Tong ket kien thuc toan 9

A.I S
Chơng I : căn bậc hai - căn bậc ba
1/ Khái niệm căn bậc hai:
+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
+ Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dơng ký hiệu
là
a
và số âm là -
a
.
+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, viết
00 =
.
+ Số a âm không có căn bậc hai, viết
a
với a < 0 không có nghĩa.
2/ Căn bậc hai số học: Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số
học của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0.
+ Với hai số a và b không âm,
a
<
b
<=> a < b.
3/ Căn thức bậc hai:
+ Nếu A là một biểu thức đại số thì
A
đợc gọi là căn thức bậc hai của

A, còn A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn.
+ Điều kiện có nghĩa hay điều kiện xác định của
A
là A

0.
+ Với mọi số A, ta có
AA =
2
(hằng đẳng thức
AA =
2
).
4/ Khai phơng một tích, một thơng:
+ Với hai số a và b không âm, ta có
baab .=
.
Kết quả này có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.
+ Với số a không âm và số b dơng ta có
b
a
b
a
=
5/ Bảng căn bậc hai:
+ Muốn tìm căn bậc hai của một số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 100, ta tra
bảng căn bậc hai trên giao của dòng (phần nguyên) và cột (phần mời) rồi theo
dòng đó đến cột hiệu chỉnh (phần trăm) nếu cần, ta đợc giá trị gần đúng của
căn bậc hai cần tìm.
+ Muốn tìm căn bậc hai của số N lớn hơn 100 (hoặc nhỏ hơn 1), ta cần

phải theo hớng dẫn: khi dời dấu phẩy sang trái (hoặc sang phải) đi 2, 4, 6
chữ số thì phải dời dấu phẩy trong số
N
đi 1, 2, 3 chữ số sang trái (hoặc
sang phải) và sẽ đợc
N
cần tìm.
6/ Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai:
Với hai biểu thức A, B mà B

0 ta có:
BABA .
2
=
+ Với A

0 và B

0 thì
BA
BA
2
=
+ Với A < 0 và B

0 thì
BABA
2
=
+ Với các biểu thức A, B mà A.B

0, B

0 thì:
B
AB
B
A
=
+ Với các biểu thức A, B mà A.B

0, ta có:
B
BA
B
A
=
+ Với các biểu thức A, B, C mà A

0, A

B
2
ta có:
2
)(
BA
BAC
BA
C

=


+ Với các biểu thức A, B, C mà A

0,B

0,A

B ta có:
BA
BAC
BA
C


=

)(
7/ Căn bậc ba:
+ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3


= a.
+ Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
+ Kí hiệu căn bậc ba của a là
3
a

tức là (
3
a
)
3
= a.
+ Căn bậc ba của số dơng là một số dơng, căn bậc ba của một số âm là
một số âm, căn bậc ba của số 0 là số 0.
+ a > b

33
ba <
+ Với mọi số a, b,
333
. abba =
+ Với mọi số a, b mà b

0 thì
3
3
3
b
a
b
a
=
Chơng II: Hàm số bậc nhất
1/ Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị
của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y, thì y đợc gọi là hàm
số của x, và x đợc gọi là biến số.

2/ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tơng ứng (x: f(x)) trên
mặt phẳng toạ độđợc gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)
3/ Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số đồng biến trên (a, b) nếu giá trị của
biến x tăng lên thì giá trị tơng ứng f(x) cũng tăng lên, tức là với bất kì các giá
trị x
1
, x
2

(a, b) mà x
1
< x
2
thì f(x
1
) < f(x
2
)
+ Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số nghịch biến trên (a, b) nếu giá trị
của biến x tăng lên thì giá trị tơng ứng f(x) lại giảm đi, tức là với bất kì các giá
trị x
1
, x
2


(a, b) mà x
1
< x
2

thì f(x
1
) > f(x
2
)
4/ Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức
y = ax + b
trong đó a, b là các số cho trớc và a

0
+ Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R, đồng
biêt khi a > 0, và nghịch biến khi a < 0.
5/ Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0) là môt đờng thẳng cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng b va song song với đờng thẳng y = ax nếu b

