Chương 5: CÂY (TREE) pot

1
Môn: CẤU TRÚC DỮ LIỆU
Chương 5: CÂY (TREE)
2
NỘI DUNG CHƯƠNG 5
1. Khái niệm cây – Biểu diễn cây
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
1. Định nghĩa
2. Biểu diễn và các thao tác
3. Cây nhị phân tìm kiếm (Binary Searching Tree)
3. Cây cân bằng (Balanced Tree)
1. Định nghĩa – Cấu trúc dữ liệu
2. Các thao tác trên cây cân bằng
BÀI TẬP
3
1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây
1.1 Định nghĩa cây
1.2. Một số khái niệm liên quan
1.2.a. Bậc của 1 cây
1.2.b. Bậc của 1 nút
1.2.c. Nút gốc
1.2.d. Nút kết thúc
1.2.e. Nút trung gian
1.2.f. Mức của 1 nút
1.2.g. Chiều cao (chiều sâu) của 1 cây
1.2.h. Nút trước, nút sau của 1 nút
1.2.i. Nút cha, nút con của 1 nút
1.2.j. Chiều dài đường đi của 1 nút
1.2.k. Chiều dài đường đi của 1 cây
1.2.l. Rừng
4

1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây (tt)
1.1 Định nghĩa cây

Cây là một tập hợp các phần tử (nút) được tổ chức và có
các đặc điểm

Hoặc là tập hợp rỗng (cây rỗng)

Hoặc là tập hợp khác rỗng trong đó có 1 nút duy nhất làm
nút gốc (Root’s Node), các nút còn lại được phân thành
các nhóm trong đó mỗi nhóm là 1 cây con (Sub-Tree)

Các cây con cũng có thể là tập rỗng hay khác rỗng trong
đó có 1 nút là gốc cây con.
5
1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây (tt)
1.2. Một số khái niệm cơ bản
1.2.a. Bậc của 1 nút

Bậc của 1 nút (node’s degree) là số cây con của nút đó
1.2.b. Bậc của 1 cây

Bậc của 1 cây (tree’s degree) là bậc lớn nhất của các nút trong cây

Cây có bậc N gọi là cây N phân
1.2.c. Nút gốc

Nút gốc (root’s tree) là nút không phải là nút gốc cây con của bất kỳ 1
cây con nào khác trong cây (nút không làm gốc cây con)
1.2.d. Nút lá

Nút kết thúc hay còn gọi nút lá (leaf’s node) là nút có bậc = 0 (nút không
có nút cây con)
6
1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây (tt)
1.2. Một số khái niệm liên quan (tt)
1.2.e. Nút trung gian

Nút trung gian hay còn gọi nút giữa (interior’s node) là nút không
phải là nút gốc và cũng không phải nút kết thúc (nút có bậc khác
không và là nút gốc của cây con nào đó trong cây)
1.2.f. Mức của 1 nút

Mức của 1 nút (node’s level) bằng mức của nút gốc cây con chứa nó
+1.

Mức của nút gốc = 1
1.2.g. Chiều cao (chiều sâu) của 1 cây

Chiều cao (chiều sâu) của 1 cây (tree’s height | tree’s depth) là mức
cao nhất của 1 nút trong cây
1.2.h. Nút trước, nút sau của 1 nút

Nút T được gọi là nút trước của 1 nút (ancestor’s node) của nút S
nếu cây con có gốc là T chứa cây con có gốc là S. Khi đó S được gọi
là nút sau của nút T (descendant’s node)
7
1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây (tt)
1.2. Một số khái niệm liên quan (tt)
1.2.i. Nút cha, nút con của 1 nút


Nút B được gọi là nút cha (parent’s node) của nút C nếu nút B là nút
trước của nút B và mức của nút C lớn hơn mức của B là 1 mức. Khi
đó nút C được gọi là nút con (child’s node) của B
1.2.j. Chiều dài đường đi của 1 nút

Chiều dài đường đi của 1 nút là số đỉnh (số nút) tính từ nút gốc để đi
đến nút đó.

Chiều dài đường đi của nút gốc luôn = 1, chiều dài đường đi tới 1 nút
bằng chiều dài đường đi tới nút cha của nó + 1
8
1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây (tt)
1.2. Một số khái niệm liên quan (tt)
1.2.k. Chiều dài đường đi của 1 cây

Chiều dài đường đi của 1 cây (path’s length of the tree) là tổng tất cả
các chiều dài đường đi của tất cả các nút trên cây (chiều dài đường
đi trong internal path’s length).

