PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4

Phương pháp giải phương trình bậc 4:
4 3 2
0
ax bx cx dx e
    

Trình bày: Thầy Võ Thanh Bình
Số đt: 0917.121.304
PP đặt biệt theo dạng
Dạng 1: nhẩm được nghiệm đẹp ( dùng sơ đồ hoocne)
4 3 2 3 2
( )( ) 0
ax bx cx dx e x ax x x
   
         
3 2
0
x
ax x x

  




   


Vd:
4 3 2
4 16 12 0

x x x x
    
3 2
( 1)( 3 4 12) 0
x x x x
     
1
3
2
x
x
x



 


 


Dạng 2: trùng phương:
4 2
0
ax bx c
  

Đặt
2 2
, 0 : 0

t x t PT at bt c
     

Vd:
4 2
2 4 0
x x
  
. Đặt
2 2
, 0 : 2 4 0
t x t PT t t
     
1 5 (L)
1 5
t
t

 


 


1 5
x   
Dạng 3: trùng phương tịnh tiến:
4 4
( ) ( )
x a x b c

   

Đặt
4 4
: 0
2 2 2 2
a b a b a b a b
t x x t PT t a t b
   
   
           
   
   
ta đưa về trùng phương.
Vd:
4 4
( 1) 17
x x
  
. Đặt
1 1
2 2
t x x t
    
. PT
4 4
4 2
1 1 135
0 2 3 0
2 2 8

t t t t
   
       
   
   
.
Dạng 4: đối xứng:
4 3 2
0
ax bx cx bx a
    
2 2
2 2
1 1
0 0
b a
ax bx c a x b x c
x x x x
   
           
   
   

Đặt
2 2
2
1 1
2
t x t x
x x

     
. Lúc này thế vào pt ta được pt bậc 2.
Vd:
4 3 2
6 13 12 13 6 0
x x x x
    
2 2
2 2
13 6 1 1
6 13 12 0 6 13 12 0
x x x x
x x x x
   
           
   
   

Đặt
2 2
2
1 1
2
t x t x
x x
     
.
PT



2
6 2 13 12 0
t t
    
0
13
6
t
t







2
2
1 0
3 2
;
2 3
6 13 6 0
x
x
x x

 
 
  

 

  
 


Dạng 5: hồi quy:
4 3 2 2
0
ax bx cx kbx k a
    
2 2
2 2
2 2
0 0
kb k a k k
ax bx c a x b x c
x x x x
 
 
           
 
 
 
 

Đặt
2
2 2
2

2
k k
t x t x
x x
     
. Lúc này thế vào pt ta được pt bậc 2.
Vd:
4 3 2 2
2
25 5
2 21 74 105 50 0 2 21 74 0
x x x x x x
x x
   
          
   
   

Đặt
2 2
2
5 25
2
t x t x
x x
     
.
PT



2
2 2 21 74 0
t t
    
6
9
2
t
t







2
2
6 5 0
5
1;2; ;5
2
2 9 10 0
x x
x
x x

  
 
  

 

  
 


Dạng 6: cân bằng hệ số cộng: ( )( )( )( ) ;
x a x b x c x d k a b c d
       

Đặt
( )( )
t x a x b
  

Vd:
( 4)( 5)( 7)( 8) 4
x x x x
    
( 4)( 8)( 5)( 7) 4
x x x x
     
2 2
( 12 32)( 12 35) 4
x x x x
     

Đặt
 
2

2
2
4 12 36 0
12 32 ( 3) 4 6; 6 5
1
12 31 0
t x x
t x x PT t t x
t
x x

    

             



  



Dạng 7: cân bằng hệ số nhân:
2
( )( )( )( ) ;
x a x b x c x d kx ab cd
     

Pt
2 2 2
( ) ( )

x a b x ab x c d x cd kx
   
      
   
( ) ( )
ab cd
x a b x c d k
x x
   
       
   
   

Đặt
ab
t x
x
  lúc đó thu về pt bậc 2.
Vd:
2
( 1)( 2)( 4)( 8) 4
x x x x x
    
2
( 1)( 8)( 2)( 4) 4
x x x x x
     
8 8
9 6 4
x x

x x
  
     
  
  
.
Đặt
8
t x
x
 
. PT
  
2
2
5 5 8 0
9 6 4 5 17
10
10 8 0
t x x
t t x
t
x x

   

        




  



PP hằng số biến thiên
Vd:
4 2
2 3 3 3 0
x x x
    
( chọn
3
làm biến, x làm tham)
2
2
2 4
2
2
(2 1) (2 1)
3
3 0
1 1 4 3 1 4 3 3
2
3 (2 1) 3 ( ) 0 ;
2 2
(2 1) (2 1)
1 3 0
3
2
x x

x x
x x x x
x x
x x

  


 

  
    
 

         

 
  

   

 

 



PP hệ số bất định:





4 3 2 2 2
0 0
x ax bx cx d x Ax B x Cx D
          

4 3 2 4 3 2
( ) ( ) ( )
x ax bx cx d x A C x AC B D x AD BC x BD
             

A C a
AC B D b
AD BC c
BD d
 


  



 




từ đây ta giải hệ tìm A,B, C, D
Vd:





