Bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
Phương pháp giải:
Cho 2 hàm số y  f ( x) và y  g ( x) có đồ thị lần lượt là  C  và  C   :


Lập phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và  C   là f ( x)  g ( x)  



Giải phương trình tìm x thay vào f ( x) hoặc g ( x) để suy ra y và tọa độ giao điểm



Số nghiệm của phương trình   là số giao điểm của  C  và  C  

Ví dụ 1: [Đề minh họa THPT QG năm 2017] Biết rằng đường thẳng y  2 x  2 cắt đồ thị hàm số
y  x 3  x  2 tại điểm duy nhất; ký hiệu  xo ; yo  là tọa độ của điểm đó. Tìm yo

A. yo  4

B. yo  0

C. yo  2
Lời giải

D. yo  1

Phương trình hồnh độ giao điểm là: 2 x  2  x 3  x  2  x 3  3 x  0  x  0  y  2

Vậy tọa độ giao điểm là  0; 2  . Chọn C.
Ví dụ 2: Biết rằng đồ thị hàm số y  x 4  3 x 2  5 và đường thẳng y  9 cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  . Tính x1  x2
A. x1  x2  3

B. x1  x2  0

C. x1  x2  18
Lời giải

D. x1  x2  5

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là:
 x 2  1
x  2
x  2
x 4  3x 2  5  9  x 4  3 x 2  4  0   2
 x2  4  
 1
 x1  x2  0
 x  4
 x  2  x2  2
Chọn B.
Ví dụ 3: Hỏi đồ thị của hàm số y  x 3  2 x 2  x  1 và đồ thị hàm số y  x 2  x  3 có tất cả bao nhiêu điểm
chung?
A. 0

B. 2

C. 1

Lời giải

D. 3

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số là x3  2 x 2  x  1  x 2  x  3  x3  x 2  2  0





 ( x  1) x 2  2 x  2  0  x  1  0  x  1. Suy ra hai đồ thị có một điểm chung. Chọn C.
Ví dụ 4: Số giao điểm của đồ thị hai hàm số y  x 3  3 x 2  1 và y  x 4  x 3  3 là
A. 1

B. 4

C. 3
Lời giải

D. 2


Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số là x 3  3x 2  1  x 4  x 3  3  x 4  3x 2  4  0
 x 2  1
x  2
 2
 x2  4  
 2 đồ thị hàm số có 2 giao điểm. Chọn D.
 x  2
 x  4

Ví dụ 5: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y 
A. 3

B. 0

x2  2x  3
với đường thằng y  3 x  6
x 1

C. 1
Lời giải

D. 2

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị  C  và đường thẳng  d  là

x2  2 x  3
 3x  6
x 1

x 1  0
x  1
x  1
 2
 2
 2
 
2
 x  2 x  3  ( x  1)(3x  6)
 x  2 x  3  3x  9 x  6

2 x  7 x  3  0
Hệ phương trình   có hai nghiệm phân biệt nên  C  cắt  d  tại hai điểm. Chọn D.
Ví dụ 6: Hồnh độ các giao điểm của đồ thị hàm số y 
 x  1
A. 
x  3

x  1
B. 
 x  3

2x 1
 C  và đường thẳng d : y  x  2 là
x2

x  1 6
C. 
 x  1  6
Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị  C  và  d  là

 x  1
D. 
 x  3

 x  2
2x 1
 x2 
2

x2
2 x  1  x  4

 x  2
 x  2
 x  1

 2
   x  1  
. Chọn A.
x  3
x  2x  3  0
 x  3

Ví dụ 7: Biết đường thẳng y  3 x  4 cắt đồ thị hàm số y 

4x  2
tại hai điểm phân biệt có tung độ y1 và
x 1

y2 . Tính y1  y2
A. y1  y2  10

B. y1  y2  11

C. y1  y2  9
Lời giải

D. y1  y2  1

 x2  x  2  0
 x  1
4x  2

3
x

4


Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là

x 1
x  2
x  1
 x1  1  y1  1

 y1  y2  11. Chọn B.
Ta có: 
 x2  2
 y2  10
Ví dụ 8: Gọi A, B là giao điểm của hai đồ thị hàm số y 

x3
và y  1  x . Diện tích tam giác OAB
x 1

bằng:
A.

3 2
2

B. 3

C.

3
2

D. 3 2


Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm:

x  1
 x  1  y  2
x 3
 1 x   2

x 1
 x  2  y  1
x  x  2  0

Khi đó AB  9  9  3 2 và d  O; AB   d  O; d : x  y  1  0  
Do đó SOAB 

1
2

1
1 1
3
d  O; AB  . AB  .
.3 2  . Chọn C.
2
2 2
2

Ví dụ 9: Đồ thị hàm số y  x 2  x và đồ thị hàm số y  5 

3
cắt nhau tại hai điểm A và B. Khi đó độ dài
x

AB là
B. AB  25

A. AB  8 5

C. AB  4 2
Lời giải

2
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là x  x  5 

D. AB  10 2

x  0

3
 3 2
x
 x  x  5x  3  0

x  3  y  6
 A(3;6)


 AB  4 2 . Chọn C.
 x  1  y  2  B(1; 2)
Ví dụ 10: Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y  x  1 và đường cong y 

2x  4
. Khi đó hồnh độ
x 1

trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng
A.

5
2

B. 

5
2

C. 1

D. 2

Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm là

x  1 6
2x  4
 x  1  x2  2x  5  0  
x 1
 x  1  6

 x  1  6
 M
 xI  1 . Chọn C.
 xN  1  6
Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  2 x  1 cắt đồ thị hàm số y  x 2  3x  1 tại hai điểm phân biệt A, B.
Tính độ dài AB.
A. AB  3

B. AB  2 2

C. AB  2
Lời giải

D. AB  1

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là x3  3 x 2  2 x  1  x 2  3 x  1  x3  4 x 2  5 x  2  0
  x  1

2

x  1
 A(1; 1)

 AB  1 . Chọn D.
 x  2  B(2; 1)

 x  2  0  

Dạng 2: Sự tương giao của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất
Phương pháp giải:


Xét sự tương giao giữa đồ thị  C  : y 

ax  b
và đường thẳng d : y  kx  l
cx  d

d

ax  b
x  
 kx  l  
c
 
Phương trình hồnh độ giao điểm của d và  C  là:
cx  d
 g ( x )  Ax 2  Bx  C  0


 Bài toán biện luận số giao điểm của hai đồ thị


Trường hợp 1: Xét A  0  Kết luận về số giao điểm.



