Phương pháp Ferrali giải phương trình bậc 4

PH NG TRÌNH B C B NƯƠ Ậ Ố
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 (a ≠ 0)
I. Nh ng d ng đ c bi tữ ạ ặ ệ
1/ Ph ng trình trùng ph ng axươ ươ
4
+ bx
2
+ c = 0
Đ t t = xặ
2
(t ≥ 0), ph ng trình tr v d ng b c haiươ ở ề ạ ậ
2/ (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c
Đ t t = x + ½(a + b), pt có d ng : (t + m)ặ ạ
4

+ (t - m)
4
= c, khai tri n s đ c pt trùng ph ngể ẽ ượ ươ
3/ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (m ≠ 0) v i a + b = c + dớ
pt ↔ [x
2
+ (a + b)x + ab].[x
2
+ (c + d)x + cd] = m
Đ t t = xặ
2
+ (a + b)x = x
2
+ (c + d)x (n u mu n có th kèm theo ĐK c a t)ế ố ể ủ
Ph ng trình tr v d ng b c haiươ ở ề ạ ậ
4/ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
± kbx + k
2
a = 0 (a ≠ 0)
- Xét x = 0 có ph i nghi m pt khôngả ệ
- V i x ≠ 0 : Chia 2 v pt cho xớ ế
2
pt ↔ a (x
2
+ k

2
/x
2
) + b(x ± k/x) + c = 0
Đ t t = x ± k/x (n u mu n có th kèm theo ĐK c a t)ặ ế ố ể ủ
5/ a[f
2
(x) + 1/f
2
(x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = 0
Đ t t = f(x) ± 1/f(x) (t ng quát h n so v i d ng ph ng trình 4)ặ ổ ơ ớ ạ ươ
6/ a.f
2
(x) + b.f(x).g(x) + c.g
2
(x) = 0 (a ≠ 0)
- V i g(x) = 0, pt ↔ f(x) = 0ớ
- V i g(x) ≠ 0, chia 2 v ph ng trình cho gớ ế ươ
2
(x)
- Đ t t = f(x)/g(x), pt tr v d ng b c hai theo tặ ở ề ạ ậ
7/ x = f(f(x))
pt ↔ h đ i x ng lo i 2 : t = f(x) và x = f(t)ệ ố ứ ạ
* Chú ý : N u trong ph ng trình có ch a tham s , trong vài tr ng h p ta có th đ iế ươ ứ ố ườ ợ ể ổ
vai trò c a n và tham s (xét ph ng trình theo tham s a, tính a theo x r i suy ra x theoủ ẩ ố ươ ố ồ
a)
II. Ph ng trình b c b n t ng quát Xươ ậ ố ổ
4
+ AX
3

+ BX
2
+ CX + D = 0 (công th c Ferrari)ứ
- Đ t X = x - A/4, ph ng trình tr v d ng ặ ươ ở ề ạ khuy t b c baế ậ :
x
4
= ax
2
+ bx + c
- C ng 2 v pt cho 2mxộ ế
2
+ m
2
(m thu c R), ta đ c :ộ ượ
(x
2
+ m
2
)
2
= (2m + a)x
2
+ bx + c + m
2
- Xét v ph i pt, ta s ch n m sao cho v ph i là bình ph ng m t nh th c b ngế ả ẽ ọ ế ả ươ ộ ị ứ ằ
cách :
Δ
VP
= b
2

- 4(2m + a)(c + m
2
) : pt b c ba theo m → luôn có nghi m th cậ ệ ự
- Khi đó pt có d ng : (xạ
2
+ m
2
)
2
= f
2
(x)







PH NG TRÌNH B C BAƯƠ Ậ
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0)
Chú ý :
- Ph ng trình b c l luôn luôn có nghi m th cươ ậ ẻ ệ ự
- Đ nh lý Viete : N u ph ng trình axị ế ươ
3
+ bx

2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghi m xệ
1
, x
2
,
x
3
thì :
x
1
+ x
2
+ x
3
= -b/2a
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
= c/a
x

1
x
2
x
3
= -d/a
I. Nh ng d ng thông th ngữ ạ ườ
1. N u x = xế
0
là m t nghi m, ta có th phân tích thành d ng :ộ ệ ể ạ
(x - x
0
)(ax
2
+ bx + c) = 0
Đ c bi t :ặ ệ
- N u a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghi mế ệ
- N u (d/a) = (c/b)ế
3
→ x = -c/b là nghi mệ
2. Ph ng trình d ng Aươ ạ
3
+ B
3
= (A + B)
3
pt ↔ A
3
+ B
3

