BÁO cáo bài tập lớn môn đạ số TU n t n đề tài 5 PHÂN TÍCH a = QR BẰNG PHÉP QUAY GIVEN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MƠN ĐẠ SỐ TU

NT N

ĐỀ TÀI 5
PHÂN TÍCH A = QR BẰNG PHÉP QUAY GIVEN
GVHD:

Ph

Th

há h V

Nh m

Lớp: L22

:
T

2114683

Đ N

Th

Ph m T

2112998

N

Th
T

h

2111880

T
Th

2115214
T

2115049

T ờ

2115239

Ph Q

2112144

3 thá

TP. HỒ CHÍ MINH,

1

12 ăm 2021


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN........................................................................................................................ 3
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 4
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ...................................................................................... 5
I.

A  QR (QR Decomposition) ................................................................. 5

P

II. P

G

QR QR Decomposition by Givens Rotation) ......... 6

CHƯƠNG 3. MATLAB ........................................................................................................ 9
I.

T

M T

............................................................................................ 9

II. C

............................................................ 9
Đ

III.

........................................................................................... 10
ế

IV.

CHƯƠNG 4.
I.

NG

NG ................................................................................................. 11

MIMO (Multiple In, Multiple Out) .......................................................................... 11

II. Áp d
CHƯƠNG 5
I.

................................................................................................. 10

Đ

= QR ể gi i h

ì

ến tính Ax = b ................... 13

ẾT U N ................................................................................................... 14
........................................................................................................................ 14

II. Sinh viên ................................................................................................................... 14
T I I U TH M HẢO ................................................................................................... 15

2


LỜI CẢM ƠN
C

P

chân thành c

gia lớp Đ Số T ế T
,

T

của cơ. C

ết tự tìm hiểu thêm vấ

V

rong suốt thời gian tham

c m thấy b n thân có trách nhi m, tự lập
ữa

mình cịn thắc mắ

em ln tự tin

rằng nếu không thể tự gi i quyết thắc mắc của b n thân thì cơ vẫn ln sẵn sàng hỗ
ắc mắc cho chúng em khi cần.

tr , gi
Bộ môn Đ
ũ

Số T ế T

là một mơn học hữu ích, cung cấp nhi u kiến thức mới

k ến thực thực tiễ

còn nhi u h n chế ũ

ời sống. Tuy nhiên, do vốn kiến thức
ị

ỡ ngỡ,

ók

gắng tìm hiểu và hồn thành bài tập lớn tốt nhất trong kh
chắn

m nên
ă

ủa

em
ã ố
em, chắc

em có thể mắc những thiếu sót. Kính mong cơ sẽ xem xét và góp ý cho
ể

em sẽ hồn thi n ố

ập lần sau.

C

m xin chân thành c

!

C

m kính chúc cơ h nh phúc nhi u sức khỏ

viên khóa tiếp theo!

3

ể tiếp t c gi ng d y cho các sinh


C ƯƠNG 1. MỞ ĐẦU
Lý do lựa chọ đề tài: C P

T

V

= QR ằ
ọ

4,
ũ

ố

ể

ự
ầ

ứ

ớ
G

.Đ

ấ
MIMO. Đ

ọ
đề t

-

4

ũ

ộ

ầ

ẫ
ộ

ầ

ấ

ủ

ộ
ó


C ƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUY T
I.

t h A  QR (QR Decomposition)

Ph

1.
 T

i số tuyến tính, một ma trận trực giao, hay ma trận trực chuẩn, là một ma trận

vuông thực với các cột và hàng củ

ực chuẩn.

au Q Q  QQ  I với Q là chuyển v của Q và I

 Cịn có thể biểu diễ
là ma trậ

ó
T

T

.

 Đ u này dẫ

ế

ặ

ểm sau: một ma trận Q là trực giao nếu chuyển v của nó chính là
1

1

o của nó: Q  Q với Q là ngh
T

ngh

T

o ủ Q.

 Ví d v ma trận trực giao

+

1 0 

0 1 

ế

ấ 

+ P

+ P

1 ó

ố

ứ

2.

cos
  30o : 
 sin 

O


 sin   


cos  



3
2
1
2

1
2
3
2








1 0 
0 1



: là một ma trậ

ể thực hi n một phép quay trong không

cs d

gian Euclide

cos
Q
 sin 

V

 cos
Q
  sin 

 sin  
. M
cos 

sin  
. M
cos 

ậ

k

ậ

k

ộ

ộ

ó

ó

3.
 Phân rã QR (QR Decomposition) là phân rã ma trận A thành tích A  QR của ma trận trực
giao Q và ma trậ
ì

ối thiểu tuyế

R. P

ã QR

…

5

ờ

cs d

ể gi i quyết vấ

1 1 1 
A  1 2 1  .
1 1 2 



V





Q





A  QR

Ph

II.