Trường hợp 2: Xét A  0
+) d cắt  C  tại hai điểm phân biệt  g  x   0 hai nghiệm phân biệt
  B 2  4 AC  0
d

2
   d 
khác
d
 d 
c
C  0
g 
  A. 
  B.
c
 c 
  c 
+) d cắt  C  tại điểm duy nhất  g  x  có nghiệm kép khác

d
hoặc g  x  có hai nghiệm phân
c

  g ( x )  0

  g  d   0
   c 

d

biệt trong đó có một nghiệm x 
c
  g ( x )  0

  g  d   0
   c 


 g ( x)  0

0

d
   g ( x )
+) d không cắt  C   g  x  vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng
c
  g  d   0
   c 
 Bài tốn liên quan đến tính chất các giao điểm
Phần này, ta chỉ xét bài tốn mà có liên quan đến d cắt  C  tại hai điểm phân biệt.
Bước 1. Tìm điều kiện để d cắt  C  tại hai điểm phân biệt
  B 2  4 AC  0

d

2
 g  x   0 có hai nghiệm phân biệt khác
   d 
 1

d
d


c
g

A
.

B
.

C

0
 



c
 c 
  c 

Bước 2. Khi đó gọi A( x1 ; kx1  l ), B( x2 ; kx2  l ) là tọa độ hai giao điểm


B

x

x


1
2

A
Với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình g ( x)  0 nên theo định lý Viet ta có 
C
x x 
 1 2 A
Bước 3. Theo u cầu bài tốn, ta tìm giá trị của tham số chú ý đối chiếu với điều kiện (1) để chọn đáp án
đúng.
Chú ý:
 x12  x22   x1  x2   2 x1 x2
2

  x1  x2    x1  x2   4 x1 x2
2

 AB 
 S IAB 

2

 xA  xB 

2

  y A  yB 

2

1
d  I ; AB  . AB
2

uu
r uur
 Tam giác IAB vuông tại I  IA.IB  0
 x  x A  xB y I  y A  y B 
;
 Trọng tâm tam giác IAB là G  I

3
3


Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng  d  : x  2 y  m  0 cắt đồ thị hàm số
y
A.

x3

tại hai điểm phân biệt.
x 1

3 4 2
3 4 2
m
2
2

B. 3  4 2  m  3  4 2


3 4 2
m 
2
C. 

3 4 2
m 

2

m  3  4 2
D. 
 m  3  4 2
Lời giải

Ta có: d : y 

x m

x 3 x  m


. Phương trình hồnh độ giao điểm là:
2 2
x 1
2

 x  1

2
 g  x   x  (m  1) x  m  6  0
Để d cắt đồ thị hàm số y 

x3
tại 2 điểm phân biệt thì g ( x)  0 phải có 2 nghiệm phân biệt
x 1

m  3  4 2
  (m  1) 2  4(m  6)  0
 m2  6m  23  0  
khác 1  
. Chọn D.
 g (1)  8  0
 m  3  4 2
Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  x  1 cắt đồ thị hàm số


y

2x  m
tại hai điểm phân biệt có hồnh độ dương.
x 1

A. 2  m  1

B. m  1

C. m  1
Lời giải

Điều kiện: x  1 . Phương trình hồnh độ giao điểm x  1 

D. 2  m  1

2x  m
 x 2  2 x  m  1  0  
x 1

Để cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hồnh độ dương thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt

   0
1  m  1  0
m  2
S  0
2  0





 m  1  2  m  1 . Chọn A.
khác 1  
P

0

m

1

0


m  2

m  2
m  2
x 1
 C  và đường thẳng d : y  x  m . Gọi S là tập hợp các giá trị của m để d
x 1

Ví dụ 3: Cho hàm số y 

2
2
cắt  C  tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  9 . Tổng các phần tử của tập hợp S là:

A. – 2

B. 3

C. 2
Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và d là

D. – 1

 x  1
x 1
 xm  
 1
2
x 1
 g  x   x  (m  2) x  m  1  0

Để đồ thị  C  cắt d tại 2 điểm phân biệt  g ( x )  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
  (m  2) 2  4(m  1)  0

 * . Khi đó gọi x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x)  0
 g (1)  2  0
 x1  x2  2  m
Theo Viet ta có: 
 x1 x2   m  1
m  3
2
2
2
2
2

Ta có: x1  x2  ( x1  x2 )  2 x1 x2  (2  m)  2(m  1)  m  2m  6  9  
(thỏa mãn (*))
 m  1
Vậy S   3; 1  T  2 .Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hàm số: y 

2x 1
(C ) và đường thẳng d : y  2 x  m . Gọi S là tập hợp các giá trị của m để
x 1

d cắt  C  tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2 

1
. Tổng các phần tử của tập hợp S
2

là:
A. 8

B. 9

Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và d:

C. 10
Lời giải

D. -1

 x  1
2x 1

 2x  m  
2
x 1
 g ( x)  2 x  mx  m  1  0


Để đồ thị  C  cắt d tại 2 điểm phân biệt  g ( x )  0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
  m 2  8( m  1)  0

(*) . Khi đó gọi x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x)  0
g
(

1)

3

0

m

 x1  x2  2
Theo Viet ta có: 
x x  m 1
 1 2
2
Khi đó x1  x2 


1

1
1
 ( x1  x2 ) 2   ( x1  x2 ) 2  4 x1 x2 
2
4
4

m  9
m2
1
 2(m  1)   
(t/m)
4
4
 m  1

Vậy S   9; 1  T  8 . Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hàm số y 

x 1
(C ) và đường thẳng d : y  x  m . Số các giá trị của tham số m để d cắt (C)
x2

tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB  4 2 là
A. 2

B. 1

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và d:

C. 0
Lời giải

D. 3

x  2
x 1
 xm 
(1)
2
x2
 g ( x)  x  (m  3) x  2m  1  0

Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt  g ( x )  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
  (m  3)2  4(2m  1)  0

 
g
(2)


3

0

Khi đó gọi A( x1 ; x1  m); B ( x2 ; x2  m) là 2 tọa độ các giao điểm
 x1  x2  3  m
Theo Viet ta có: 
 x1 x2  2m  1
Ta có: AB  ( x1  x2 ) 2  ( x1  x2 ) 2  2 ( x1  x2 ) 2   2 ( x1  x2 ) 2  4 x1 x2 

m  1
 2 (3  m) 2  4( 2m  1)   2( m2  2 m  13)  4 2  m 2  2m  3  0  
( t / m)
 m  3
Vậy m  3; m  1 là các giá trị cần tìm. Chọn A.
2x 1
(C ) và đường thẳng d : y  2 x  m . Số các giá trị của m để d cắt (C) tại 2
x 1
uuu
r uuur
điểm phân biệt A, B sao cho OA.OB  10 trong đó O là gốc tọa độ.
Ví dụ 6: Cho hàm số y 

A. 2

B. 1

C. 0
Lời giải

D. 3


Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và d:

 x  1
2x 1
 2x  m  
(1)
2

x 1
 g ( x)  2 x  mx  m  1  0

Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt  g ( x )  0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
  m 2  8(m  1)  0

 
 g (1)  1  0
Khi đó gọi A( x1 ; 2 x1  m); B ( x2 ; 2 x2  m) là 2 tọa độ các giao điểm
m

 x1  x2  2
Theo Viet ta có: 
x x  m 1
 1 2
2
uuu
r uuu
r
5m  5
2
 m 2  m 2  10
Khi đó OA.OB  x1.x2  (2 x1  m)(2 x2  m)  5 x1 x2  2m  x1  x2   m 
2
 m  3  t / m  . Vậy m  3 là các giá trị cần tìm. Chọn B.
Ví dụ 7: Cho hàm số y 

x 1
(C ) và đường thẳng d : y   x  m . Gọi m là giá trị để d cắt  C  tại 2 điểm
x2

phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x  y  0 . Tính độ dài AB khi đó.
B. AB  10

A. AB  2 2

C. AB  5
Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và d:

D. AB  10

x  2
x 1
 x  m  
(1)
2
x2
 g ( x )  x  (m  1) x  2m  1  0

Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt  g ( x )  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
   m  1 2  4  2m  1  0

 
g
(1)


1


0

Khi đó gọi A( x1 ;  x1  m); B( x2 ;  x2  m) là 2 tọa độ các giao điểm
 x1  x2  m  1
Theo Viet ta có: 
 x1 x2  2m  1
x1  x2  0 m  1


 xG 
 m 1 m 1 
3
3
 G
;
Gọi G là trọng tâm tam giác OAB ta có 

3 
 3
 y   x1  m  x2  m  0  m  1
 G
3
3
Do điểm G  x  y  0 nên ta có:

m 1 m 1

 0  m  0 t / m
3

3

Khi đó AB 2  2  x1  x2   2  x1  x2   8 x1 x2  2  m  1  8  2m  1  10  AB  10 . Chọn D.
2

2

2

Ví dụ 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 

2mx  m  2
cắt đường
x 1


thẳng d : y  x  3 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 3, với I (1;1) . Tính
tổng tất cả các phần tử của S.
A. 7

B. – 10

C. 3
Lời giải

D. 5

 f  x   x 2  2(m  2) x  5  m  0
2mx  m  2
 x3 

Phương trình hồnh độ giao điểm là
x 1
 x  1
 m  2  2   5  m   0
   0

 
Hai đồ thị có giao điểm khi và chỉ khi 
 f  1  0
1  2  m  2   5  m  0
 x A  xB  2(m  2)
2
2
 AB  2  x A  xB   2  x A  xB   8 x A .xB
Khi đó 
 x A . xB  5  m
 8( m  2) 2  8(5  m)
Mặt khác d  I ; d  

1  1  3
12   1

2



1
1
1
1

 S ABC  AB.d  I ; d  
8(m  2) 2  8(5  m).
2
2
2
2

m  5
 (m  2) 2  (5  m)  m2  3m  1  3  m 2  3m  10  0  
 m  2
Kết hợp điều kiện (*) suy ra m = 5. Chọn D.
Ví dụ 9: Cho hàm số y 

2x 1
và đường thằng d : y  2 x  m . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của
x 1

tham số m để d cắt  C  tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho SOAB 

5
trong đó O là gốc tọa độ. Tính tổng tất
4

cả các phần tử của S.
A. 1

B. 0

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và d:

C. 2
Lời giải

D. 3

x  1
2x 1
 2x  m  
(1)
2
x 1
 g ( x)  2 x  (m  4) x  m  1  0

Để đồ thị (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt  g ( x )  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
2
  (m  4)  8  m  1  0

 
 g (1)  3  0

Khi đó gọi A( x1 ; 2 x1  m); B ( x2 ; 2 x2  m) là 2 tọa độ các giao điểm
m4

 x1  x2  2
Theo Viet ta có: 
x x  m 1
 1 2
2
Ta có: AB  ( x1  x2 ) 2  (2 x1  2 x2 )2  5( x1  x2 ) 2  5 ( x1  x2 ) 2  4 x1 x2  

5 2
m  24
4






d  O; AB  

m
5

. Khi đó: SOAB 



1
1
5
AB.d  O; AB   m m 2  24 
2
4
4





 m 4  24m 2  25  m 2  1 m 2  25  0  m  1 t / m   S   1 . Chọn B.
Ví dụ 10: Cho hàm số y 

x 1
và đường thằng y  2 x  m . Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
x 1

