Tài liệu Báo cáo " XÂY DỰNG HÀM DẠNG CỦA PHẦN TỬ DẦM CHỊU UỐN CÓ NHIỀU VẾT NỨT VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHÂN TÍCH CÁC DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA KẾT CẤU HỆ THANH" ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (582.38 KB, 11 trang )
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012
7
XÂY DỰNG HÀM DẠNG
CỦA PHẦN TỬ DẦM CHỊU UỐN CÓ NHIỀU VẾT NỨT
VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHÂN TÍCH CÁC DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG
CỦA KẾT CẤU HỆ THANH
Trần Văn Liên
1
, Trịnh Anh Hào
2
Tóm tắt: Việc đánh giá sự làm việc của kết cấu có vết nứt cũng như việc xác định
vết nứt trong kết cấu là một vấn đề quan trọng, cần thiết, thu hút sự quan tâm của
các nhà nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam. Bài báo trình bày các kết quả
nghiên cứu về việc xác định hàm dạng dao động của phần tử dầm đàn hồi chịu
uố
n có nhiều vết nứt theo mô hình lò xo bằng phương pháp độ cứng động lực kết
hợp với phương pháp ma trận chuyển. Từ đó đã xây dựng thuật toán và chương
trình phân tích sự thay đổi các dạng dao động riêng của kết cấu hệ thanh khi xuất
hiện vết nứt. Các kết quả nghiên cứu nhận được là mới, là cơ sở cho việc xây
dựng một phương pháp hiệu quả để xác
định vết nứt trong các kết cấu hệ thanh
dựa trên phân tích các đặc trưng dao động.
Từ khóa: Vết nứt, độ cứng động lực, tần số dao động riêng, dạng dao động riêng
Abstract: Assessment of the behavior of damaged structures as well as
determination of the location and the depth of cracks in multiple cracked structures
are very important and have attracted attention many researchers. This article
presents some results on the determination of the vibration shape function of a
multiple cracked elastic beam element, which is modeled as an assembly of intact
sub-segments connected by massless rotational springs, by using the combination
of dynamic stiffness and transfer matrix methods. Algorithms and computer
programs to analyse changes of natural mode shapes of multiple cracked beams
have been determined. Numerical analysis of natural mode shapes of multiple
cracked cantilever beams using the obtained expression shows a good agreement
in comparison with the well-known analytical methods. The methodology approach
and results presented in this article are new and are the basis for building an
efficient method to identify cracks in frame structures.
Keywords: cracked beam, transfer matrix, natural frequency, mode shape.
Nhận ngày 06/6/2012, chỉnh sửa ngày 28/6/2012, chấp nhận đăng 30/8/2012
1. Đặt vấn đề
Sự hình thành và phát triển vết nứt hay hư hỏng trong các kết cấu xây dựng làm giảm khả
năng làm việc và tuổi thọ của công trình, do đó, việc đánh giá chính xác sự xuất hiện vết nứt hay
hư hỏng trong các kết cấu công trình là một vấn đề quan trọng, cần thiết, đã và đang thu hút sự
quan tâm của các nhà nghiên cứu và xây dựng công trình trên thế giới và ở Việt Nam.
Nhữ
ng nghiên cứu hiện nay về việc xác định vết nứt hay hư hỏng trong kết cấu công
trình bằng các phương pháp kiểm tra không phá hủy phát triển chủ yếu theo hướng sử dụng
các đặc trưng động lực học của kết cấu như tần số dao động riêng, dạng dao động riêng, hàm
1
PGS.TS, Khoa Xây dựng DD&CN, Trường Đại học Xây dựng. E-mail:
2
ThS, Công ty cổ phần đầu tư, tư vấn và thi công xây dựng Việt Nam.
KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG
Số 13/8-2012
Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng
8
ph phn ng [1,2,3,5,6,9,13]. Mt u im ca hng nghiờn cu ny l s tham s cn o
c xỏc nh s lng, v trớ v sõu ca vt nt hay h hng trong cỏc kt cu cú th l ớt
hn s tham s cn xỏc nh nh gii bi toỏn cc tr [2].
