ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những
cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với
yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã
được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ
VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
Kiến thức Trang
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài 4
Mục đích nghiên cứu 5
Đối tượng ngiên cứu 5
Giới hạn của đề tài 5
Nhiệm vụ của đề tài 5
Phương pháp nghiên cứu 5
Thời gian nghiên cứu 6
NỘI DUNG
Cơ sở lí luận 7
Cơ sở triết học 7
Cơ sở tâm lí học 7
Cơ sở giáo dục học 8
Thực trạng của đề tài 8
Thời gian và các bước tiến hành 8
Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học 8
Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên 8

Giải quyết vấn đề 9
Định nghĩa phép biến hình 9
Một số tính chất của phép biến hình 11
Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình 11
Các dạng bài tập cơ bản 12
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 25
Kết quả 25
Kết luận 25
Khuyến nghị 26
TÀI LIỆU THAM KHẢO 27
3
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo
gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn
hoá mới và con người mới…”
“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi
dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…”
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng
là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với
phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học
khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh
hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học
sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ
luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Sách giáo khoa toán là tài liệu chính thống được sử dụng trong nhà trường phổ
thông.
Thực tế trong nhà trường THPT ở vùng cao, vùng sâu hiện nay chất lượng
học tập của học sinh còn thấp. Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương

trình phân hoá học sinh. Nhà trường PT chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi,
học sinh yếu kém phát triển nhận thức phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học
sinh hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn. Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy
học theo phương pháp mới. Đặc biệt lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với học
sinh vùng sâu vùng xa.
Có lẽ ai cũng nhận thấy điều đó, đội ngũ giáo viên đang trực tiếp giảng dạy,
các cấp lãnh đạo, các ngành đã làm gì để khắc phục tình trạng đó. Theo tôi đây là
vấn đề bức xúc nóng bỏng còn đang tồn tại, sẽ tồn tại nếu ta không có giải pháp
hợp lí.
Qua một năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học về phép biến
hình rất khó tiếp thu và áp dụng

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
4
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 tôi đã chọn đề tài
“ Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học”.
2.Mục đích nghiên cứu:
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao, tạo hứng thú
học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ các phép biến hình và ứng dụng
của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong
các tiết học.
3.Đối tượng ngiên cứu:
Các phép biến hình và ứng dụng của nó trong giải toán hình học lớp 11.
4.Giới hạn của đề tài:
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11, là năm đầu tiên đổi mới phương
pháp dạy học đối với khối 11. Vì vậy tôi chỉ tập chung vào vấn đề “Giúp đỡ học
sinh học tốt các phép biến hình, ứng dụng của nó trong chương trình hình học lớp
11”.

5.Nhiệm vụ của đề tài:
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn hình học lớp 11(Các phép biến hình,
ứng dụng các phép biến hình vào giải toán)
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối
tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.
6.Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi
đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…).
Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông
qua trao đổi trực tiếp).
Phương pháp thực nghiệm.
7.Thời gian nghiên cứu:

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
5
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Năm học 2007-2008.
NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lí luận:
1 Cơ sở triết học:
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình
phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi
động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết
với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh
trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
6
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt
hơn.
2.Cơ sở tâm lí học:
Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh
nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Vì vậy GV cần
phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã
biết với tri thức của nhân loại.
Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí
thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và
hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có
khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú
văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những
học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt…
Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép biến hình,
các em thường có tâm lí: không biết ứng dụng của phép biến hình để làm gì, nói
cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em không
muốn học chương này.Vì vậy GV cần chỉ rõ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh
ứng dụng các phép biến hình vào giải toán.
3.Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần
cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát
triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng
đối tượng học sinh.
Chương II: Thực trạng của đề tài:
1.Thời gian và các bước tiến hành:

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
7
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2007-2008.
2.Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học:
Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như sau:
Trên trung bình 18%.
3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.Sự nhận
thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến
hình.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó
không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truền tải kiến thức tới
các em.Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động cơ học
tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh. Nhiều em hổng kiến
thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập,
chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đời sống.
Đây là năm đầu tiên đổi mới phương pháp dạy học ở lớp 11 nên phương tiện
dạy học chưa đầy đủ.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện
pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ
học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp
rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp.

Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ
từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết
học, học sinh khá không nhàm chán.

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
8
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Chương III: Giải quyết vấn đề:
Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình, ứng dụng của nó học sinh
nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất. Óc tư duy hàm, suy luận lôgíc, khả năng khaí
quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình. Vì vậy
học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của
học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài ứng
dụng của phép biến hình cụ thể trong giải toán hình học lớp 11:
1: Định nghĩa phép biến hình:
1.1: Định nghĩa:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định
duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng:
1.2.1: Phép tịnh tiến:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ
v
r
≠
0
r
, phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M’ sao cho
'MM

uuuuur
=
v
r
, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
.
Kí hiệu:
v
T
r
.
Vậy:
v
T
r
(M) = M’
⇔
'MM
uuuuur
=
v
r
.
1.2.2: Phép đối xứng trục:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến mỗi
điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MM’
gọi là phép đối xứng trục d.
Kí hiệu: Đ

d
.
Vậy: Đ
d
(M) = M’
⇔
0 0
'M M M M= −
uuuuuur uuuuuur
(M
0
là giao điểm của d với đoạn thẳng
MM’).
1.2.3: Phép đối xứng tâm:

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
9
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm M
khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối
xứng tâm I.
Kí hiệu: Đ
I
.
Vậy: Đ
I
(M) = M’
⇔
'IM IM= −

uuuur uuur
.
1.2.4: Phép quay:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác
α
, phép biến
hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho
OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) =
α
gọi là phép quay tâm O, góc quay
α
.
Kí hiệu: Q
(O,
α
)
Vậy: Q
(O,
α
)
(M)=M’
⇔
'
( , ')
OM OM
OM OM
α
=



=

1.2.5: Phép đồng nhất:
Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép
đồng nhất.
1.2.6: Phép vị tự:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k
≠
0, phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
'OM kOM=
uuuuur uuuur
, gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Kí hiệu: V
(O,k)
Vậy: V
(O,k)
(M)=M’
⇔
'OM kOM=
uuuuur uuuur
1.2.7: Phép dời hình:
Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm
bất kì gọi là phép dời hình.
1.2.8: Phép đồng dạng:
Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0) nếu
với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN.

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
10

Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

2: Một số tính chất của phép biến hình:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay
đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng.
Biến tam giác thành tam giác bằng nó ( hoặc đồng dạng với nó), biến góc
thành góc bằng nó.
Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR).
3. Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình:
3.1: Phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
( , )v a b
r
, M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó
nếu
v
T
r
(M) = M’ thì
'
'
x x a
y y b
= +


= +


3.2: Phép đối xứng trục:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu
+) Đ
Ox
(M) = M’ thì
'
'
x x
y y
=


= −

+) Đ
Oy
(M) = M’ thì
'
'
x x
y y
= −


=

3.3: Phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
( , )I a b
, M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó

nếu Đ
I
(M) = M’ thì
' 2
' 2
x a x
y b y
= −


= −

4: Các dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép biến hình:

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
11
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Phương pháp chung:
-Sử dụng định nghĩa.
-Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
-Sử dụng các tính chất của phép biến hình.
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ
( 2;3)v −
r
, đường thẳng d có
phương trình: 3x-5y+3=0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép
tịnh tiến theo vectơ
v

r
.
Cách 1: Chọn M(-1;0) thuộc d, M’=T
v
r
(M) =(-3;3). M’ thuộc d’.Vì d’//d nên
d’ có phương trình 3x-5y+C=0. M’ thuộc d’C=24.
Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0.
Cách 2: Từ biểu thức toạ độ của T
v
r

' 2 ' 2
' 3 ' 3
x x x x
y y y y
= − = +
 
⇔
 
= + = −
 
thay vào phương
trình của d ta được: 3x’ -5y’+24=0.
Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0.
Cách 3: Lấy M,N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua
phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
. Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’.