đã cho cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B và trung điểm AB có hồnh độ bằng
A. 8

B. 11

5
2

C. 9
Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và (d):

D. 10

x  1
x 1
 m  2x   2
(*)
x 1
2 x  (m  1) x  m  1  0

Để đồ thị (C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm khác 1.

m  7
 (m  1) 2  8  m  1  0  
 m  1
Khi đó gọi x A , xB là hoành độ của hai giao điểm A, B suy ra x A  xB  5 

m 1
 m  9  t / m
2

Chọn C.
Ví dụ 11: Tìm m để đường thẳng d : y   x  m cắt đồ thị  C  của hàm số y 

x
tại hai điểm phân biệt
x 1

A và B sao cho hai điểm A, B cách đều đường thẳng  : 2 x  4 y  5  0
A. m  3

B. m  5

C. m  1
Lời giải

D. m  5

Để A, B cách đều đường thẳng  : 2 x  4 y  5  0 thì AB P hoặc trung điểm I của AB thuộc 
Do AB  d không song song với  nên bài toán thỏa mãn khi trung điểm của I của AB thuộc  .
 x 2  mx  m  0  *
x



x

m

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là

x 1
 x  1
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm phân biệt x  1
 (*)  0
 m  4  A  x A ; y A 
 x  x y  yB 
 m 2  4m  0  

I A B ; A
Suy ra 
 là trung điểm AB.
2 
 2
1  m  m  0
m  0  B  xB ; y B 
Hai điểm A, B cách đều đường thẳng  : 2 x  4 y  5  0  I     xA  xB   2  y A  yB   5  0
  xA  xB   2   xA  xB  2m   5  0  3  xA  xB   4m  5  0  5  m  0  m  5
m  4
 m  5 . Chọn D.
Kết hợp với điều kiện 
m  0
Ví dụ 12: Số các giá trị nguyên của tham số m   20; 20 để đồ thị  C  của hàm số y 

x3
cắt đường
x 1


thẳng d : y  x  m tại hai điểm phân biệt A và B thỏa mãn ¼
AOB tù, với O là gốc tọa độ.
A. 22

B. 17

C. 16
Lời giải

D. 23

Phương trình hồnh độ giao điểm
xm 

 x  1
x3
 x  1


2
x 1
 x  m   x  1  x  3  g ( x)  x  mx  m  3  0

Ta có d cắt  C  tại 2 điểm phân biệt  g ( x ) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1.

2
  m 2  4  m  3  0
 m  2   8  0


 m  ¡  *
2
g

1


1

m

1

m

3

0
m

¡











Do A, B  d  A  x1; x1  m  , B  x2 ; x2  m  với x1 ; x2 là 2 nghiệm của g ( x)  0
 x1  x2  m
Theo hệ thức Viet, ta có 
 x1 x2   m  3
uuu
r
OA   x1 ; x1  m 
uuu
r uuu
r
 OA.OB  x1.x2   x1  m   x1  m 
r
Khi đó:  uuu
OB   x2 ; x2  m 
 2 x1 x2  m( x1  x2 )  m 2  2(m  3)  m 2  m 2  2(m  3)
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
OA.OB
·
·

Do AOB tù nên cos AOB 
 0  OA.OB  0  2(m  3)  0  m  3
OA.OB
 m  ¢
 có 23 giá trị của m. Chọn D.
Kết hợp 
 m   20; 20
Ví dụ 13: Cho hàm số y 

2x 1
(C ) và đường thẳng d : y  2 x  m . Gọi m là giá trị để d cắt  C  tại 2
x 1

3 
điểm phân biệt A, B sao cho tam giác ABC cân tại C  ;3  . Tính d  O; d  khi đó:
4 
A. d 

9
5

B. d 

3
5

C. d 

2
5

D. d 

1
5

Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của d và  C  :

 x  1
2x 1
 2x  m  
2
x 1
 g ( x)  2 x  mx  m  1  0

 g ( x )  m 2  8  m  1  0
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  
 g (1)  3  0
m

 x1  x2   2
Khi đó gọi A( x1 ; 2 x1  m); B ( x2 ; 2 x2  m) theo Viet ta có: 
x x  m 1
 1 2
2


 x  x 2 x  2 x2  2m 
 m m 

; 
Trung điểm I của AB là I  1 2 ; 1
 hay I 
2
 2

 4 2
uur uuur
9
m3
m

 2  3    0  m  9  t / m  . Khi đó d  O; d  
Giải IC.u AB  0 
. Chọn A.
4
2
5

 Dạng 3: Sự tương giao của đồ thị hàm số trùng phương
Phương pháp giải:
4
2
Xét sự tương giao đồ thị  C  : y  ax  bx  c  a  0  và trục hồnh có phương trình y  0
4
2
Phương trình hồnh độ giao điểm  C  và trục hoành là ax  bx  c  0  1



Bài toán liên quan đến số giao điểm
Số giao điểm của đồ thị  C  và trục hồnh chính là số nghiệm của phương trình (1).
Đặt t  x 2  0 thì (1) thành at 2  bt  c  0(2)
+)  C  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

  b 2  4ac  0

b

 t1  t2    0
a

c

t1.t2  a  0
+)  C  cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt  (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0.

 C

cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt  (2) có nghiệm kép dương hoặc (2) có hai nghiệm trái

dấu.
+)  C  cắt trục hồnh tại điểm duy nhất  (2) có nghiệm kép bằng 0 hoặc (2) có một nghiệm bằng 0
hoặc một nghiệm âm.
+)  C  khơng cắt trục hồnh  (2) vơ nghiệm, có nghiệm kép âm hoặc có 2 nghiệm phân biệt đều âm
Một số bài tốn có thể thay trục hoành thành d : y  m hoặc ( P ) : y  mx 2  n , phương pháp giải hồn
tồn tương tự như trên.