Do cỏc phng phỏp gii tớch ch gii hn trong cỏc kt cu dm n gin [1,6,9] v
khụng ỏp d
ng c cho cỏc kt cu h thanh phc tp nh dm liờn tc nhiu nhp hay kt
cu khung, nờn cho n nay vic xỏc nh cỏc c trng ng lc hc ca kt cu ch yu da
vo phng phỏp phn t hu hn v s phỏt trin gn õy ca nú l phng phỏp cng
ng lc:
- Theo phng phỏp phn t hu hn, i v
i cỏc kt cu h thanh cú vt nt, thanh
c chia thnh nhiu phn t thanh nguyờn vn liờn kt vi nhau ti cỏc vt nt. Nhm khc
phc vn ny, Sato H. [12] ó kt hp gia phng phỏp ma trn chuyn v phng phỏp
phn t hu hn. Do phng phỏp phn t hu hn l mt phng phỏp gn ỳng nờn cỏc
c trng ng lc hc xỏc nh theo phng phỏp ny l gn
ỳng, c bit l i vi cỏc tn
s v dng dao ng bc cao [2].
- Theo phng phỏp cng ng lc, i vi cỏc kt cu dng thanh cú vt nt, thanh
cng c chia thnh nhiu phn t thanh nguyờn vn liờn kt vi nhau ti cỏc vt nt [7]. Kt
hp phng phỏp cng ng lc v phng phỏp ma trn chuyn, trong cỏc cụng trỡnh
[2,8], tỏc gi ó xõy dng c mụ hỡnh phn t
thanh thng 3 chiu cú nhiu vt nt chu kộo,
nộn, un, xon theo phng phỏp cng ng lc. Mụ hỡnh ny ó c ng dng xỏc
nh s lng, v trớ v sõu ca thanh cú nhiu vt nt da trờn cỏc tn s riờng o c t
thc nghim. Tuy vy, vic xỏc nh dng dao ng riờng ng vi cỏc tn s riờng o c cũn
cha c gi
i quyt.
xỏc nh c cỏc dng dao ng riờng thỡ cn thit phi xỏc nh hm dng dao
ng cho phn t dm chu un cú nhiu vt nt vi v trớ v sõu bt k, ng thi cú k n
cỏc h s cn khỏc nhau. Vn ny khỏ phc tp v cha thy cụng b trong cụng trỡnh no.
Bi bỏo ny trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu v vic xỏc nh cỏc hm dng dao ng
c
a phn t dm n hi chu un cú nhiu vt nt theo mụ hỡnh lũ xo bng phng phỏp
cng ng lc kt hp vi phng phỏp ma trn chuyn. T ú ó xõy dng thut toỏn v
chng trỡnh phõn tớch s thay i dng dao ng riờng ca cỏc kt cu h thanh khi cú s
xut hin ca cỏc vt nt. Cỏc kt qu nhn c l mi, l c s
cho vic phõn tớch s lm
vic ca kt cu cú vt nt v cng l c s cho vic xut mt phng phỏp hiu qu xỏc
nh cỏc vt nt trong kt cu da trờn phõn tớch cỏc c trng dao ng.
2. Hm dng ca phn t dm nguyờn vn chu un
Trong phng phỏp phn t hu hn [4], hm dng ca phn t dm nguyờn vn chu
un l nghi
m phng trỡnh cõn bng tnh khi khụng cú ti trng ngoi (hỡnh 1)
Hỡnh 1. Phn t dm nguyờn vn chu un
0
4
4
=
dx
wd
EI
z
(1)
cựng vi cỏc iu kin biờn
(
)
(
)
(
)()
() () () ()
() () () ()
() () () ()
0 1; 0 0; 0; 0 (2 )
00;01; 0; 0(2)
00;00; 1; 0(2)
0 0; 0 0; 0; 1 (2 )
ww wLwL a
wwwLwLb
ww wLwLc
ww wLwLd
=== =
====
====
====
Nghim ca cỏc bi toỏn biờn ny l cỏc hm
dng N
1
, N
2
, N
3
, N
4
, gi l cỏc hm Hermit:
P
2
u
3
nh
4
P
4
u
1
u
4
P
3
x
P
1
y
L
u
2
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012
9
() () () ()
2
32
4
32
3
2
32
2
32
1
;23;2;231
L
x
L
x
xN
L
x
L
x
xN
L
x
L
x
xxN
L
x
L
x
