SKKN vận DỤNG hàm số và BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số để GIẢI một số bài TOÁN LIÊN QUAN đến hàm số và GIẢI một số bài TOÁN THỰC tế

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến
VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀ BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN THỰC TẾ
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Lĩnh vực áp dụng: Vận dụng chương trình tốn trung học phổ thông, kiến
thức vật lý bổ trợ liên quan.
Vấn đề sáng kiến giải quyết: Chương trình mơn tốn trong trường trung học
phổ thông, kiến thức về hàm số là một nội dung mà học sinh đã được tiếp cận từ
cấp THCS và học liên tục, xuyên suốt 3 năm THPT. Tuy nhiên để giải được nhiều
dạng toán ở bậc THPT, bài tốn tích hợp kiến thức liên mơn, giải quyết các bài
toán trong thực tế; khi chưa học tới đạo hàm và ứng dụng đạo hàm, bảng biến thiên
của hàm số; đa số học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải tốn hoặc khơng giải
được. Ngun nhân là sử dụng lượng kiến thức ở lớp 10 và lớp 11 để giải thì bài
tốn trở nên dài, khó và phức tạp hơn, hoặc chỉ giải được một số bài toán đơn giản
liên quan đến hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai đến khi đọc kết quả các em không
đủ tự tin. Sau một thời gian công tác trong nhà trường THPT. Tơi nhận thấy học
sinh cũng có thể vận dụng được kết quả từ bảng biến thiên của hàm số, để giải các
bài toán ở nhiều mức độ khác nhau. Nếu là kiến thức lớp 10 và một phần kiến thức
lớp 11 học sinh có thể dùng bảng biến thiên của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai;
đến khi học sinh được trang bị đến nội dung ứng dụng của đạo hàm ở lớp 12 thì
khả năng vận dụng bảng biến thiên để giải quyết nhiều bài tốn phức tạp hơn, khi
đó các bài tốn trở nên quen thuộc, trực quan hơn khi đọc kết quả từ bảng biến
thiên của một hàm số liên quan đến bài tốn đó.
Hiện nay với chủ trương đối mới phương pháp dạy và học, đổi mới kiểm tra,
đánh giá học sinh, đổi mới trong các kỳ thi Quốc gia. Vì vậy, địi hỏi học sinh cần
có một lượng kiến thức tổng quát, đọc được kết quả bài toán nhanh hơn nhờ các

cơng cụ tốn học mà học sinh được trang bị đầy đủ. Phương pháp sử dụng bảng
biến thiên của hàm số, dấu của đạo hàm để giải quyết, cũng được sử dụng khá
nhiều trong các câu trắc nghiệm của đề thi.

1

TIEU LUAN MOI download :


Để giải quyết đa số các bài tốn nói trên khi học sinh học ở lớp 12 có phần
ứng dụng đạo hàm gồm các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số, giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số...; với tính năng ưu việt của việc ứng dụng tính
đơn điệu của hàm số đề có thể giải quyết được rất nhiều dạng toán như khảo sát
nghiệm phương trình và bất phương trình, bài tốn hình học, bài tốn thực tế, bài
tốn tích hợp kiến thức liên môn….
Sau một số năm qua tham khảo các đề thi Đại học, cao đẳng, các đề thi
Quốc gia do các cấp tổ chức, đặc biệt là học sinh lớp 12, chuẩn bị thi tốt nghiệp
THPT. Tôi nhận thấy, đa số học sinh đang thiếu tư duy độc lập, sáng tạo về sự vận
dụng kiến thức, nhất là khả năng “quy lạ về quen” hay vận dụng những kiến thức
đã có vào từng dạng tốn cụ thể; ngồi các bài tốn liên quan trực tiếp đến hàm số,
có những bài tốn mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một
cơng cụ hữu hiệu để giải tốn, các em thường bị động, lúng túng không biết phải
dùng loại kiến thức nào để giải; để học sinh làm được điều đó, trong các giờ dạy
của giáo viên, việc bồi dưỡng năng lực tư duy toán học, ứng dụng bảng biến thiên
từ lớp 10 và đến khi học sinh được trang bị các kiến thức về đạo hàm, dấu của đạo
hàm, kiến thức lớp 12 của hàm số thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết.
Muốn làm tốt được điều đó giáo viên cần tạo cho học sinh mơi trường học
tập thân thiện, tích cực, có phương pháp giảng dạy phù hợp từng đối tượng học
sinh; chuẩn bị một lượng bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh; tạo cho
học sinh có sự đam mê hứng thú và tự tin trong học mơn tốn THPT nói riêng và

