Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng bảng biến thiên đặng việt hùng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (156.42 KB, 4 trang )
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y’ và giải phương trình y’ = 0 để tìm các nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = 4 x3 − 3x 4 .
b) y = x 4 + 2 x 2 − 2.
x −1
c) y = x 2 + x − 2.
d) y = 2
.
x − 2x + 2
Hướng dẫn giải:
3
4
a) y = 4 x − 3x .
Tập xác định: D = R.
x = 0
Đạo hàm: y′ = 12 x 2 − 12 x3 = 12 x 2 (1 − x )
→ y′ = 0 ⇔
x =1
Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (1 − x) nên ta có bảng biến thiên:
−∞
x
0
y’
+
0
+∞
1
+
0
−
1
y
−∞
+∞
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1 tại điểm x = 1. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
b) y = x 4 + 2 x 2 − 2.
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: y′ = 4 x3 + 4 x = 4 x x 2 + 1
→ y ′ = 0 ⇔ x = 0.
(
)
Bảng biến thiên:
x
−∞
0
−
y’
0
+∞
+
+∞
+∞
y
−2
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng −2 tại điểm x = 0. Hàm số không có giá trị lớn nhất.
(
)
2
Cách khác: Ta có y = x 4 + 2 x 2 − 2 = x2 + 1 − 2 ≥ 1 − 2 = −1
→ ymin = −1 ⇔ x = 0.
c) y = x 2 + x − 2.
x ≥1
Hàm số xác định khi x 2 + x − 2 ≥ 0 ⇔
→ D = ( −∞; −2] ∪ [1; +∞ ) .
x ≤ −2
2x + 1
1
Đạo hàm: y′ =
→ y′ = 0 ⇔ 2 x + 1 = 0 ⇔ x = − .
2
2
2 x +x−2
Bảng biến thiên:
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x
−∞
−2
−
y’
−
−
||
Facebook: LyHung95
1
2
+∞
1
0
+
||
+
+∞
+∞
y
0
0
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại hai điểm x = −2 và x = 1.
x −1
d) y = 2
.
x − 2x + 2
Do x 2 − 2 x + 2 = ( x − 1) + 1 > 0, ∀x ∈ R
→ D = R.
2
Đạo hàm: y′ =
x 2 − 2 x + 2 − ( 2 x − 2 )( x − 1)
Giới hạn đặc biệt:
(x
2
− 2x + 2
)
2
=
(x
− x2 + 2 x
2
− 2x + 2
)
2
x = 0
→ y′ = 0 ⇔ − x 2 + 2 x = 0 ⇔
x = 2
x −1
=0
x
→ ±∞ x − 2 x + 2
lim
2
Bảng biến thiên:
−∞
x
0
−
y’
0
2
+
+∞
−
0
1
2
0
y
−
1
2
0
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1/2 tại x = 2, giá trị nhỏ nhất bằng −1/2 tại x = 0.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
2
x2 − x + 1
1) y = x 2 + .
2) y = 2
.
x
x + x +1
2
2 x2 + 4 x + 5
4) y = x 4 + 2 .
5) y =
.
x
x2 + 1
1
3) y = x 2 + , ( x > 0 ) .
x
DẠNG 2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Phương pháp:
+) Tìm tập xác định của hàm số.
+) Tính y’ và giải phương trình y’ = 0 để tìm các nghiệm. Giả sử các nghiệm là x1; x2; x3…
+) Chọn các nghiệm thuộc đoạn [a; b]. Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm và tại hai biên a, b.
+) Giá trị lớn nhất trong các giá trị tìm được ở trên là GTLN của hàm số, giá trị nhỏ nhất là GTNN của hàm
s ố.
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) các hàm số sau:
a) y = x3 – 3x2 – 9x trên [–3; 0].
b) y = x + 1 − x trên [–1; 0].
x +1
c) y =
trên [–1; 2].
d) y = ( x + 2 ) 4 − x 2 .
2
x +1
Hướng dẫn giải:
a) y = x3 – 3x2 – 9x trên [–3; 0].