xN +−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
(3)
Khi cho trước các giá trị ;;;
1234
uu uu tại hai đầu nút phần tử dầm thì chuyển vị ngang
của dầm là:
() () ()
(
)
(
)
44332211
uxNuxNuxNuxNxw
+
+
+= (4)
Trong phương pháp độ cứng động lực, Leung A.Y.T [10] chọn hàm dạng của phần tử
dầm nguyên vẹn chịu uốn là nghiệm phương trình dao động tự do không cản
0
),(
2
2
4
4
=
∂
∂
+
∂
∂
t
w
A
x
txw
EI
z
ρ
(5)
cùng với các điều kiện biên (2a-d). Nghiệm của bài toán biên này là các hàm dạng N
1
, N
2
, N
3
,
N
4
dưới đây:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−+
−−+−
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
3
3
5
3
4
3
6
2
1
2
3
2
2
2
4
3
3
3
5
3
4
3
6
2
1
2
3
2
2
2
4
4
3
2
1
2/2/2/2/2/
2/2/2/2/2/1
2/2/2/2/2/
2/2/2/2/2/1
sinhcoshsincos
λλλλλ
λλλλ
λλλλλ
λλλλ
λλλλ
LF F LFL F
F F LF F
LF F LFL F
F F LF F
L
x
L
x
L
x
L
x
N
N
N
N
(6)
trong đó
EI
AL
4
24
ρ
ωλ
= là tham số động lực;
ω
là tần số dao động (rad/s); F
i
(i=1, ,6) là các
hàm số:
1coscosh
)cossinhsin(cosh;/)sin(sinh
/)sin(sinh;/)cos(cosh
)cossinhsin(cosh;/)sin(sinh
3
6
3
5
2
4
2
3
21
−=
+−=+=
=−−=
−
−
=
−−=
λ
λ
δ
δλλλλλδλλλ
δλλλδλλλ
δ
λ
λ
λ
λ
λ
δ
λ
λ
λ
FF
FF
FF
(7)
Khi
ω
= 0, tương ứng với bài toán tĩnh, từ các hàm dạng (6) ta nhận được các hàm dạng
Hermit (3).
Nếu như trong trường hợp dầm nguyên vẹn chịu uốn, việc xác định các hàm dạng là
bước đầu tiên để thành lập ma trận độ cứng động lực của phần tử thì trong trường hợp dầm
chịu uốn có nhiều vết nứt theo mô hình lò xo, việc xác định hàm dạng là khá phức tạp, ph
ải dựa
vào kết quả xây dựng ma trận độ cứng động lực theo phương pháp ma trận chuyển.
3. Ma trận độ cứng động lực của phần tử dầm chịu uốn có nhiều vết nứt
Xét dầm chịu uốn trong mặt phẳng Oxy có chiều dài L, diện tích tiết diện A, mômen
quán tính
I
z
, môđun đàn hồi E, mật độ khối lượng
ρ
. Phương trình dao động tự do của dầm
có dạng [11]:
0
),(),(
2
2
2
4
5
1
4
4
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂∂
∂
+
∂
∂
t
w
t
w
A
tx
txw
x
txw
EI
z
μρμ
(8)
với
μ
1
là hệ số cản nhớt của vật liệu,
μ
2
là hệ số cản của môi trường. Đặt
ti
extxw
ω
ω
),(),( Φ=
với
Φ
(x,
ω
) là biên độ của chuyển vị ngang trên dầm, ta có:
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG
Sè 13/8-2012
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
10
0),(
),(
4
4
4
=Φ−
Φ
ωλ
ω
x
dx
xd
(9)
trong đó:
1;1
ˆ
2
24
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= i
i
IE
A
z
ω
μ
ρ
ωλ
là tham số động lực học (
ω
là tần số dao động,
rad/s), nếu
λ
= 0 tức
ω
= 0 ta có trường hợp biến dạng tĩnh, với
ω
≠
0 thì
Φ
(x,
ω
) là biên độ
chuyển vị động;
)1(
ˆ
1
ωμ
iEE +=
là modul đàn hồi phức, dưới đây để cho dễ theo dõi ta vẫn
dùng ký hiệu E như khi không có cản.