Bài tốn liên quan đến tính chất giao điểm

4
2
Tìm điều kiện để (C ) : y  ax  bx  c  a  0  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa

mãn điều kiện cho trước.
Bước 1: Tìm điều kiện để (1) có 4 nghiệm phân biệt



  b 2  4ac  0

b

 (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1 và t2  t1  t2    0 (*)
a

c

t1.t2  a  0
Bước 2: Giả sử t1  t2  0 khi đó các nghiệm của (1) sắp xếp theo thứ tự tăng dần là
 t1 ;  t2 ; t2 ; t1 , xử lý điều kiện và tìm giá trị của tham số.
Đặc biệt: Khi hoành độ 4 điểm A, B, C, D lập thành cấp số cộng hoặc AB  BC  CD khi:
t1  t2  2 t2  t1  3 t2  t1  9t2
Ví dụ 1: Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  8 x 2  5  2m cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt là:
A. 9

B. 6

C. 7

Lời giải

D. 8

Phương trình hoành độ giao điểm là x 4  8 x 2  5  2m  0
2
2
Đặt t  x , t  0  PT  t  8t  5  2m  0  *

Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
t1  t2  0
 (*)  0
16  (5  2m)  0
11
5


 m
Khi đó t1  t2  0  8  0
2
2
t .t  0
5  2 m  0

1 2
Kết hợp m  ¢  Có 8 giá trị của m. Chọn D.
4
2
Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  2  m  2  x  4 có đồ thị  Cm  , với m là tham số thực. Tìm tập hợp T gồm

tất cả các giá trị của tham số m để  Cm  cắt Ox tại bốn điểm phân biệt
A. T   0; 2 

B. T   4;  

C. T   ;0    4;   D. T   ;0 
Lời giải

t x
 t 2  2  m  2  t  4  0(*)
Phương trình hồnh độ giao điểm là x 4  2  m  2  x 2  4  0 
2

Đồ thị hàm số và trục hồnh có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT hồnh độ giáo điểm có 4 nghiệm phân biệt
 m  2  2  4  0
 (*)  0


 (*) có hai nghiệm phân biệt t  0  t1  t2  0  2( m  2)  0
t .t  0
4  0
1 2

 m  0  T   ;0  . Chọn D.
4
2
Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  2mx  m  1 C  . Gọi S là tập hợp các giá trị của m để  C  cắt trục Ox tại 4


4

4
4
4
điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1  x2  x3  x4  20 . Tổng các phần tử của tập hợp (S)

là:
A. 1

B. – 1

C. 2
Lời giải

D. – 3

4
2
Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và Ox là x  2mx  m  1  0  1
2
2
Đặt t  x :  1  t  2mt  m  1  0  2 

Để  C  cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt t1  t2  0
   m 2  m  1  0

  S  2m  0
 * . Theo Viet:
P  m  1  0


t1  t2  2m

t1.t2  m  1

Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm  t1 ;  t2 ; t2 ; t1
Ta có: giả thiết bài tốn  t12  t22  t22  t12  20  t12  t22  10   t1  t2   2t1t2  10
2

m  2
 4m 2  2m  2  10  2m 2  m  6  0  
 m  3
Kết hợp (*)  m  2 là giá trị cần tìm. Chọn C.
4
2
Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  (2m  1) x  2  C  . Gọi S là tập hợp các giá trị của m để  C  cắt trục Ox tại 4

điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn

1 1
1 1 5
 4 4 4 
4
x1 x2 x3 x4 2

Số phần tử của tập hợp S là:
A. 0

B. 1

C. 2

Lời giải

D. 3

4
2
Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và Ox là x  (2m  1) x  2  0  1
2
2
Đặt t  x :  1  t  (2m  1)t  2  0  2 

Để  C  cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt t1  t2  0
   2m  1 2  8  0

  S  2m  1  0
 * . Theo Viet:
P  2  0


t1  t2  2m  1

t1.t2  2

+) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm  t1 ;  t2 ; t2 ; t1 ta có:





1 1 1 1 5

   
t12 t22 t32 t 42 2

2 t12  t22
m  1
2 2 5
5
2
2
2
2
 2 2  


t

t

5

t

t

2
t
t

5


2
m

1

9





1
2
1
2
1
2
 m  2
t1 t2 2
t12 .t22
2

Kết hợp (*)  m  1 là giá trị cần tìm. Chọn B.


4
2
Ví dụ 5: Cho hàm số: y  x  2mx  m  4  C  . Gọi S là tập hợp các giá trị của m để  C  cắt Ox tại 4

điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn: x1  x2  x3  x4  8 . Tổng các phần tử của tập hợp S

là:
A. 5

B. 12

C. 17
Lời giải

D. – 17

4
2
Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và Ox là x  2mx  m  4  0  1
2
2
Đặt t  x :  1  t  2mt  m  4  0  2 

Để  C  cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt t1  t2  0
   m 2  m  4  0

  S  2m  0
 * . Theo Viet:
P  m  4  0


t1  t2  2m

t1.t2  m  4

+) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm  t1 ;  t2 ; t2 ; t1

Ta có: giả thiết   t1   t2  t2  t1  8  2





t1  t2  8  t1  t2  4

m  8
 t1  t2  2 t1t2  16  2 m  4  16  2m  m  4  8  m   2
m5
m  17m  60  0
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. Chọn A.
4
2
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ.