4 3 2 4 3 2 2 2
6 12 14 3 0 6 12 14 3 0
x x x x x x x x x Ax B x Cx D
               

2
2
6 2
12 3 2 3 0
2 5
14 4
4 1 0
3 1
A C A
AC B D B x x
PT x
AD BC C
x x
BD D
    
 
 

      
 
      

  
    
  
 
 
 
 

PP hệ số bất định giải được tất cả các bài bậc 4 nhưng để thực hiện ta có công cụ chính: tách số;
hàm chẵn; máy tính…. ở đây ta trình bày cách giải bằng máy tính.
4 3 2
0
ax bx cx dx e
    
. Ta đi tìm số
max( )
n
a
 . Nhập vào máy PT rồi ấn SHIFT SOLVE. Máy hiện X? . lúc đó ta
nhập
max( )
n
a
 thu được
1
x
. Tương tự nhập
max( )
n
a

 thu được
2
x
. Vậy ta có




2
1 2 1 2
x x x x x x
   . Lập phép chia
đa thức lấy bậc 4 chia bậc 2 ta thu được bậc 2


4 3 2 2
1 2 1 2
( )
ax bx cx dx e x x x x x x
        .(bậc 2 tìm được)=0
Giải PT:
4 3 2
2 8 9 10 0
x x x x
    

Thu được
1
2
2,701562119

3,701562119
x
x



 

1 2
1 2
1
10
x x
x x
  



 

lấy
4 3 2
2 8 9 10
x x x x
   
chia cho
2
10
x x
 

được:
2
1
x x
 
.
Vậy
4 3 2 2 2
2 8 9 10 ( 10)( 1) 0
x x x x x x x x
         
2
2
10 0
1 41
2
1 0
x x
x
x x

  
 
  

  


VD:
4 3 2

2 3 4 3 0
x x x x
    
;
4 3 2
5 10 4 32 0
x x x x
    
;
4 3 2
2 13 16 2 1 0
x x x x
    



Thiết lập cách giải phương trình:
4 3 2
8 32 28 7 1 0
x x x x
    


Cách 1: phân tích thành nhân tử.
4 3 3 2 2 2
8 12 20 4 30 2 10 3 1 0
x x x x x x x x
         








2 3 2 3 2 2
8 12 4 20 30 10 2 3 1 0
x x x x x x x x
          







2 2 2 2
4 2 3 1 10 2 3 1 2 3 1 0
x x x x x x x x
         





2 2
2 3 1 4 10 1 0
x x x x
     

2
2
3 17
2 3 1 0
4
4 10 1 0
5 21
4
x
x x
x x
x





  

 


  






Cách 2: hệ số bất định.

4 3 2
7 7 1
4 0
2 8 8
x x x x
     

  
4 3 2 2 2
7 7 1
4 0
2 8 8
x x x x x Ax B x Cx D
          

4
7
2
7
8
1
8
A C
AC B D
AD BC
BD
  




  




 







giải hệ 4 ẩn ta được
3
2
1
2
5
2
1
4
A
B
C
D

 




 




 






Pt
2 2
3 1 5 1
0
2 2 2 4
x x x x
  
     
  
  

2
2
3 1 3 17
0
2 2 4
5 1

5 21
0
2 4
4
x x x
x x
x



   



 




  






Cách 3: hổ trợ máy tính. ( máy tính chỉ là công cụ vì cách này là cách 2: hệ số bất định)
tìm
max( )
4

n
a
  
. Nhập vào tính


 
1
2
4 2,395643924
4 0,104356076
x
x
   


  


Tính
1 2
5
2
x x
 
và
1 2
1
.
4

x x


Lấy
4 3 2
8 32 28 7 1
x x x x
   
chia cho
2
5 1
2 4
x x
 
ta thu được
2
8 12 4
x x
 
. Vậy
 
4 3 2 2 2
5 1
8 32 28 7 1 8 12 4 0
2 4
x x x x x x x x
 
         
 
 

2
2
3 17
8 12 4 0
4
5 1
0
5 21
2 4
4
x
x x
x x
x




  



 


  








Thực chất dựa vào vi-et đảo ta chỉ cần tìm được
5
2
C
 
là ta có thể nhanh trống tìm được A, B, D mà không cần phải
chia đa thức.

Quá trình trên máy :
- nhập PT rồi ấn máy báo: . Nhập
4
ta
được. . Ghi ra giấy:
1
2,395643924
x

.
- Tương tự ấn máy báo: . Nhập
4

ta được.
Ghi ra giấy:
2
0,104356076
x


.
- Xong rồi.
Nhưng với một số mấy khác thì lúc nhập
4

máy báo
0,280776406

. Lúc này
1 2
x x


và
1 2
.
x x
ra số thập phân ( nghĩa là hệ số bất định có thể là phân số hoặc số vô tỷ). Cũng dể
hiểu là do phương trình bậc 4 tới 4 nghiệm nên báo sẽ hiển thị nghiệm thứ 3 hay thứ 4.
vậy lúc đó ta sẻ nhập giá trị khác vào máy để tìm các nghiệm còn lại. lúc này ta nhập
1
8
e
a

thì máy sẽ ra:
0,104356076
.