Bài giảng Toán kinh tế: Phần 1 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

UBND TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

TOÁN KINH TẾ
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CĐ KẾ TOÁN- CĐ QTKD)

TỔ BỘ MƠN: TỐN - LÝ

Đồng Tháp – 2017
(Lưu hành nội bộ)


UBND TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

TOÁN KINH TẾ
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CĐ KẾ TOÁN- CĐ QTKD)

(SỐ TÍN CHỈ: 2 (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT))

TỔ BỘ MƠN: TỐN - LÝ

Đồng Tháp – 2017

LỜI NĨI ĐẦU
1. Đối tượng sử dụng
Tài liệu tốn kinh tế dùng cho sinh viên khối ngành kinh tế, các ngành kế toán,
quản trị kinh doanh, ... và sinh viên thuộc các khối ngành khác có thể sử dụng bài
giảng xem như một tài liệu tham khảo.
2. Cấu trúc bài giảng
Bài giảng toán kinh tế được biên soạn theo đề cương môn học đã được hội đồng
khoa học trường thông qua với 30 tiết bao gồm các chương:
Chương 0. Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính.
Chương 1. Bài tốn quy hoạch tuyến tính.
Chương 2. Phương pháp đơn hình.
Chương 3. Bài tốn đối ngẫu.
Chương 4. Bài tốn vận tải. Bài tốn thế vị
3. Mục tiêu mơn học
Quy hoạch tuyến tính là một bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực
tiễn của Tối ưu hóa, được áp dụng trong kinh tế và nhiều ngành khoa học khác cả lý
thuyết lẫn thực hành, nhằm tối ưu hóa kết quả đạt được. Kiến thức về quy hoạch tuyến
tính rất cần cho sinh viên ở bậc đại học, cao đẳng nói chung và khối ngành kinh tế nói
riêng. Mục tiêu cụ thể của môn học:
Cung cấp cho sinh viên về một số dạng tốn quy hoạch tuyến tính, cách xây
dựng mơ hình tốn học cho một số bài toán thực tế - những hiện tượng kinh tế rất
thường gặp sản xuất kinh doanh và các cách đưa bài tốn QHTT tổng qt về dạng
chính tắc. Trên cơ sở đó để tìm ra các phương pháp giải tối ưu nhất.
Cung cấp cho sinh viên về cơ sở lý luận dẫn đến bảng đơn hình, từ đó có thể
giúp sinh viên giải quyết các bài tốn để tìm được tính tối ưu của từng bài toán cho
phù hợp.
Giới thiệu cho sinh viên về bài toán đối ngẫu, ý nghĩa kinh tế của bài toán
đối ngẫu, sự cần thiết phải đưa về bài toán đối ngẫu.
Giới thiệu cho sinh viên về bài toán vận tải, ý nghĩa kinh tế của bài toán vận
tải. Các phương pháp giải các bài toán vận tải tổng quát và các bài toán vận tải đặc

biệt.
4. Phương pháp giảng dạy
Giảng và thảo luận, phân tích và giải quyết vấn đề đặt ra.
Nghe giảng lý thuyết
: 28 tiết
Kiểm tra
: 2 tiết
Tự học
: 60 tiết

-1-


MỤC LỤC
MỤC LỤC ............................................................................................................ i
Chương 0

MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ............... 1

0.1 Ma trận ........................................................................................................... 2
0.1.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận ................................................ 2
0.1.2 Định thức ............................................................................................. 9
0.1.3 Ma trận nghịch đảo ............................................................................ 11
0.1.4 Hạng của ma trận............................................................................... 12
0.2 Vectơ ............................................................................................................13
0.2.1 Vectơ ................................................................................................. 13
0.2.2 Khơng gian vectơ .............................................................................. 14
0.2.3 Độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính ......................................... 15
BÀI TẬP CHƯƠNG 0 .........................................................................................17
Chương 1

BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ................................... 18

1.1 Một số ví dụ dẫn đến bài tốn QHTT ..........................................................19
1.2 Phân loại dạng bài toán ...............................................................................23
1.2.1 Dạng tổng quát .................................................................................. 24
1.2.2 Dạng chính tắc ................................................................................... 25
1.2.3 Dạng chuẩn ........................................................................................ 26
1.3 Biến đổi dạng bài toán .................................................................................27
1.3.1 Đưa một bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc ......................... 27
1.3.2 Khái niệm tập hợp lồi, điểm cực biên, phương án cực biên. ............ 29
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 .........................................................................................32
Chương 2

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH........................................................ 36

2.1 Cơ sở lý luận của phương pháp đơn hình ....................................................37
2.2 Thuật tốn đơn hình với vectơ đơn vị có sẵn. .............................................38
2.2.1 Trường hợp f (x ) → min .................................................................. 38
-i-


