω) là biến ngẫu nhiên Y - giá trị. Ánh xạ ξ(ω) ∈ LX
0 được gọi
là nghiệm của phương trình tốn tử ngẫu nhiên T (ω, x) = η(ω)
nếu

T (ω, ξ(ω)) = η(ω)

Định lí 2.2.2. Cho r = r(ω, t) là hàm trên Ω × R đến R sao cho
r(ω, .) là liên tục và limt→+∞ r(ω, t) = +∞. Giả sử X là không
gian Hilbert tách được hữu hạn chiều và T là ánh xạ ngẫu nhiên
liên tục trên X sao cho với mỗi x ∈ X
T (ω, x), x ≥ r(ω, x )

19

x

(6)


Khi đó, với bất kỳ η ∈ LX
0 (Ω), phương trình tốn tử ngẫu
nhiên T (ω, x) = η(ω) có nghiệm
Chứng minh. Từ tính tách được của X suy ra tồn tại tập con
đếm được X0 trù mật X và tập xác suất Ω0 sao cho (6) thỏa mãn
∀x ∈ X0 , ∀ω ∈ Ω0 . Từ tính trù mật của X0 trong X, tính liên tục
của T (ω, ·), r(ω, ·) bất đẳng thức (6) thỏa mãn ∀x ∈ X, ∀ω ∈ Ω0
do đó khơng giảm tổng qt, ta có thể giả sử bất đẳng thức (6)
đúng ∀x ∈ X, ∀ω ∈ Ω.
• η(ω) = 0∀ω ∈ Ω. Với bất kỳ ω ∈ Ω cố định ánh xạ x −→
T (ω, x) xác định như trên ∃x(ω) sao cho T (ω, x(ω)) = 0. Xét
F : Ω → 2X là ánh xạ xác định F (ω) = {x | T (ω, x) = 0}.
Từ tính liên tục của ánh xạ x −→ T (ω, x), F là hàm đơn trị
đóng kín các giá trị. Lấy B = {0} thì B là tập đóng của X
và F (ω) = {x | T (ω, x) ∈ B}. Từ đó suy ra F đo được và
tồn tại biến ngẫu nhiên X - giá trị sao cho ξ(ω) ∈ F (ω) mà
T (ω, ξ(ω)) = 0.
• Với bất kỳ biến ngẫu nhiên η(ω) tùy ý
Ta xét ánh xạ ngẫu nhiên S xác định bởi S(ω, x) = T (ω, x)−
η(ω). Ta có
S(ω, x), x = T (ω, x), x − η(ω), x
≥ [r(ω, x )−

η(ω) ]

x = s(ω, x )

với limt→+∞ s(ω, t) = limt→+∞ r(ω, t)−

x

η(ω) = +∞

Do đó S có tính chất giống T . Theo chứng minh trước tồn
tại biến ngẫu nhiên X - giá trị sao cho ξ(ω) ∈ F (ω) mà
20


S(ω, ξ(ω)) = 0. Từ đó, ta có T (ω, x) = η(ω)

Lấy r(ω, t) = k(ω)tp−1 với p > 1 và k(ω) là biến số ngẫu
nhiên nhận giá trị dương, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.3. Cho X là không gian Hilbert tách được hữu hạn
chiều và T là ánh xạ ngẫu nhiên liên tục trên X sao cho
T (ω, x), x ≥ k(ω)

x

p

∀x ∈ X, k(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương và p >1.
Khi đó, với bất kỳ η ∈ LX
0 (Ω), phương trình tốn tử ngẫu nhiên
T (ω, x) = η(ω) có nghiệm.
Định lí 2.2.4. Cho X là khơng gian Hilbert tách được và T là

ánh xạ ngẫu nhiên liên tục trên X, đơn điệu mạnh và tồn tại biến
ngẫu nhiên nhận giá trị thực dương m(ω) sao cho ∀x1 , x2 ∈ X ta
có
T (ω, x1 ) − T (ω, x2 ), x1 − x2 ≥ m(ω)

x1 − x2

2

(7)

Khi đó với bất kỳ η ∈ LX
0 (Ω), phương trình tốn tử ngẫu nhiên
T (ω, x) = η(ω) có nghiệm duy nhất.

Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng bất đẳng thức (7) đúng ∀x ∈
X và ω ∈ Ω. Với ω ∈ Ω bất kỳ, từ (7) suy ra ánh xạ x −→
T (ω, x) là ánh xạ đơn điệu mạnh trên X, do đó tồn tại ánh xạ
ngược liên tục x −→ T −1 (ω, x). Đặt ξ(ω) = T −1 (ω, η(ω)), ta
có T (ω, x) = η(ω) với mỗi ω ∈ Ω. Từ tính liên tục của ánh
21


xạ x −→ T −1 (ω, x) xác định ánh xạ (ω, x) −→ T −1 (ω, x) liên
tục nên ξ(ω) = T −1 (ω, η(ω)) là biến ngẫu nhiên X - giá trị với
bất kỳ η ∈ LX
0 (Ω). Tính duy nhất nghiệm của phương trình
T (ω, x) = η(ω) được suy ra từ sự tồn tại của T −1 .

2.2.2.

Phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu
Trong phần này, ta xét phương trình tốn tử ngẫu nhiên

có nhiễu dạng
T (ω, x) + k(ω)x = η(ω)
trong đó k(ω) là biến số ngẫu nhiên nhận giá trị thực dương.
Ta nói ánh xạ f trên không gian Hilbert X được gọi là
compăc nếu f là liên tục và nó ánh xạ mỗi tập con bị chặn của
X thành tập con tiền compăc mạnh của X. Ánh xạ ngẫu nhiên
T được gọi là compăc nếu với mỗi ω ∈ Ω, ánh xạ x → T (ω, x) là
compăc.
Định lí 2.2.5. Cho X là không gian Hilbert tách được, T là ánh
xạ ngẫu nhiên compăc trên X, k(ω) là biến số ngẫu nhiên nhận
giá trị thực dương và r = r(ω, t) là hàm từ Ω × R → R sao cho
r(ω, ·) là liên tục và limt→+∞ r(ω, t) = +∞. Giả sử với mỗi x ∈ X
ta có
T (ω, x), x ≥ r(ω, x )

x

−k(ω)

x

2

(8)

Khi đó, phương trình tốn tử ngẫu nhiên T (ω, x) + k(ω)x = η(ω)

có nghiệm với mỗi η ∈ LX
0 (Ω).
22