thuật toán A ứng dụng trong bài toán ghép tranh- bài tập lớn môn trí tuệ nhân tạo

TR NG
I H C BÁCH KHOA HÀ N I
VI N CÔNG NGH THÔNG TIN VÀ TRUY N THÔNG
---------

BÀI T P L N

NH P MƠN TRÍ TU NHÂN T O
tài:
THU T TOÁN A*
NG D NG TRONG BÀI TOÁN GHÉP TRANH

Sinh viên th c hi n
: Lê ình C ng
(Các thành viên khác) : ……………………
Mã s sinh viên
: 20080370
Nhóm: 3

HÀ N I 04-2013


M CL C
L i nói

u ........................................................................................................................................ 3

I- BÀI TỐN GHÉP TRANH ......................................................................................................... 4
II- THU T TOÁN A*....................................................................................................................... 5
1-

Gi i thi u thu t tốn ................................................................................................................ 5

2-

Mơ t thu t tốn ...................................................................................................................... 7

3-

Cài

III- CÀI

t thu t tốn..................................................................................................................... 7
T BÀI TỐN................................................................................................................. 9

1.

Tr ng thái xu t phát ................................................................................................................. 9

2.

Cài

3.

Hàm ư c lư ng heuristic ....................................................................................................... 12

t A* ............................................................................................................................... 9

3.1

Các hàm ư c lư ng heuristic .......................................................................................... 12

3.2

Ví d so sánh 3 hàm heuristic.......................................................................................... 14

III- K T QU ................................................................................................................................. 15
1-

Giao di n............................................................................................................................... 15

2-

So sánh.................................................................................................................................. 16

3-

Nh n xét ................................................................................................................................ 21

IV- K T LU N ............................................................................................................................... 22
Tài li u tham kh o .......................................................................................................................... 23
PHI U GIAO NHI M V BÀI T P L N ..........................................Error! Bookmark not defined.

2


L i nói

u

ây là tài li u dùng
bi u di n cơ b n thi t k và gi i quy t bài tốn
“Trị chơi ghép tranh” s d ng thu t tốn A* do tơi thi t k và l p trình. Tài li u
này giúp ta có cái nhìn tồn v n v các ch c n ng c!a ph"n m m c#ng như ng
gi i quy t bài tốn này. Do th$i gian có h n nên % án
d ng thu t tốn A*
khơng th t i ưu ư c tồn b& khơng gian tr ng thái bài tốn. Tuy nhiên, nhóm
s' nghiên c u hồn thi n trong th$i gian s m nh t.
Nhóm th c hi n
tài nh(m m c ích xây d ng m&t h th ng gi i quy t
m&t bài toán th c t d a trên chi n lư c tìm ki m heuristic và xây d ng m&t trò
chơi ng d ng gi i trí. Trong q trình th c hi n
tài khơng tránh kh)i nh*ng
sai sót, nhóm tơi mong s' nh n ư c s góp ý và ánh giá c!a th"y.

Xin chân thành c m n !

3


I- BÀI TỐN GHÉP TRANH
Game ghép tranh(N-Puzzle) là m&t trị chơi khá hay và trí tu , nó ư c
bi t n v i nhi u phiên b n và tên g+i khác nhau như: 8-puzzle, 15-puzzle, Gem
c, i n cho mơ hình thu t tốn
puzzle, Boss puzzle. Bài tốn N-puzzle là v n
liên quan n trí tu nhân t o. Bài tốn t ra là ph i tìm ư$ng i t- tr ng thái
gi i
hi n t i t i tr ng thái ích. Và cho t i nay v.n chưa có thu t tốn t i ưu
bài tốn này.