0 trùng
với đờng thẳng y = ax nếu b = 0.
+ Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0) ta xác định hai điểm đặc biệt
là giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ: đó là điểm P(0; b) và điểm Q(-
a
b
; 0)
rồi vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q.
A x
6/ Hai đờng thẳng y = ax + b (a

0) và y = a

x + b

(a



0) song song với
nhau khi và chỉ khi a = a

, b

b

và trùng nhau khi và chỉ khi a = a

và b = b

.
* Hai đờng thẳng y = ax + b (a

0) và y = a

x + b

(a

0) cắt nhau khi và
chỉ khi a

a

.
7/ Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox đợc hiểu là góc tạo bởi tia
Ax và tia AT, trong đố A là giao điểm của đờng thẳng = ax + b với trục Ox, T
là điểm thuộc đờng thẳng = ax + b và có tung độ dơng (hình dới)
* Các đờng thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các
góc bằng nhau nên gọi a là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b.
Chơng IiI : hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
1/ Phơng trình bậc nhất hai ẩn:
+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn x và y là phơng trình có dạng
ax + by = c (1)
trong đó a, b và c là cấ số đã cho biết (a

0 hoặc b

0).
+ Nếu tại x = x
0
và y = y
0
mà vế trái của phơng trình (1) có giá trị bằng
vế phải thì cặp số (x
0
; y
0
) đợc gọi là nghiệm của phơng trình đó. Đồng thời mỗi

nghiệm (x
0
; y
0
) của phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi một điểm có toạ độ(x
0
;
y
0
) trong mặt phẳng toạ độ Oxy.
y = ax + b
T

A O x
y
a > 0
y = ax + b
T

O
y
a < 0
+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập
nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi đờng thẳng ax + by = c, kí hiệu là đờng thẳng
(d).
2/ Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn là hệ phơng trình có dạng
(I)

=+
=+
'''
cybxa
cbyax
Trong đố ax + by = c và a

x + b

y = c

là các phơng trình bậc nhất hai ẩn.
+ Nếu hai phơng trình của hệ (I) có nghiệm chung (x
0
; y
0
) thì (x
0
; y
0
) đợc
gọi là nghiệm của hệ.
+ Nếu hai phơng trình của hệ (I) không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I)
vô nghiệm.
Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiêm) của nó.
3/ Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có
cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ phơng trình này cũng là nghiệm
của hệ phơng trình kia và ngợc lại.
Trong một hệ phơng trình hai ẩn, có thể cộng hoặc trừ từng vế hai phơng

trình của hệ để đợc một phơng trình mới. Phơng trình mới này cùng với một
trong hai phơng trình của hệ lập thành một hệ tơng đơng với hệ đã cho.
4/ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ
phơng trình mới rong đó có một phơng trình một ẩn; giải phơng trình một ẩn
này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
5/ Nhân các vế của hai phơng trình với hệ số thích hợp (nếu cần)
sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau
hoặc đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới mà hệ số
của một trong hai ẩn bằng 0, tức là đợc một phơng trình một ẩn; giải phơng
trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
6/ Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình:
Bớc 1: Lập hệ phơng trình
- Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn số và các đại lợng đã biết.
- Lập hệ hai phơng trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải hệ phơng trình vừa lập đợc.
Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phơng trình
nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, thích hợp với bài toán rồi kết
luận.
Chơng Iv:
Hàm số y = ax
2
(a

0). phơng trình bậc hai một ẩn
1/ Hàm số y = ax
2
(a

0) xác định với mọi giá trị của x thuộc R.