Tập hợp các giá trị thực của m để đường thẳng d : y   m  2 cắt đồ thị
hàm số y  f  x  tại bốn điểm phân biệt cách đều nhau là
 34 7 
A.  ; 
 25 4 

 34 
B.  
 25 

7 
C.  
4

D.  1; 2
Lời giải

4
2
Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra y  f  x   x  2 x  1
tx
 t 2  2t  m  1  0  *
PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là x 4  2 x 2  1  m  2 
2

Hai đồ thị có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm dương phân biệt
(*)  0
1  m  1  0
t  t  2


1 m  2   1 2
Suy ra  t1  t2  0   2  0
t1.t2  m  1
t .t  0
m  1  0

1 2
Giả sử t1  t2 , 4 nghiệm của PT ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn sẽ là  t1 ;  t2 ; t2 ; t1


t1  t2  2
9

1


t1  ; t2 
5
5
Theo đề bài ta có  t1  t2  2 t2  t1  3 t2  t1  9t2  t1.t2  m  1  
t  9t
t1.t2  m  1
2
1
 m 1 

9
34
m
. Chọn B.
25
25

4
2
2
Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  2(2m  1) x  4m  C  . Các giá trị của tham số thực m để đồ thị  C  cắt trục
2
2
2
2
hồnh tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1  x2  x3  x4  6 là

A. m  

1
4

B. m  

1
4

D. m 

C. m  1

1
4

Lời giải
tx
 t 2  2(2m  1)t  4m 2  0  *
PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là x 4  2(2m  1) x 2  4m 2  0 
2

   0

Đồ thị cắt trục hồnh tại 4 điểm  (*) có 2 nghiệm dương phân biệt t1  t 2  0
t .t  0
1 2
(2m  1) 2  4m 2  0
1


2
2

m  
t1  x1  x2
 2(2m  1)  0

4
2
2
 4m 2  0

t1  x3  x4
m0


1

1
m  
4 . Chọn D.
Khi đó x  x  x  x  2(t1  t2 )  4  2m  1  6  m  thỏa mãn 
4
 m  0
2
1

2
2

2
3

2
4

4
2
2
Ví dụ 8: Cho hàm số y  x  (4m  2) x  2m  1 C  . Có bao nhiêu giá trị của m để  C  chia trục hồnh

thành 4 đoạn phân biệt có độ dài bằng nhau.
A. 0

B. 1

C. 2
Lời giải

D. 3

4
2
2
Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và Ox là x  (4m  2) x  2m  1  0  1
2
2
2
Đặt t  x :  1  t  (4m  2)t  2m  1  0  2 

Để  C  cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt t1  t2  0
   2m  1 2  2m 2  1  0

 2m 2  4m  0
  S   4m  2   0

 * .
2
m

1

0


2
 P  2m  1  0
t1  t2  4m  2
Theo định lý Viet ta có: 
2
t1.t2  2m  1
Khi đó PT (1) có 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự hoành độ tăng dần là:  t1 ;  t2 ; t2 ; t1


Ta có: AB  CD  t1  t2 ; BC  2 t2  AB  BC  CD  t1  3 t 2  t1  9t2
t1  t2  4m  2
2m  1
2m  1


, t2 

2
t1  9.

5
5  9  2m  1  25 2m 2  1
Giải hệ: t1  9t2
2


2
t1.t2  2m  1
t1.t2  2m  1





m  2
4
 7 m  18m  8  0  
t / m(*)  . Vậy m  2, m 

là giá trị cần tìm. Chọn C.
4
m 
7
7


2

Dạng 4: Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3
Phương pháp giải:
3
2
Xét đồ thị  C  : y  ax  bx  cx  d  a  0  và đường thẳng d : y  kx  l

Hoành độ giao điểm của y  x  m và  C  là nghiệm của phương trình
ax3  bx 2  cx  d  kx  l  ax3  bx 2  ( x  k ) x  d  l  0

(1)

 Số giao điểm của d và  C  là nghiệm của phương trình (1).


Trường hợp 1: Phương trình (1) có một nghiệm đẹp x  xo

 x  xo
2
Khi đó (1) thành  x  xo  . Ax  Bx  C  0  
2
 g ( x)  Ax  Bx  C  0





  g ( x )  0
- Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  g ( x )  0 có 2 nghiệm phân biệt khác xo  

 g ( xo )  0
Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình g ( x)  0 khi đó tọa độ các giao điểm của d và  C  là:
A  xo ; kxo  l  , B  x1 ; kx1  l  , C  x2 ; kx2  l 

B

x

x

1
2

A
trong đó 
( Định lý Viet).
C
 x .x 
 1 2 A

- Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt  g ( x )  0 có nghiệm kép khác xo hoặc g ( x)  0 có hai
nghiệm phân biệt, trong đó 1 nghiệm bằng xo và nghiệm còn lại khác xo .
- Phương trình (1) có nghiệm duy nhất  g ( x )  0 vô nghiệm hoặc g ( x)  0 có nghiệm kép x  xo .


Trường hợp 2: Phương trình (1) khơng có một nghiệm đẹp x  xo nhưng cơ lập được tham số.

Khi đó ta biến đổi (1) thành  ( x)  h(m) .
Từ đó số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y   ( x ) và y  h(m)
Lập bảng biến thiên cho hàm số y   ( x )  Kết luận.

3
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y  2 x  3 x  1 C  . Tìm giá trị của tham số m để  C  cắt đường thẳng y  mx  1

tại 3 điểm phân biệt.


3

m 
2
A. 
 m  2

9

m 
8
B. 
 m  1

9
C. m 
8

9

m  
8
D. 

 m  0

Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm là
x  0
2 x3  3x 2  1  mx  1  2 x 3  3x 2  mx  0  
2
 g ( x)  2 x  3x  m  0
9

  g ( x )  9  8m  0
m 

8 . Chọn D.
ĐK cắt tại 3 điểm phân biệt  
 g (0)   m  0
m  0
2
2
Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y   x  2   x   2m  1 x  m  m  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

A. Không tồn tại m

B. m  1 hoặc m  2

C. m  1, m  2
Lời giải

D. m  ¡

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số  C  và trục hoành là
x  2
(1)   x  2   x 2   2m  1 x  m2  m   0  
2
2
 f ( x)  x   2m  1 x  m  m  0
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt  (1) có 3 nghiệm phân biệt  f ( x)  0 có
hai nghiệm phân biệt
1  0
 2m  1 2  4 m 2  m  0
  0
m  1

x2

 m  1  
. Chọn C.
2
 f (2)  0
4  2  2m  1  m  m  0
m  2  m  2






Ví dụ 3: Số các giá trị nguyên của tham số m để m   10;10 đường thẳng y  4 x  5 cắt đồ thị của hàm
số y  x 3  (m  2) x  2m  1 tại ba điểm phân biệt là
A. 10