Ph"n m m N-Puzzle là m&t chương trình xây d ng trị chơi và gi i quy t
bài tốn này. Ph"n m m ư c vi t trên n n Java, s d ng giao di n % h+a mô
ph)ng trị chơi và thu t tốn A*
tìm ư$ng i. Ngư$i dùng có th s d ng
chu&t/bàn phím chơi v i các kích thư c khác nhau và v i hình nh khác nhau
ho c có th s d ng ch c n ng tìm l$i gi i nh$ thu t tốn A*.
u c"u xây d ng b ng ơ vng n hàng, n c&t. B ng g%m 1 ô tr ng và n2-1
ô ch a các s trong ph m vi [1, n2-1]. Xu t phát t- m&t cách x p b t kì, di
ưa các ơ v tr ng
chuy n ô tr ng lên trên, xu ng dư i, sang ph i, sang trái
thái ích. S d ng chu&t hay phím ch c n ng di chuy n ơ tr ng. Chương trình
có ch c n ng t &ng chơi / b t kì tr ng thái nào ó. M0i tr ng thái c!a b ng s
là m&t hoán v1 c!a n2 ph"n t . 2 ây ta có th m/ r&ng b(ng vi c thêm hình nh
g i ý cho ngư$i chơi. 2 tr ng thái ban
vào game ho c g3n s vào hình nh
"u, các ơ ư c s3p x p ng.u nhiên, và nhi m v c!a ngư$i chơi là tìm ư c
cách ưa chúng v tr ng thái ích(ơ "u tr ng, các ơ khác theo th t t ng d"n ttrái qua ph i, t- trên xu ng dư i).
ơn gi n trong cách ti p c n bài toán, ta
gi 1nh ch4 các ô tr ng di chuy n trong b ng là di chuy n n các v1 trí khác
nhau. Như v y t i m&t tr ng thái b t kì có t i a 4 cách di chuy n n tr ng thái
khác(trái, ph i, lên, xu ng).

4


1.1.1: Tr ng thái b3t "u và ích

Bư c di chuy n c!a ô tr ng:

1.1.2: Bư c di chuy n c!a ơ tr ng

II- THU T TỐN A*
1- Gi i thi u thu t toán
Thu t toán A* ư c mô t l"n "u tiên n m 1986 b/i Peter Hart, Nils
Nilson và Bertram Raphael. Trong báo cáo c!a h+, thu t toán ư c g+i là thu t
5


toán A, khi s d ng thu t toán này v i m&t hàm ánh giá heuristic thích h p s'
thu ư c ho t &ng t i ưu, do ó mà có tên là A*.
Trong khoa h+c máy tính, A* là m&t thu t tốn tìm ki m trong % th1.
Thu t tốn này tìm m&t ư$ng i t- nút kh/i "u t i m&t nút ích cho trư c(
ho c t i m&t nút th)a mãn i u ki n ích). Thu t tốn này s d ng m&t ánh giá
heuristic
x p lo i t-ng nút theo ư c lư ng v tuy n ư$ng t t nh t i qua nút
ó. Thu t tốn này duy t các nút theo th t c!a ánh giá heuristic này. Do ó,
thu t tốn A* là m&t ví d c!a tìm ki m theo l a ch+n t t nh t(best-first search).
gi i. A*
Xét bài tốn tìm ư$ng – bài toán mà A* thư$ng ư c dùng
xây d ng t ng d"n t t c các tuy n ư$ng t- i m xu t phát cho t i khi nó tìm
th y m&t ư$ng i ch m t i ích. Tuy nhiên, c#ng như t t c các thu t tốn tìm
ki m có thơng tin nó ch4 xây d ng các tuy n ư$ng có v5 d"n v

ích.

bi t nh*ng tuy n ư$ng nào có kh n ng s' d.n t i ích, A* s d ng
m&t hàm ánh giá heuristic v kho ng cách t- i m b t k6 cho t i ích. Trong
trư$ng h p tìm ư$ng i, ánh giá này có th là kho ng cách ư$ng chim bay m&t ánh giá x y x4 thư$ng dùng cho kho ng cách c!a ư$ng giao thông.
i m khác bi t c!a A* i v i tìm ki m theo l a ch+n t t nh t là nó cịn
tính n kho ng cách ã i qua. i u ó làm cho A* "y ! và t i ưu, ngh7a là

A* s' ln tìm th y ư$ng i ng3n nh t n u t%n t i m&t ư$ng i như th . A*
không m b o s' ch y nhanh hơn các thu t tốn tìm ki m ơn gi n hơn. Trong
m&t môi trư$ng d ng mê cung, cách duy nh t
n ích có th là trư c h t ph i
i v phía xa ích và cu i cùng m i quay tr/ l i. Trong trư$ng h p ó, vi c th
các nút theo th t “g"n ích hơn thì ư c th trư c” có th gây t n th$i gian.

