BÀI TẬP LỚN: CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC THEO BLOOM TRONG CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN ppt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
BÀI TẬP NHÓM
MÔN
ĐÁNH GIÁ DẠY HỌC TOÁN
ĐỀ TÀI
CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC THEO
BLOOM TRONG CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN
NGUYỄN NGỌC THẮNG
HOÀNG CƯỜNG
NGUYỄN THỊ TUYẾT NHUNG
LÊ VĂN MINH TUẤN
NHÓM 7, TOÁN 4B, KHÓA 2007-201 1
HUẾ - 11/2010
CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC THEO B LOOM
TRONG CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN
Nhóm 7, Lớp Toán 4B
1 Nhận biết
1.1 Kiến thức và thông tin về giới hạn
• Trong phạm trù này, học sinh được đòi hỏi gợi ra định ng hĩa, ký hiệu khái
niệm của một sự kiện và chưa cầ n phải hiểu. Những câu hỏi đưa ra trong
mục này kiến thức học sinh đã được học.
• Những phạm trù chính của kiến thức:
– Kiến thức về thuật ngữ: Học sinh được yêu cầu phải nhận diện và làm
quen với ngôn ngữ toán học.
Ví d ụ: Cho dãy số (u
n
): u
n
=
sin n

n + 5
. Chứng minh rằng: u
n
→ 0 khi
n → +∞. Học sinh c ần phải nhận ra đây là một bài toán tìm giới hạn
của dãy số.
– Kiến thức về nhữ ng sự kiện cụ thể: Mục tiêu này đ òi hỏi học sinh gợ i
ra được công thức và những mối qua n hệ.
Ví dụ: Khả năng nhớ lại các quy tắc tìm giới hạn ở vô cực khi gặp
những bài toán như: Tìm các giới hạn sau
a) lim
n→+∞
n(1 − n
2
); b) lim
n→+∞
(3n
2
− 101n − 51);
c) lim
n→+∞
−5
3n
2
− 101n − 51
; d) lim
n→+∞
3n
3
+ 2n − 1

2n
2
− n
.
Như vậy học sinh gi ải quyết được 3 bài toán trên th ì trước hết học sin h
cần ghi nhớ lại 3 quy tắc tìm giới hạn ở vô cực:
– Kiến th ức về cách thứ c và phương tiện sử dụng trong t rường hợp cụ
thể.
Ví dụ: Trong giới hạn thì sử dụng nhiều kí hiệu. Ví dụ: lim
n→+∞
u
n
; u
n
→ 0
khi n → +∞; lim
x→x
0
−
f(x) = L; lim
x→x
0
+
f(x) = L.
– Kiến thức về các q uy tắc và tổng quát hóa: Đi ều này đòi hỏi học sinh
gợi ra được các trừu tượng của toán học để mô tả. Kiến thức này chủ
yếu nằm ở phần định lý và những quy tắc toán học.
• Học xong phần giới hạn học sinh có thể:
– Phát biểu định nghĩa, định lý, quy tắc tìm giới hạn.
1

– Cách chứng minh một hàm số liên tục trên trên miền xác định khi cho
hàm số xác định bở i nhiều công thức.
Ví dụ: Chứng minh hàm số sau liên tục trên R
f(x) =

x
2
− 3x + 2 với x < 2
√
x − 2 với x ≥ 2.
Tìm lim
x→2
−
f(x), lim
x→2
+
f(x), lim
x→2
f(x).
1.2 Những kỹ thuật và kỹ năng
• Sử dụng các thuật toán như các kỹ năng thao tác và kh ả năng thực hiện
trực tiếp các phép tính.
• Câu h ỏi có thể không đòi hỏi phải đưa ra quyết định làm thế nào để tiếp
cận b ài toán, chỉ cần dùng các kỹ thuật đã đư ợc học, hoặc có thể là một
quy tắc phải đượ c nh ắc lại mà áp dụng thẳng kỹ thuật đã được học.
• Sau khi học giới hạn học sinh nắm các kỹ thuật:
– Biết cách khử các dạng vô định.
– Tính được các giới hạn của dãy có giới hạn hữu hạn, vô cực.
– Tính được các giới hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên.
– Biết c ách chứng minh hàm số liên tục trên một miền x ác định n ếu hàm

số cho bởi nhiều công thức trên từng khoảng, đoạn.
• Một số ví dụ:
Câu 1: Tìm giới hạn
a) lim
x→9
3 −
√
x
9 − x
; b) lim
n→+∞
√
2n
4
− n
1 − 3n
2
; c) lim
x→−1
x
2
− x − 2
x
3
+ x
2
; d) lim
x→1
−
√