vận dụng kiến thức trong đời sống thực tế nói chung.
Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về mơn tốn tơi tập trung
khai thác giải quyết một số dạng bài tốn như phương trình, bất phương trình, bài
tốn hình học, bài tốn thực tế… khi đọc kết quả bài toán bằng cách dùng hàm số
và bảng biến thiên trở nên trực quan và tự tin hơn. Vì thế, những bài tốn nói trên
sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản. Đó là lí
do để tơi chọn đề tài : “Ứng dụng hàm số và bảng biến thiên của hàm số để giải
một số bài toán liên quan đến hàm số và giải một số bài toán thực tế”.
3. Mô tả các giải pháp cũ thường làm
Khi học sinh học kiến thức toán, vật lý ở lớp 10, lớp 11 để vận dụng khi giải
các bài toán liên quan đến hàm số, đa số học sinh dùng phương pháp đánh giá, bất
đẳng thức để giải như bài tốn về phương trình, bất phương trình, các bài tốn có
chứa tham số, bài tốn về hàm số lượng giác hoặc một số bài toán liên quan đến
quãng đường, vận tốc, gia tốc… bài tốn thực tế; khi đó cần một lượng kiến thức
liên mơn, kiến thức tốn phải đủ và vững mới giải tốt. Nếu vậy, học sinh gặp khó
khăn hoặc khơng giải được hoặc có cách giải phức tạp và các em không đủ tự tin
2

TIEU LUAN MOI download :


để đọc kết quả; hiện nay đổi mới cách thi mơn tốn địi hỏi học sinh cần có các
phương pháp giải tốt hơn, nhanh hơn, cho kết quả chính xác nhất.
Toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài tốn tìm tham số thỏa điều kiện
cho trước, tốc về phương trình, bất phương trình; các bài tốn thực tế…, bài tốn
tích hợp kiến thức liên mơn có lượng kiến thức rộng và trải đều cả cấp học, nên
học sinh khó khăn khi tiếp cận để giải quyết vấn đề của bài toán nêu ra.
Một bộ phận học sinh chưa nắm vững các kiến thức ở các lớp dưới, kiến
thức về đạo hàm, xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, kiến thức về vật lý…
cách tiệp cận các dạng bài tốn tích hợp kiến thức liên mơn, đối với học sinh cịn