2/ Hàm số y = ax
2
có các tính chất:
a) Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
b) Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
c) Nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0)
d) Nếu a < 0 thì giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0)
3/ Đồ thị hàm số là một đờng cong (đợc gọi là parabol với đỉnh O(0; 0)) đi
qua gốc toạ độ và nhận Oy làm trục đối xứng.
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0; 0) là điểm thấp
nhất của đồ thị.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O(0; 0) là điểm cao nhất
của đồ thị.
Để vẽ parabol ta có thể dựa vào bảng với một giá trị tơng ứng của x và y.
Ngoài ra có thể vẽ bằng các cách đợc mô tả trong sách giáo khoa trang 37 nếu
trên trang vở có dòng kẻ hoặc biết một điểm khác O(0; 0) của nó.
4/ a) Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình bậc hai) là phơng
trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0. (1)
b) Có hai cách cơ bản để giải (1):
+ Phân tích vế trái (1) ra thừa số:
a(x m)(x n) = 0 <=>



=
=
nx
mx

2
1
+ Bằng cách biến đổi tơng đơng để đa (1) về dạng
2
2
2
4
4
2
a
acb
a
b
x

=






+
(2)
Từ đó tuỳ theo dấu của vế phải của (2) mà kết luận về nghiệm của ph-
ơng trình đã cho.
5/ Đặt

= b
2

4ac. Gọi

là biệt thức của phơng trình (1)
+ Nếu

> 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
a
b
2
+
; x
2
=
a
b
2

+ Nếu

= 0 thì (1) có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a
b
2

+ Nếu

< 0 thì (1) vô nghiệm.
6/ Đối với (1) ta có công thức nghiệm thu gọn:
Nếu đặt b

=
2
b
và
'

= b
2
ac:
+ Nếu
'

> 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
a
b
''
+
; x
2
=

a
b
''

+ Nếu
'

= 0 thì phơng trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a
b
'

+ Nếu
'

< 0 thì phơng trình vô nghiệm.
7/ Nếu x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thì
có định lý Vi-ét:

x
1
+ x
2
= -
a
b
; x
1
.x
2
=
a
c
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có a + b + c = 0 thì phơng
trình có một nghiệm x
1
= 1 và một nghiệm x
2
=
a
c
Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có a - b + c = 0 thì phơng
trình có một nghiệm x
1
= -1 và một nghiệm x
2
= -
a
c
.
8/ a) Để giải phơng trình trùng phơng ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a

0), thờng đặt
ẩn phụ t = x
2
(t

0) và đa về phơng trình bậc hai ẩn t. Lấy những nghiệm
không âm của phơng trình này và từ đó suy ra nghiệm của phơng trình đã cho.
b) Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu theo bốn bớc:
+ Tìm điều kiện xác định của phơng trình
+ Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu thức
+ Giải phơng trình vừa thu đợc
+ Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện.
c) Phơng trình tích là phơng trình có dạng A(x).B(x) = 0. Để giải ta
giải riêng biệt đối với hai phơng trình A(x) = 0 và B(x) = 0. Nghiệm của phơng
trình đã cho sẽ là hợp các nghiệm của hai phơng trình trên.

9/ Để giải toán bằng cách lập phơng trình ta tiến hành theo các
bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình:
+ Chọn ẩn số và nêu điều kiện cần thiết cho các ẩn;
+ Biểu thị các dữ liệu cần thiết qua ẩn số;
+ Lập phơng trình biểu thị tơng quan giữa ẩn số và các dữ liệu đã
biết.
Bớc 2: Giải phơng trình vừa lập đợc.
Bớc 3: Chọn các nghiệm thích hợp, từ đó đa ra đáp số.
Cạnh kề
Cạnh đối
Cạnh đối
Cạnh kề
B.HèNH HC
Chơng I: Hệ thức lợng trong tam giác vuông
1/ Hệ thức về cạnh và đờng cao của tam giác vuông:
+ b
2
= ab

; c
2
= ac

+ h
2
= b

c

+ ah = bc
+
222
111
cbh
+=
A
c h b
B c

b

a
2/ Tỷ số lợng giác của góc nhọn:
sin

=
cos

=
tg

=
cotg

=

+

= 90

0
(

và

là hai góc
phụ nhau) thì:
sin

= cos

, cos

= sin

tg

= cotg

, cotg

= tg

cạnh kề cạnh đối


Cạnh huyền
A

C B
3/ Hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông: A
Trong tam giác vuông ABC,
A

= 90
0
ta có hệ thức:
c h b
C c

b

B
a
+ b = a sin B = a cos C b = c tg B = c cotg C
Cạnh đối
Cạnh huyền
Cạnh kề
Cạnh huyền
+ c = a sin C = a cos B c = b tg C = b cotg B
4/ Hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lợng giác:
+ sin


