Bài giảng toán kinh tế phần 2 nguyễn ngọc lam

PHẦN II. ĐẠO HÀM, VI PHÂN
Chương 3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Chương 4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
chương 5. HÀM NHIỀU BIẾN
chương 6. TÍCH PHÂN
chương 7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

55


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x  X,
cho tương ứng duy nhất một y = f(x)  Y theo qui tắc f,
thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y.
Ký hiệu: f : X  Y
x  f (x )
x  y  f (x )
• Đơn ánh: x1, x2  X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)
• Toàn ánh: Với mỗi y  Y, x  X: y = f(x)
• Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh
• Nếu f: XY là song ánh thì f-1: YX là ánh xạ ngược
56
của f


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa hàm số: Với X,Y  R, ta gọi ánh xạ f:XY là
một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x).
x: biến độc lập
y: biến phụ thuộc.

Tập X: miền xác định
Tập f(X) = {f(x): x  X}: miền giá trị của f

57


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X:
• f = g: f(x) = g(x),  x  X
• f  g = f(x)  g(x), xX
• fg = f(x)g(x), xX
• af = af(x), xX
• f/g = f(x)/g(x), xX, g(x)0

58


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) đồng thời u = g(x). Khi đó
f = f[g(x)] là hàm số hợp của biến độc lập x thông qua
biến trung gian u. Ký hiệu fog.
Ví dụ: Tìm gof, goh, fog, hog với g = lg2x, f = sinx, h=ex
Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu
f: XY là một song ánh thì f-1: YX được gọi là hàm số
ngược của f.
• Đồ thị của f, f-1 đối xứng nhau qua đường y = x.

59

C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số đơn điệu:
• f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x1,x2  (a,b):
x1 < x2 => f(x1)  f(x2) (f(x1)  f(x2))
• f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x1,x2 
(a,b): x1 < x2 => f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2))
• Hàm số tăng hoặc giảm trên (a,b) được gọi đơn điệu.
Hàm số bị chặn:
• f gọi bị chặn nếu M: |f(x)|  M, x
• f gọi bị chặn trên nếu M: f(x)  M, x
• f gọi bị chặn dưới nếu m: f(x)  m, x
60


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X.
Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: T ≠ 0:
f(x+T) = f(x),  x  X
Số T 0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu
kỳ cơ sở của hàm số f.
Ví dụ:
• Hàm số y= sinx, y = cos(x) với chu kỳ cơ sở là T 0 = 2.
• Hàm số y = tg(x), y = cotgx với chu kỳ cơ sở là T 0 = .

61


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x  X.
• f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X

• f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X
Ví dụ: f(x) = cosx + x- x2
g ( x )  log( x 

x 2  1)

Hàm số chẵn
Hàm số lẻ

Ghi chú:
• Hàm số chẵn đối xứng qua Oy
• Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ
62


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ
1. Hàm số luỹ thừa:
•   N: mxđ R

y = x , với   R

•  nguyên âm: mxđ x ≠ 0.
•  có dạng 1/p, p  Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ
•  là số vô tỉ: qui ước chỉ xét y = x tại mọi x  0,  > 0
và tại mọi x > 0 nếu  < 0.
Đồ thị của y = x luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ
độ (0,0) nếu  > 0, không đi qua góc toạ độ nếu  < 0.
63

C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
2. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1)
• Hàm số mũ xác định với mọi x.
• Hàm số mũ tăng khi a > 1.
• Hàm số mũ giảm khi a < 1.
• Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ.

64


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1
• Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0.
• Hàm số logax tăng khi a > 1
• Hàm số logax giảm khi a < 1
• Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị
• Hàm số y = logax là hàm số ngược của số y = ax

65


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
 Một số tính chất của logax:
loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2)

x1
loga ( )  loga (x1)  Loga (x 2 )
x2
logaxα = αlogax

b  a log a b
log c b
log a b 
log c a
66


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
4. Hàm số lượng giác:
• y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2
• y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2
• y = tgx, mxđ  x ≠ (2k+1)/2, hàm lẻ, chu kỳ 
• y = cotgx, mxđ  x ≠ k, k  Z, hàm lẻ, chu kỳ 

67


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
5. Hàm số lượng giác ngược:
• Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị
[-/2,/2] và là hàm số tăng.
• Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá
trị [0,] là hàm số giảm
• Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị
(-/2,/2) và là hàm số tăng.
• Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị
(0,) là hàm số giảm.
68