1
3
1
3
1

3

G

1. Đ

ự

ở

3
3
0
0

–S

ì

4 
3

1 
6

2



4

3
2
6
0

trong phân ra QR (QR Decomposition by Givens Rotation)

0

t bằ

ó G

1 



2



0 , R  


1 



2


1
6
2
6
1
6

ể phân tích A  QR bằng cách làm cho các phân t

mộ

lầ


ì

ế k

ó

c ma trận tam giác ph i.
n 2x2 ặt dọ

một ma trậ

ờng chéo chính của một

và làm cho một phần t của ma trận bẳng 0. T ấ

ma trậ

ậ

ự

ủ

k

 cos
  sin 

ó r

T

a 2  b2

,cos 

a
a 2  b2
A  QR

uay Givens
ậ A  M mn

 C

b

a 2  b2 ,sin  

2. S

sin    a   r 

cos  b  0

. Tìm các ma trận trực giao P1 , P2 ,..., Pk 1, Pk (là ma trận của

phép quay trong Rn) với k 

ể

( P1  P2  ....  Pk 1  Pk ). A  R  A  ( P1  P2  ....  Pk 1  Pk )1.R  QR
Q  ( P1  P2  ....  Pk 1  Pk )1  ( P1  P2  ....  Pk 1  Pk )T  P1T  P2T  ....  Pk 1T  Pk T
3. T ự
ậ A  M mn

C
ớ 1

sin  

ầ

am1
am112  am12

am11 , am1
,cos 

am11
am112  am12

6


ớ 2 T

ậ

ậ

P

Im ớ

am1 m1, am1 m , am m1 , am m ớ
ớ 3 T ự
ớ
ể
ế

ậ P A

ớ

ộ 3
ự

ế

ớ 4

Q

ậ

ở

ự

ế k

am1 m1 , am m  cos

 am m1   sin 
 a
 sin 
m 1 m


k

2

T ự

ầ

ớc 3 ế k

ế k

ấ

a32  0

ầ

ậ

ì

ể

ể

R

Q  P1T  P2T  ....  Pk 1T  Pk T
ậ

R

P  Aở

ố

ế

ớ 3

.
C

4. V

ọ

:P

ộ

ấ

ớ 2.

 0 1 1 


ậ A 4 2 0


 3 4 0



QR

m  3  a31  3, a21  4
ớ 1

sin  

3
3 4
2

2

ậ

ì

3 4
2

2

 0.8

 0 1 1 


ớ 3 R1  P1  A  5 4 0



0 2 0



0
0 
1


ớ 2 P1  0 0.8 0.6


 0 0.6 0.8 


T ự

4

 0.6,cos 

ở

ớ 3

m  2  a21  5, a11  0
ớ 1

sin  

5
52  0 2

 1,cos 

 0 1 0


ớ 2 P2  1 0 0


 0 0 1


T ự

ậ

0
52  0 2

0

5 4 0 


ớ 3 R2  P2  R1  0 1 1



0 2 0 


ì

ể

ộ 2

7

a21  0 ì

ầ

ộ 4,5,…,
ớ

ế .


m  3  a32  2, a22  1
ớ 1

sin  


1



ớ 2 P3   0

0



2
22  12
0
1
5
2
5




0 

2 
5

1 

5


5



ớ 3 R3  P3  R2   0

0


ậ

R3
ớ 4

ế

2
1
1
,cos 

5
5
22  12

4
5
0
kế


0 
 5
4

0 
1  
  0 2.2361 0.4472 

5
  0
0
0.8944 
2 

5
ò

ặ

ậ

1
2 

 0

5
5

 0 0.4472 0.8944 
1.2 0.6  

T
T

T
Q  P1  P2  P3   0.8
  0.8 0.5367 0.2683 

5
5

  0.6 0.7155 0.3578 
 0.6 1.6 0.8 


5
5



5 4
0 

 5
4
0 
1  

R  0
5
  0 2.2361 0.4472 

5


  0
0
0.8944 
2
0 0



5


8


C ƯƠNG 3. MATLAB
T

I.

ềM T

- MATLAB

ế ắ

ờ

ủ MATrix LABorato

ể

- Nó

ố ọ , ự
ỗ

ắ

ộ
ậ

ự

ì

ữ ậ

ì

ậ

ố

ế

.