2.2.2 Trường hợp f (x ) → max ................................................................... 40
2.3 Thuật tốn đơn hình với vec tơ đơn vị khơng có sẵn (Bài tốn mở rộng)...45
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 .........................................................................................53
Chương 3

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ................................................................. 56

3.1 Khái niệm .....................................................................................................57

3.1.1 Bài tốn đối ngẫu của bài tốn dạng chính tắc .................................. 57
3.1.2 Bài toán đối ngẫu của bài toán dạng tổng quát ................................. 58
3.2 Quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu ..........................................59
3.2.1 Các định lý đối ngẫu.......................................................................... 59
3.2.2 Tìm P.A.T.Ư của bài tốn đối ngẫu qua P.A.T.Ư của bài toán gốc. 60
3.3 Ý nghĩa bài toán đối ngẫu ............................................................................63
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 .........................................................................................65
Chương 4

BÀI TOÁN VẬN TẢI. BÀI TỐN THẾ VỊ ................................. 67

4.1 Bài tốn vận tải cân bằng thu phát (bài toán cổ điển)..................................68
4.1.1 Thiết lập bài toán ............................................................................... 68
4.1.2 Đặt bài toán dưới dạng bảng ............................................................. 69
4.1.3 Các tính chất ...................................................................................... 70
4.2 Thuật tốn thế vị giải bài toán vận tải cân bằng thu phát ............................71
4.2.1 Lập phương án cơ bản ban đầu ......................................................... 71
4.2.2 Thuật tốn “Quy 0 cước phí các ơ chọn” .......................................... 73
4.2.3 Phương pháp thế vị............................................................................ 77
4.3 Bài toán vận tải có ơ cấm .............................................................................80
4.4 Bài tốn vận tải khơng cân bằng thu phát ....................................................82
4.5 Bài toán vận tải dạng bất đẳng thức.............................................................84
4.5.1 Định nghĩa ......................................................................................... 84
4.5.2 Điều kiện tối ưu ................................................................................. 85
4.5.3 Cách giải ............................................................................................ 85

- ii -


BÀI TẬP CHƯƠNG 4 .........................................................................................87

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 91

- iii -


Chương 0 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Mục đích u cầu
Nhằm củng cố các kiến thức về đại số tuyến tính cho sinh viên để có thể vận
dụng tốt và linh hoạt vào các chương sau. Sau khi học xong chương này, Sinh viên cần
đạt được:
- Sử dụng thành thạo các phép toán của ma trận: phép tốn cộng, trừ, nhân.
- Tính được định thức của một ma trận cấp 2, cấp 3, …, cấp n theo công thức,
qui tắc Laplace hay bằng phép biến đổi sơ cấp.
- Thành thạo kỹ năng “phép biến đổi sơ cấp trên ma trận”, từ đó rút ra phương
pháp tìm hạng của ma trận bất kỳ.
- Áp dụng giải các hệ phương trình tuyến tính bằng hai phương pháp cơ bản:
Cramer và Gauss.
- Cần hiểu rõ cấu trúc không gian vectơ V, cách xác định một hệ độc lập độc lập
tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
- Làm được các bài tập tương tự.
Kiến thức chuẩn bị
Sinh viên cần ôn lại các khái niệm, các phép tính vectơ, thành thạo các phép tính
cũng như các bước biến đổi sơ cấp.
Trang bị các kỹ năng tính tốn thơng dụng (cộng, trừ, nhân,…), cách sử dụng máy
tính Casio fs 500A, Casio fs 500 ES,…

-1-


0.1 Ma trận

0.1.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận
0.1.1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa ma trận
Một ma trận A cấp m × n là một bảng gồm m × n số thực được sắp xếp theo một thứ
tự thành m dòng và n cột được viết dưới dạng:
Dòng thứ 1
a
a
...
a
11
12
1
n


 a11 a12
 a21 a22 ... a2n 
 a21 a22


A = ...
hoặc A =  ...
... ... ... 
...


a
a

a
a
... amn 
 m1 m 2

 m1 m 2

... a1n
... a2n
... ...



 (0.1.1)

... amn 


Cột thứ 2

(aij )m×n .

Ký hiệu:

A =

Trong đó:

A: là tên của ma trận.

(i = 1, m;

j = 1, n )

aij : là phần tử (hay số hạng) nằm ở dòng (hay hàng) i, cột j của A.
(m, n ) : được gọi là kích thước của A.

(

Dịng thứ i của A là A(i ) = ai1 ai 2 ... a1n

Cột thứ j của A là A( j )

)

 a1 j 
 a2 j 


= . 
 . 


 amj 



 -1 1 2 
Ví dụ 1: A = 
là ma trận cấp 2 × 3 và a11 = -1, a12 = 1, a23 = 3....

 1 1 3 



?

 12 −7 9 4 18 


Cho ma trận B =  0 3 21 12 7  . Hãy xác định:


 1 15 14 −4 30 



i) Loại của ma trận B?

ii) Giá trị của b23 , b32 ?