B. 11

C. 12
Lời giải

D. 13

Phương trình hồnh độ giao điểm là
x3  (m  2) x  2m  1  4 x  5  x3  ( m  6) x  2m  4  0(*)
x  2
( x  2)( x 2  2 x  m  2)  0  
2
 f ( x)  x  2 x  m  2  0
Hai đồ thị có giao điểm khi và chỉ khi PT (*) có ba nghiệm phân biệt, khi đó PT f ( x)  0 có 2 nghiệm
   0
1  m  2  0
 m  3


phân biệt x  2  
 f (2)  0
4  4  m  2  0
m  6
 m   10;10
 có 12 giá trị của m. Chọn C.
Kết hợp 
 m  ¢





2
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số  C  : y   x  2  x  2mx  m cắt trục

hoành tại ba điểm phân biệt có hồnh độ dương.
4
A. m   1;   \  
3

 4 4

B. m   ;0   1;   ;  
 3 3


C. m   1;  

D. m   0;  
Lời giải

x  2
2
Phương trình hồnh độ giao điểm là  x  2  x  2mx  m  0  
2
 f ( x)  x  2mx  m  0



 C



cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hồnh độ dương  PT f ( x )  0 có hai nghiệm x  0, x  2

m 2  m  0
   0

m  1
x  x  0
 1 2
 2m  0



Suy ra 
4  m   1;  
x
.
x

0
m

m

0
1

2



3
 f (2)  0
4  4m  m  0

4
\   . Chọn A.
3

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y  x 3  3x 2  (m  2) x  m và đồ
thị hàm số y  2 x  2 có ba điểm chung phân biệt
A. m  3

B. m  2

C. m  3
Lời giải

D. m  2

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số là





x 3  3x 2  (m  2) x  m  2 x  2  x 3  3 x 2  mx  m  2  0   x  1 x 2  2 x  m  2  0  * 

Đồ thị hai hàm số có ba điểm chung phân biệt khi và chỉ khi pt (*) có ba nghiệm phân biệt. Khi đó
x  1

 x  1  x 2  2 x  m  2   0  

2
 f ( x)  x  2 x  m  2  0

 f (1)  1
1  2  m  2  0
m  3


 m  3 . Chọn A.
Yêu cầu bài toán  
1  m  2  0
m  3
f ( x )  0





2
Ví dụ 6: Cho hàm số y   x  1 x  mx  1  C  . Số các giá trị của m thỏa mãn đồ thị  C  cắt trục Ox tại
2
2
2
3 điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x1  x2  x3  10 là

A. 1

B. 2

C. 0
Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và trục Ox là:
 x3  2

 x  1  x 2  mx  1  0  

2
 f ( x)  x  mx  1  0

 1

D. 3


Đồ thị  C  cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt  (1) có 3 nghiệm phân biệt  g( x)  0 có 2 nghiệm phân
  m 2  4  0
m 2  4


biệt và 2 nghiệm đó khác 1


 g (1)  0
m  2  0

 x1  x2   m
Khi đó cho x3  1 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x)  0 . Theo định lý Viet ta có: 
 x1.x2  1
Theo đề bài ta có: x12  x22  x32  10   x1  x2   2 x1 x2  9  m 2  2  9
2

 m 2  11  m   11  t / m 
Vậy m   11 là giá trị cần tìm . Chọn B.
3
Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  mx  m  1 C  . Gọi mo là giá trị của m để đồ thị  C  cắt trục Ox tại 3 điểm

phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn: A 
A. mo   2;0 

B. mo   0;3

1 1 1
   2 . Khi đó:
x1 x2 x3
C. mo   3;5 
Lời giải

D. mo   5;7 

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và trục Ox là: x 3  mx  m  1  0
 x3  1
x3  1  m( x  1)  0  ( x  1)( x 2  x  1  m)  0  
 1
2
 g ( x)  x  x  1  m  0

Để đồ thị  C  cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt  (1) có 3 nghiệm phân biệt
  1  4(1  m)  4m  3  0

 *
 g (1)  3  m  0
Khi đó gọi x3  1 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x)  0
 x1  x2  1
Theo Viet ta có: 
 x1.x2  1  m
Do vậy A 

1 1
x x
1
 1  1 2 1 
 1  2  m  2  tm 
x1 x2
x1 x2
1 m

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Chọn B.
Ví dụ 8: Cho hàm số y  x 3  2mx 2  1 có đồ thị  Cm  , với m là tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên của m để  Cm  cắt đường thẳng d : y  x  1 tại ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa
2
2
2
mãn x1  x2  x3  20

A. 4

B. 6

Phương trình hồnh độ giao điểm

C. 5
Lời giải

D. 3


x  0
x 3  2mx 2  1  x  1  x( x 2  2mx  1)  0   2
 1
 x  2mx  1  0
Ta có d cắt  Cm  tại 3 điểm phân biệt  (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
  m 2  1  0
 2
 m¡
0  2m.0  1  0

(*)

 x1  x2  2m
Giả sử x3  0 khi đó x1 ; x2 là 2 nghiệm của (1), theo Viet có 
 x1.x2  1
2
2
2
2
2

Do đó x1  x2  x3  20   x1  x2   2 x1 x2  20  4m  2  20  m 
2

9
3
3

m
2
2
2

Mà m  ¢  m   2; 1;0 . Chọn C
3
Ví dụ 9: Cho hàm số y  x  x  C  và đường thẳng d : y  m( x  1) . Gọi mo là giá trị của m để đồ thị  C 

 1

cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt A; B; C sao cho điểm M   ; 9  là trung điểm của đoạn AB trong
 2