1
; cos

1
; tg

=


cos
sin
; cotg

=


sin
cos s
;
+ 1 + tg
2


=

2
cos
1
; 1 + cotg
2

=

2
sin
1
.
Chơng II: đờng tròn
1/ Định nghĩa, sự xác định, tính chất dối xứng của đờng tròn:
a) Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm O cố
định một khỏng R không đổi ( R > 0) gọi là
đờng tròn tâm O bán kính R.
Ký hiệu là: (O; R) hoặc (O)
Cung tròn là một phần của đờng tròn
đợc giới hạn bởi hai điểm.
Hai điểm này gọi là hai mút của cung. Chẳng hạn cung AC (AC), cung BC
(BC)
Dây cung là một đoạn thẳng nối hai mút của một cung. Chẳng hạn dây
cung BC.
Đờng kính là dây đi qua tâm.
Định lý: Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn.
b) Sự xác định của đờng tròn: Định lý: Qua ba điểm không thẳng hàng, bao
giờ cũng chỉ vẽ đợc một đờng tròn và chỉ một mà thôi.
c) Tính chất đối xứng:
Định lý 1: Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây
ấy.
Định lý 2: (Đảo của 1). Đờng kính đi qua trung điểm của một dây (dây
không là đờng kính) thì vuông góc với dây ấy.
R

O
A
B
C
Định lý 3: Trong một đờng tròn:
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Dât lớn hơn thì gần tâm hơn.
Dây gần tâm hơn thì lớn hơn.
2/ Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
a) Đờng thẳng có thể cắt, tiếp xúc hoặc không cắt đờng tròn.
b) Tiếp tuyến của đờng tròn:
Định nghĩa:
Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng
thẳng chỉ có một điểm chung với đờng
tròn đó.
Các định lý về tiếp tuyến:
Định lý 1: Nếu một đờng thẳng a là
tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó
vuông góc với tiếp tuyến qua tiếp
điểm.
Định lý 2: Nếu một đờng thẳng a đi
qua một điểm của đờng tròn và vuông
góc với bán kính qua điểm đó thì đờng
thẳng ấy là tiếp tuyến của đờng tròn.
a
3/ Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đờng
tròn cắt nhau tại một điểm:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp

tuyến.
O
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán
kính đi qua hai tiếp điểm.
4/ Vị trí tơng đối của hai đờng tròn: (Ba vị trí tơng đối)
Hai đờng tròn cắt nhau (có hai điểm chung)
Định lý: Hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm vuông góc với dây chung và
đi qua trung điểm của dây chung ấy.
OO



AB, tại H là trung điểm của AB.
Hai đờng tròn tiếp xúc nhau là
hai đờng tròn chỉ có một điểm
chung, điểm chung đó gọi là tiếp
điểm.
OO

= R + r (tiếp xúc ngoài); OO

= R =
r > 0 (tếp xúc trong)
Hai đờng tròn không cắt nhau
(không có điểm chung.
+ Ngoài nhau: OO

> R + r.
+ Đựng nhau: OO

< R + r
Chú ý:
+ Đờng tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác
hay tam giác nội tiếp đờng tròn.
+ Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp
tam giác hay tam giác ngoại tiếp đờng tròn. Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác là
giao điểm của ba đờng phân giác của tam giác.
+ Đờng tròn bàng tiếp tam giác là đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của tam
giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia. Tâm của đờng tròn bàng tiếp
là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài với tia phân giác góc trong
còn lại.
+ Hai đờng tròn trong nhau không có tếp tuyến chung.
H
B
A
R
O

O
r
Hai đờng tròn (không trong nhau) có thể có nhiều tiếp tuyến chung.
Chơng III: Góc với đờng tròn
1/ Góc ở tâm. Cung và dây:
a) Định nghĩa:
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn
Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360
0
với số đo của cung nhỏ có
chung hai đầu mút vơíi cung lớn đó.