-2-

iii) Dòng thứ 2 và cột thứ 3?


b) Ma trận không
Là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0

aij = 0, ∀i, j.

(0.1.2)

Ký hiệu: O = (O )m ×n .

Ví dụ 2: O2×2

0 0 0 0
 0 0


=
 ; O3 × 4 =  0 0 0 0 
 0 0
0 0 0 0





c) Ma trận đối của ma trận A
Là ma trận được nhận từ A bằng cách đổi dấu mọi phần tử của A. Ký hiệu: − A .

 1 2 −2 0 −1 
Ví dụ 3: Cho ma trận A = 
 3 −4 5 −1 1 


 −1 −2 2 0 1 
⇒ Ma trận đối của A là −A = 
 −3 4 −5 1 −1 



d) Ma trận vng
Là ma trận có số dịng = số cột = n (thuộc loại cấp n × n ) và được gọi là ma trận
vuông cấp n. Ký hiệu: A = (a ij)n ×n = (a ij)n .
Khi đó đường thẳng chứa các phần tử a11, a22, …, ann được gọi là đường chéo
chính của A.
 a11 a12 ... a1n 
 a21 a22 ... a2n 
(0.1.3)
A =  ... ... ... ... 


a
a
... ann 
 n1 n 2


Ví dụ 4:

 1 3

 ma trận vuông cấp 2.
−2 7 



0 7 8



 4 −2 0  ma trận vuông cấp 3


5 0 2



Đường chéo của A là {1, 7},
Đường chéo của B là {0, -2, 2}.
Các ma trận đặc biệt
* Ma trận dịng: là ma trận có m = 1

-3-

(a11 a12 ...a1n ) := (ai )1×n .

(0.1.4)


 a11 


 a21  := a
i
 .. 


 am 1 




( )m×1 .

* Ma trận cột: là ma trận có n = 1

(0.1.5)

e) Ma trận tam giác và ma trận chéo
Ma trận vuông là ma trận tam giác, nếu các phần tử ở một phía đường chéo
bằng 0.
* Ma trận A = (aij )n được gọi là ma trận tam giác trên nếu a ij = 0 (i > j) .
* Ma trận A = (aij )n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu a ij = 0 (i < j) .
* Ma trận A = (aij )n ×n được gọi là ma trận tam giác chéo nếu aij = 0(i ≠ j )
(các phần tử nằm ngoài đường chéo đều bằng 0)

 a11 a12
 0 a
22

 ... ...

 0
0


... a1n 
... a2n 

... ... 


... ann 


 a11 0

 a21 a22
 ... ...

 an 1 an 2


ma trận tam giác trên

Ví dụ 5:

 −2

 0
 0

 0


0 

... 0 
... ... 

... ann 



ma trận tam giác dưới

11 

0 35 0 
0 5 −8 

0 0 5


0

 a11 0

 0 a22
 ... ...

 0
0


...

 12 0

2 0
 7 −1


3 8


9

ma trận tam giác trên

...

0 

... 0 
(0.1.6)
... ... 

... ann 


ma trận chéo.

0

0 0
5 0

0 −5 

0

ma trận tam giác dưới

7

0
0

0


0 0 0

5 0 0
0 1 0

0 0 2


ma trận chéo.

f) Ma trận đơn vị cấp n
Là ma trận vng cấp n có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, các
phần tử ngồi đường chéo chính đều bằng 0. Ký hiệu: In hoặc I.

Ví dụ 6:

1
I2 = 
0


1
0 

 ; I 3 =  0
1


0


0
1
0

g) Ma trận bậc thang
Là ma trân cấp m × n có: aij = 0, ∀i > j .

-4-

1 0
0 


0 1
0  , …, I n = 
... ...



1

0 0



... 0 

... 0 
... ... 

... 1 



Khi: a11a22a 33 ...ar r ≠ 0 , ta nói ma trận hình thang đã chuẩn hóa

 a11 a12
 0 a
22

..
 ..

A= 0
0

 0
0

 0
0



Ví dụ 7:

1

0
0

0


... a1r
... a2r
... ..
... ar r
... 0
...

0

... a1n 
... a2n 

... .. 

... ar n 
... 0 

... 0 



(0.1.7)

3 −2 1 

3 4 0
0 5 9

0 0 0


h) Ma trận đối xứng
Là ma trận vng có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau.

0 21 
 11 4 2


 4 3 4 2 −1 


Ví dụ 8:  2 4 −2 22 9 
 0 2 22 5 −8 


 21 −1 9 −8 21 


i) Ma trận bằng nhau.

Hai ma trận A = (aij )m ×n , B = (bij )m ×n gọi là bằng nhau khi và chỉ khi

(0.1.8)

aij = bij

(i = 1, m;

j = 1, n )

Ký hiệu: A = B
j) Ma trận chuyển vị
Cho ma trận A = (aij)mxn . Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận cấp

n × m bằng cách chuyển dòng thành cột và ngược lại. Ký hiệu: AT hoặc A*.
Tức là: AT = (aji)nxm .