Tính chiều dài đường đi ngoài (external path’s length) bằng cách mở
rộng tất cả các nút của cây sao cho các nút của cây có cùng bậc
(thêm vào các nút giả) với bậc của cây. Chiều dài đường đi ngoài
bằng tổng chiều
1.2.l. Rừng.

Rừng (forest) là tập hợp các cây.

Khi cây mất gốc

rừng

9
1.Khái niệm cây – Biểu diễn cây (tt)
1.3. Biểu diễn cây

Dùng đồ thị, Dùng giản đồ tập hợp, Sử dụng dạng phân cấp chỉ số
BIỂU DIỄN CÂY TRONG BỘ NHỚ MÁY TÍNH

Để biểu diễn cây trong bộ nhớ máy tính dùng danh sách liên kết.

Để biểu diễn cây N-phân dùng danh sách có N mối liên kết để quản lý
N địa chỉ nút con.

Cấu trúc dữ liệu của cây N-phân tương tự cấu trúc dữ liệu đa liên kết.
const int N = 100;
typedef struct NTNode
{ T Key;
NTNode * SubNode[N];
}NTOneNode;
typedef struct NTOneNode * NTType;
Để quản lý cây, chỉ cần quản lý địa chỉ nút gốc NTType NTree;
10
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.1. Định nghĩa

Cây nhị phân là cây có bậc bằng 2 (bậc của nút tối đa
bằng 2)
11
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. Biểu diễn và các thao tác


Để biểu diễn cây nhị phân trong bộ nhớ máy tính dùng danh sách có
2 mối liên kết để quản lý địa chỉ 2 nút con (cây con trái và cây con
phải).

Như vậy cấu trúc dữ liệu của cây nhị phân tương tự cấu trúc dữ liệu
của danh sách liên kết đôi nhưng cách thức liên kết khác:
struct TNode
{
int Info;
struct TNode *pL,*pR;
};

Để quản lý cây nhị phân chỉ cần quản lý địa chỉ nút gốc
typedef TNode *TREE;
TREE T;
12
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. Biểu diễn và các thao tác (tt)
Các thao tác trên cây nhị phân bao gồm:
a. Khởi tạo cây nhị phân
b. Tạo mới 1 nút
c. Thêm 1 nút vào cây nhị phân
d. Duyệt qua các nút trên cây nhị phân
e. Tính chiều cao của cây
f. Tính số nút của cây
g. Hủy 1 nút trên cây nhị phân
13
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. a. Khởi tạo cây nhị phân (Tham khảo)
Khởi tạo cây nhịn phân: cho con trỏ quản lý địa chỉ nút gốc về con trỏ

NULL
TNode BinTreeInitialize(TNode &Tree)
{
Tree = NULL;
return (Tree );
}
14
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. b. Tạo mới 1 nút (Tham khảo)
Thuật toán
B1: TNode = new BinTOneNode
B2: IF (BTNode == NULL)
Thực hiện BKT
B3: BTNode ->BinTLeft = NULL
B4: BTNode ->BinTRight = NULL
B5: BTNode -> Key = NewData
BKT: Kết thúc
15
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. b. Tạo mới 1 nút (tt) (Tham khảo)
Cài đặt thuật toán trong C++
BinTType BinTreeCreateNode(T NewData)
{
BinTType BTnode = new BinTOneNode;
if (BTnode != NULL)
{
BTnode-> BinTLeft = NULL;
BTnode-> BinTRight = NULL;
BTnode-> Key = NewData;
}

return (BTnode);
}
16
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. c. Thêm 1 nút vào cây nhị phân (Thêm trái nhất) – Thuật toán(Tham
khảo)
B1: NewNode = BinTreeCreateNode(NewData)
B2: IF (NewNode == NULL)
Thực hiện BKT
B3: IF (BinTree == NULL)
B3.1: BinTree = NewNode
B3.2: Thực hiện BKT
B4: Lnode = BinTree
B5: IF (Lnode->BinTLeft == NULL)
B5.1: Lnode-> BinTLeft = NewNode
B5.2: Thực hiện BKT
B6: Lnode = Lnode ->BinTLeft
B7: Lặp lại B5
BKT: Kết thúc
17
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. c. Thêm 1 nút vào cây nhị phân (Thêm trái nhất) (Tham khảo)
Cài đặt thuật toán bằng C++
BinTType BinTreeAddLeft (BinTType &BTTree, T NewData)
{
BinTType NewNode = BinTreeCreateNode (NewData);
if (NewNode == NULL)
return (NewNode);
if (BTTree == NULL)
BTTree = NewNode;