tương đối lạ.
Nhược điểm của phương pháp đánh giá, bất đẳng thức… để giải sẽ làm cho
bài tốn khó khăn hơn, phức tạp hơn, tốn nhiều thời gian hơn, tính hiệu quả thấp.
Hiện nay các cách giải đó để áp dụng cho bài tốn trắc nghiệm với số lượng câu
hỏi nhiều sẽ khơng có đủ thời gian để giải. Học sinh sẽ rất khó khăn để giải các bài
tốn tích hợp kiến thức liên mơn, bài toán thực tế…
4. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Từ năm học 2016 – 2017 đến hết học kỳ 1 năm học 2020 - 2021.
5. Nội dung
5.1. Mô tả giải pháp mới hoặc cải tiến
5.1.1 Giải pháp
Hướng dẫn học sinh cách vận dụng đạo hàm, dấu của đạo hàm, bảng biến
thiên của hàm số để giải một số bài toán ở nhiều mức độ khác nhau; thơng qua đó
học sinh có sự so sánh, đánh giá hiệu quả của phương pháp và việc lựa chọn
phương pháp phù hợp để giải tốn. Từ đó chúng ta cần giải quyết các vấn đề sau:
Một là: Trang bị, củng cố cho học sinh kiến thức rộng, tổng quá và đủ lớn,
rèn kỹ năng thực hành, đọc kết quả...tạo cho học sinh mơi trường học tập thân
thiện, tích cực chủ động;
Hai là: Từ việc giải các bài toán đơn giải, hướng đến giải các bài toán ứng
dụng, giải bài tốn trong thực tế, tích hợp kiến thức liên mơn... Khi đó kiến thức về
hàm số bảng biến thiên của hàm số là một cơng cụ giải tốn hiệu quả;
Ba là: Chủ trương dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động của
học sinh, lấy học sinh làm trung tâm; đổi mới kiểm tra, đánh giá và thi mà Bộ Giáo
dục và đào tạo đã đề ra;
Bốn là: Các vấn đề tơi trình bày trong bài viết của mình đã hỗ trợ cho các em
học sinh của cấp học THPT có cách nhìn tồn diện hơn về cách tiếp cận và giải
toán theo phương pháp đề ra;
3

TIEU LUAN MOI download :

5.1.2 Phương pháp
Trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về lí thuyết hàm số, bảng biến
thiên của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, đến kiến thức đạo hàm, xét dấu của
hàm số, tính đơn điệu của hàm số… Thơng qua những ví dụ cụ thể có nêu cách
giải để học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp, đồng
thời có những lời nhận xét trước và sau các bài giải để học sinh hiểu và biết vận
dụng. Phương pháp được sử dụng nhiều ở đây là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp.
Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài
và phần khảo sát thực tiễn. Nên trong quá trình dạy học lớp 12, bắt đầu là phần ứng
dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học chủ đề tự chọn, tôi đã lồng ghép
các bài tập như phương trình, bất phương trình, các bài tốn thực tế, tích hợp kiến
thức liên mơn... Nhưng vì thời gian cịn hạn chế, hơn nữa để học sinh chủ động
chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi nêu ra một số ví dụ minh họa cụ thể
và một số bài tập để các em tự rèn và thực hành. Sau đó phân tích lời giải để học
sinh vận đụng được.
Đề tài ứng dụng "Ứng dụng hàm số và bảng biến thiên của hàm số để giải
một số bài toán liên quan đến hàm số và giải một số bài tốn thực tế". Tơi đã
ứng dụng vào giảng dạy ở một số lớp, trong nhiều năm. Trong những năm học đó,
qua theo dõi q trình học tập của học sinh , tôi nhận thấy phương pháp này đa số
học sinh dễ vận dụng ở nhiều. Qua đó, cho thấy học sinh tự tin, định hướng
phương pháp học toán hiệu quả hơn.
5.1.3 Minh họa về một số kiến thức cần áp dụng
Ôn tập các kiến thức và rèn luyện các kỹ năng về lập và đọc bảng biến thiên
của hàm số trên tập xác định, trên khoảng, đoạn và nửa khoảng.
Đối với học sinh lớp 10, lớp 11, khi chưa có cơng cụ là đạo hàm của hàm số
thì học sinh chủ yếu vận dụng bảng biến thiên của hàm số bậc nhất và hàm số bậc
hai để giải một số bài toán đơn giản.
* Bảng biến thiên của hàm số bậc nhất

+ Trường hợp a > 0. Hàm số đồng biến trên R.

x
y

–

+
+

–

4

TIEU LUAN MOI download :


+ Trường hợp a < 0. Hàm số nghịch biến trên R.

x
y

–

+

+
–

 Bảng biến thiên của hàm số bậc hai

+ Trường hợp a >0. Hàm số nghịch biến trên khoảng
biến trên khoảng

và đồng

.
x

–

+

+

+

y

–

+ Trường hợp a < 0. Hàm số đồng biến trên khoảng
biến trên khoảng

và nghịch

.