-5-


 a11 a12

 a21 a22
A=
..
..

 am1 am 2


Ví dụ 9:

 a11 a21
a1n 


... a2n 
 a12 a22
T
A
→
=
 ..
... .. 
..


... am n 
 a1n a2n
m ×n

...

... am1 

... am 2 
... .. 

... an m 
n ×m

(0.1.9)

1 6
1 2 5


A=
→ AT =  2 7 

6 7 9
5 9

2×3

3×2

Tính chất
i) (AT )T = A , AT = BT ⇔ A = B
ii) Cho A, B cùng cấp, ta có:

(A + B ) = AT + BT .
iii) Cho ma trận A = (aij)mxn , B = (bij)nxp . Ta có:

(AB )T = BT AT .
Chú ý: Nếu AT = A thì A gọi là ma trận đối xứng.
0.1.1.2 Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng hai ma trận
Tổng hai ma trận A = (aij )m ×n , B = (bij )m ×n là ma trận C = (cij )m ×n có các
phần tử tính bằng cơng thức:

cij = aij + bij

(∀i = 1, m ; j = 1, n ).

(0.1.10)

b) Phép hiệu hai ma trận.
Hiệu hai ma trận A = (aij )m ×n , B = (bij )m ×n là ma trận C = (cij )m ×n có các
phần tử tính bằng cơng thức:

cij = aij − bij

(∀i = 1, m ; j = 1, n ).

(0.1.11)

c) Phép nhân một số thực với ma trận
Tích của số thực k với ma trận A = (aij )m ×n là ma trận C = kA = (cij )m ×n có
các phần tử được tính bằng cơng thức:

cij = kaij

(∀i = 1, m ; j = 1, n ).
-6-


(0.1.12)

 -1 1 2 

 -1 0 1 
,
B
=
Ví dụ 10: A = 


 1 1 3 
1 -1 1 




 -2 1 3 
0
⇒ A+B = 
; A−B = 

 2 0 4
0




1
2

1
 -2 2 4 
 ; 2A = 


2
2 2 6




Ví dụ 11: Một người có hai cửa dịng bán dịng tin học. Số lượng dịng hóa bán ra
trong tháng thứ nhất và tháng thứ hai cho bởi hai ma trận A và B. Tìm lượng dịng hóa
bán trong cả hai tháng của người đó.
Bàn phím Ram Chuột USB

 2
A=
 4


B=



5

10

6

9

7

3

12

6

5

8

15 

13 


Ch1
Ch2

11 

17 


Giải: Lượng dòng hóa bán ra cả 2 tháng được cho bởi ma trận C = A + B.

9
C =
 10


?

8

22

11

17

36 

30 


 2 0 −1 1 3 
 1 −2 −2 4 0 




Cho ma trận A =  1 −2 0 2 4  và B =  1 3 −1 3 0 




 2 5 3 −5 0 
 4 5 −5 3 3 






Tìm ma trận: C = 2A + 3B và D = 3A − 2B .
Các tính chất
Cho A, B, C là các ma trận cùng cấp m × n , r, s là các số. khi đó:

i)

A+B = B +A

v)

r (A + B ) = rA + rB

ii ) A + (B + C ) = (A + B ) + C

vi ) (r + s )A = rA + sA

iii ) A + O = O + A = A

vii ) (rs )A = r (sA)

iv ) A + (- A) = O

viii ) 1.A = A

d) Phép nhân hai ma trận.

-7-


Tích của hai ma trận Cho ma trận A = (aij )m ×n , B = (bjk )n × p là một ma trận

C = AB = (cij )m ×p có các phần tử xác định bởi cơng thức

cij =

n

∑a

(∀i = 1, m ; j = 1, n ).

b

ik kj

(0.1.13)

k =1

Nghĩa là: phần tử cij của ma trận C là tổng các tích của các phần tử ở dịng i
của ma trận A với các phần tử tương ứng ở cột j của ma trận B.
Sơ đồ thực hiện:

Chú ý: Tích AB xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận A bằng số dòng của ma
trận B.

 2
Ví dụ 12: 
 -3


?

-1
2

1
1 
.2
0  
 3


1. Cho ma trận:

2
-1
0

3 -1 
5
7 -1 
 3
1 0 = 
.
  1 -8 -7 3 

2 2


 5 3
2 0 1
−
1
3
1






A=
;
B
=
0
1
và
C
=
3
1
0




.
 3 0 2 






 −2 0 
 1 −1 2 





Tính a) A.B, B.A của các ma trận và nhận xét 2 kết quả A.B và B.A
b) C TC ; CB − 3B.
Tính chất
Cho A = (aij )m ×n , B = (bij )n ×p , C = (cij )p ×q và I là ma trận đơn vị
i) A(BC) = (AB)C.

ii) A(B + C) = AB + AC.

iii) (A + B)C = AC + BC

iv) I m A = AI n = A.