6


2- Mơ t thu t tốn
Gi s n là m&t tr ng thái t t i(có ư$ng i t- tr ng thái ban "u n0 t i
n). Ta xác 1nh hàm ánh giá: f(n) = g(n) + h(n)
• g(n) là chi phí t- nút g c n0 t i nút hi n t i n
• h(n) chi phí ư c lư ng t- nút hi n t i n t i ích
• f(n) chi phí t,ng th ư c lư ng c!a ư$ng i qua nút hi n t i n
ích

n

M&t ư c lư ng heuristic h(n) ư c xem là ch p nh n ư c n u v i m+i
nút n:
0 8 h(n) 8 h*(n)
Trong ó h*(n) là chi phí th t(th c t )
3- Cài

i t- nút n

n ích.

t thu t tốn

OPEN(FRINGE): t p ch a các tr ng thái ã ư c sinh ra nhưng chưa
ư c xét n. OPEN là m&t hàng i ưu tiên mà trong ó ph"n t có & ưu tiên
cao nh t là ph"n t t t nh t.
CLOSE: t p ch a các tr ng thái ã ư c xét n. Chúng ta c"n lưu tr*
nh*ng tr ng thái này trong b& nh
phịng trư$ng h p khi có m&t tr ng thái
m i ư c t o ra l i trùng v i m&t tr ng thái mà ta ã xét n trư c ó.
Khi xét n m&t tr ng thái ni trong OPEN bên c nh vi c lưu tr* 3 giá tr1 cơ
b n g, h, f ph9n ánh & t t c!a tr ng thái ó, A* cịn lưu tr* thêm hai thơng s
sau:
• Tr ng thái cha c!a tr ng thái ni (ký hi u Cha(ni)): cho bi t tr ng thái d.n
n tr ng thái ni.
• Danh sách các tr ng thái ti p theo c!a ni: danh sách này lưu tr* các tr ng
thái k ti p nk c!a ni sao cho chi phí n nk thông qua ni t- tr ng thái ban
"u là th p nh t. Th c ch t danh sách này có th ư c tính t- thu&c tính
Cha c!a các tr ng thái ã ư c lưu tr*. Tuy nhiên vi c tính tốn này có th
m t nhi u th$i gian(khi t p OPEN,CLOSE ư c m/ r&ng) nên ngư$i ta
thư$ng lưu tr* ra m&t danh sách riêng.

7


Thu t toán A*:
function Astar(n0, ngoal)
1.

t OPEN ch4 ch n0.
r0ng

2. L p l i các bư c sau cho

t g(n0) = h(n0) = f(n0) = 0.

t CLOSE là t p

n khi g p i u ki n d-ng

2.a N u OPEN r0ng: bài tốn vơ nghi m, thốt.
2.b Ngư c l i, ch+n ni trong OPEN sao cho f(ni) sao cho f(ni)min
2.b.1 L y ni ra kh)i OPEN và ưa ni vào CLOSE
2.b.2 N u ni chính là ích ngoal thì thốt và thơng báo l$i gi i là ni
2.b.3 N u ni khơng ph i là ích. T o danh sách t t c các tr ng thái
k ti p c!a ni. G+i m&t tr ng thái này là nk. V i m0i nk, làm các bư c sau:
2.b.3.1 Tính g(nk) = g(ni) + cost(ni, nk); h(nk);
f(nk) = g(nk) + h(nk).
2.b.3.2

t Cha(nk) = ni

2.b.3.3 N u nk chưa xu t hi n trong OPEN và CLOSE thì
thêm nk vào OPEN

8


III- CÀI

T BÀI TOÁN

1. Tr ng thái xu t phát
R t d th y m0i tr ng thái c!a b ng s là m&t hoán v1 c!a n2 ph"n t ( v i n
là kích thư c c nh), như v y khơng gian tr ng thái c!a nó là n2!, 8-puzzle là 9! =
362880(n = 3) và 15-puzzle là 16! = 20922789888000(n = 4),…. Khi m t ng lên
1 ơn v1 thì khơng gian tr ng thái s' t ng lên r t nhanh, i u này khi n cho vi c
gi i quy t v i các phiên b n n > 3 ít ư c áp d ng.
t o ra m&t tr ng thái ban "u c!a trò chơi ta dùng m ng 1 chi u và sinh
ng.u nhiên m&t m ng tr ng thái là hoán v1 c!a n2 ph"n t trong o n (0; n2-1).
V i vi c sinh ng.u nhiên thì s' t o ra nh*ng tr ng thái không h p l (tr ng thái
khơng d.n t i tr ng thái ích c!a bài tốn), thì ta c"n ph i ki m tra xem tr ng
thái có d.n t i ích ư c hay không trư c khi kh/i t o giao di n. Ngồi ra ta có
th tr&n ng.u nhiên tr ng thái ích n m&t tr ng thái b t kì.