= A
3
+ B
3
+ 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0
II. Nh ng d ng t ng quátữ ạ ổ
1. Ph ng trình 4xươ
3
- 3x = q
* V i │q│ ≤ 1ớ
- Đ t x = cost , pt tr thành : cos3t = qặ ở
- G i α là góc th a cosα = q, nh v y : cos3t = cosαọ ỏ ư ậ
- Ta ch n tọ
1
= α/3 ; t
2,3
= (α ± 2π)/3
- K t lu n ph ng trình có 3 nghi m xế ậ ươ ệ
1,2,3
= cos t
1,2,3
Chú ý r ng b c đ t x = cost là m t cách đ t "ép" n ph , ta không c n ch ngằ ướ ặ ộ ặ ẩ ụ ầ ứ
minh r ng pt trên luôn có nghi m nh h n 1, khi tìm đ c ằ ệ ỏ ơ ượ đủ 3 nghi m thì ta cóệ
th k t lu n ngayể ế ậ
* V i │q│ > 1ớ :
- Ta d dàng CM đ c pt không có nghi m thu c [-1;1] và n u ph ng trình cóễ ượ ệ ộ ế ươ
nghi m xệ
0
không thu c [-1;1] thì xộ
0

là nghi m duy nh tệ ấ
- Ta ch n a thu c R đ pt có d ng 4xọ ộ ể ạ
3
- 3x = ½ (a
3
+ 1/a
3
) b ng cách :ằ
q = ½ (a
3
+ 1/a
3
) ↔ a
6
- 2qa
3
+ 1 = 0 (→ tìm đ c a)ượ
- CM x
0
= ½ (a + 1/a) là nghi m (duy nh t) c a ph ng trìnhệ ấ ủ ươ
2. Ph ng trình 4xươ
3
+ 3x = q
- Gi s ph ng trình có nghi m xả ử ươ ệ
0
, dùng đ o hàm ta CM đ c xạ ượ
0
là nghi m duyệ
nh tấ
- Ta ch n a thu c R đ pt có d ng 4xọ ộ ể ạ

3
+ 3x = ½ (a
3
- 1/a
3
) r i CM xồ
0
= ½ (a - 1/a) là







nghi m (duy nh t) c a ph ng trình (ph ng pháp t ng t nh trên)ệ ấ ủ ươ ươ ươ ự ư
3. Ph ng trình xươ
3
+ px + q = 0 (Công th c Cardan - Tartaglia)ứ
- Đ t x = u - v sao cho uv = p/3ặ
- T pt, ta có : (u - v)ừ
3
+ 3uv(u - v) = u
3
- v
3
= q
- H ph ng trình uv = p/3 và uệ ươ
3
- v

3
= q cho ta m t ph ng trình trùng ph ngộ ươ ươ
theo u (ho c v), t đó suy ra u,v và tìm đ c ặ ừ ượ m tộ nghi m x = u + vệ
Chú ý r ng trong lúc gi i ph ng trình trùng ph ng có th ta g p nghi m ph c (uằ ả ươ ươ ể ặ ệ ứ
ho c v) nên t đó ph ng trình b c ba còn cho thêm 2 nghi m ph c n a (đó m i làặ ừ ươ ậ ệ ứ ữ ớ
d ng đ y đ c a công th c trên)ạ ầ ủ ủ ứ
Ngoài ra, các ph ng trình 4xươ
3
± 3x = q nh trên cũng có th gi i đ c b ng PPư ể ả ượ ằ
này
4. Ph ng trình b c ba t ng quát Xươ ậ ổ
3
+ AX
2
+ BX + C = 0
Đ t X = x - A/3, pt tr thành xặ ở
3
+ px + q = 0 (#)
Cách 1 : Gi i tr c ti p theo công th c Cardan - Tartagliaả ự ế ứ
Cách 2 :
- Đ t x = kt (k > 0) , (#) tr thành : kặ ở
3
t
3
+ pkx + q = 0
(ch n k sao cho kọ
3
/4 = pk/3 n u p > 0 ho c kế ặ
3
/4 = -pk/3 n u p < 0)ế

- Ph ng trình đ c đ a v d ng 4tươ ượ ư ề ạ
3
± 3t = Q