-8-

0.1.2 Định thức
Khái niệm định thức chỉ áp dụng cho ma trận vuông. Định thức của ma trận A là
một số, kí hiệu là det(A) hay A .
0.1.2.1. Định thức cấp 2, 3

 a11 a12 
* Định thức cấp 2: Xét ma trận vuông cấp 2: A =  a
a .
 21 22 
Khi đó:

a11 a12
A = a a = a11a:22 − a12a21
21
22

(0.1.14)

* Định thức cấp 3 (qui tắc Sarrus) :

 a11 a12 a13 


Xét ma trận vuông cấp 3: A =  a21 a22 a23 
a
a
a 
 31 32 33 

Khi đó:

a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 = (a11a22a 33 + a12a23a 31 + a13a21a 32 )

(0.1.15)

a 31 a 32 a 33
− (a11a23a 32 + a12a21a 33 + a13a22a 31 )

Cách nhớ:

a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32

(0.1.16)

+ Nhận thấy rằng, định thức cấp 3 là một tổng của sáu số hạng, có ba số hạng có
dấu +, ba số hạng có dấu -, và mỗi số hạng là tích của ba phần tử nằm trên các hàng
các cột khác nhau.
+ Định thức cấp 3 là tổng đầu gồm 3 tích số lấy theo đường chéo chính và 2
đường song song với nó nhân với phần tử đối diện. Tổng sau cùng cũng gồm 3 tích số
nhưng lấy theo đường chéo còn lại và 2 đường song song với nó nhân với phần tử đối
diện.
Ví dụ 13:

-9-


2 −3 4

1

2

3 = [2.2.2 + (−3).3.5 + 1.(−4).4] − [4.2.5 + (−3).1.2 + 3.(−4).2] = −63.

5 −1 2
0.1.2.2. Định thức cấp n (khai triển theo một dòng hay theo một cột)
 a11 a12 ... a1n 
 a21 a22 ... a2n 
Cho ma trận vuông cấp n : A =  ... ... ... ...  . Định thức của ma trận


a
... ann 
a
 n1 n 2

A khai triển theo hàng một là:

A = a11A11 + a12A12 + .... + a1n A1n
(0.1.17)
Định lý Laplace:

Định thức của ma trận A cấp n là:

a11 a12
a21 a22
A = ... ...
an 1 an 2

Trong đó:

... a1n
... a2n
... ... =
... ann

.
n

∑ (−1)i + j aij det(Mij )
j =1

(0.1.18)

M ij là ma trận vuông nhận từ A bằng cách bỏ đi dòng i, cột j.
Đặt Aij = (−1)i + j det(M ij ) , ta gọi là phần bù đại số của phần tử aij

Khi đó, ta có cơng thức khai triển định thức A theo dòng thứ i :

A =

n

∑ aij Aij
j =1

= ai1Ai1 + ai 2Ai 2 + .... + ain Ain

(0.1.19)

Chú ý: Có thể khai triển A theo cột thứ j

A =

n

∑ aij Aij

= a1 j A1 j + a 2 j A2 j + .... + anj Anj

i =1

1
Ví dụ 14: Tính định thức sau A = 5

4 −3
2

1

−3 6

0

- 10 -

(0.1.20)

Giải Khai triển theo dịng 1, ta có:
i =1

A = a11A11 + a12A12 + a13A13 = 1A11 + 4A12 + (−3)A13

A11 = (−1)1+1 det(M11 ) = (−1)2

Mà

A12 = (−1)1+2 det(M12 ) = (−1)3
1+ 3

A13 = (−1)

4

det(M13 ) = (−1)

2 1
6 0
5

= −6
1

−3 0
5

2

−3 6

= −3

= 36

⇒ A = 1.(−6) + 4.(−3) + (−3).36 = − 126

Nhận xét: Có thể trình bày ngắn gọn như sau
i =1

2

A = 1.(−1)

2 1
6 0

3

+ 4.(−1)

5

1

−3 0

4

+ (−3).(−1)

5

2

−3 6 (khai triển theo dòng 1)

= 1.(−6) + 4.(−3) + (−3).36 = − 126
Nhận xét: Do giá trị định thức không đổi dù ta khai triển theo dòng (cột) bất kỳ nên
khi thực hành ta chọn những dịng (cột) có nhiều số 0 nhất rồi khai triển theo dịng
(cột) đó.