đó C  1;0  . Khi đó:
B. mo   0; 4 

A. mo  1

C. mo   4;7 
Lời giải



D. mo   7;  



2
Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và đường thẳng d là: x x  1  m  x  1  0

x  1
  x  1 x 2  x  m  x  1  0   x  1 x 2  x  m  0  
2
 g ( x)  x  x  m  0









Đồ thị  C  cắt d tại 3 điểm phân biệt  (1) có 3 nghiệm phân biệt  g ( x )  0 có 2 nghiệm phân biệt và
  1  4m  0
 4m  1  0

(*)
2 nghiệm đó khác 1  
 g (1)  0
2  m  0
 x1  x2  1

Khi đó gọi x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x)  0 . Theo định lý Viet ta có: 
 x1.x2  m
Ta có: A  x1 ; m  x1  1  ; B  x2 ; m  x1  1  , trung điểm của AB là
x1  x2 1

x


M

2
2

 y  m  x1  1  m  x2  1  m  x1  x2   2m  3m
 M
2
2
2
3m
 1 
 9  m  6  tm 
Theo bài ra M   ;0  nên
2
 2 
Vậy m = 6 là giá trị cần tìm. Chọn C.


Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng
y  mx  m  1 cắt đồ thị của hàm số y  x 3  3x 2  x  2 tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC.
 5


B. m    ;  
 4


A. m   ;0   4;  
C. m   2;  

D. m  ¡
Lời giải

3
2
Phương trình hồnh độ giao điểm là x  3 x  x  2  m  x  1  1

x 1

 x  1  x 2  2 x  1  m   0  

2
 g ( x)  x  2 x  1  m  0

Giả thiết bài toán B là trung điểm của AC hay g ( x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x1  1 thỏa mãn
g ( x )  2  m  0

 x A  xC  2 xB  x1  x2  1   g (1)  2  m  0  m  2 . Chọn C.
x  x  1
 1 2
3
Ví dụ 11: Cho hàm số: y  x   m  2  x  m  C  và đường thẳng d : y  2 x  1 . Số giá trị nguyên của m để

2
2
2
đồ thị  C  cắt đường y  x  m tại 3 điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa mãn A  y1  y2  y3  83

A. 9

B. 10

C. 11
Lời giải

D. 12

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và đường thẳng d là: x 3  mx  m  1  0
 x3  1  y3  3
  x  1 x 2  x  1  m  0  
 1
2
g
(
x
)

x

x

1


m

0






Đồ thị  C  cắt y  x  m tại 3 điểm phân biệt   1 có 3 nghiệm phân biệt  g ( x )  0 có 2 nghiệm
3

  1  4(1  m)  0
4m  3  0
m 


4 (*)
phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1  
 g (1)  0
3  m  0
m  3
Khi đó cho x3  1; y3  3 và x1 ; x2 là nghiệm của phương trình g ( x)  0
 x1  x2  1
Theo định lý Viet ta có: 
 x1.x2  m





2
2
2
2
2
Theo đề bài ta có: A  y1  y2  y3   2 x1  1   2 x2  1  9  4 x1  x2  4  x1  x2   11
2

2

2
A  4  x1  x2   2 x1 x2   4  x1  x2   11  4 1  2  1  m    4  11  8m  3  83  m  10



Kết hợp (*) và m  ¢  có 9 giá trị của m. Chọn A.
3
Ví dụ 12: Cho hàm số: y  x  mx  4  C  và đường thẳng d : y  2mx  4 . Gọi mo là giá trị của m để d


 2 
cắt  C  tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho trọng tâm tam giác OAB là G   ;8  trong đó  C  là điểm
 3 
có hồnh độ xC  2 và O là gốc tọa độ. Khi đó
A. mo   5; 2 

B. mo   1;3

C. mo   3;6 

Lời giải

D. mo   6;  

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và d là: x 3  mx  2mx  8  0
 x  2  C  2; 4m  4 
  x  2  x2  2 x  4  m  x  2   0   x  2  x 2  2 x  4  m  0  
 1
2
 g ( x)  x  2 x  4  m  0









Để đồ thị  C  cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt  (1) có 3 nghiệm phân biệt
  1  4  m  m  3  0

(*)
 g  2   12  m  0
 x1  x2  2
Khi đó gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình g ( x)  0 . Theo Viet ta có: 
 x1.x2  4  m
x1  x2  0 2



 xo 
3
3
Gọi A  x1 ; 2mx1  4  ; B  x2 ; 2mx2  4  ta có: 
 y  2mx1  4  2mx2  4  0  2m  x1  x2   8
 o
3
3
8  4m
 2 8  4m 
 8  m  4(tm)
Do vậy G   ;
 . Cho
3 
3
 3
Vậy m  4 là giá trị cần tìm. Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hàm số y  x3  x 2 (2m  3)  x(6m  7)  4m  3 và đường thẳng d : y  x  1 . Gọi S là tập
hợp các giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho x A  1
và diện tích tam giác OBC bằng
A. T = 2

5 , với O là gốc tọa độ. Tổng các phần tử của tập hợp S là:

B. T = 4

C. T  2
Lời giải

D. T = 3

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là x3  x 2 (2m  3)  x(6m  7)  4m  3  x  1
 x3  (2m  3) x 2  (6m  6) x  4m  4  0   x  1  x 2   2m  2  x  4m  4   0
 x 1  0
 xA  1
 2

2
 f ( x)  x   2m  2  x  4m  4  0(*)
 x   2m  2  x  4m  4  0
Hai đồ thị có ba giao điểm khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt x  1
3

m

1

2
m

2

4
m

4

0

 xB  xC  2  m  1

2
 f (1)  0





Suy ra 
 m3

2
(*)  0
 m  1  4  m  1  0
 xB .xC  4  m  1
 
  m  1


 xB  xC 

Ta có BC 

2

  yB  yC   2  xB  xC   2  xB  xC   8 xB .xC
2

 8  m  1  32  m  1 . Mặt khác d  O; d  
2

Suy ra S OBC 

2

2

1
12   1

2



1
2

 m  2
1
1
2
d  O; d  .BC 
8  m  1  32  m  1  5  
 m   2; 4  t / m 
2
2 2
m  4

Vậy T  2 . Chọn A.