Giả sử dầm bị nứt tại các điểm x
j
, j=1,2, ,n trong đó 0
012 1
x
xx xx L
n
n
=
<< << < =
+
với các độ sâu a
j
. Sử dụng mô hình lò xo của vết nứt, ta có mô hình dầm như hình 2 với các
độ cứng lò xo k
z
j
được tính theo công thức quy đổi [1,2]. Như vậy, cùng với phương trình (9) ta
có các quan hệ tương thích tại các vị trí vết nứt x
j
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
() ()()
njk ; x xEIx
xx; xx; xx
z
jjjjjzj
jjjjjj
, ,2,1;1000
000000
==+Φ
′
=−Φ
′′
+−Φ
′
+
Φ
′
′
′
=
−
Φ
′
′
′
+
Φ
′
′
=
−
Φ
′′
+Φ=−Φ
αα
(10)
Hình 2. Phần tử dầm có nhiều vết nứt chịu uốn
Ta đưa vào các chuyển vị nút
{
}
4321
uuuuU
=
tại
0
=
x
và
L
x=
() ()
(
)
(
)
0 ; 0 ; ;
12 34
uuuLuL
′′
=Φ =Φ =Φ =Φ (11)
và các lực nút tương ứng
() ()
(
)
(
)
Lu; Lu; u ; u
Φ
′
=
Φ
=
Φ
′
=Φ=
4321
00 (12)
Sử dụng các ký hiệu
{}
()
{}
()
1n1,2, ,j ; )0();0();0();0(,,,Z
n1, ,,0j ; )0();0();0();0(,,,Z
4,3,2,1,
4,3,2,1,
+=−Φ
′′
−Φ
′′′
−−Φ
′
−Φ==
=+Φ
′′
−+Φ
′′′
+Φ
′
+Φ==
−−−−
−
++++
+
T
jzjzjj
T
jjjj
j
T
jzjzjj
T
jjjj
j
xEIxEIxxZZZZ
xEIxEIxxZZZZ
(13)
khi đó
44,133,142,131,1
24,013,022,011,0
)(;)(;)(;)(
)0(;)0(;)0(;)0(
PLEIZPLEIZuLZuLZ
PEIZPEIZuZuZ
znznnn
zz
=Φ
′′
==Φ
′′′
−==Φ
′
==Φ=
=Φ
′′
−==Φ
′′′
==Φ
′
==Φ=
−
+
−
+
−
+
−
+
++++
(14)
và các hàm Krylov
k
1
x
1
k
2
x
2
k
n
x
n
Biên
x=0
u
3
P
4
P
3
x
u
2
u
1
P
1
P
2
u
4
y
Biên
x=L
L
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012
11
cosh cos cosh cos sinh sin sinh sin
() ; () ; () ; ()
1324
2222
x
xxxxxxx
Kx Kx K x Kx
+−+−
====
(15)
Nghiệm tổng quát của phương trình (9) trên đoạn j=1,2, ,n+1 với x
∈
(x
j-1
, x
j
) có dạng
14,1
2
3
3,1
3
4
2,1
2
1,11
)(
)()(
)()(
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−=−++=Φ
jj
z
j
z
jjj
xxx; Z
EI
xK
Z
EI
xK
Z
xK
ZxKx
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
(16)
Tại đầu phải
−
j
Z của đoạn thanh j, ta có
+
−
−
=
1j
j
j
ZTZ
với j =1,2, ,n+1 (17)
trong đó ma trận
T
j
được gọi là ma trận chuyển của đoạn dầm nguyên vẹn
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
=
−
−
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
),(
12
1
43
2
413
2
2
3
2
2
314
2
3
3
42
1
1
llll
llll
llll
llll
l
λλλλλλλ
λλλλλλλ
λλλλλλλ
λλλλλλλ
λ
KKKEIKEI
KKKEIKEI
EIKEIKKK
EIKEIKKK
T
zz
zz
zz
zz
j
(18)
với
1−
−=
jjj
xxl
. Sử dụng các véc tơ
+−
jj
Z,Z
, ta viết lại điều kiện (10) dưới dạng ma trận
−+
=
j
j
j
ZJZ với j = 1,2, n (19)
trong đó ma trận
)(
jjj
JJ
α
=
được gọi là ma trận chuyển tại vị trí vết nứt
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
1000
0100
010
0001
)(
j
jj
J
α
α
(20)
Từ (19), (17) ta có:
+
−
+
=
1j
jj
j
ZTJZ
với j=1, ,n (21)
dẫn đến :
+
−−
+
=
0
1111
ZTJTJTJZ
nnnn
n
(22)
Nhân cả hai vế của phương trình này với ma trận
1+n
T và áp dụng (17), ta nhận được
++
−+
−
+
==
00
112211
1
ZQZTJTJJTJTZ
nnnn
n
(23)
trong đó ma trận Q được gọi là ma trận chuyển của dầm có n vết nứt bên trong
112211
TJTJJTJTQ
nnnn −+
= (24)
Ta viết ma trận Q dưới dạng
[
]
[
]
[][]
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
43
21
Q
với
[] [] [] []
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
4443
3433
4
4241
3231
3
2423
1413
2
2221
1211
1
; ; ;
Q
Q
Q
Q
(25)
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG
Sè 13/8-2012
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
12
và chú ý các ký hiệu đã đưa vào ở trên, từ (23) cho ta các quan hệ
[] [] [] []
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
1
4
2
1
3
4
3
2
1
2
2
1
1
4
3
;
P
P
Q
u
u
Q
P
P
P
P
Q
u
u
Q
u
u
(26)
Từ đó có thể rút ra quan hệ giữa các lực nút P và chuyển vị nút U của phần tử dầm chịu
uốn có nhiều vết nứt như sau:
[]
{} {}
PUK
e
= (27)
trong đó:
[]
[][]
[
]
[][][][][][]
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−−
−−
1
241
1
243
1
21
1
2
QQQQQQ
QQQ
K
e
(28)
Ma trận [K
e
]
4x4
được gọi là ma trận độ cứng động lực của phần tử dầm có n vết nứt.