C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
• Định nghĩa: Các hàm số hằng số, luỹ thừa, mũ, logarit,
lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số
sơ cấp cơ bản.
• Định nghĩa: Các hàm số nhận được bằng cách thực
hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích
thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ
bản được gọi chung là hàm số sơ cấp.
Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp, g(x) không là hàm sơ cấp

 2 sin( x 2 )  3 

f ( x )  log 3 

2
x 2 


g( x )  x
69


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa lân cận:
• x thuộc lân cận của x0  >0 nhỏ bất kỳ: 0<x-x0 < 
Lân cận một phía:
• x thuộc lân cận phải của x0 và x > x0  x0 < x < x0 + 
• x thuộc lân cận trái của x0 và x < x0  x0 -  < x < x0
Lân cận ở vô cùng:

• x thuộc lân cận của +  M>0 lớn bất kỳ: x > M
• x thuộc lân cận của -  N<0 nhỏ bất kỳ: x < N
70


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn: Cho hàm f(x) xác định
trên một khoảng chứa x0 (riêng tại x0, f(x) có thể không
tồn tại). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi
x x0, nếu  > 0,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) – L < .
Ký hiệu: lim f ( x )  L
x x0

Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng
lim (2 x  1)  7
x3

Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận
của điểm x0 thì:
lim f ( x )  f ( x 0 )
x x0

71


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa giới hạn một bên:
• Bên phải:  > 0,  > 0: x0 < x < x0 +   f(x) – L < 
lim f ( x )  L
x x0 

• Bên trái:  > 0,  > 0: x0 -  < x < x0  f(x) – L < 
lim f (x )  L
xx0 

Định lý:

lim f ( x )  L  lim
x x0

x x0 

f (x ) 

lim

f (x )  L

x  x0 

 x khi x  0
Ví dụ, Tìm giới hạn f(x) khi x0 f (x )  
1 - x khi x  072


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa giới hạn lân cận :
lim f ( x )  L
x  

nếu  > 0, N > 0 đủ lớn: x > N  f(x) - L < 
.

lim f ( x )  L

x  

nếu  > 0, N < 0 đủ nhỏ: x < N  f(x) - L < 
Ví dụ, chứng minh rằng

1
lim
0
x   x
73


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
2. Giới hạn vô hạn của hàm số:

lim f ( x )  
x x0

M > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) > M

lim f ( x )  
x x0

N < 0 nhỏ tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0<   f(x) < N
Ví dụ: chứng minh

lim

1
2

x  a (x  a )

 
74


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: nếu lim f(x) = A và lim g(x) = B thì
• lim (f ± g) = A ± B
• lim (fg) = AB
• lim (f/g) = A/B (B ≠ 0)
• lim fg = AB
• lim C = C
• lim [Cf(x)] = CA
Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, /,  - , 0.,
1 ,  0, 00 thì phải biến đổi để khử chúng.
75


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Ví dụ: Tìm

x3  8

a ) lim
x2 x  2
b) lim

x3  3x  8

x 

x2  2

c) lim (x 3  3x 2  1)
x  

76


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân
cận của x0. Nếu
lim g ( x )  lim h ( x )  L  lim f ( x )  L
x x0

x  x0

x x0

Ví dụ: Tìm lim x 4 sin 2 (1 / x )
x 0

Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm

sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì
limf(u) = f(L) = f(limu)

 x 2  1 

Ví dụ: Tìm lim sin 
 2x2  x 
x 



77


C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
4. Một số giới hạn đặc biệt:
x
1
sin x


lim  1    e
lim
1
x
x  
x 0 x
x
a 1
1/ x

lim
1

x
e


lim
 ln a
x 0
x0 x
ln(1  x )
lim
1
x
x0
• Hàm số lũy thừa:
  0 : lim x   ; lim x   0
x  

x0


  0 : lim x   0; lim x
x  

x 0

 
78

C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
• Hàm mũ:

a1

x

x

x  

x  
x

: lim a   ; lim a  0
x

0  a  1 : lim a  0; lim a  
x  

• Hàm logarit:

a1

x  

: lim loga x  ; lim loga x  
x  0

x  

0  a  1: lim loga x  ; lim loga x  
x  0

x  

• Hàm ngược lượng giác:



lim arctgx  ; lim arctgx  
2
2
x  
x  
lim arccotgx  0; lim arccotgx  
x  

x  

79