Bài 2:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(1;5), đường tròn (C) có phương
trình x
2
+y
2
-2x+4y-4=0, đường thẳng d có phương trình x-2y+4=0.
a)Tìm ảnh của m,(C), d qua phép đối xứng trục Ox.
b)Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d.
Giải:
a) Gọi M’,(C’),d’ lần lượt là ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox.
Ta có M’ (1;-5).
(C) có tâm I(1;-2), bán kính R=3. Đường tròn (C’) có tâm là I’=Đ
Ox
(I)=(1;2) và
bán kính R=3. Vậy phương trình (C) là: (x-1)
2
+(y-2)
2
=9.

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
12
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Gọi N’(x’;y’) là ảnh của N(x;y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có
' '
' '
x x x x
y y y y
= =

 
⇔
 
= − = −
 
. Thay vào phương trình của d ta được: x’+2y’+4=0.
Vậy phương trình của d’ là x+2y+4=0.
b)Đường thẳng d
1
đi qua M và vuông góc với d có phương trình là: 2x+y-7=0.
Gọi M
0
là giao điểm của d và d
1
thì toạ độ của M
0
là nghiệm của hệ:
2 4 0 2
2 7 0 3
x y x
x y y
− + = =
 
⇔
 
+ − = =
 
Vậy M
0
(2;3)

Gọi M
1
là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M
0
là trung điểm đoạn thẳng
MM
1
nên M
1
(3;1)
Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4).Hãy tìm toạ độ điểm A’ là
ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 90
0
.
Gọi B(3;0), C(0;4) lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A lên các trục Ox,Oy.
Phép Q
(O,90
0
)
biến hình chữ nhật OBAC thành
hình chữ nhật OB’A’C’. Ta thấy B’(0;3),
C’(-4;0)
=>A’(-4;3)
Giải:
Bài 4Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương
trình:3x+2y-6=0.Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép
vị tự tâm O tỉ số k=-2.
Giải:

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
13
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Cách 1: V
(O,k)
(d)=d’ =>d’//d => d’ có phương trình:3x+2y+C=0. Lấy M(0;3) thuộc
d.Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự đã cho, ta có
' 2OM OM= −
uuuuur uuuur
' 0
' 6
x
y
=

⇔

= −

Vậy M’(0;-6), M’ thuộc d’ =>C=12.
Do đó phương trình d’ là:3x+2y+12=0.
Cách2: Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép vị tự tamO tỉ số k=-2, ta có
1
'
' 2
2
' 2 1
'
2

x x
x x
y y
y y

= −

= −


⇔
 
= −


= −


Điểm M thuộc d
3
' 6 0 3 ' 2 ' 12 0
2
x y x y⇔ − − − = ⇔ + + =
.
Vậy phương trình d’ là:3x+2y+12=0.
Cách 3:
Lấy M,N bất kì trên d, tìm ảnh M’,N’ của M,N qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2.
Khi đó d’ là đường thẳng M’N’.
Bài 5:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình:
x+y-2=0.Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng

dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;-1), tỉ số k=
1
2
và
phép quay tâm O góc quay -45
0
.
Giải:
Phép vị tự tâm I tỉ số k=
1
2
biến d thành d
1
=> d//d
1
=>d
1
có phương
trình:x+y+C=0.
Lấy M(1;1) thuộc d, V
(I,
1
2
)
(M)=O, O thuộc d
1
=> d
1
có phương trình:x+y=0.
Q

(O,-45
0
)
(d
1
)=Oy.
Vậy phương trình d’ là: x=0.
Dạng 2: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình:
Phương pháp: Để dựng điểm M ta làm như sau:

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
14
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép biến hình.
Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường
đã biết qua một phép biến hình.
Bài1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-1;-1),B(3;1),C(2;3). Tìm toạ độ
điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
Giả sử điểm D(x;y). Ta có
( )
BA
T D C=
uuur
, mà
( 4; 2)BA = − −
uuur
Do đó:
2 4 2

3 2 1
x x
y y
= − = −
 
⇔
 
= − =
 
. Vậy D(-2;1).
Bài 2:Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông(Xem hai bờ sông là hai
đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua
sông(cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB(như hình vẽ).
Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất.
Giải:
Trưòng hợp 1: Coi con sông rất hẹp. Bài toán trở thành:
Cho hai điểm A,B nằm ở hai phía khác nhau so với
đường thẳng a. Tìm vị trí M trên A để AM+AN nhỏ
nhất. Khi đó M là giao điểm của AB với a.
Trưòng hợp 2: a//b
Nhận xét: a,b cố định =>
MN
uuuur
cố định.
T
MN
uuuur
(A) =A’ =>A’N = AM.
Ta có AM+BN = A’N+NB =A’B
Cách dựng: Dựng A’=T

MN
uuuur
(A). Nối A’ với B
cắt b tại N. Từ N hạ đường thẳng vuông góc với
a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu.