x

–

+
–

y
–

–

Kiến thức về đạo hàm, ứng dụng đạo hàm, bảng biến thiên của kiến thức giải
tích lớp 12 thì lúc đó việc giải tốn được hồn thiện hơn và mở rộng cho nhiều
dạng tốn, nhiều hàm số phức tạp hơn.
Sau đây là một số minh họa cụ thể qua thời gian công tác tại nhà trường
THPT tơi rút ra được.
5.1.4 Các ví dụ minh họa
Phương án chung: Từ bài tốn đã cho phân tích, tìm cách đặt theo một hàm
số và sử dụng kiến thức về về hàm số và bảng biến thiên để giải quyết.
5

TIEU LUAN MOI download :


a. Các bài toán đọc kết quả trực tiếp từ bảng biến thiên
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất (Max) và giá trị nhỏ nhất(min) của hàm số

Giải.
Cách 1: (Dùng miền giá trị của hàm số lượng giác)
Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi biểu
thức

đạt Max và min tương ứng.
Ta có

.

Vậy
Cách 2: Giải bài tốn theo cách dùng bảng biến thiên (BBT) của hàm số.
Đặt

; Xét hàm số

Bảng biến thiên của hàm số f(t)
t

–

+

+
f(t)

2
0
–

Từ bảng biến thiên, suy ra
(*) Nhận xét :
+ Đối với bài toán này, khi dùng miền giá trị của hàm số lượng giác, nếu đề
toán yêu cầu hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại đâu thì học sình thường
mắc sai lầm vì quên đổi chiều bất đẳng thức khi nhân số âm.

+ Ưu điểm của cách dùng bảng biến thiên vẫn là trực quan và khơng mắc sai
sót khi tìm vị trí đạt được Max, min.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giải.
Cách . Giải theo phương pháp miền giá trị của hàm số lượng giác.
Ta có
Vậy
,
.
Cách 2. Giải theo bảng biến thiên của hàm số.
6

TIEU LUAN MOI download :


Đặt

; xét hàm số

( a = 2 > 0)

Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)

T

–

+
+
5

y = f(t)

1

–
Từ bảng biến thiên, suy ra
Nhận xét: Ưu điểm của phương pháp dùng bảng biến thiên của hàm số là
trực quan, học sinh dễ hiểu và đọc được đáp số bài toán một cách rất thực tế.
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Giải.

.

Viết lại
Đặt t = sin3x; Xét hàm số
Ta có f’(t) = - 2t – 1 ; f’(t) = 0

.

Lập bảng biến thiên (BBT)

t

-

f’(t)

1
+

0

+

-

f(t)
1

-1

–
Từ BBT, suy ra

–
.

Ví dụ 4. Tìm giá trị giá trị nhỏ nhất(miny) của hàm số
Kết quả nào sau đây là đúng?
A. – 8.
B. – 9.
C. 0.
D. 9.
Giải.
Cách giải 1. Theo phương pháp đánh giá.
+ Có học sinh giải như sau:
+ Viết lại
+ Chọn đáp án đúng là B.
7

TIEU LUAN MOI download :

.


Nhận xét: Lựa chọn của học sinh là Sai, nguyên nhân là học sinh chỉ đánh
giá
và kết luận min(y)= . Học sinh qn rằng:
(vơ nghiệm).
Dó đó, theo định nghĩa về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, số
không phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Đến đây, khi được chỉ ra điều vơ lí, học
sinh đều lúng túng khơng tìm ra cách giải đúng. Để khắc phục được điều này,
chúng ta giải bài toán theo phương pháp dùng dấu của đạo hàm và bảng biến thiên
của hàm số để đọc kết quả một cách chính xác.
Cách giải 2.
+ Đặt t = sinx, xét hàm số
+ Ta có : f’(t) = 2t – 4 ; f’(t) = 0 tìm được t = 2.
+ Lập bảng biến thiên
t
–
f’(t)
+

-1
-

1
-

+
-

0

+
+

0

f(t)

-8
–9

+ Từ bảng biến thiên, suy ra

. Chọn đáp án A.