1 − x + x − 1
√
x
2
− x
3
Câu 2: Chứng minh hàm số sau liên tục trên R
f(x) =

√
x − 2 với x ≥ 2
x − 2 với x < 2.
2 Thông hiểu
Là khả năng học sinh nắm bắt được ý nghĩa của các vấn đề về giới hạn trong đó
bao gồm các quá trình: Chuyển đổi, giải thích và ngoại suy. Ví dụ như chuyển đổi
các kiến thức từ dạng này sang dạng khác, t ừ mức độ trừu tượng này sang mức
độ trừu tượng khác. Giải thích, suy ra ý nghĩa của các vấn đề về giới hạn củ a dãy
số, của hàm số. Mở rộng các lập luận và giải các bài toán về giới hạn. Phạm trù
2
này gồm nh ững câ u hỏi để học sin h có thể áp dụng c ác kiến thức được học về
giới hạn mà không cần liên hệ với các kiến thức khác, hay nhận ra được các vấn
đề ứng dụng của giới hạn, ch ưa đòi hỏi học sinh phải áp dụng hay phân tích nó.
Phạm trù thông hiểu có thể chia thành 3 loại th eo thứ tự: Chuyển đổi, giải thích,
ngoại suy.
2.1 Chuyển đổi
Trong vấn đề giới hạn, quá trình chuyển đổ i được thể hiện bằng sự chuyển đổi ý
tưởng thành các dạng song song. Học sinh đư ợc yêu cầu thay đổi từ dạng ngôn
ngữ này sang dạng ngôn ngữ khác.
Các ví dụ thuộc phạm trù chuyển đổi. Cuố i học kỳ này, học sinh có khả năng:
• Viết dưới dạng ký hiệu một định nghĩa, mệnh đề, và ngược lại.

• Biểu thị bằng hình học giới hạn của một dãy số đơn giản.
Ví dụ 2.1. Định nghĩa về giới hạn của hàm số tại vô cực.
Giả sử hàm số f xác định trên (a; +∞). Ta nói r ằng hàm số f có giới hạn là số
thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số (x
n
) trong khoảng (a; +∞) (tức là
x
n
> a với mọi n) mà lim x
n
= +∞ ta đều có lim f(x
n
) = L.
Phân tích. Học sinh đọc định nghĩa trên, có thể dựa vào từng ký hiệu để diễn
đạt lại như sau:
lim
x→+∞
f(x) = L ⇔ ∀ (x
n
)
n
⊂ (a, +∞), lim
n→+∞
x
n
= +∞ ⇒ lim
n→+∞
f(x
n
) = L.

Ví dụ 2.2. Bi ểu diễn hình học giới hạn lim
n→∞
1
2
n
= 0.
Phân tích. Trước hết học sinh sẽ liệt kê một số phần tử của dãy u
n
=
1
2
n
.
1
2
,
1
2
2
,
1
2
3
,
1
2
4
,
Tìm cách thể hiện mối quan hệ của các phần tử trên bằng hình vẽ. Có nhiều cách
thể hiện, học sinh có thể chọn cách sau:

1/2
y
x
EFGHIJ
3
2.2 Giải thích
Học sinh phải xác định và hiểu các ý tưởng được trình bày và các mối quan h ệ
của các dữ ki ện trong vấn đề giới hạn. Từ việc phán xét c ác dữ kiện quan trọng,
học sinh sẽ tổ chức lại các kiến thức thành một tổng thể để nhận ra được nội
dung của vấn đề.
Ví dụ trong phạm vi giải thích, cuối kỳ học này họ c sinh có khả năng:
• Đánh giá tính đúng sai của các bài t oán tìm giới hạn.
• Từ biểu diễn hình học, đồ thị có thể suy ra được giới hạn của một hàm số.
• Từ một số sơ đồ, hình vẽ, chỉ ra được giới hạn của dãy số nào.
Ví dụ 2.3. Tìm giới hạn lim
x→0
1
x
.
a) +∞; b) −∞; c) 0; d ) Không có giới hạn.
Phân tích. Gặp bài toán này, học sinh lúc đầu sẽ cho rằng lim
x→0
1
x
= ∞ . Nhưng
sẽ không biết giới hạn đó bằng +∞ hay −∞ (theo các đánh giá đưa ra). Từ đó
học sinh sẽ suy nghĩ và tìm lim
x→0
+
1

x
= +∞, lim
x→0
−
1
x
= −∞.
Hàm số trên có giới h ạn phải và giới hạn trái khác nhau nên giới hạn trên không
tồn tại.
Ví dụ 2.4. Cho đồ thị hàm số sau, nhận xét nào dưới đây là đúng?
O
4
a) lim
x→0
1
x
= +∞; b) lim
x→0
1
x
= −∞;c) lim
x→0
1
|x|
= +∞; d) lim
x→∞
1
|x|
= 0;e) lim
x→0