4. Xác định hàm dạng và dạng dao động riêng của phần tử dầm chịu uốn có nhiều vết nứt
4.1 Xác định hàm dạng
Dựa vào biểu thức nghiệm tổng quát (16) và biểu thức (27), ta có thể xác định được hàm
dạng dao động của phần tử dầm chịu uốn có nhiều v
ết nứt như sau:
a. Để tìm hàm dạng N
1
, từ điều kiện biên (2a), ta xác định ứng lực P
1
và P
2
dựa vào (27):
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
21
11
24232221
14131211
2
1
0001
k
k
kkkk
kkkk
P
P
T
Như vậy, các thông số của đoạn thứ nhất (j=1) là
{
}
214113210
)0(;)0(;0)0(;1)0( kZkZZZZ =====
+++++
(29)
nên hàm dạng N
1
cho đoạn này có dạng
0
)(
)(
)(
21
2
3
11
3
4
1
)1(
1
−=−+= xx; k
EI
xK
k
EI
xK
xKN
zz
λ
λ
λ
λ
λ
(30)
Sử dụng (21) và (16), ta xác định được thông số của hàm dạng N
1
trên đoạn kế tiếp.
Trường hợp dầm không có vết nứt, ta nhận được hàm dạng
xK
KKK
KKK
xK
KKK
KKKK
xKN )(
~~~
~~~
)(
~~~
~~~~
)(
3
42
2
3
31
2
2
4
42
2
3
4321
11
λλλ
−
−
−
−
−
+=
trong đó
)(
~
LKK
ii
λ
=
. Khi các hệ số cản 0
21
=
=
μ
μ
, ta nhận lại được hàm dạng N
1
theo (6).
b. Để tìm hàm dạng N
2
, từ điều kiện biên (2b), ta xác định ứng lực P
1
và P
2
dựa vào (27):
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
22
12
24232221
14131211
2
1
0010
k
k
kkkk
kkkk
P
P
T
Như vậy, các thông số của đoạn thứ nhất (j=1) là
{
}
224123210
)0(;)0(;1)0(;0)0( kZkZZZZ =====
+++++
(31)
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012
13
nên hàm dạng N
2
cho đoạn này có dạng:
0
)(
)()(
22
2
3
12
3
42
)1(
2
−=−+= xx; k
EI
xK
k
EI
xKxK
N
zz
λ
λ
λ
λ
λ
λ
(32)
Sử dụng (21) và (16), ta xác định được thông số của hàm dạng N
2
trên đoạn kế tiếp.
Trường hợp dầm không có vết nứt, ta nhận được hàm dạng
xK
KKK
KKKK
xK
KKK
KKK
xK
N )(
)
~~~
(
~~~~
)(
)
~~~
(
~~~
)(
3
42
2
3
4132
4
42
2
3
31
2
2
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
−
+=
trong đó
()
K
KL
ii
λ
=
%
. Khi các hệ số cản 0
21
=
=
μ
μ
, ta nhận lại được hàm dạng N
2
theo (6).
c. Để tìm hàm dạng N
3
, từ điều kiện biên (2c), ta xác định ứng lực P
1
và P
2
dựa vào(27)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
23
13
24232221
14131211
2
1
0100
k
k
kkkk
kkkk
P
P
T
Như vậy, các thông số của đoạn thứ nhất (j=1) là
{
}
234133210
)0(;)0(;0)0(;0)0( kZkZZZZ =====
+++++
(33)
nên hàm dạng N
3
cho đoạn này có dạng
0
)(
)(
23
2
3
13
3
4
)1(
3
−=−= xx; k
EI
xK
k
EI
xK
N
zz
λ
λ
λ
λ
(34)
Sử dụng (21) và (16), ta xác định được thông số của hàm dạng N
3
trên đoạn kế tiếp.