Nhận xét: Qua bài toán này, cho ta thấy ưu điểm khi giải bài toán bằng hàm
số, dấu của đạo hàm và bảng biến thiên vừa trực quan, đọc kết quả từ bảng biến
thiên, tránh sai lầm trong giải tốn.
Ví dụ 5. Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng biến thiên như
sau. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
. Tính
.

A. .
Giải.

B.

.

C. .

D.

.

Từ bảng biến thiên học sinh đọc được kết quả trên đoạn
Vậy M = 3 ; m = 0 nên M + m = 3. Chọn đáp án A.

8

TIEU LUAN MOI download :


Ví dụ 6. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  2;0  .

B.  2;    .

C.  0; 2  .

D.  0;    .

Dựa vào kiến thức đã học từ bảng biến thiên chọn trực tiếp đáp án C
Ví dụ 7. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 2 f  x   3  0 là
A. 2.
B. 1.
C. 3.

D. 4.

Giải.
Từ phương trình 2 f  x   3  0 viết lại

, sau đó nhìn vào bảng biến

thiên học sinh chọn đáp án D.
Ví dụ 8. Tìm các giá trị của tham số m để
A.

.

Giải.
Ta có
Xét hàm số
đỉnh của parabol.

B.

.

.
C.

.

D.

.
là hàm số bậc hai có hệ số

.

, hồnh độ

Bảng biến thiên của hàm số f(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta có

=

khi và chỉ khi

Chọn đáp án C

9

TIEU LUAN MOI download :

.


Nhận xét: Qua ví dụ này cho thấy nếu giáo viên hướng dẫn học sinh áp
dụng thành thạo bảng biến thiên của hàm số bậc hai thì các em giải quyết bài toán
và đọc kết quả tự tin hơn từ bảng biến thiên.
Ví dụ 9. Cho bất phương trình
. Gọi là
tập hợp các số nguyên dương m để bất phương trình đúng với mọi
. Khi đó
số phần tử của là
A.0.
B.1.
C.2.
D.3.
Giải.
Cách giải 1
Đặt
Trường hợp 1: Với
khơng thỏa mãn đề bài.

Khi đó
Trường hợp 2: Với

, khi đó ta có

Bảng xét dấu

* Nếu

thì

khơng thỏa mãn đề bài.

* Nếu

thì

thỏa mãn đề bài.

* Nếu

thì

có hai nghiệm phân biệt

Ta có bảng xét dấu

Khi đó
* Nếu

khơng thỏa mãn đề bài.
thì

có hai nghiệm phân biệt

Ta có bảng xét dấu

0

Khi đó

0

khi vầ chỉ khi

10

TIEU LUAN MOI download :


So sánh điều kiện suy ra
Vậy

. Khi đó

.
. Chọn đáp án B

Cách giải 2
Ta có :
( vì
Xét hàm số
khi đó

với

).

.
( không thỏa mãn x < - 4)

;

Bảng biến thiên:

Bất phương trình

nghiệm đúng với mọi

Vậy

. Chọn đáp án B

. Khi đó

khi và chỉ khi

Nhận xét: Qua 2 cách giải cho thấy nếu học sinh phân tích bài tốn và biết
áp dụng kiến thức tổng hợp về đạo hàm, dấu của đạo hàm và bảng biến thiên để
giải quyết vấn đề thì bài toán trở nên gọn hơn, đọc kết quả nhanh hơn, cho thấy
cách 2 phù hợp với làm toán trắc nghiệm.
11

TIEU LUAN MOI download :


Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất(min) của hàm số
Giải. Điều kiện :

Ta có:

Xét

3
2

Bảng biến thiên:
-3
-

6

0

3

3 2

+

9
2

3

+ Từ bảng biến thiên, suy ra Maxf(x) = 3 ; Minf(x) =

.