+
1
|x|
= +∞.
Phân tích. Nhìn vào đồ thị, h ọc sinh nhận thấy đồ thị đối xứng qua Oy nên
hàm số trên là hàm chẵn, học sinh sẽ loại phương án a), b). Xét khi x → 0
+
và
x → 0
−
thì y → ∞. Do vậy phương án đúng là c).
2.3 Ngoại suy
Là khả năng học sinh ngoại suy hay suy rộng hướng vượt ra các dữ liệu. Trong
phạm trù này, học sinh cần nhận thức được giới hạn của vấn đề cần mở rộng. Đối
với các mở rộng, học sinh cần đưa ra những ứng dụng và tác động cụ thể của nó.
Ví dụ về phép ngoại suy:
• Điều kiện tồn tại giới hạn của hàm số.
• Từ biểu diễn hình học có thể suy ra được giới hạn của dãy số nào.
Ví dụ 2.5. lim
x→−∞
x
k
bằng
a) −∞; b) + ∞; c) −∞ nếu k lẻ, +∞ nếu k chẵn; d) Không tồn tại giới hạn.
Phân tích. Học sinh sẽ chú ý tới khi x → −∞ thì x
k
dần tới giá trị nào. Có thể
là −∞, +∞ tùy theo giá trị của k. Nếu k chẵn thì x
k
→ +∞ khi x → −∞, k lẻ

thì x
k
→ −∞ khi x → −∞. Do đó chọn phương án c).
Ví dụ 2.6. lim
x→−1
x + 1
√
x
2
− 5x + 6
bằng
a) + ∞; b) −∞; c) Không tồn tại giới hạn; d) 0.
Phân tích. Giới hạn trên có dạng
0
0
. Học sinh sẽ tìm cách khử dạng vô định
và tìm giới hạn của hàm số. Nhưng cần để ý rằng TXĐ D = (−∞, −1) ∪(6, +∞).
Do đó lim
x→−1
−
x + 1
√
x
2
− 5x + 6
= 0 n hưng lim
x→−1
+
x + 1
√

x
2
− 5x + 6
không tồn tại, nên ta
chọn c).
3 Vận dụng
Phạm trù này chỉ việc sử dụng các ý tưởng, quy tắc hay phương pháp chung để
giải quyết những tình huống mới. Các câu hỏi đưa ra yêu cầu học sinh phải áp
dụng các khái niệm, quy tắc về giới hạn vào c ác tình huống không quen thuộc,
có nghĩa là phải áp d ụng kiến thức và hiểu các kỹ năng vào các tình huống mới
hoặc những tình huống được trình b ày theo một dạng mới. Cuối thao tác này,
học sinh có thể:
5
• Áp dụng công thức tính tổng của cấp số n hân lùi vô hạn.
Cho cấp số nhân lùi vô hạn u
1
, u
1
q, u
1
q
2
, . . . , u
1
q
n
, . . . có công bội q với
|q| < 1. Khi đó
S = u
1

+ u
1
q + u
1
q
2
+ . . . =
u
1
1 − q
.
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là một kết quả quan trọng
của lý thuyết giới hạn.
Ví dụ 3.1. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,535353 . . . dưới dạng
phân số.
Hướng dẫn. Ta có
0, 535353 . . . =
53
100
+
53
100
.
1
100
+
53
100
.(
1

100
)
2
+ . . . =
53
100
.
1
1 −
1
100
=
53
99
.
(Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u
1
=
53
100
,
công bội q =
1
100
.)
• Áp dụng các định nghĩa của hàm số liên tục, nhận xét 1), 2), định lý 1
(SGK) để chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một nửa khoảng.
Ví dụ 3.2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
f(x) =




mx + m + 1 với x ≥ 2
x
2
− 3x + 2
x
2
− 2x
với x < 2
liên tục trên R.
Hướng dẫn. Ta có
lim
x→2
+
f(x) = 2m + m + 1 = 3m + 1,
lim
x→2
−
f(x) = lim
x→2
−
x
2
− 3x + 2
x
2
− 2x
= lim
x→2