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
15
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Bài 3: Cho hai điểm A,B nằm về một phía của đường thẳng d. Hãy xác định điểm
M trên d sao cho AM+MB bé nhất.
Giải:
Nhận xét: Gọi A’= Đ
d
(A) =>AM=AM’
Vậy: AM+MB =A’M+MB=A’B
Cách dựng:
Dựng A’= Đ
d
(A)
Nối A’ với B cắt d tại M, khi đó AM+MB
nhỏ nhất.
Bài 4: Cho góc nhọn
·
xOy
, điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên
Ox, điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Nhận xét: Gọi A’ = Đ

Ox
(A), A”=Đ
Oy
(A)
=>A’B=AB, A”C=AC
=>AB+BC+CA=A’B+BC+A”C=AA”
(nhỏ nhất)
Dựng:
A’ = Đ
Ox
(A)
A”=Đ
Oy
(A)
Nối A’ với A”, AA” cắt Ox và Oy lần lượt
tại B và C. Khi đó chu vi tam giác ABC
nhỏ nhất.
Bài 5: Cho góc nhọn
·
xOy
, điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy tìm một
đường thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của
MN.

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
16
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Giải:
Giả sử đã dựng được hai điểm M,N thoả mãn

yêu cầu của bài toán. Khi đó N=Đ
A
(M). Gọi O’x’
= Đ
A
(Ox), ta có N là giao điểm của O’x vàOy.
Từ đó ta có cách dựng:
Dựng O’x’ = Đ
A
(Ox), gọi N là giao điểm của
O’x và Oy, M=Đ
A
(N).Khi đó M,N là hai điểm
cần tìm.
Theo cách dựng trên cặp điểm M,N là duy nhất
Bài 6:
Cho đường tròn (O;R) và (O
1
;R
1
) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng đường thẳng d đi
qua A và cắt (O;R) và (O
1
;R
1
) lần lượt tại M và M
1
sao cho A là trung điểm của
MM
1

Giải:
Giả sử đã dựng được đường thẳng d
thoả mãn điều kiện đề bài. Khi đó ta
có M
1
=Đ
A
(M). Gọi đường tròn
(O’,R) là ảnh của đường tròn (O,R)
qua phép đối xứng tâm A. Ta có M
1
là giao điểm của (O’;R) với đường
tròn (O
1
,R
1
).
Cách dựng:
Dựng đường tròn (O’,R) là ảnh của đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm
A.Gọi M
1
là giao điểm của (O’;R) với đường tròn (O
1
,R
1
) không trùng với A,
M=Đ
A
(M
1

). đường thẳng d là đường thẳng MM
1
.
Theo cách dựng trên có một đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề bài.

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
17
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Bài 7:Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b, một điểm C. Tìm trên a và b các điểm
A và B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A.
Giải:
Giả sử đã dựng được hai điểm A,B
thoả mãn điều kiện đầu bài. Ta
thấy:
·
ACB
=45
0
,
CB
CA
=
2
=> B là ảnh của
A qua phép đồng dạng F có được
bằng cách thực hiện liên tiếp phép
quay tâm C, góc quay -45
0
, phép vị

tự tâm C tỉ số
2
. Gọi a” là ảnh
của a qua phép đồng dạngF. Ta có
B là giao điểm của b và a”
Cách dựng:
Dựng a’ là ảnh của a qua phép quay tâm C, góc quay -45
0
.
Dựng a” là ảnh của a’ qua phép vị tự tâm C tỉ số
2
.
B là giao điểm của a” và b
Dựng B’ là ảnh của B qua phép quay tâm C, góc quay 45
0
.
Dựng A là ảnh của B’ qua phép vị tự tâm C tỉ số (
2
)
-1
.
Theo cách dựng trên cặp điểm A,B là duy nhất
Bài 8: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ. Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh
A,B nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C,D nằm trên đường tròn.
Giải:

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
18
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD
thoả mãn điều kiện của bài toán. Gọi I là
trung điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là
đường trung trực của PQ nên cũng là
đường trung trực của DC và do đó cũng
là đường trung trực của AB. Từ đó suy
ra, nếu dựng hình vuông PQMN thì có
phép vị tự tâm I biến hình vuông PQMN
thành hình vuông ABCD.
Cách dựng:
Dựng hình vuông PQMN. Lấy giao
điểm C và C’ của đường thẳng IM và
B'
A'
B
A
C'
C
D'
D
I
N
O
P
Q
M
đường tròn, lấy giao điểm D và D’ của IN và đường tròn( ta kí hiệu sao cho hai
điểm C, D nằm về một phía đối với đường thẳng PQ). Gọi các điểm B,A,B’,A’ lần
lượt là hình chiếu của các điểm C,D,C’,D’ trên đường thẳng PQ. Ta được các hình
vuông ABCD và A’B’C’D’ thoả mãn điều kiện của bài toán.

Dạng 3: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm.
Phương pháp:
Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến
hình.
Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường
tròn(O). Gọi M
1
là điểm đối xứng của M qua A, M
2
là điểm đối xứng của M
1
qua
B, M
3
là điểm đối xứng của M
2
qua C. Tìm quỹ tích của điểm M
3
.

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
19
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Giải:
Gọi D là trung điểm của MM
3
thì
ABCD là hình bình hành. Do đó
điểm D cố định. Phép đối xứng

qua điểm D biến M thành M
3
.
Do đó Quỹ tích điểm M
3
là ảnh
của đường tròn (O) qua phép đối
xứng tâm D.
D
M3
M2
M1
M
O
C
B
A
Bài 2:
Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường
tròn (O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực
tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Giải:
Cách1:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung
điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn (O) tại D
. Ta có
·
BCD
=90
0

nên DC//AH, AD//CH => tứ
giác ADCH là hình bình hành =>
2AH DC OM= =
uuur uuur uuuur
.
Vì
OM
uuuur
không đổi => T
2
OM
uuuur
(A) =H.
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H
di chuyển trên đường tròn (O’) là ảnh của (O)
qua phép tịnh tiến theo 2
OM
uuuur
H
M
O
B
C
A
D
Cách 2:

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
20
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Gọi H là trực tâm tam giác ABC
Gọi I, H’ lần lượt là giao điểm của tia AH với
đoạn thẳng BC vả đường tròn (O). Ta có:
·
·
BAH HCB=
;
·
·
'BAH BCH=
Do đó tam giác HCH’ cân tại C => H và H’
đối xứng nhau qua BC.
Khi A chạy trên đường trong (O) thì H’ cũng
chạy trên đường tròn (O) => khi A di động
trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động
trên một đường tròn là ảnh của (O) qua phép
đối xứng trục BC.
H'
I
H
O
B
C
A
D
Cách 3:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm
của BC. Tia AO và BO cắt (O) lần lượt tại M và
D. Theo chứng minh trong cách 1ta có

2AH DC OI= =
uuur uuur uur
.
Trong tam giác AHM có OI//AH và OI =
1
2
AH
=> OI là đường trung bình của tam giác AHM =>
I là trung điểm của HM => H và M đối xứng nhau
qua I. Vì BC cố định nên I cố định.
M
I
H
O
B
C
A
D
Khi A di động trên (O) thì M di chuyển trên (O). Do đó khi A di động trên (O) thì
trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối
xứng tâm I.
Bài 3:

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
21
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Cho đường tròn (O;R), I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên (O). Tia phân
giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ điểm N.
Giải:

Vì ON là tia phân giác của góc
·
MOI
nên
MN OM
NI OI
=
hay
IM IN OM
IN O I
−
=
vì (O), I cố định
nên
OM
OI
=k( k là hằng số, k
≠
0)
1
1
1
1
IM IN
k IN IM
IN k
IN IM
k
−
⇒ = ⇔ =

+
⇒ =
+
uur uuur
Vậy phép vị tự tâm I tỉ số
1
1k +
biến điểm M
thành điểm N.
N
O
I
M
Do đó khi M chạy trên đường tròn (O) thì N di động trên đường tròn (O’) là ảnh của
đường tròn (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số
1
1k +
.
Bài 4: Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên
đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D.
Giải:

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
22
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho
AM=AB=AD.
Khi đó, ta có:
2

2
AM AB
AC AC
= =
.
Ngoài ra; (AM,AB)=45
0
và (AM,AD)=-45
0
.
Suy ra, phép vị tự V tâm A, tỉ số k=
2
2
biến
điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A
góc quay 45
0
biến điểm M thành điểm B. Vậy
nếu gọi F là phép hợp thành của V và Q thì F
biến C thành B. Vì quỹ tích của C là đường
tròn (O), nên quỹ tích của B là ảnh của đường
P
Q
R
D
O
A
C
B
M

tròn đó qua phép đồng dạng F.
Đường tròn quỹ tích B có thể xác định như sau:
Gọi AR là đường kính đường tròn (O) và PQ là đường kính của (O) vuông góc với AR
(ta kí hiệu các điểm P,Q sao cho (AR,AP)=45
0
). Khi đó ta thấy phép đồng dạng F biến
AR thành AP. Vậy quỹ tích điểm B là đường tròn đường kính AP.
Tương tự ta có quỹ tích điểm D là đường tròn đường kính AQ.
Bài 5:Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Một đường
thẳng thay đổi đi qua P, cắt (O) tại hai điểm A và B. Tìm quỹ tích điểm M sao cho:
PM PA PB= +
uuuur uuur uuur
.
Giải:

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
23
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Gọi I là trung điểm của AB thì
2
PA PB
PI
+
=
uuur uuur
uur
.
Bởi vậy
PM PA PB= +

uuuur uuur uuur
= 2
PI
uur
.
Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k=2 thì
V biến điểm I thành điểm M.
Vì I là trung điểm của AB nên OI
⊥
AB.
Suy ra quỹ tích của điểm I là đường tròn
(C) đường kính PO.
Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn
(C')
(C)
O'
I
B
A
O
P
(C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự V. Nếu ta lấy O’ sao cho
'
2PO PO=
uuuur
uuur
thì (C’) là
đường tròn đường kính PO’

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang

24
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1.Kết quả
Áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 11 tôi đã thu được kết quả như sau (kết
thúc học kì I năm học 2008-2009).
Trên trung bình: 60%
Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy hứng thú hơn với môn hình học, không bị áp
lực phải ngồi học trong các giờ hình học, tạo được niềm tin và sự hứng thú trong
học tập .
2.Kết luận:
Qua thời gian nghiên cứu đề tài và vận dụng đề tài vào giảng dạy tôi rút ra được
một số ý kiến sau:
• Giáo viên:
Tạo ra tâm lthế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính
tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn
học. Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn
và người học thấy được ý nghĩa của môn học.
Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri của HS,
giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong tình
huống đa dạng
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng
giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính
độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhân cách
của các em.
Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học
phù hợp.
Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em
không cảm thấy áp lực trong học tập.

Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học
sinh.
Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành.
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh.
• Học sinh:
Chăm chỉ nắm chắc lý thuyết.
Có ý thức học tập, hiểu vấn đề một cách sâu sắc.
Biết chuyển ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán.
Có óc tưởng tượng, phán đoán lôgíc.

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
25
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

3. Khuyến nghị:
Nhà trường nên tạo điều kiện cho Giáo viên mở lớp bồi dưỡng học sinh khá,
giỏi, phụ đạo cho học sinh yếu để các em có khả năng tìm hiểu sâu hơn kiến thức.
Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng
thắn với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng
đối tượng học sinh.
Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề
tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp của
các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình.
Hồng Quang, tháng 3 năm 2009
Người viết
Nguyễn Trọng Nghĩa

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
26
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa hình học lớp 11.
Sách giáo viên hình học lớp 11.
Để học tốt hình học lớp 11 .
Sách hướng dẫn giảng dạy hình học lớp 11.
Phương pháp dạy học môn toán.
Một số vấn đề phát triển hình học 11.
Sách chuyên đề nâng cao hình học THPT.
Tạp chí giáo dục và thời đại.
Tạp chí toán học tuổi trẻ.
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang
27