0.1.3 Ma trận nghịch đảo
* Định nghĩa. Ma trận vuông A cấp n được gọi là ma trận không suy biến khi
và chỉ khi A ≠ 0.
* Định nghĩa. Cho ma trận vuông A cấp n Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp
n sao cho AB = BA = I n thì B được gọi là nghịch đảo của A (hoặc A khả nghịch).
Ký hiệu: B = A-1.
Như vậy, nếu A khả nghịch thì A.A-1 = A-1.A = I n .
1

Ví dụ 15 : Cho A = 
3
1
3

Vì 

2
 7 - 2
 . Ma trận nghịch đảo là B = 

7
- 3 1 

2   7 - 2  1 0
 7 - 2  1
 
 = 
 và 
 
7   - 3 1   0 1
- 3 1  3

* Định lý: Ma trận vuông A khả nghịch ⇔ det A ≠ 0 .

- 11 -

2   1 0
=

7   0 1


0.1.4 Hạng của ma trận
0.1.4.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A.

Ký hiệu: rank (A) hay r (A) .
Chú ý: A = (0)m ×n , thì ta qui ước r (A) = 0 .

2

Ví dụ 16: Tìm hạng của ma trận A =  0

2

2

-1

1

Giải + Ta có det A = 0

-3

2

2

-4

3

+ Định thức con cấp 2 là

-1

-3
-4

1

2

3


= 0.
3x 3

2

-1

0

-3

= −6 ≠ 0 . Kết luận r (A) = 2 .

* Hạng của ma trận A bằng số dòng khác 0 của ma trận dạng bậc thang tương
đương với ma trận A
Nhận xét : 0 ≤ r ( A) ≤ min(m, n) ( A là ma trận cấp mxn).
Định nghĩa 2
Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang (không nhất thiết là ma trận bậc thang rút
gọn theo dòng) tương đương ma trận A được gọi là hạng của ma trận A .
0.1.4.2 Cách tính hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp.

Biến đổi sơ cấp
i) Đổi chỗ hai hàng cho nhau ( hi ↔ h j )
ii) Nhân một hàng với một số k ≠ 0
iii) Cộng một hàng với k lần hàng khác (hi + k .h j )
Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.
Để tính hạng của ma trận A ta thường dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma
trận A về ma trận B có dạng:

- 12 -


b11 b12

 0 b21
 ... ...

0
B= 0

0
 0
 ... ...

 0
0


... b1r
... b2r
... ...

brr
...
...

0
...

...

0

... b1n 

... b2n 
... ... 

brn 

... 0 
... ... 

... 0 


(0.1.21)

Ta có r (A) = r (B ) = r = số dòng khác khơng của ma trận B.

Ví dụ 17: Tìm hạng ma trận:

1

A = 3

2


5

4

-1

2

2

3

-13 

5

-4 


Giải

1


3

2


5

4

-1

2

2

3

1
-13 
5
4 -13 
 h →h − 3h


2
2
1
5  
→  0 -16 -10 44 
 h3 →h3 −2h1



 0 -8
-4 
-5
22 



1
5
4 -13 


h3 →h3 −h2
→
 0 -16 -10 44 


0
0
0
0



Kết luận: r(A) = 2

?

0.2

Tìm hạng của ma trận:

 1 −2 8 3 


 2 6 −3 4 
A=
4 2 13 10 


 5 0 21 13 



Vectơ

0.2.1 Vectơ
a) Vectơ n chiều
Là một bộ n số có xếp thứ tự x = ( x1 , x2 ,..., xn ) , trong đó xi là thành
phần thứ i của vectơ x ( i = 1,2,..., n ).

- 13 -


b) Vectơ hàng và vectơ cột
Vectơ được viết theo hàng gọi là vectơ hàng. Nếu viết theo cột gọi là vectơ cột.

x = ( x1 , x2 ,..., xn ) : vectơ hàng n chiều

 y1 
y 
y =  2  : vectơ cột m chiều.
 ... 
 
 ym 

0.2.2 Không gian vectơ
Định nghĩa
Cho V là một tập tùy ý khác rỗng và tập số thực ℝ . Trên V ta xác định hai
phép toán
Cộng hai phần tử của V :

+ : V ×V → V

(0.2.1)

(u , v ) ֏ u + v
Nhân phần tử của V với một số k :

. : R ×V → V

(0.2.2)

(k , u ) ֏ k .u

Ta gọi V cùng với hai phép tốn trên được gọi là một khơng gian vectơ (hay
khơng gian tuyến tính) nếu 8 tiên đề sau được thỏa mãn ∀u , v, w ∈ V và k , r ∈ ℝ :
1) u + v = v + u
2) (u + v) + w = u + (v + w)

3) ∃θ ∈ V : u + θ = u , θ được gọi là phần tử không.
4) ∃ − u ∈ V : u + (−u ) = θ , −u được gọi là phần tử đối của u .
5) k (u + v) = ku + kv
6) (k + r )u = ku + ru
7) k (ru ) = (kr )u
8) 1.u = u
Mỗi phần tử của một không gian vectơ được gọi là một vectơ.
Ta còn viết u + (−v) = u − v và gọi là hiệu của u và v.
Phép toán u + v gọi là phép cộng vectơ.