else
{
BinTType Lnode = BTTree;
while (Lnode->BinTLeft != NULL)
Rnode = Rnode->BinTLeft;
Rnode->BinTLeft = NewNode;
}
return (NewNode);
}
18
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. c. Thêm 1 nút vào cây nhị phân (Thêm phải nhất)-Thuật toán(Tham
khảo)
B1: NewNode = BinTreeCreateNode(NewData)
B2: IF (NewNode == NULL)
Thực hiện BKT
B3: IF (BinTree == NULL)
B3.1: BinTree = NewNode
B3.2: Thực hiện BKT
B4: Rnode = BinTree
B5: IF (Rnode->BinTRight == NULL)
B5.1: Rnode->BinTRight = NewNode
B5.2: Thực hiện BKT
B6: Rnode = Rnode ->BinTRight
B7: Lặp lại B5
BKT: Kết thúc
19
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. c. Thêm 1 nút vào cây nhị phân (Thêm phải nhất)
Cài đặt thuật toán bằng C++ (Tham khảo)

BinTType BinTreeAddRight (BinTType &BTTree, T NewData)
{
BinTType NewNode = BinTreeCreateNode (NewData);
if (NewNode == NULL)
return (NewNode);
if (BTTree == NULL)
BTTree = NewNode;
else
{
BinTType Rnode = BTTree;
while (Rnode->BinTRight != NULL)
Rnode = Rnode->BinTRight;
Rnode->BinTRight = NewNode;
}
return (NewNode);
}
20
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. d. Duyệt qua các nút trên cây nhị phân(Tham khảo)

Duyệt theo thứ tự nút gốc trước (Preoder): nút gốc được duyệt
trước, sau đó mới duyệt đến 2 nút con. Có 2 cách:

Duyệt nút gốc, duyệt cây con bên trái, duyệt cây con bên
phải (Root - Left - Right)

Duyệt nút gốc, duyệt cây con bên phải, duyệt cây con bên
trái (Root - Right - Left)

Duyệt theo thứ tự nút gốc giữa (Inoder): duyệt 1 trong 2 cây con

trước rồi duyệt nút gốc sau đó mới duyệt cây con còn lại. Có 2 cách:

Duyệt cây con bên trái, duyệt nút gốc, duyệt cây con bên
phải (Left - Root - Right)

Duyệt cây con bên phải, duyệt nút gốc, duyệt cây con bên
trái (Right - Root - Left)

Duyệt theo thứ tự nút gốc sau (Postoder): Nút gốc sẽ được duyệt sau
cùng sau khi duyệt 2 cây con.

Duyệt cây con bên trái, duyệt cây con bên phải, duyệt nút
gốc(Left – Right - Root)

Duyệt cây con bên phải, duyệt cây con bên trái, duyệt nút
gốc(Right - Left- Root )
21
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. d. Duyệt qua các nút trên cây nhị phân

Duyệt theo thứ tự trước – (Node-Left-Right):
Duyệt nút gốc, duyệt cây con bên trái, duyệt cây con
bên phải
void NLR(TREE T)
{
if (T!=NULL)
{
cout<<T->Info<<" ";
NLR(T->pL);
NLR(T->pR);

}
}
22
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. d. Duyệt qua các nút trên cây nhị phân

Duyệt theo thứ tự giữa – (Left-Node-Right):
Duyệt cây con bên trái, duyệt nút gốc, duyệt cây con
bên phải
void LNR(TREE T)
{
if (T!=NULL)
{
LNR(T->pL);
cout<<T->Info<<" ";
LNR(T->pR);
}
}
23
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. d. Duyệt qua các nút trên cây nhị phân

Duyệt theo thứ tự sau – (Left-Right-Node):
Duyệt cây con bên trái, duyệt cây con bên phải,
duyệt nút gốc
void LRN(TREE T)
{
if (T!=NULL)
{
LRN(T->pL);

LRN(T->pR);
cout<<T->Info<<" ";
}
}
24
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.2. d. Duyệt qua các nút trên cây nhị phân
Vd: A,B,C,D,E,F,G
25
2. Cây nhị phân (Binary Tree)
2.3. Cây nhị phân tìm kiếm (Binary Searching Tree)
2.3.1. Khái niệm – Cấu trúc dữ liệu

Cây nhị phân tìm kiếm là cây nhị phân trong đó tại mỗi nút, khoá của
nút đang xét lớn hơn khóa của tất cả các nút thuộc cây con trái và
nhỏ hơn khoá của tất các nút thuộc cây con phải.

Cấu trúc dữ liệu của cây nhị phân tìm kiếm là cấu trúc dữ liệu biểu
diễn cây nhị phân nói chung.
struct TNode
{
int Info;
struct TNode *pL,*pR;
};