Đề thi thử môn toán - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 - LẦN 1
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Môn: TOÁN; Khối
D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
4 2 2
2
y x mx m m
= − − + +

(1)
, với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
(1)
khi
2
m
= −
.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
(1)
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2sin cos 3 sin 2 1 sin 4
+ + = +
x x x x

.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2
2
1 1 2
1 1 2
x y x
y x y

+ = − +


+ = − +



( , )
x y
∈
»
.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
3
3
1
2
2 2
xdx
I
x

−
=
+
∫
.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
, 2
AB a AC a
= =
,
SA
vuông góc với mặt
phẳng
( )
ABCD
,
SC
tạo với mặt phẳng
( )
SAB
một góc
0
30
. Gọi
M
là một điểm trên cạnh
AB

sao cho

3
BM MA
=
. Tính theo a thể tích của khối chóp
.
S DCM
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SCM
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương
,
x y
thỏa mãn
1
x y
+ ≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2
1 1
A xy
x y
= + +
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
( )
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
có
(2; 4)
A
−
, đỉnh
C

thuộc đường thẳng
:3 2 0
d x y
+ + =
. Đường thẳng
: 2 0
DM x y
− − =
, với
M
là trung điểm của
AB
. Xác định
tọa độ các đỉnh
, ,
B C D
biết rằng đỉnh

C
có hoành độ âm.
Câu 8.a (1.0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(
)
2; 5; 6
A
− −
và đường thẳng
1 2 1
( ):
2 1 3
x y z
− + +
∆ = =
−
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
A
trên
( )
∆
. Viết phương trình đường thẳng đi
qua
A
và cắt
( )
∆
tại

B
sao cho
35
AB =
.
Câu 9.a (1.0 điểm). Từ các chữ số
0,1,2,3,4,5
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác
nhau, trong đó phải có chữ số 2 và 4 ?.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
( )
Oxy
, cho hình chữ nhật
ABCD
có diện tích bằng

48
, đỉnh
( 3;2)
D
−
. Đường phân giác của góc

BAD
có phương trình
: 7 0
x y
∆ + − =
. Tìm tọa độ đỉnh

B
biết
đỉnh
A
có hoành độ dương.
Câu 8.b (1.0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(
)
4;3;2
A
và đường thẳng

1 1 2
( ):
2 3 1
x y z
− + −
∆ = =
− −
. Tính khoảng cách từ
A
đến
( )
∆
. Viết phương trình đường thẳng đi qua
A
, cắt và
vuông góc với

( )
∆
.
Câu 9.b (1.0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
( ) 2
f x x x
= + −
.
Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
SỞ GD&ĐT ĐỒNG THÁP ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối D
(Đáp án – thang điểm gồm 06 trang)

Câu Đáp án Điểm

a. (1,0 điểm)
Khi
2
m
= −
, ta có:
4 2

4 2
y x x
= − + +

• Tập xác định:
D
=


•
Sự biến thiên:
−
Chiều biến thiên:
3
' 4 8 ; ' 0 0
y x x y x
= − + = ⇔ =
hoặc
2
x = ±

0,25
Các khoảng nghịch biến:
( 2;0)
−
và
( 2; )
+∞
; các khoảng đồng biến
( ; 2)

−∞ −
và
(0; 2)

−
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại
0, 2
CT
x y
= =
; đạt cực đại tại
2, 6
CÑ
x y
= ± =

−
Giới hạn:
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= = −∞

0,25
−
Bảng biến thiên:

x

−∞

2
−

0

2

+∞

'
y

+

0

−

0

+

0

−

y

6

6



−∞

2

−∞


0,25









•
Đồ thị


0,25
b. (1,0 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành:

4 2 2
2 0 (1)
x mx m m
− − + + =

Đặt
2
0
t x
= ≥
, phương trình (1) trở thành:
2 2
2 0
t mt m m
+ − − =
(2)
0,25
1
(2,0 điểm)
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
⇔
(1) có bốn nghiệm phân biệt
⇔
(2) có hai nghiệm dương phân biệt
0,25
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

2
2
' 0 2 0
0 0
0
0
m m
P m
S
m m


∆ > + >


⇔ > ⇔ <
 
 
>
+ >



0,25
1
0
2
1
0 1
2

1 0
m m
m m
m

< − ∨ >



⇔ < ⇔ − < < −


− < <




Vậy giá trị
m
thỏa đề bài là
1
1
2
m
− < < −
.
0,25
Phương trình đã cho tương đương với
2sin cos3 1 2cos3 sin
x x x x

+ = +

0,25
(2sin 1)(cos3 1) 0
x x
⇔ − − =

0,25
•

2
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x k
π
π
π
π

= +

= ⇔



= +



( )
k
∈


0,25
2
(1,0 điểm)
•
2
cos3 1 3 2
3
k
x x k x
π
π
= ⇔ = ⇔ =

( )
k
∈


Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
5 2

2 , 2 ,
6 6 3
k
x k x k x
π π π
π π
= + = + =

( )
k
∈


0,25
Xét hệ phương trình:
2
2
1 1 2
1 1 2
x y x
y x y

+ = − +


+ = − +


(1)
Điều kiện:

; 1
x y
≥
. Khi đó:
2
2
( 1) 1
(1)
( 1) 1
x y
y x

− = −

⇔

− = −


.
0,25
Đặt
( )
1
, 0
1
x u
u v
y v


− =

≥

− =


ta được hệ:
4
4
(2)
(3)
u v
v u

=


=



0,25
Lấy (2) – (3) ta được:
4 4 3 2 2 3
( )( 1) 0
u v v u u v u u v uv v u v
− = − ⇔ − + + + + = ⇔ =

Suy ra: 1 1

x y x y
− = − ⇔ =

0,25
3
(1,0 điểm)
Thay vào (1) ta được phương trình

2
1 1
( 1) 1
2 2
x y
x x
x y
 
= =
− = − ⇔ ⇒
 
= =
 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là
(1;1);(2;2)

0,25
Đặt
3 2
3
2 3

2 2
2 2
t t dt
t x x dx
−
= + ⇒ = ⇒ =

0,25
Đổi cận:
1
1; 3 2
2
x t x t
= − ⇒ = = ⇒ =

0,25
4
(1,0 điểm)
3 2
2 2
4
1 1
2 3
.
3
2 2
( 2 )
4
t t
I dt t t dt

t
−
= = −
∫ ∫

0,25
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

2
5
2
1
3 12
4 5 5
t
t
 
= − =
 
 

0,25


Do


0
( ) ,( ) 30

BC AB
BC SAB SC SAB CSB
BC SA

⊥
 
⇒ ⊥ ⇒ = =

 
⊥


0,25
Xét ba tam giác vuông
ABC
,
SBC
,
SAB
ta lần lượt tính được:

3
BC a
=
,
0
.cot30 3. 3 3
SB BC a a
= = =
,

2 2
SA a
=

Suy ra:
3
1 1 1 6
. . . . . . . 3.2 2
3 6 6 3
MCD
a
V S SA CD BC SA a a a= = = = .
0,25
Trong
( )
ABCD
, kẻ
AK CM
⊥
. Suy ra
( ) ( ) ( )
CM SAK SAK SCM
⊥
⇒
⊥

Trong
( )
SAK
, kẻ

( ) ( ,( ))
AH SK AH SCM AH d A SCM
⊥
⇒
⊥
⇒
=

0,25
5
(1,0 điểm)
Xét tam giác vuông
BMC
ta tính được
57
4
a
MC =
171 2 34
4
. . 3
57 51
57
4
a
AM a
KMA BMC AK BC a AH a
CM
a
∆ ∆ ⇒ = = = ⇒ =∼

Vậy
2 34
( ,( ))
51
d A SCM a
=
.
0,25
Ta có
2 2
1 1 2
P xy xy
xy
x y
= + + ≥ +

0,25
Đặt
t xy
=
ta có
2
1
0
2 4
x y
t xy
 
+

< = ≤ ≤
 
 

0,25
Khi đó:
2 2 31 31 33
32 31 2 32.2 16
4 4 4
P t t t
t t
= + = + − ≥ − = − =

0,25
6
(1,0 điểm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
2
x y z
= = =

Vậy
33
min
4
A =
.
0,25
www.MATHVN.com

www.DeThiThuDaiHoc.com

Đỉnh
( ) :3 2 0
C d x y
∈ + + =
nên
(
)
; 3 2
C c c
− −

Do
M
là trung điểm của
AB
nên
( )
4
1 4 1
, ( , ) 2
2 2
2 2
c
d A DM d C DM c
= ⇔ = ⇔ = ±

Vì
C

có hoành độ âm nên ta chọn
(
)
2 2;4
c C= −
⇒
−

0,25
Đỉnh
: 2 0
D DM x y
∈ − − =
nên
(
)
; 2
D d d
−

Ta có
4 (4;2)
. 0 ( 2)( 2) ( 2)( 6) 0
2 ( 2; 4)
d D
AD CD d d d d
d D
 
=
= ⇔ − + + + − = ⇔ ⇔

 
= − − −
 
 

0,25
Vì
ABCD
là hình vuông nên điểm
D
phải thỏa mãn
DA DC
=
nên ta chỉ nhận trường hợp
(4;2)
D

0,25
27.a
(1,0 điểm)
Từ
AD BC
=
 
ta suy ra
( 4; 2)
B
− −

Vậy

( 4; 2), ( 2;4), (4;2).
B C D
− − −

0,25
Đường thẳng
∆
có
VTCP

(2;1; 3)
u
= −

. Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
∆
, suy ra:

(1 2 ; 2 ; 1 3 )
H t t t
+ − + − −
và
(2 1; 3; 2 5)
AH t t t
= − + − +


0,25
. 0 2(2 1) ( 3) 3( 3 5) 0 1
AH AH u t t t t
⊥ ∆ ⇔ = ⇔ − + + − − + = ⇔ =
 

Suy ra:
(3; 1; 4)
H
− −

0,25
Do
(1 2 ; 2 ; 1 3 ) (2 1; 3; 3 5)
B B t t t AB t t t
∈ ∆ ⇒ + − + − − ⇒ = − + − +


2 2 2 2
0
35 (2 1) ( 3) (3 5) 35 2 0
2
t
AB t t t t t
t

=
= ⇔ − + + + − = ⇔ − = ⇔


=


0,25
8.a
(1,0 điểm)
2 5 6
0 ( 1;3;5) ( ):
1 3 5
x y z
t AB AB
− + +
=
⇒
= −
⇒
= =
−

.
2 5 6
2 (3;5; 1) ( ):
3 5 1
x y z
t AB AB
− + +
=
⇒
= −
⇒

= =
−

.
0,25
Gọi số tự nhiên cần lập là
1 2 3 3
x a a a a
=
(a
1
khác
0
)
{
}
0;1;2;3;4;5
i
a ∈

(
)
1;2;3;4
i =

0,25
Trường hợp 1: Trong
x
có chữ số
0

Có ba cách xếp chữ số
0
; ba cách xếp chữ số 2; hai cách xếp chữ số 4 và
2
3
A
cách xếp ba
chữ số
1;3;5

Suy ra có
2
3
3.3.2. 54
A
=
số
0,25
9.a
(1,0 điểm)
Trường hợp 2: Trong
x
không có chữ số
0

0,25
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Có bốn cách xếp chữ số 2; ba cách xếp chữ số 4 và

2
3
A
cách xếp ba chữ số
1;3;5

Suy ra có
2
3
4.3. 72
A =
số
Vậy có tất cả
54 72 126
+ =
số
0,25


Gọi
E
là điểm đối xứng của
D
qua đường thẳng
∆
và
I DE
= ∆ ∩

Suy ra

E AB
∈
và
I
là trung điểm của
DE

Phương trình
: 5 0
DE x y
− + =
(1;6) (5;10)
I E
⇒ ⇒

0,25
Vì
( ;7 )
A A a a
∈ ∆
⇒
−
. Tam giác
ADE
cân tại
A
nên

2 2
5

( 5) ( 3) 64
3
2
a
DE
AE a a
a

=
= ⇔ − + + = ⇔

= −


Đỉnh
A
có hoành độ dương nên ta chọn
5
a
=
(5;2)
A
⇒

0,25
Đường thẳng
AB
đi qua
(5;2)
A

và
(5;10)
E
nên
: 5 (5; )
AB x B b
=
⇒

0,25
7.b
(1,0 điểm)
Ta có
8 (5;8)
48 . 48 8. 2 48
4 (5; 4)
ABCD
b B
S AB AD b
b B
 
=
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ ⇔
 
= − −
 

Vì
,
B D

nằm hai phía so với
A
nên ta chọn
(5;8)
B

Vậy
(5;8)
B
.
0,25
Đường thẳng
∆
đi qua điểm
(1; 1;2)
M
−
và có
VTCP

(2; 3; 1)
u
= − −


0,25
Ta có:
(3;4;0)
MA =


và
(
)
, 4;3; 17
MA u
 
= − −
 
 

Suy ra:
,
16 9 289 314 4396
( , )
14
4 9 1 14
MA u
d A
u
 
+ +
 
∆ = = = =
+ +
 


0,25
Đường thẳng
∆

có
VTCP

(2; 3; 1)
u
= − −

. Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
∆
, suy ra:

(1 2 ; 1 3 ;2 )
H t t t
+ − − −
và
(2 3; 3 4; )
AH t t t
= − − − −


3
. 0 2(2 3) 3( 3 4) 0
7
AH AH u t t t t
⊥ ∆ ⇔ = ⇔ − − − − + = ⇔ = −
 

0,25
8.b
(1,0 điểm)
( )
3 27 19 3 1 4 3 2
; ; 27;19;3 ( ):
7 7 7 7 7 27 19 3
x y z
t AH AH
 
− − −
= − ⇒ = − = − ⇒ = =
 
−
 


Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
4 3 2
27 19 3
x y z
− − −
= =
−
.
0,25
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
TXĐ:

2, 2
D
 
= −
 

0,25
Đạo hàm:
2
2 2
2
'( ) 1
2 2
x x x
f x
x x
− −
= − =
− −


2
2 2
0
'( ) 0 2 1
2
x
f x x x x
x x


≥

= ⇔ − = ⇔ ⇔ =

− =



0,25
Ta có:
( 2) 2, (1) 2, ( 2) 2
f f f− = − = =
0,25
9.b
(1,0 điểm)
Vậy:
{
}
( ) 2,1, 2 2
x D
Max f x Max
∈
= − =
và
{
}
( ) 2,1, 2 2
x D
Min f x Min
∈

= − = −
.
0,25


Hết

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com