(*) Bài tập tự thực hành . Chọn phương án đúng nhất.
1. Tìm tập giá trị của hàm số

.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

.

3. Tìm giá trị giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
.
4. Cho hàm số
liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn
hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
C.

.

B.
.

D.

như

.
.

12

TIEU LUAN MOI download :


5. Cho hàm số

, bảng biến thiên của hàm số

Số điểm cực trị của hàm số

như sau:

là

A.
B.
C.
D.
b. Ứng dụng giải một số ví dụ về phương trình, bất phương trình, một
số bài tốn có tham số…
Ví dụ 11. Tìm m để hàm số
nghịch biến trên
khoảng (1;1).
Giải.
+
+ Theo yêu cầu bài tốn ta có y’  0

, x  (1;1).

+ Xét hàm số f(x) = 3x2  6x, x  (1;1);
có f’(x) = 6x  6, f’(x) = 0  x = 1
Bảng biến thiên của hàm số f(x)

x

1


f’(x)
f(x)

1

3
9

Từ bảng biến thiên, ta suy ra m  9.
Ví dụ 12. Tìm m để hàm số

đồng biến

trên khoảng (2; +).
Giải.
+ Ta có
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+) khi và chỉ khi
y’  0 




x  (2;+)
13

TIEU LUAN MOI download :


, x (2; +).

+ Xét hàm số
Ta có

,

f’(x) = 0 



 x = 3; x = 2

Bảng biến thiên.

x

2

+
+

f’(x)

f(x)

+
3

Từ bảng biến thiên, ta suy ra giá trị m cần tìm là m  3.
Ví dụ 13. Tìm m để hàm số
1. Có 2 cực trị lớn hơn

thỏa mãn
.

2. Có đúng một cực trị lớn hơn

.

3. Có ít nhất một cực trị lớn hơn 1,5.
4. Có 2 cực trị nhỏ hơn 4.
Giải.
Ta có
Phương trình
Đặt

có đồ thị (C) và đường thẳng d có hàm số y = m

Bảng biến thiên của hàm số
-1

1,5

4

0

f'(x)

-

-

14

TIEU LUAN MOI download :


Theo yêu cầu bài toán từ bảng biến thiên trả lời các ý như sau:
Ý 1. Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ lớn
hơn

khi
Ý 2. Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt, trong đó có đúng

một điểm có hồnh độ lớn hơn

, khi đó

.

Ý 3. Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt, trong đó có ít nhất
một điểm có hồnh độ lớn hơn

, khi đó

hoặc

.

Ý 4. Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ
hơn , khi đó

hoặc

Ví dụ 14. Cho hàm số
thiên:

xác định, liên tục trên

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

và có bảng biến

sao cho phương trình

có

hai nghiệm thực phân biệt.

A.

B.

C.

D.

hoặc

Giải.
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra phương trình
phân biệt khi

có 2 nghiệm

hoặc

Ví dụ 15. Cho hàm số
thiên như hình vẽ. Với
nghiệm ?

xác định, liên tục trên
thì phương trình

và có bảng biến
có bao nhiêu

0

15

TIEU LUAN MOI download :

A.
B.
C.
Giải. Từ bảng biến thiên của hàm số
hàm số

D.
, ta có bảng biến thiên của

0

Dựa vào bảng biến thiên, với
thì phương trình
nghiệm.
Ví dụ 16. Tìm tham số thực m để bất phương trình :
có nghiệm thực trong đoạn
A.

.

B.

Giải.
Tập xác định:
Đặt

có 4

C.

D.

.
.

Khi đó:
Ta có

.

Bảng biến thiên của hàm số g(t)

Dựa vào bảng biến thiên,

thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 17. Cho phương trình
của m để phương trình có nghiệm thực
A.

.

B.