1

2

3

7

4

5

11

10

9

12

14

6

8

13

15

3

2

1

7

4

6

8

5

1.1.3: Tr ng thái b3t "u 15-puzzle và 8-puzzle

2. Cài

t A*

Vi c cài
trên ã nêu:

t thu t toán A* trong bài tốn N-Puzzle c#ng gi ng như ph"n

• FRINGE là t p ch a các tr ng thái ã ư c sinh ra nhưng chưa ư c
xét

n.

• M là t p các tr ng thái ti p theo c!a tr ng thái ni

9


• KQ t p tr ng thái k t qu , lưu các tr ng thái t- tr ng thái hi n t i t i
ích
"u vào: tr ng thái hi n t i, tr ng thái ích
"u ra: t p các tr ng thái t- tr ng thái hi n t i t i tr ng thái ích
i u ki n d-ng thu t tốn: tìm th y k t qu ho c gi i h n th$i gian ho c
ngư$i dùng cho phép d-ng.
Trong bài toán này ta có th c i ti n b(ng vi c b) t p CLOSE. Ta th y
trong bư c 2.b.3 / trên sau khi tìm ra các tr ng thái con c!a tr ng thái ni. Khi ó
ni có t i a 4 tr ng thái con, nhưng trong các tr ng thái con c!a ni có 1 tr ng thái

trùng v i tr ng thái cha c!a ni. Vì v y ta có th lo i b) tr ng thái này
tránh
vi c xét l p. Khi lo i b) tr ng thái này s' không t%n t i m&t tr ng thái con nào
trùng v i m&t tr ng thái trong t p CLOSE n*a. Vi c lo i b) này s' tránh ư c
vi c ki m tra / bư c 2.b.3.3 gây t n r t nhi u th$i gian.
Ngồi ra, trong game này cịn cài t thêm thu t toán A* sâu d"n(IDA*) là
m&t bi n th c!a thu t tốn tìm ki m A*. IDA* giúp lo i b) h n ch b& nh c!a
A* mà ko hy sinh gi i pháp t i ưu. M0i l"n l p c!a thu t tốn là q trình tìm
ki m theo chi u sâu, f(n) = g(n) + h(n), t o nút m i. Khi m&t nút ư c t o ra có
chi phí vư t q m&t ngư:ng cutoff thì nút ó s' b1 c3t gi m, quá trình tìm ki m
backtracks trư c khi ti p t c. Các ngư:ng chi phí ư c kh/i t o ư c lư ng
heuristic c!a tr ng thái ban "u, và trong m0i l"n l p k ti p làm t ng t,ng chi
phí c!a các nút có chi phí th p ã ư c c3t t4a trư c ó. Thu t toán ch m d t khi
tr ng thái ích có t,ng chi phí khơng vư t q ngư:ng hi n t i.

10


Minh h a A*

1.1.4: Minh h+a A*

11


3. Hàm

cl

3.1 Các hàm

ng heuristic
cl

ng heuristic

3.1.1 heuristic1 = t,ng kho ng cách d1ch chuy n (;,<,=,>) ng3n nh t
d1ch chuy n các ơ sai v v1 trí úng c!a nó(kho ng cách Manhattan)