Trường hợp dầm không có vết nứt, ta nhận được hàm dạng
xK
KKK
K
xK
KKK
K
N )(
~~~
~
)(
~~~
~
3
42
2
3
3
4
42
2
3
2
3
λλ
−
+
−
−=
trong đó
()
K
KL
ii
λ
=
%
. Khi các hệ số cản 0
21
=
=
μ
μ
, ta nhận lại được hàm dạng N
3
theo (6).
d. Để tìm hàm dạng N
4
, từ điều kiện biên (2d), ta xác định ứng lực P
1
và P
2
dựa vào (27)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
24
14
24232221
14131211
2
1
1000
k
k
kkkk
kkkk
P
P
T
Như vậy, các thông số của đoạn thứ nhất (j=1) là
{
}
244143210
)0(;)0(;0)0(;0)0( kZkZZZZ =====
+++++
(35)
nên hàm dạng N
4
cho đoạn này có dạng
0
)(
)(
24
2
3
14
3
4
)1(
4
−=−= xx; k
EI
xK
k
EI
xK
N
zz
λ
λ
λ
λ
(36)
Sử dụng (21) và (16), ta xác định được các thông số của hàm dạng N
4
trên các đoạn kế tiếp.
Trường hợp dầm không có vết nứt, ta nhận được hàm dạng
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG
Sè 13/8-2012
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
14
)(
)
~~~
(
~
)(
)
~~~
(
~
3
42
2
3
4
4
42
2
3
3
4
xK
KKK
K
xK
KKK
K
N
λ
λ
λ
λ
−
−
−
=
trong đó
()
K
KL
ii
λ
=
%
. Khi các hệ số cản 0
21
=
=
μ
μ
, ta nhận lại được hàm dạng N
4
theo (6).
4.2 Xác định dạng dao động riêng
Việc lắp ghép ma trận độ cứng động lực của từng phần tử dầm (28) vào ma trận độ cứng
động lực của cả kết cấu
)(
ˆ
ω
K
thực hiện tương tự như trong phương pháp phần tử hữu hạn.
Khi đó, bài toán dao động riêng của cả kết cấu dẫn đến bài toán tìm tần số và dạng dao động
riêng từ hệ phương trình:
ˆ
() 0KU
ω
= (37)
trong đó các tần số riêng
ω
j
được xác định từ phương trình
0)(
ˆ
det =
ω
K (38)
và các chuyển vị nút U tương ứng với tần số riêng
ω
j
được tìm từ (37). Sau khi xác định được
các chuyển vị nút
4321
;;; uuuu (chính xác đến một hệ số tỷ lệ), ta xác định dạng dao động riêng
của phần tử dầm chịu uốn có nhiều vết nứt dựa vào (4).
5. Phân tích dao động của kết cấu hệ thanh có nhiều vết nứt
5.1 Dầm đơn giản
Xét dầm đơn giản có chiều dài nhịp L = 0.8m, tiết diện chữ nhật b×h = 0.02×0.02m
2
, khối
lượng riêng
ρ
= 7800kg/m
3
, môđun đàn hồi Young E=2.1×10
11
N/m
2
, hệ số poisson
ν
=0.3 [12].
Hình 3a-b chỉ ra sự
thay đổi 2 dạng dao động
đầu tiên (là hiệu số của dạng
dao động riêng dầm có vết
nứt và dạng dao động riêng
của dầm không có vết nứt
tương ứng) của dầm đơn
giản hai đầu liên kết khớp có
1 vết nứt tại vị x=0.3m từ
bên trái với độ sâu 30% tính theo phương pháp giải tích (đường , [2]) và theo phương pháp
đề nghị (
đường -
*
-). Rõ ràng các dạng dao động riêng nhận được theo phương pháp đề xuất là
trùng khớp với các dạng dao động riêng nhận được theo phương pháp giải tích.
5.2 Dầm liên tục nhiều nhịp
Xét dầm liên tục có chiều dài nhịp L
1
=0.8m, L
2
=1.1m, L
3
=0.6m, tiết diện chữ nhật
b×h=0.04×0.02m
2
, khối lượng riêng
ρ
=7850kg/m
3
, môđun đàn hồi Young E=2.1×10
11
N/m
2
, hệ
số poisson
ν
=0.3 (hình 4).