. Tìm các giá trị thực
.

C.

.

D.

Giải.
Ta có

(1)
16

TIEU LUAN MOI download :


Xét hàm số

có đồ thị (C), xác định trên

;

ta có

Bảng biến thiên của hàm số f(x)

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng d có hàm số
thị (C) có hàm số

khi và chỉ khi

cắt đồ

. Chọn đáp án D.

Ví dụ 18. Giải phương trình :

(18)

Giải.
Viết lại phương trình (18) như sau
(*)
Xét hàm số

trên

.

Ta có
Do đó hàm số f(t) đồng biến trên

.
.

Từ (*)

.

Vậy phương trình (18) có nghiệm duy nhất là

.

Nhận xét: Từ hai cách giải trên thì phương pháp hàm số có sử dụng dấu của
đạo hàm và tính đơn điệu dễ giải hơn, và học sinh cũng tiếp cận nhanh hơn.
Ví dụ 19. Giải phương trình :

(19)

17

TIEU LUAN MOI download :


Giải.
Đặt

.

Khi đó phương trình (19) trở thành

(19’)

Xét hàm số
Ta có

, Nên hàm số

đồng biến.

Do đó từ (19’), ta có
Vậy phương trình (19) có nghiệm là

.

Ví dụ 20. Giải bất phương trình

(20)

Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ
phương trình để giải, cịn giải trực tiếp sẽ rất khó khăn.
Giải.
Cách giải 1 ( đặt ẩn phụ)
Điều kiện:
Với điều kiện trên ta đặt
Khi đó ta có
.
Vì

nên ta được

Vì điều kiện

. Suy ra
, nên bất phương trình (11) có nghiệm là

.

Cách giải 2 (Dùng tính đơn điệu của hàm số)
Điều kiện:

; xét hàm số

trên

Ta có
Suy ra hàm số

.

.
đồng biến trên đoạn

, mà

.
Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)

18

TIEU LUAN MOI download :


x
- 15
f’(x)

1

2

+

+
f(2)

f(x)

1
f(-15)

Từ bất phương trình (20), suy ra bất phương trình

Kết hợp điều kiện

. bất phương trình (11) có nghiệm là

.

Nhận xét: Qua các ví dụ về giải phương trình và bất phương trình, nhận
thấy cách giải như phương pháp đã nêu thì cách tiếp cận của học sinh trực quan và
tự tin khi tìm kết quả của lời giải. Vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực
tư duy, sáng tạo biết vận dụng loại kiến thức phù hợp để giải tốn là cần thiết.
Ví dụ 21. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm thực phân biệt thuộc
đoạn

;
A.

B.

C.

D.

Giải.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình


(21)

Đặt t = cos4x. Phương trình (21) trở thành:
Với

, (21’)

thì

Phương trình (21) có 4 nghiệm thực phân biệt

khi và chỉ khi

phương trình (21’) có 2 nghiệm phân biệt t[-1; 1),
Xét hàm số g(t) =

, g’(t) = 8t+1; g’(t) = 0  t =

với

Lập bảng biến thiên của hàm số g(t)
t

1

g’(t)
g(t)

0

+
5

3

1
Dựa vào bảng biến thiên, nhận16
thấy phương trình


19

TIEU LUAN MOI download :






Vậy giá trị của m phải tìm là:

.

Ví dụ 22. Tìm m để phương trình

(12) có hai

nghiệm thực phân biệt x1, x2 thoả mãn x1< - 1 < x2.
Giải.
Biến đổi phương trình về dạng:
(Do

khơng là nghiệm của phương trình (22 ))

Xét hàm số

; khi đó

.

Bảng biến thiên của hàm số f(x)
-

-7
-

0

+

-1
+

+

2
+

0

+
-

+
9
-3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m < - 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 23. Tìm m để phương trình:

A.

.

B.

.

có nghiệm.

C.

.

D.

.

Giải.
Xét hàm số

trên

.