1.1.5: Minh h a

Gi s : + row , col là t+a &(dịng và c&t) c!a ơ / v1 trí úng
+ rows, cols là t+a &(dịng và c&t) c!a ơ / v1 trí sai
+ xd = |cols – col |
+ yd = |rows – row |
d = xd + yd là kho ng cách ng3n nh t

di chuy n 1 ơ v

úng v1 trí

h1 = d
Trong b ng s 3x3 trên, di chuy n ô s 8 v v1 trí úng c"n 1 l"n, di
chuy n ơ s 1 v v1 trí úng c"n 2 l"n(qua 2 ơ khác).
thu ư c k t qu này ta
làm phép tính ơn gi n: l y t,ng kho ng cách c!a các dịng và c&t gi*a hai v1
trí(v1 trí hi n t i và v1 trí úng)
- L y t+a & c!a ơ s 1 / v1 trí hi n t i ta có: rows = 1, cols = 0
- L y t+a & ơ s 1 / v1 trí úng : row = 1/3 = 0; cols = 1%3 = 1
- V y kho ng cách ng3n nh t

di chuy n ơ s 1 v v1 trí úng:

d1 = |rows – row | + |cols – col | = |1 – 0| + |0 – 1| = 2
Tương t , tính t t c các kho ng cách d c!a các ơ sai cịn l i ta ư c
12


h1 = 1+0+2+1+1+0+1+1 = 7
3.1.2 heuristic2 = t,ng kho ng cách d1ch chuy n (;,<,=,>) ng3n nh t
d1ch chuy n các ơ sai v v1 trí úng c!a nó c&ng thêm ch4 s ph t c p ơ hàng
xóm v i nhau ang n(m ngư c v1 trí c!a nhau.

1

2

3

4

5

6

7

8

1.1.6a: ích

2

1

6

7

5

3

8

4

1.1.6b: Minh h a

h2 = d + a
Trong ó a là ch s ph t c p ơ hàng xóm ang n m ng c v trí. C p
(2,1) mu n v úng v1 trí c"n d1ch chuy n ít nh t 4 bư c(không
ý t i các ô
khác), 2 bư c ã ư c tính trong ?d nên a = 2. Vì v y trong 1.1.6b có 2 c p
hàng xóm n(m ngư c v1 trí nên / ây a = 2+2 = 4.
3.1.3

heuristic3
1

2

3

2

6

3

7

4

5

6

7

4

5

10

11

8

9

10

11

12

9

14

1

12

13

14

15

8

13

1.1.7a: ích

15

1.1.7b: Minh h a

Xét 1 ô n(m sai v1 trí: d = |rows – row |2 + |cols – col |2
t d3 = ?d
13


h3 = d3 – [0.15*d3] + a

3.1.4

heuristic4

Xét 1 ô sai n(m sai v1 trí: d = |rows – row |2 + |cols – col |2
t d4 = ?d
h4 = d4 + a
3.2 Ví d so sánh 3 hàm heuristic

8

7

6
3

1
4

2

5

Xét tr ng thái hình trên
+ heuristic1 = 4 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 = 14
+ heuristic2 = heuristic1 + 2 = 16 (a = 2)
+ d34 = 8 + 4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5 + 1 = 22
+ heuristic3 = d34 – [0.15*d34] + 2 = 21
+ heuristic4 = d34 + 2 = 24

14


III- K T QU
1- Giao di n
Các l a ch+n

Khung so sánh
k t qu

Khung hình
chính

15


2- So sánh
V i tr ng thái b3t "u là tr ng thái / hình trên:
Thu t tốn A*
+ heuristic 1:
S bư c th c hi n: 37

S nút ã xét: 36819
T,ng s nút trên cây: 73742
Th$i gian gi i quy t: 38598ms

16


+ heuristic2
S bư c th c hi n: 37
S nút ã xét: 25950
T,ng s nút trên cây: 52228
Th$i gian gi i quy t: 19370ms

17


+ heuristic3:
S bư c th c hi n: 37
S nút ã xét: 400
T,ng s nút trên cây: 809
Th$i gian gi i quy t: 17ms

18


+ heuristic4
S bư c th c hi n: 41
S nút ã xét: 475
T,ng s nút trên cây: 939
Th$i gian gi i quy t: 20ms

19


Thu t toán IDA*
+ heuristic1
S bư c th c hi n: 37
S nút ã xét: 77849
T,ng s nút trên cây: 156896
Th$i gian gi i quy t: 9760ms
+ heuristic2
S bư c th c hi n: 37
S nút ã xét: 48304
T,ng s nút trên cây: 97311
Th$i gian gi i quy t: 4081ms
+ heuristic3
S bư c th c hi n: 37
S nút ã xét: 404
T,ng s nút trên cây: 811
Th$i gian gi i quy t: 4ms
+ heuristic4
S bư c th c hi n: 43
S nút ã xét: 4834
T,ng s nút trên cây: 9622
Th$i gian gi i quy t: 41ms