Hình 5-7 thể hiện sự
thay đổi ba dạng dao động
riêng đầu tiên do sự thay đổi
vị trí vết nứt trên các nhịp
khác nhau của dầm liên tục có
Hình 3: So sánh sự thay đổi 2 dạng riêng đầu tiên
a) b)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
x 10
-3
Comparison of DSM and Analytic Method:Single crack
Span(m)
Amplitude
Mode 2 - Analytic
mode 2 -DSM
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x 10
-3
Comparis on of DSM and Analytic Method: Single c rack
Span(m)
Ampli tude
Mode 1 - Analytic
mode 1 -DSM
Hình 4. Dầm liên tục nhiều nhịp
b
h
L
1
=0.8m
L
2
=1.1m
L
3
=0.6m
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012
15
1 vết nứt tại các vị trí:
- 0.2m (hình 5a, 6a, 7a), 0.4m (hình 5b, 6b, 7b), 0.6m (hình 5c, 6c, 7c) từ đầu nhịp thứ nhất;
Hình 5. Sự thay đổi dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục có 1 vết nứt
a) b) c)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Comparision of the eigenmodes: 1
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Comparision of the eigenmodes: 1
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Comparision of the eigenmodes : 1
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
d) e)
f)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Comparision of the eigenmodes: 1
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Comparision of the eigenmodes: 1
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Comparision of the eigenmodes : 1
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
g)
h)
i)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Comparision of the eigenmodes : 1
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Comparision of the eigenmodes : 1
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Comparision of the eigenmodes : 1
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
d) e)
f)
a) b) c)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Comparision of the eigenmodes : 2
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Comparision of the eigenmodes : 2
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Comparision of the eigenmodes : 2
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Comparision of the eigenmodes: 2
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Comparision of the eigenmodes: 2
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Comparision of the eigenmodes: 2
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
g)
h)
i)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Comparision of the eigenmodes: 2
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Comparision of the eigenmodes: 2
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Comparision of the eigenmodes: 2
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
Hình 6. Sự thay đổi dạng dao động riêng thứ hai của dầm liên tục có 1 vết nứt
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG
Sè 13/8-2012
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
16
- 0.2m (hình 5d, 6d, 7d), 0.5m (hình 5e, 6e, 7e), 0.8m (hình 5f, 6f, 7f) từ đầu nhịp thứ hai;
- 0.1m (hình 5g, 6g, 7g), 0.3m (hình 5h, 6h, 7h), 0.5m (hình 5i, 6i, 7i) từ đầu nhịp thứ ba.
với các độ sâu tăng dần từ 6% đến 72%. Hình 8 thể hiện sự thay đổi 3 dạng dao động riêng
đầu tiên của dầm liên tục khi số lượng vết nứt trên dầm liên tục tăng dần từ 1 đến 6 với khoảng
cách đều nhau 0.15m tại nhịp th
ứ hai và cùng độ sâu 30%.
Ta có một số nhận xét:
- Tại vị trí vết nứt, dạng dao động riêng có sự thay đổi đột ngột (đỉnh nhọn) nhưng độ lớn
của sự thay đổi dạng dao động riêng tại vị trí vết nứt không phải là lớn nhất.
- Độ lớn của sự thay đổi dạng dao động riêng tăng lên khi độ sâu vết n
ứt tăng lên.
- Tại nhịp xuất hiện vết nứt dạng dao động riêng có sự thay đổi đột ngột. Tại các nhịp
khác sự thay đổi này lại là liên tục, sự thay đổi cũng là tương đối lớn ở các nhịp liền kề.
- Có những vị trí vết nứt không làm thay đổi dạng dao động riêng. Ví dụ: vết nứt tại vị trí
0.8m từ đầu nhịp thứ hai (hay 1.6m từ
đầu ngàm của dầm liên tục) không làm thay đổi cả 3
dạng dao động riêng (hình 5f, 6f, 7f); vết nứt tại vị trí 0.2m làm thay đổi 2 dạng dao động riêng
đầu tiên nhưng không làm thay đổi dạng dao động riêng thứ ba (hình 7a). Các điểm như vậy
Hình 7. Sự thay đổi dạng dao động riêng thứ ba của dầm liên tục có 1 vết nứt
d) e) f)
a) b) c)
g)
h)
i)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplit ude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude
10 %
20%
30%
40%
50%
60%
Hình 8. Sự thay đổi 3 dạng dao động riêng đầu tiên khi số lượng vết nứt tăng lên từ 1-6
a) b) c)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Comparision of the eigenmodes : 2
Three-Span(m)
Amplitude
1 Crack
2 Cracks
3 Cracks
4 Cracks
5 Cracks
6 Cracks
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Comparision of the eigenmodes : 1
Three-Span(m)
Amplitude
1 Crack
2 Cracks
3 Cracks
4 Cracks
5 Cracks
6 Cracks
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Comparision of the eigenmodes : 3
Three-Span(m)
Amplitude
1 Crack
2 Cracks
3 Cracks
4 Cracks
5 Cracks
6 Cracks
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 13/8-2012
17
gọi là các điểm bất biến của dạng dao động riêng để phân biệt với các điểm nút của dạng dao
động riêng, tại đó dạng dao động riêng bằng 0.