−
(x − 1)(x − 2
x(x − 2)
= lim
x→2
−
x − 1
x
=
1
2
,
f(2) = 2m + m + 1 = 3m + 1.
Hàm số f liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi
lim
x→2
−
f(x) = lim
x→2
+
f(x) = f(2) ⇔ 3m + 1 =
1
2
⇔ m = −
1
6
.
Vậy m = −
1
6

.
• Tìm ý nghĩa của giới hạn trong tình huống thực tế.
6
Ví dụ 3.3. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d

lần lượt là
khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A

B

của nó tới quang tâm O
của thấu kính. Cho công thức của thấu kính là
1
d
+
1
d

=
1
f
.
a) Tìm biểu thức xác định hàm số d

= ϕ(d).
b) Tìm lim
d→f
+
ϕ(d), lim
d→f

−
ϕ(d) và lim
d→+∞
ϕ(d). Giải thích ý nghĩa của các kết
quả tìm được.
Hướng dẫn.
a) Từ hệ thức
1
d
+
1
d

=
1
f
suy ra d

= ϕ(d) =
fd
d − f
.
b)
lim
d→f
+
ϕ(d) = lim
d→f
+
fd

d − f
= +∞.
Kết quả này nghĩa l à: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d
luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực.
F
F

A
B
O
lim
d→f
−
ϕ(d) = lim
d→f
−
fd
d − f
= −∞.
Kết quả này nghĩa l à: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d
luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô cực.
F
F

A
B
O
lim
d→+∞
ϕ(d) = lim

d→+∞
fd
d − f
= lim
d→+∞
f
1 −
f
d
= f.
Kết quả này nghĩa là: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh
của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F

và vuông
góc với trục chính).
7
F
F

O
4 Những khả năng bậc cao
Đây là phạm trù rộng lớn bao gồm: Phân tích, tổng hợp và đán h giá.
• Phân tích: Là bước khởi đầu của quy t ắc g iải quyết vấn đề hay đưa ra những
phán xét dựa trên lời giải, việc phân tích thường rất quan trọng, thường có
dạng:
– Chia nhỏ thông tin sau đó tổ chức lại theo các mối qua n hệ tron g một
bài toán.
– Phân biệt các sự kiện từ giả thiết và tìm các giả thiế t cần thiết để minh
chứng những quy tắc nào đó.
– Kiểm tra tính nhất quán của các giả thiết đối với những giả định và

thông tin đã cho.
• Sau khi phân tích bài toán, học sinh có thể sắp xếp cá c yếu t ố hoặc các
phần lại với nhau để có cô ng thức hoặc q uy luật mà trước đó chưa thấy rõ
ràng. Sau khi thực hiện hoạt động này, nếu nó đưa đến sự sáng tạo và tính
độc đáo của một bộ phận học sinh một cách rõ ràng nhất thì đượ c gọi là sự
sáng tạo.
• Sau khi phân tích một vấn đ ề, khả năng xác định những tiêu chuẩn và giá
trị cho một ý tưởng hay một sản phẩm rồi đ ưa ra phán xét xác đáng được
gọi là đánh giá.
Ví dụ 4.1. Khi tính giới hạn lim
x→2
x − 2
√
x
2
+ x − 6
, một học sinh đ ã viết ra các bước
sau:
I. lim
x→2
x − 2
√
x
2
+ x − 6
= lim
x→2
x − 2

(x − 2)(x + 3)

II. lim
x→2
x − 2

(x − 2)(x + 3)
= lim
x→2
√
x − 2
√
x + 3
III. lim
x→2
√
x − 2
√
x + 3
= 0.
Sai lầm của học sinh đó ở bướ c nào?
a) I; b) II; c) III; d) Không phải những bước trên.
8
Phân tích. Học sinh lần lượt tìm các lỗi sai trong cá c phương án. Rõ ràng, các
phép biến đổi trong các phương án hoàn toàn chính xác. Vì vậy ta chọn phươ ng
án d), yêu cầu họ c sinh chú ý đến tập xác định của hàm số trong phép lấy giới
hạn.
Tài liệu
[1] Nguyễn Đăng Minh Phúc, Đánh giá trong giáo dục Toán (2 010).
[2] Đoàn Quỳnh, Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
[3] Đoàn Quỳnh, Đại số và Giải tích 11 Nâng cao Sách giáo viên.
9