Ta có

(Vơ nghiệm)
Mặt khác:

, suy ra

nên hàm số f(x)đồng biến trên

Mà

.

;
20

TIEU LUAN MOI download :

Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
-∞
+∞
+
1
-1

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1.Chọn đáp án A.
Nhận xét: Trong bài toán trên, nếu không thực hiện việc xác định giới hạn
hàm số, rất có thể học sinh nhăm lẫn tập giá trị của hàm số là
và dẫn đến kết
luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi số thực m. Do đó, tìm giới hạn
trong bài tốn khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.
Ví dụ 24. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
(24)
Giải.
Điều kiện:

. Đặt

.

Ta có:

, nên

.

Khi đó, phương trình (24) trở thành
.

Xét hàm số

trên

.

Ta có

.

Suy ra

là hàm số đồng biến trên đoạn

.

Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)
t

3

9
+

1

21

TIEU LUAN MOI download :

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình (24) nghiệm khi và chỉ khi
.
Ví dụ 25. Tìm

để phương trình sau có nghiệm trên nửa khoảng
; (25)

Giải.
Đặt

với

. Khi đó,

(25)

.
+ Với

thì phương trình vơ nghiệm.

+ Với

thì phương trình

+ Xét hàm số

.

trên nửa khoảng

+ Ta có

.

<0 .

Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)
5

+
-

3
1
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình (25) có nghiệm khi và chỉ khi
.
Ví dụ 26. Tìm

để phương trình sau có nghiệm thuộc

.

(26)
A.

.

Giải Điều kiện:

B.

.

C.

.

D.

.

.

Đặt

.

Vì

.

Khi đó, phương trình (26) trở thành

22

TIEU LUAN MOI download :

Xét hàm số

trên

Suy ra hàm số

, ta có

.

đồng biến trên đoạn

.

Lập được bảng biến thiên của hàm số f(t)
1

2
+
4

0
Từ bảng biến thiên suy ra
Do đó phương trình (26) có nghiệm khi và chỉ khi

. Chọn đáp án D

Ví dụ 27. Tìm tham số m để bất phương trình
(27) nghiệm đúng với mọi

.

Giải.
Đặt

. Với

.

Khi đó bất phương trình (27) trở thành

.

Bất phương trình (27) nghiệm đúng

khi và chỉ khi
.

Xét hàm số

trên đoạn

.

Ta có
Lập bảng biến thiên của hàm số f(u)
1

4

2

23

TIEU LUAN MOI download :


Dựa vào bảng biến thiên, suy ra
Vậy
Ví

dụ

.

là giá trị cần tìm.
28.

Tìm

tham

số

m

số

m

(28) nghiệm đúng

để

bất

phương

trình

.

Giải.
Ta có

Xét hàm số

trên tập xác định

.

Ta có
Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
x

-1
+

1

0

-

0

+

2

0

0

-2

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra
Vậy:

.

.

Ví dụ 29. Cho hàm số

có đạo hàm

,

. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Giải.
+ Xét
+ Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
0

1

2

3

24

TIEU LUAN MOI download :

0

0

+

0

+

0

-

Từ bảng biến thiên, hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 0. Chọn đáp án D.
Ví dụ 30. Cho hàm số

là một nguyên hàm của hàm số
. Khi đó số điểm cực trị của hàm số

A. .

B. .

C. .

là

D. .

Giải.

Ta có:

.
.

Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số
có 2 cực trị. Chọn đáp án D.
Ví dụ 31. Cho hàm số

có 1 cực đại và 1 cực tiểu, nghĩa là

, có bảng xét dấu

như sau:

Hỏi hàm số y = f(5 – 2x) đồng biến trên khoảng nào?
A. ( - ; -3).
B. ( 4 ; 5).
C. (3 ; 4)
.

D. (1 ; 3).

Giải.

Ta có

.

Hàm số

đồng biến khi và chỉ khi
. Chọn đáp án B.

25

TIEU LUAN MOI download :