- 14 -


Phép toán k.u gọi là phép nhân vectơ với một vơ hướng, hay đơn giản là phép
nhân với vơ hướng.

Ví dụ 18: R n = {( x1 , x2 ..., xn ) xi ∈ R, i = 1,..., n} ta trang bị hai phép toán:
- Phép cộng: ( x1 , x2 ,..., xn ) + ( y1 , y2 ,..., yn ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn )
- Phép nhân: k ( x1 , x2 ,..., xn ) = (kx1 , kx2 ,..., kxn ), k ∈ R
là một không gian vectơ.

0.2.3 Độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính
* Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của một hệ véctơ
Giả sử S = {u1 , u2 ,..., un } là một hệ (hay một tập) của không gian vectơ V. Vectơ
n

u = ∑ ki ui , ki ∈ R, i = 1,..., n

(0.2.3)

i =1

được gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ S hay u biểu thị tuyến tính qua các vectơ
u1,…,un .

* Định nghĩa hệ độc lập tuyến tính và hệ phụ thuộc tuyến tính
Hệ vectơ S = {u1 , u2 ,..., un } của không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến
tính

nếu

có

các

số

k1 , k2 ,..., kn

khơng

đồng

thời

bằng

0

sao

cho

k1u1 + k2u2 + ... + knun = θ .
Hệ vectơ S = {u1 , u2 ,..., un } được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó khơng phụ
thuộc tuyến tính, tức là nếu k1u1 + k2u2 + ... + knun = θ thì suy ra k1 = k2 = ... = k n = 0 .

Ví dụ 19: Trong ℝ 3 , hệ vectơ {e1 , e2 , e3 } với e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) , e3 = (0, 0,1) là
một hệ độc lập tuyến tính.
Thật vậy: Giả sử có:

k1e1 + k2 e2 + k3e3 = θ
⇒ k1 (1,0,0) + k 2 (0,1,0) + k3 (0,0,1) = (0,0,0)
⇒ (k1 , k2 , k3 ) = (0,0,0)
⇒ k1 = k2 = k3 = 0

Vậy hệ vectơ {e1 , e2 , e3 } độc lập tuyến tính .
Một cách tương tự, ta có:
Trong khơng gian ℝn , hệ vectơ {e1,e2,…,en} :

- 15 -


e1 = (1,0,...,0)
e2 = (0,1,...,0)
.....
en = (0,0,...,1)

là hệ độc lập tuyến tính .

Ví dụ 20: Hệ {u1,u2,u3} với u1 = (1,1,1), u2 = (1,1,0), u3 = (2,2,1) là phụ thuộc tuyến
tính. Vì u1 + u2 - u3= (1,1,1) + (1,1,0) - (2,2,1) = (0,0,0) = θ.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên, suy ra:
Xét phương trình: x1u1 + x2u2 + ... + xnun = θ , với xi là các ẩn số thực. Phương
trình này ln có nghiệm khơng x1 = 0, x2 = 0,..., xn = 0 . Nếu nghiệm đó là duy nhất thì
hệ vectơ {u1 , u2 ,..., un } là độc lập tuyến tính. Cịn nếu phương trình có nghiệm khác
nghiệm khơng thì hệ vectơ {u1 , u2 ,..., un } là phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 21: Xét xem hệ vectơ u1 = (1; 3; 2), u2 = (1; 5; 3), u3 = (2; 7; 5) là độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính.

Giải.
Từ phương trình x1u1 + x2u2 + x3u3 = θ , xi ∈ R , ta được:

 x1 + x2 + 2 x3 = 0
 x1 + x2 + 2 x3 = 0


⇔ x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 .
3 x1 + 5 x2 + 7 x3 = 0 ⇔ 2 x2 + x3 = 0
2 x + 3x + 5 x = 0
x = 0
2
3
 1
 3
Vậy {u1 , u2 , u3} độc lập tuyến tính.

?

Xét xem các hệ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
a) u1 = (1,1, −2 ) , u2 = ( 0,0, 0 ) , u3 = ( 4, −1, 2 )
b) u1 = (1, 0,1, 0 ) , u2 = ( 0, 0,1,0 ) , u3 = (1,0,0,1) , u4 = (1,0,1,0 )

- 16 -


BÀI TẬP CHƯƠNG 0

0 1 
 2 −3 




B =  3 2  , C = 1 2 
 −2 3 
 4 −1 





3
1


1. Cho các ma trận: A =  −1 2  -,
3 4



Tính :

a) (A + B )C T

c) AT , BT , C T

b) 3A

1 3 3


2. Cho hai ma trận A =  2
2 −1  ,


 −3 −4 0 



2 5 6 


B =  5 3 −2  .