6. Kết luận
Trong bài báo này, các tác giả đã trình bày các kết quả nghiên cứu về việc xác định hàm
dạng dao động của phần tử dầm đàn hồi chịu uốn có nhiều vết nứt theo mô hình lò xo bằng
phương pháp độ cứ
ng động lực kết hợp với phương pháp ma trận chuyển. Trên cơ sở đó, các
tác giả đã xây dựng một chương trình phân tích sự thay đổi của các dạng dao động riêng cho
kết cấu hệ thanh có nhiều vết nứt theo phương pháp độ cứng động lực trên nền MatLab. Độ
chính xác và tin cậy của kết quả nghiên cứu được thể hiện qua ví dụ so sánh các dạng dao
động riêng của dầm công xôn có vết nứ
t tính theo phương pháp đề xuất là trùng khớp với các
dạng dao động riêng tính theo phương pháp giải tích. Từ chương trình này, các tác giả đã có
các phân tích chi tiết về sự thay đổi dạng dao động riêng của kết cấu hệ thanh có nhiều vết nứt,
cụ thể là dầm liên tục nhiều nhịp có nhiều vết nứt. Các kết quả nghiên cứu nhận được là mới, là
cơ sở cho việc xây dựng một phương pháp hiệu qu
ả để phân tích sự làm việc của kết cấu khi
có vết nứt và cũng là cơ sở để xây dựng một phương pháp hiệu quả xác định vết nứt trong các
kết cấu hệ thanh dựa trên phân tích các đặc trưng dao động.
Tài liệu tham khảo
1. Trần Thanh Hải (2011), Chẩn đoán vết nứt của dầm bằng phương pháp đo rung động, Luận
án Tiến sỹ kỹ thuật, Vi
ện Cơ học.
2. Trần Văn Liên (2003), Bài toán ngược trong cơ học và một số ứng dụng, Luận án Tiến sỹ kỹ
thuật, Trường Đại học Xây dựng.
3. Adams R.D., Cawley P., Pie C.J. and Stone B.J.A. (1978), “A vibration technique for non-
destructively assessing the integrity of structures”, Journal of Mechanical Engineering Science,
20, 93-100.
4. Bathe K.J. (1996), Finite Element Procedures, Prence – Hall.
5. Cawley P., Adams R.D. (1979), “The location of defects in structures from measurements of
natural frequencies”, Journal of strain analysis, Vol 14, No 2.
6. M. Charti, R. Rand and S. Mukherjee (1997), “Modal analysis of cracked beam”, Journal of
Sound and Vibration 207, 249-270. .
7. Nguyen Xuan Hung (1999), Dynamics of structures and its application in structural
identification, Institute of Applied Mechanics
8. N. T. Khiem, T. V. Lien (2001), “A simplified method for frequency analysis of multiple
cracked beam”, Journal of Sound and Vibration, 245, 737-751.
9. Nguyen Tien Khiem and Dao Nhu Mai (1997), “Natural frequency analysis of cracked beam”,
Vietnam Journal of Mechanics, NCNST of Vietnam, 19(2), 28-38.
10. Leung Y.T. (1993), Dynamic Stiffness and Substructures, Springer-Verlag, London.
11. Rao S.S. (1986), Mechanical vibrations. Second Edition, Addison-Wesley Pub Company.
12. Sato H. (1983), “Free vibration of beams with abrupt changes of cross-section”, Journal of
Sound and Vibration, 89,, 59-64.
13. Shrifin E.I. and Ruotolo R. (1999) “Natural frequencies of a beam with an arbitrary number
of cracks”, Journal of Sound and Vibration, 222(3), 409-423.