20


3- Nh n xét

- Ta th y heuristic2 = heuristic1 + a, nên h1(n) 8 h2(n) 8 h*(n). Hàm
h2(n) giúp s nút duy t ít hơn và th$i gian duy t nhanh hơn h1(n). Vì v y h2(n)
hi u qu hơn h1(n). Hai hàm heuristic1 và heuristic2 t) ra kém hi u qu khi kích
thư c tr ng thái c!a bài toán t ng lên, d.n n m t nhi u th$i gian và t n b& nh .
Nguyên nhân là do ư c lư ng chi phí heuristic1 và heuristic2 quá nh) so v i chi
phí th c t h*(n).
- Hàm heuristic3 là m&t ư c lư ng chi phí khá t i ưu, khơng gian tr ng
thái và th$i duy t gi m i áng k so v i hai hàm ư c lư ng trên. Nguyên nhân
là do hàm ư c lư ng chi phí heuristic3 @ h*(n) (g"n v i chi phí th c t ).
- Hàm heuristic4 c#ng khá hi u qu v m t b& nh và th$i gian khi duy t,
nhưng heuristic4 không ưa ra ư$ng i t i ưu vì heuristic4 ư c lư ng chi phí
l n hơn chi phí thưc t . Có th nói, trong 4 hàm ư c lư ng heuristic3 làm hàm
hi u qu nh t.
- Tính t i ưu c!a thu t toán A* ph thu&c nhi u vào hàm ư c lư ng h(n)
và ch4 phù h p v i không gian tr ng thái nh). N u không gian các tr ng thái là
h*u h n và có gi i pháp tránh vi c xét l p l i các tr ng thái thì gi i thu t A* là
hồn ch4nh(tìm ư c l$i gi i)- nhưng ko m b o tính t i ưu. N u khơng có gi i
pháp tránh vi c xét l p thì A* khơng hồn ch4nh(khơng m b o tìm ư c l$i
gi i). N u khơng gian tr ng thái là vơ h n thì gi i thu t A* là khơng hồn
ch4nh(khơng m b o tìm ư c l$i gi i).
- IDA* hi u qu hơn A* v m t b& nh và th$i gian. Nói chung IDA*
nhanh hơn A*, nhưng IDA* c#ng không m b o tính t i ưu.
- Trong bài tốn này ta có th cân nh3c gi*a vi c tìm ư$ng i t i ưu
nhưng s' m t nhi u th$i gian v i vi c tìm ư$ng i khơng t i ưu v i th$i gian
nhanh hơn.
- Hàm heuristic3 tuy khá hi u qu nhưng không m/ r&ng ư c v i m+i
khơng gian tr ng thái vì khi A* xét các nút thì ph i tính tốn heuristic gây t n
nhi u th$i gian. Nhóm ang nghiên c u phương pháp tính trư c các hàm
heuristic nhưng do th$i gian có h n nên chưa th hồn thành ư c.

21


IV- K T LU N
Thơng qua vi c tìm hi u và nghiên c u tài này giúp chúng tôi có cái nhìn
tồn di n hơn trong vi c ng d ng trí tu nhân t o vào gi i quy t v n
th c t .
ây là bài toán c, i n trong trí tu nhân t o cho các thu t tốn mơ hình hóa liên
quan n tìm ki m có tri th c b, sung.
tài ã ư c nhi u ngư$i nghiên c u
gi i quy t, nhưng cho n nay v.n chưa có cách gi i quy t t i ưu cho t t c
không gian tr ng thái trị chơi vì kích thư c t ng không gian tr ng thái s' t ng
lên r t nhanh. Hy v+ng nh*ng nghiên c u ánh giá c!a chúng tơi s' góp ph"n b,
sung thêm m&t hư ng gi i quy t cho bài toán. Do th$i gian có h n nên
tài
khơng tránh kh)i nh*ng sai sót, mong th"y góp ý, ánh giá giúp chúng tơi hồn
thi n tài.

22


Tài li u tham kh o
- B& thư vi n chu9n c!a Sun MicroSystem
/>- Bài gi ng Nh p môn trí tu nhân t o – Nguy n Nh t Quang
- />- />- />Hà N i, ngày 15 tháng 04 n m 2013
Tác gi BTL
Lê ình C

ng

23