Tập xác định: D = R.
x = −1
Đạo hàm: y′ = 3 x 2 − 6 x − 9 = 3 x 2 − 2 x − 3
→ y′ = 0 ⇔ x2 − 2 x − 3 = 0 ⇔
x = 3
(
)
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
Do tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [–3; 0] nên ta loại nghiệm x = 3.
y ( −1) = 5
Ta có
y ( −3) = −27
→ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại x = −1 và giá trị nhỏ nhất bằng −27 tại x = −3.
y (0) = 0
b) y = x + 1 − x trên [–1; 0].
Tập xác định: D = ( −∞;1].
Đạo hàm: y′ = 1 −
1
2 1− x
y ( −1) = 2 − 1
Ta có
y ( 0) = 1
2 1− x −1
2 1− x
→ y′ = 0 ⇔ 2 1 − x − 1 = 0 ⇔ 1 − x =
1
3
→ x = ∈ [ −1; 0]
4
4
5
3
ymax = ⇔ x =
4
4
→
y = 2 − 1 ⇔ x = −1
min
3 5
y =
4 4
x +1
c) y =
trên [–1; 2].
x2 + 1
x2 + 1 −
Đạo hàm: y′ =
=
x ( x + 1)
2
2
1− x
x2 + 1 = x + 1 − x − x =
→ y′ = 0 ⇔ 1 − x = 0 ⇔ x = 1∈ [ −1; 2].
2
x +1
x2 + 1 x2 + 1
x2 + 1 x2 + 1
(
)
(
)
y ( −1) = 0
Ta có
y = 2 ⇔ x = 1
y (1) = 2
→ max
ymin = 0 ⇔ x = −1
3
y ( 2) =
5
d) y = ( x + 2 ) 4 − x 2 .
Hàm số xác định khi 4 − x 2 ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2
→ D = [ −2; 2].
Đạo hàm: y′ = 4 − x 2 −
y ( −2 ) = 0
Ta có
x ( x + 2)
4− x
2
=
4 − x2 − x2 − 2x
4− x
2
=
−2 x 2 − 2 x + 4
4− x
2
x =1
→ y ′ = 0 ⇔ −2 x 2 − 2 x + 4 = 0 ⇔
x = −2
y = 3 3 ⇔ x = 1
y (1) = 3 3
→ max
ymin = 0 ⇔ x = ± 2
y ( 2) = 0
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) các hàm số sau:
π
a) y = x + 2 cos x trên 0; .
2
π
b) y = 2 cos 2 x + 4sin x trên 0; .
2
Hướng dẫn giải:
π
a) y = x + 2 cos x trên 0; .
2
π
x = 4 + k 2π
1
Đạo hàm : y′ = 1 − 2 sin x
→ y′ = 0 ⇔ sin x =
⇔
2
x = 3π + k 2π
4
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
y ( 0) = 2
π
π
Do x ∈ 0;
→ x = . Ta có
4
2
π
π
π
ymax = 1 + ⇔ x =
π
4
4
y = 1 +
→
4
4
y = 2 ⇔ x = 0
min
π π
y =
2 2
π
b) y = 2 cos 2 x + 4sin x trên 0; .
2
Cách 1:
cos x = 0
→x = 0
y′ = −2 2 sin 2 x + 4cos x
→ y′ = 0 ⇔ 2 sin 2 x = 2cos x ⇔ sin 2 x = 2 cos x ⇔
1
π
sin x =
→x =
4
2
y ( 0) = 2
Ta có
π
ymax = 2 2 ⇔ x =
π
4
y = 2 2
→
4
y = 2 ⇔ x = 0
min
π
y = 4 − 2
2
Cách 2:
y = 2 cos 2 x + 4sin x = 2 1 − 2sin 2 x + 4sin x = −2 2 sin 2 x + 4sin x + 2 = −2 2 t 2 + 4t + 2; t = sin x.
(
)
1
π
Do x ∈ 0;
→ t ∈ [ 0;1]. Khi đó y = −2 2 t 2 + 4t + 2
→ y′ = −4 2t + 4 = 0 ⇔ t =
∈ [ 0;1].
2
2
y (0) = 2
Ta có
1
π
⇔x=
1
ymax = 2 2 ⇔ t =
4
2
y
→
= 2 2
2
y = 2 ⇔ t = 0 ⇔ x = 0
min
y (1) = 4 − 2
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