 7 4 −4 



a) Tính 2A + 3B .
b) Tính A.B, B.A.
i) 2A + 3X = I 3

c) Tìm ma trận X sao cho :

ii) A + X = B

3. Tính các định thức:

a) A =

tan x

-1

1

tan x

-2

4

c) C = 1

0

b) B =

0
3

-2

2

d) D =

1

cosα

sinα

-sinα

cosα

1

i

1+i

-i

1

0

1-i

0

3

4. Tìm hạng của các ma trận

1 4 8 


a) A =  3 2 4 


 4 6 12 



 1 2 −3 1 3 


b) B =  0 1 3 4 5 


0 2 3 1 8



 1 3 5 −1 


 2 −1 −3 4 
c) 
5 1 −1 7 


7 7 9 1 



5. Trong R3 xét xem các hệ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
a) a1 = (1,−1,1) , a2 = (0,1,−1) , a3 = (3,1,2)
b) a1 = (− 2,3,5) , a2 = (0,−1,1) , a3 = (− 1,3,1)
6. Trong R4 xét xem hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
S = {a1 = (0,−3,1,−1), a2 = (1,0,2,1), a3 = (1,3,1,2 )} .

- 17 -


Chương 1

BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Mục đích u cầu
Tư tưởng tối ưu hóa có từ rất lâu và con người ln phải suy nghĩ tìm các giải
pháp thực hiện các cơng việc sao cho có lợi nhất theo những mục đích xác định.
Những yêu cầu cấp bách của sự phát triển nền kinh tế và quốc phòng làm nảy sinh ra
nhiều ý tưởng về bài toán tối ưu. Do đó đã xuất hiện một dạng bài tốn cần phải giải

quyết, đó là bài tốn tìm phương án tối ưu.
Để giải quyết hiệu quả bài toán tối ưu, trước hết sinh viên cần phải:
- Thành thạo việc xây dựng mô hình tốn học cho một bài tốn đó, trên đó thể
hiện được bản chất của mỗi đối tượng được khảo sát, các mối liên quan giữa chúng và
cần chỉ rõ mục tiêu mong muốn đạt được.
- Phân biệt được sự khác nhau giữa bài toán QHTT dạng tổng quát, dạng chính
tắc và dạng chuẩn.
- Thành thạo các biến đổi để đưa một bài tốn QHTT tổng qt về dạng chính

tắc.
- Nắm vững khái niệm phương án cực biên và biết cách xét một phương án có
phải là phương án cực biên không?

Kiến thức chuẩn bị
Để nắm vững chương này sinh viên cần rèn luyện:
- Các phương pháp phân tích, hiểu rõ các tình huống, các mối quan hệ của các
đối tượng khi khảo sát, nắm vững các kỹ năng biến đổi.
- Các khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính

- 18 -


1.1 Một số ví dụ dẫn đến bài tốn QHTT
Ví dụ 1: (Bài toán lập kế hoạch sản xuất khi biết trước nguyên vật liệu).
Một xí nghiệp dùng 3 loại nguyên liệu N1; N2; N3 để sản xuất ra một loại sản
phẩm theo ba theo ba phương pháp khác nhau: PP1, PP2, PP3. Định mức nguyên liệu
và số lượng sản phẩm sản xuất ra trong một giờ theo các phương pháp cho ở bảng sau:
Nguyên Số lượng hiện
liệu
có (đv)

Định mức tiêu hao trong một giờ
PP1

PP2

PP3

N1

250

4

5

3

N2

350

2

4

1

N3

450

3

6

4

10

12

9

Sản lượng (sp/giờ)

Hãy lập mơ hình bài tốn sao cho xí nghiệp sản xuất ra nhiều sản phẩm nhất?

Giải
Gọi x1 , x 2 , x 3 là thời gian sản xuất ra sản phẩm theo ba phương pháp PP1, PP2,
PP3.
Tổng số sản phẩm sản xuất (cần làm cực đại)
f ( x ) = 10 x1 + 12 x 2 + 9 x 3 → m ax

Do xí nghiệp chỉ có 250 ngun liệu N1 nên x1 , x 2 , x 3 phải thỏa mãn
4 x1 + 5 x2 + 3 x3 ≤ 250

Tương tự cho các nguyên liệu N2, N3, ta có
2 x1 + 4 x2 + x3 ≤ 350;

3 x1 + 6 x2 + 4 x3 ≤ 450

Dĩ nhiên ta phải có x1 , x 2 , x 3 khơng âm
Vậy mơ hình của bài tốn kinh tế được phát biểu như sau:
Tìm các biến x1 , x 2 , x 3 sao cho
f ( x ) = 10 x1 + 12 x 2 + 9 x 3 → m ax

(1.1.1)

(Hàm mục tiêu)

thỏa mãn các điều kiện
 4 x1 + 5 x 2 + 3 x 3 ≤ 250

 2 x1 + 4 x 2 + x 3 ≤ 350
 3 x + 6 x + 4 x ≤ 450
2
3
 1

- 19 -

(1.1.2) (Các ràng buộc)