Số đo của nửa đờng tròn bằng 360
0
.
b) So sánh hai cung: (chỉ so sánh hai cung trên một đờng tròn hay hai đờng
tròn bằng nhau).
Hai cung đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn gọi là cung lớn hơn.
c) Điểm nằm trên cung: Điểm C nằm trên cung AB thì số đo cung AB bằng
tổng số đo cung AC với số đo cung CB.
d) Liên hệ giữa cung và dây:
Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay hai đờng tròn bằng
nhau:
Hai cung bằng nhau thì hai dây bằng hau,
Hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nahu.
Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay hai đơng tròn bằng nhau:
Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
2/ Góc nội tiếp Góc giữa tiếp tuyến và dây cung:
a) Góc nội tiếp:
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờngtròn và
hai cạnh chứa hai dây cung của đờng tròn đó.
Chẳng hạn góc BAC là góc nội tiếp của đờng tròn (O).
Định lý: Trong một đờng tròn số đo của góc nội tiếp
bằng nửa số đo cung bị chắn.
sđ
2
1

=CAB
sđ BC

* Hệ quả: Trong một đờng tròn:
+ Các góc nội tiếp bằng nhau, chắn các cung bằng nhau
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay chắn các cung bằng nhau thì
bằng nhau.
+ Góc nộit iếp (nhỏ hơn 90
0
) có sđ bằng nửa sđ của góc ở tâm cùng chắn một
cung.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông.
b) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung:
* Góc CAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC
và dây AB
* Định lý. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung băng nửa số đo của cung
bị chắn.
sđ
2
1

=CAB
sđ AB
Hệ quả: Trong một đờng tròn góc tạo
bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc
nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng
B
. O
A
B
C
A

D
C
M
B
nhau.
BDABAC


=
c) Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn:
Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn, cung chức góc.
+ Góc BEC là góc có đỉnh ở bên trong đ-
ờng tròn. Góc PNQ cũng gọi là góc có
đỉnh ở bên trong đờng tròn.
+ Định lý 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên
trong đờng tròn bằng nửa tổng số đo hai
cung bị chắn.
sđ
2
1

=BEC
(sđ CB + sđ CD)
Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn.
+ Góc BMD là góc có đỉnh ở bên ngoài
đờng tròn.
+ Định lý 2: Số đo góc có đỉnh ở bên
ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu số đo hai
cung bị chắn.
sđ

2
1

=DMB
(sđ BD sđAC)
A
B
C E
P
N
A
C
D
Q
D
Cung chứa góc: Quỹ tích các điểm
M nhìn đoạn thẳng AB cho trớc dới góc

(0
0
<

< 180
0
) là hai cung chứa góc


dựng trên đoạn AB
3/ Tứ giác nội tiếp. Đờng tròn nội ngoại tiếp:
a) Tứ giác nội tiếp:

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đ-
ờng tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).
Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện bằng 180
0
.
Định lý đảo. Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180
0
thì nội tiếp
đợc đờng tròn.
b) Đờng tròn ngoại tiếp, đờng tròn nội tiếp.
Đờng tròn đi qua các đỉnh của một đa giác đợc gọi là đờng tròn ngoại
tiếp đa giác và đa giác đợc gọi là đa giác nội tiếp đờng tròn.
Đờng tròn tiếp xác với tất cả các cạnh của một đa giác đợc gọi là đờng
tròn nội tiếp đa giác và đa giác đợc gọi là đa giác ngoại tiếp đờng tròn.
Định lý: Bất kỳ đa giác đều nào cũng chỉ có một và chỉ một đờng tròn ngoại
tiếp, có một và chỉ một đờng tròn nội tiếp.
4/ Chu vi, diện tích hình tròn:
a) Độ dài đờng tròn, cung tròn.
* Độ dài đờng tròn: C = 2

R.
* Trên đờng tròn bán kính R, độ dài

của cung tròn n là:
A
B
O


M

180
Rn
π
=
b) DiÖn tÝch h×nh trßn vµ qu¹t trßn.
• DiÖn tÝch h×nh trßn: S =
π
R
2
• DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R cung n
0
S =
360
2
nR
π
hay S =
2
R