, ẽ

ì

, ẽ

ể

ự

.
Cá

II.

h

đ

h

t á
Ý

Cú pháp
ỗ k

disp
input

A=

size

z

sqrt

t

H

ự

ă

ấ

ố =

ủ

ặ

ắ

ỡ ủ

sqrt(123)

for

ộ

Hể

eye

for

hĩ

ỗ

ế

ầ

ứ

clc

T

ộ

ó

9

ậ

ậ 2 ủ 123

Xóa kết qu

clear

ờ ầ

Că

Để ặ

ố

,

ậ
ộ

ấ
ộ

ó

ớc và khai báo biến
m c trong bộ nhớ


III.

Đ

h

h h

clc;
clear;
disp('Phep quay Givens: phan tich A = QR');
A = input('Nhap ma tran A: '); % Nhập ma trận A
[m,n] = size(A); %
ch c ma trận A
Q = eye(m); % Tạo ma trận đơn vị Q cùng
ch th ớc với A
R = A; % Tạo biến tr ng gian R <- A
disp('A = ');
disp(A);
for j=1:n
for i=m:-1:j+1
s = R(i,j)/sqrt(R(i-1,j)^2 + R(i,j)^2);
c = R(i-1,j)/sqrt(R(i-1,j)^2 + R(i,j)^2);
Q0 = eye(m); % Tạo ma trận đơn vị Q0 cùng
ch th ớc A
Q0(i-1:i,i-1:i) = [c -s;s c];
R = Q0'*R;
Q = Q*Q0;
end
end
disp('Q = '); disp(Q);
disp('R = '); disp(R);
t

IV.

T

k

h

ớ

ở

QR ằ

 0 1 1 


ớ A 4 2 0


 3 4 0


Givens

kế

1
2 


 0

5
5

  0 0.4472 0.8944 
1.2 0.6  

Q   0.8
  0.8 0.5367 0.2683 

5
5

  0.6 0.7155 0.3578 
 0.6 1.6 0.8 


5
5



5 4
0 

 5
4
0


1  


R  0
5

0
2.2361

0.4472

5  

 0
0
0.8944 
2 
0 0


5


10


C ƯƠNG 4.
I.

NG ỤNG

MIMO (Multiple In, Multiple Out)

1.

ậ k

Kênh MIMO
ự

ở

ủ

ễ

ó

…

Ở máy phát (Tx) lu ng tín hi

k

ự

ằ

ữ

ố

tính củ
lớ

ộ

c tách riêng ra r i ghép l i

c phân lo i thành hai nhóm

ộ tách tín hi u tuyến tính và các bộ tách tín hi u phi tuyến.

QR

ng thời

(MIMO-SDM). Dựa theo tính chất tuyến

3.
P

ế

ố

u, các bộ tách tín hi

ó

ể

gian:

c chia thành N lu ng nhỏ và truy

qua N anten phát. T i máy thu, các lu ng tín hi u sẽ
(MUX) với nhau. Mô t

ậ

d ng trong thông tin vô tuyến.

k

2. Nguyên lý chung củ

ộ k

ứ

ộ tách tín hi u QRD.

ộ

QR

11

ờng biểu diễn bởi một ma trận số

Một kênh MIMO g m N anten phát và M an
phức g m M hàng và N cộ

 h11
h
H   21


 hM 1
Đ

h1N 
h2 N 
,(M,N  ;M > N)


hMN 

h12
h22
hM 2

,

ứng là:

s  [ s1

y  [ y1
S
ì

T

yN ]

n  [n1 n2

nN ]

T

ộ

ố
QR

ủ MIMO

y  Hs  n

ữ

T ự

sN ]

y2

QR ằ

P

T

s2

H  QR

k

T ự

y  Hs  n  QT .y  QT .Hs  QT .n  QT .y  QT .QR.s  QT .n
Đặ y '  Q .y, n '  Q .n
T

T

ì

ố

ớ y '  Rs  n '

R1N  s1   n '1 
 y '1   R11 R12
 y'   0 R

 s   n ' 
R
2
22
2
N

 2    2 


 
  


 
  

y
'
0
0
R
s
n
'
N
NN
N
N


 
  

 y '1  R11.s1  R12 .s2  ...  R1N .s N  n'1
 y '  R .s  R .s  ...  R .s  n'
22 1
23 2
2N N
2
 2

y'  R
.s  RN 1N .sN  ...  n 'N 1
N 1 N 1 N 1
 N 1
 y 'N  RNN .sN  n 'N
với

G

: thành phần t

ới yj với j > i. Hay ta có thể biểu diễn phần t

ch ph thuộc vào phần t
sau: y 'i  Rij .si 
T

ó

ộc lập. Do R là một ma trận tam giác trên nên phần t yi
ới d

i

N

 R .s  n '

j i 1

ij

i

i

ần t Rii.si là tín hi u mong muố

c, phần t thứ 2 là t ng h p nhiễu t

các anten khác ( tức là tín hi u của các anten lân cận), còn phần t n i biểu diễn t p âm của h
thống.
12


ì

T

ễ

thành phần của lớp cuố
ầ

dầ

.S

ó ó

ậy ta tách lầ

II.

N

ởng nhiễu t

khơng ch u

t h

N,

ớc nên nó tách

ứng.

= QR để gi i h

h

t ì ht

n tính Ax = b

ớc 1. Phân tích ma trận A = QR với Q là ma trận trực giao, R là ma trận tam giác trên.
Ax = b v d ng Rx  Q b.
T

ớ 2. Đ

ớc 3. Gi i h v

ì

c và kết luận.

2 x  3 y  7

2 x  4 y  3 . T
4 x  8 y  6


V

B ớ 1 P

 12

 6


 0

 0


 12
 6



ớ 3





Q





Rx  QT b

ớ 2 Đ

 2 3

7


A   2 4  , b   3 
4 8
6


 

ì

= QR

1
6
1
6
2
6



5
30
1
30
2
30


 12
0 
 6


2 

,R   0

5


1 
 0


5


T

ậ  Vậ

23 
6 

5 
30 


0 



ì

23 
5
 1

 12

0



6 
30
 6
 7  6

5  x   1
1
2    

3  0


30   y   6
30

5    

 6 

0 
2
2
1


 0




30
5


 6
23
22
x
y
19

6
6
x 


2
5
20
 y  4
y
30
30
ế

do

ể kh nhiễu cho các thành phần lớp trên nó. Và

c thay thế

t các tín hi u thu ở
h

Áp d

c tín hi u mong muốn t thành phầ

ó ặ

ấ

13

 x; y   

23 



6


5  x  
 
30   y  


0 






19

; 4 
 2


22 
6 

20 
30 


0 




C ƯƠNG :

T UẬN

Đề t

I.

- P

G
ì
ế

k

Q

ố
ì

G

…

,

k ế

ậ
II.

= QR ó

ớ

H

- Tuy n

ể

ờ

ớ

ế

ậ k

ố ố

ở

ậ Q.

Sinh viên

- Đã ể

ở

ứ

ủ

- Đã ể
- T
A=QR

ế ủ
ậ

ị
ộ

ậ

p quay.

ế
ẫ

G

M T

ặ k ók ă
ố

ó

ì
ọ

14

.
ữ

ó

.

ứ

ủ

–S

ộ
,


T

UT

M

ẢO

[1] G T ì Đ Số T ế T
– Đặ Vă V
–N
Đ Họ Q ố G TP.HCM
(2020)
[2] Matlab & Simulink cho k
T
2021 , N ễ Q
H
,N
H
Nộ .
[3 C
2 M ậ
/>[4] SỬ D NG M T
TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - Vui Nguyễ Vă
/>ONG_%C4%90%E1%BA%A0I_S%E1%BB%90_TUY%E1%BA%BEN_T%C3%8DNH
[5] Jim Lambers, MAT 610, Summer Session 2009-10, Lecture 9 Notes
/>[6] MATLAB – Fuctions (MATLAB):
/>pnav
[7 M
C
H T

/>[8] A Givens Rotation-based QR Decomposition for MIMO Systems by Wen Fan and Amir
Alimohammad - />[9] Design and VLSI Implementation of a Reduced-Complexity Sorted QR Decomposition
for High-Speed MIMO Systems by Lu Sun, Bin Wu 1, and Tianchun Ye
/>[10] A CORDIC based QR Decomposition Technique for MIMO Detection by Shirly Edward
A., Malarvizhi S. - Department of Electronics and Communication Engineering, SRM
University, India
/>r_MIMO_Detection
[11] GABRIEL LUCA NAZAR: QR Decomposition Algorithms for MIMO Systems: Impact
on Computational Effort and Hardware Implementations by Prof. Dr. Luigi Carro –
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
/>y
[12] Polynomial Matrix QR Decomposition and Iterative Decoding of Frequency Selective
MIMO Channels by Martin Davies, Sangarapillai Lambotharan Joanne Foster and Jonathon
Chambers (Loughborough University, UK); John McWhirter (Cardiff University, UK)
/>[13] Matrix Decomposition Algorithms for MIMO receivers: Flexibility vs. Efficiency
Tradeoffs in a Library-based Tool-Assisted SDR Development by Venkatesh Ramakrishnan,
Tobias Veerkamp , Marc Adrat , Gerd Ascheid and Markus Antweiler
/>[14] Đ
Tố N
Đ Họ - Nghiên Cứu K Thuậ Tố Ư Hó M
C
ể Tế
Mimo - Họ V
T ậ Q
Sự - P
T M H
(2014)

15